Использование обращенного потока для расчета околозвукового обтекания тел Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Т о м XV

1984

№ 5

УДК 629.7.015.3

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБРАЩЕННОГО ПОТОКА ДЛЯ РАСЧЕТА ОКОЛОЗВУКОВОГО ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ

Парадокс обратимости, справедливый для случая докритических околозвуковых течений, обобщается на случай изоэнтропического обтекания со скачками уплотнения посредством введения в обращенный поток скачков разрежения. Показана возможность получения одного и того же решения при расчете обтекания как в прямом, так и в обращенном потоках. Использование обращенного потока позволяет в два раза сократить время вычисления при реализации расчетных методов околозвукового обтекания тел на многопроцессорных ЭВМ.

В работах [1, 2] дается обоснование парадокса обратимости на случай гидродинамических теорий, описывающих течения невязкой нетеплопроводной жидкости без скачков уплотнения. В частности, этим условиям удовлетворяет стационарное изоэнтропическое безвихревое течение невязкого политропического газа, для которого уравнения движения и граничные условия записываются в виде

где*, у, г — декартовы прямоугольные координаты, г =

У(х, у, х) — скорость течения, р, р — плотность и давление газа,

7 — показатель адиабаты, ./V—единичная внешняя нормаль к контуру тела 2. Индексом „оо“ помечены значения параметров при | г | = ]/х2 + у2 + г2 оо .

Для того гтобы гидродинамическое явление было необратимым, оно должно включать эффекты, связанные с диссипацией энергии. Отсутствие таковых в случае изоэнтропического обтекания со скачками уплотнения (такая схема течения широко используется при создании расчетных методов, см., например, [3, 4]) позволяет обобщить парадокс обратимости на случай сверхкритических течений.

Ю. А. Арутюнов, В. В. Вышинский

(ііу(рК) = 0,

Г

(1)

Р/р' = сопе!,

(У, Л0|аа=0, К|и_-Коо,

1. Используя условие безвихренности течения и вводя потенциал скорости <р(х, у, г), соотношения (1) можно привести к виду

(Ну (р grad?) = 0, р = р(|£гас1<р| ) = 0,

дер

дЫ

да

(К», Г).

(2)

(Кос, Г).

(3)

В этом случае обтеканию того же тела в обращенном потоке со ответствует краевая задача

сИу (р* grad ®*) = О,

Р* = Р* (I £гас1 <р* |),

да* п *,

777 =0, ®*,г|-*0в-

дN дз

Здесь и далее звездочками помечены параметры течения в обращенном потоке

Зависимости р = р ( ^га<1 <р|) и р* = р* (|£гас!?* |) определяются уравнением Бернулли. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что связь между решениями краевых задач (2) и (3) имеет вид

V* (х, у, г) = — У(х, у, г),

Р*{х, у, г) = Р(х, у, г), р*(х, у, г) = р(х, у, г), (4)

?*(х, у, г)== — <?{х, у, г),

М*(х, у, г) = М(х, у, г),

где V, Р, р, <р, число М — решение краевой задачи (2), т. е. поле течения ,при обтекании тела £2 в прямом потоке с точностью до знаков перед потенциалом у(х, у, е) и скоростью V (х, у, г) совпадает с полем течения около того же тела О в обращенном потоке при тех же значениях скорости и угла атаки набегающего потока. Иначе говоря, одно и то же решение для скалярных величин М(х, у, е), Р(х, у, г) и р(х, у, г) является одновременно решением двух задач (2) и (3).

Краевые задачи (2) и (3) в случае достаточно медленных дозвуковых течений имеют единственные решения [5].

Для доказательства единственности «в малом» решения задачи (3) [а равно и задачи (2)] можно использовать соответствующий этой задаче вариационный функционал (суммарную энтальпию возмущенного движения жидкости)

Щ1П] = 4-|Яи /(^)Л

йл: с1у йг,

(5)

где }(Уt) — функциональная зависимость плотности от скорости течения, (2 — область вне тела.

Выписывая первую вариацию функционала (5) и приравнивая ее к нулю, можно получить выражение

8 W = — J J | div (p* grad 9*) 89* dx dy dz -<?w

df* dN

ds \r |-»-oo

irdS- fj dS = 0,

которое в силу основной леммы вариационного исчисления и условия заданности на бесконечности равномерного потока приводит к краевой задаче (3). Последняя, таким образом, соответствует необходимым условиям стационарности для функционала (5), и ее решение доставляет функционалу экстремальное значение. Вторая вариация функционала (5) может быть приведена к виду

82 W = ||| 8 (р* [ grad 9* | )8(| grad9* |) dxdydz. (6)

Q

В случае докритического обтекания в силу соотношения

(1— Щй(р1 у|) >0 (7)

v ' d\ V\

выражение (6) положительно, так что функционал (5) строго выпуклый, и решение краевой задачи (3) реализует его минимум. В силу выпуклости функционала (5) при \ V\\ф\У2\ выполняется неравенство

У7[(1-б) 1 к;| + 0|^ц<(1 -в)пр[| v;\} + егик*|],

где 6 6(0, 1).

Предположение о том, что минимум функционала U^[|K*|] достигается на двух различных решениях краевой задачи (3) У*\ф Кг,

Wl\V'i\]=W[\Vl\]- inf W\\V*\],

I V» К v*

где U* — выпуклое множество допустимых функций I К* | , в силу выпуклости множества U* и строгой выпуклости функционала W[ | К* [] приводит для \ VV\^\V*2\ к противоречию

W

-yd v\\ + \vl\)

<-f^[|^i|]+ -f W[\Vt\}= inf W[\V\],

* 1 I v* I £ u*

из которого следует, что | К] 1 = 1 Кг| .

Данное доказательство справедливо для класса функций «мало отличающихся» значениями и производными (потенциалом и скоростью), т. е. является доказательством единственности «в малом».

2. Появление на поверхности тела развитых сверхзвуковых зон с числом М> 1 и невыполнение соотношения (7) могут привести к нарушению условия знакоопределенности второй вариации и потере единственности решения краевой задачи (1), которая наряду с течениями со скачками уплотнения допускает решения с изоэнтропическими скачками разрежения. Для того чтобы доопределить краевую задачу (1) или (2) в случае сверхкритического течения и, исключив решения со скачками разрежения, сделать ее корректной, необходимо искать решение задачи в классе кусочно-гладких функций и допустить возможность появления в течении особых поверхностей разрыва Ь, на которых задаются условия для изоэнтропического скачка уплотнения [6]:

[У,] 1^ = 0, [?Уа\ 1^ = 0,

\р + ?у1]

роо У с

Р1 (Упг Роо (, ^оо

Д Р.

где V-., 1/„ — касательная и нормальная к поверхности Ь компоненты скорости. Символом [ ]|1/. обозначена разность предельных значений величины в скобках, взятых на поверхности I при подходе к ней по потоку (—) и против потока (+).

Для случая ^ = 1,4

l-(u2l + v21)|5 ]5'2

Р1

Роо

Уп_,

«2со/5

“I

-1'

«1 ]

ДР = (1 — №2)

(1 + *5'2) (1 +( + Р + Р + + &)

7^5,2 (1 + ,7/2)

— 1

где /^6(0,1) является корнем уравнения

t + ta + t* + tl + tй

и\ (вШ (

(9)

СОьб^/М!)3

0,— угол между касательной плоскостью к поверхности скачка Ь в данной точке и осью X; «, и V, — компоненты вектора скорости перед скачком, отнесенные к скорости звука в точке торможения

а0 = а* Уч + 1/2 ; — ^оо/ао-

В случае скачка уплотнения имеется корень уравнения (9), удовлетворяющий условию ^ = (М„2/М„ ,)1/3< 1, и число Маха за скачком Мп2, подсчитанное по нормальной компоненте скорости, меньше, чем перед скачком Мя1; скачок является дополнительным источником импульса ДР > О, и из (8) следует, что [Р-Ьр^л]!-/; > 0. В случае, когда ищется корень уравнения (9) £ > 1, Мя2 > Мя1, ДЯ<0, возникает скачок разрежения, что приводит к потере импульса [Р + р 1/^] 1—^<0 и обусловливает возникновение *тяги“.

Пусть ф(я, у, г), V {х, у, г), М{х, у, г), р(х, у, г), Р{х, у, г) — решение задачи (2) с условиями (8). на скачке £ при обтекании тела в прямом потоке со скачками уплотнения; решение определяет точки возникновения скачков и условия на них. Тогда решением задачи (3) в обращенном потоке со скачками разрежения для того же тела с теми же условиями на бесконечности будет, как и прежде, решение (4), причем поверхность разрыва Ь* совпадает с соответствующей поверхностью Ь для прямого потока и на ней выполняется условие

[Я*+ Р* - [Р + рИ„]|±£ , (Ю)

т. е. соотношение на скачке разрежения.

Действительно, если / = (М„ ,/Мл ,)1/3 < 1 есть корень уравнения (9), тогда V* = 1/1 > 1 (М^1 = Мл2, М^2 = Мл1) является корнем уравнения

г* г*2 £*3 + г*4 + £*5 = 5 5 5 1

м;2,

м2

71 1

С помощью несложных выкладок можно показать, что ЬР(е) = ЬР(1/Ц = — ЬР (0/*5/2,

Р1 р! Р2

Роо Роо Р1 ’

и, так как Уп2/Уп 1 = Р1/Р2 = *5/2> а условия на бесконечности для прямого и обращенного потоков одинаковы,

Таким образом, решение (4) удовлетворяет краевой задаче (3) с условиями на скачке (10), т. е. решения задач об обтекании тела с одинаковыми условиями на бесконечности со скачками уплотнения в прямом потоке и скачками разрежения в обращенном потоке совпадают.

В конечно-разностных методах расчета околозвуковых течений, основанных на применении алгоритма релаксации к решению задачи (2) (см., например, [3, 4, 7, 8]), используются разностные операторы смешанного типа. Применение в местной сверхзвуковой зоне операторов с обратными разностями [3] наряду с выполнением критерия Куранта— Фридрихса — Леви устойчивости разностных схем для гиперболических уравнений [9] позволяет устранить класс решений со скачками разрежения. Использование в расчетном методе разностных операторов с «передними разностями» (повернутые на 180° обратные разности) исключает класс решений со скачками уплотнения, оставляя решения со скачками разрежения. В обоих случаях разностный метод уже не эквивалентен исходной задаче (2) из-за потери одного решения.

Ниже на примерах расчетов демонстрируется устойчивость сходимости релаксационного метода в том и другом случаях, из чего следует единственность решения разностных задач. При этом решение задачи обтекания тела в прямом потоке со скачками уплотнения совпадает с решением для того же тела с теми же условиями на бесконечности в обращенном потоке (в последнем случае используется расчетная схема со скачками разрежения по отношению к обращенному потоку) и наоборот. Таким образом, краевая задача (2) в случае сверхкрити-ческого обтекания имеет два решения, одно из которых соответствует обтеканию тела в прямом потоке со скачками уплотнения или в обращенном потоке со скачками разрежения, второе — обтеканию в прямом потоке со скачками разрежения, а в обращенном — со скачками уплотнения. Правильный выбор разностной схемы позволяет выбрать то или иное решение.

3. Для иллюстрации выводов, изложенных в пп. 1 и 2, были проведены расчеты околозвукового обтекания профилей и тел вращения в прямом и обращенном потоках. На рис. 1 представлены результаты расчета критического с числом Маха набегающего потока М<х> = 0,7 и сверхкритического с Моо = 0,8 обтекания тела вращения. Расчет выполнен по методу [8]. Контур тела и распределение чисел М для обтекания в прямом потоке нанесены сплошными линиями, для обтекания в обращенном потоке — штриховыми линиями. Неполное совпадение контуров объясняется особенностями используемого в методе (8] КОН-

Рис. 1

формного отображения. С точностью до совпадения контуров результаты расчета при М<х> = 0,7 в прямом и обращенном потоках совпадают. Совпадение имеет место для докритических режимов и справедливо для всего поля течения (рис. 2). Появление скачков уплотнения нарушает инвариантность решения относительно обращения потока. Результаты расчета при Моо = 0,8 в прямом и обращенном потоках не совпадают (рис. 1).

Сравнение результатов расчета докритического обтекания в прямом и обращенном потоках может служить для проверки точности применяемых методов. Появление различий в решениях С ростом Моо

\ у \ \ 0,9 Поле линиа тока а изобар / прямой поток Уд обращенный поток //

X

\Г о,1 У

А_ : /-

■ т оГ^Щ ,=0,3 1 1' /1 к-ЛМш- _ 7— гТ'7/^ц —— г- "\ и Г"’# 1111 ^^\4==4г

-о,ч -о,г о о,г о,ч о,б о,б 1,о \

свидетельствует о возникновении скачков уплотнения и позволяет более точно определить момент их возникновения. Отсутствие этого различия при сверхкритическом обтекании указывает на бесскачковый характер течения, для которого свойство обратимости сохраняется и для сверхкритических режимов. На рис. 3 представлены точные решения для околозвукового обтекания бесскачкового профиля, полученные в работе [10]. Контур симметричного профиля (представлена его верхняя половина) и распределение М (х) нанесены сплошными линиями. Штрихпунктирной линией нанесена граница местной сверхзвуковой зоны. Парадокс обратимости, справедливый для этих решений, приводит к тому, что одному и тому же решению соответствуют два бесскачко-вых профиля; координаты второго получаются из первого поворотом его на 180° в плоскости потока.

На рис. 4 и 5 представлены результаты расчетов околозвукового обтекания профилей, выполненные по методу [7]; на рис. 4 — для случая симметричного обтекания, на рис. 5 — для обтекания того же профиля под углом атаки. Расчет обтекания в прямом потоке ведется со скачками уплотнения с использованием стандартной расчетной схемы; в обращенном потоке — со скачками разрежения с применением гиперболических разностных операторов с передними разностями. Совпадение результатов в прямом и обращенном потоках подтверждает вывод о возможности распространения парадокса обратимости на случай изоэнтропических течений со скачками.

Следует помнить, что, если решения с изоэнтропическими скачками уплотнения соответствуют некоторой физической реальности (для малой интенсивности скачка изменение энтропии пренебрежимо мало), то решения с изоэнтропическими скачками разрежения не имеют физической основы, должны быть отброшены при интерпретации результатов и обычно исключаются при построении расчетных методов.

а. = 3°

Рис. 5

Последние решения являются чисто математическими решениями поставленной задачи. Их применение обусловлено возможностью получения одного и того же решения, соответствующего физической реальности, — течения со скачком уплотнения как посредством расчета обтекания тела в прямом потоке со скачками уплотнения,'так и посредством расчета в обращенном потоке со скачками разрежения.

Расщепление задачи позволяет при реализации расчетных методов на многопроцессорных ЭВМ распараллелить процесс решения и сократить реальное время вычисления в два раза: один процессор используется для решения прямой задачи, а второй одновременно ведет расчет обтекания в обращенном потоке, релаксационный процесс в каждом случае выполняется лишь для половины пространства. При числе процессоров ЭВМ больше двух возможно дополнительное расщепление на уровне релаксационной процедуры (типа «верх—-низ» в случае плоской задачи), но оно уже лишено прежней строгости.

В случае расчета докритического обтекания тела, имеющего поперечную плоскость симметрии, того же сокращения времени вычисле-

2—«Ученые записки» № 5

17

ния можно достичь и при использовании однопроцессорной ЭВМ, если вести расчет (релаксацию по сечениям) для половины пространства до плоскости симметрии, решение для другой половины следует из свойства симметрии. Выводы работы справедливы как для двумерных течений, так и в случае расчета пространственного бесциркуляционного обтекания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Birkhoff G. Reversibility paradox and twodimensional airfoil theory. — Amer. J. Math., 1946, vol. 68, N 2.

2. Биркгоф Г. Гидродинамика.—М.: Изд. иностр. лит., 1963.

3. Murman Е. М. and Cole J. D. Calculation of plane steady transonic flows.—AIAA Paper, 1970, N 70—166.

4. С о 1 e J. D. Modern developments in transonic flow. — SIAM J. Appl.

Math., 1975, vol. 29, N 4.

5. Б e p с JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики.—М.: Изд. иностр. лит., 1961.

6. Steger J. L., Balwin В. S. Shock waves and drag in the numerical calculation of isentropic transonic flow. — NASA TN D-6997, 1972.

7. В a u e r F., Garabedian P., Korn D., Jameson A. Supercritical wing sections II. Lecture Notes in Economics and Math. Syst.,

N 108. Springer—Ver.lag. Berlin—Heidelberg—New York, 1975.

8. Вышинский В. В. Расчет околозвукового осесимметричного обтекания тел вращения. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. XIII, № 5.

9. С о u г a n t R., Friedrichs К. О., L е w у Н. Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. — Math. Ann., vol. 100.

1928.

10. Вышинский В. В. Построение точных решений бесскачко-вого обтекания симметричного профиля с местной сверхзвуковой зоной. — Ученые записки ЦАГИ, 1975, т. VI, № 3.

Рукопись поступила 11 /XI 1982 г.