Использование непрерывного вэйвлет-преобразования для обработки сейсмосигналов, излучаемых подземными взрывами Текст научной статьи по специальности «Математика»

---------------------------- © А.М. Мухаметшин, А.В. Параничев,

С.В. Поршнев, В.М. Анисимов,

А.С. Ведерников, В.И. Сафьянов, 2006

УДК 622

A.М. Мухаметшин, А.В. Параничев, С.В. Поршнев,

B.М. Анисимов, А.С. Ведерников, В.И. Сафьянов

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО

ВЭЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ДЛЯ ОБРАБОТКИ СЕЙСМОСИГНАЛОВ,

ИЗЛУЧАЕМЫХ ПОДЗЕМНЫМИ ВЗРЫВАМИ

адача обеспечения сейсмо-ч-^ безопасности технологичес-ких и массовых взрывов, в том числе и подземных, является в настоящее время весьма актуальной, поскольку проводимые взрывы изменяют существующие геологические условия, а также влияют на уровень экологической безопасности. Кроме того, как известно, в большинстве случаев горнодобывающие предприятия расположены вблизи городских агломераций, и взрывы производятся вблизи объектов промышленной или социальной городской инфраструктуры, поэтому для решения данной задачи необходимо вести непрерывные, т. е. мониторинговые сейсмометрические исследования, а также разрабатывать и применять адекватные методы обработки, визуализации и анализа геофизической информации. Без подобных исследований обеспечение экологической безопасности взрывных работ для объектов окружающей про-мышленной и социальной инфраструктур год от года становится все более сложной научнотехнической задачей.

В статье обсуждается один из популярных в настоящее время методов цифровой обработки сигналов - вэй-влет-преобразование. Сегодня данный

метод применяется в задачах распознавания образов и сжатия видеоизображений самой различной природы (снимки минералов, спутниковые изображения облаков или поверхностей планет, галактик, сни-мки различных турбулентных процессов и т.д.); при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых, виброакусти-ческих сигналов; а также для изучения свойств турбулентных полей. Напомним, что понятие вэйвлет (wavelet -уединенная волна) было введено в научный оборот Гроссманом (A.

Grossman) и Морле (J. Morlet) в середине 80-х гг. в связи с необходимостью анализа свойств сейсмических и акустических сигналов [1], являющихся по своей природе нестационарными.

1. Непрерывное вэйвлет-пре-

образование

Рассмотрим пространство L2 (R) функций, определенных на всей действительной оси R (-<», <») и имеющих конечную энергию

Ef = j |f (t)fdt£¥, (1)

и пространство і2 (0,2п), квадратично интегрируемых функций на интервале

[0,2 п].

Отметим, что функциональные пространства і2 (0,2п) и і2 (*) существенно различны, в частности, функция не принадлежит пространству і2 (*) м (І ) = , как не удовлетво-

ряющая условию (1). Следовательно, набор синусоидальных волн

Мп (і) = еіпі не может быть базисом функционального пространства і2 (*). Базисные функции («волны») пространства і2 (*) должны стремиться к нулю при І ^ ±<» . Для построения базиса пространства і2 (*) наиболее подходящими оказались солитоноподобные функции - вэйвлеты. Аналогично методу, использовавшемуся при построении базиса пространства і2 (0,2п), который был полностью сформирован с помощью одной базисной функции м (і) , базис пространства і2 (0,2п) также конструируется с помощью одного вэйвлета / (І) . При этом спектр данного вэйвле-

та может иметь одну частоту или набор частот.

Для построения базиса пространства і2 (0, 2п) вводят систему сдвигов

/(/ - к) , которые для простоты будем

считать целыми, и аналог синусоидальной частоты, которые для определенности будем считать кратными степени

числа 2: /к =/(2Ч - к), здесь у, к -

целые числа (у, к є I) . Выполняя масштабные преобразования, можно описать все частоты и покрыть всю временную ось, используя один базисный вэйв-лет.

Найдем связь между нормами функций ^ к (/) и^(/) . По определению нормы функции находим

/к ||2 = = 2^2 т. е.

1/2

1/2

если

вэйвлет

Следовательно,

/(і) є і2 (*) имеет единичную норму,

то все вэйвлеты семейства {/ к} вида /к (і) = 2у//(2Ч - к), у, к є I (2) также нормированы на единицу,

т.е. II/к (і^І2 =/(і^2 = 1 .

Вэйвлет /(і) є і2 (*) называется

ортогональным, если определенное соотношением (2) семейство представляет собой ортонормированный базис функционального пространства і2 (*) , т.е.

Iк (і)/ (і)) = з„зкт (3)

и каждая функция ^ (і ) є і' Ч *) может быть представлена в виде ряда

* () = £ С к/ к Iі)

у,к =-■»

(4)

Можно показать, что при соответствующем выборе функций ^ к (/) ряд

будет сходится равномерно в I? (R) , следовательно,

Ііт

Мі N1, М2 ,N2

N2 N1

* ( )-£ £ С к/у к

-М2 - М1

= 0.

Отметим, что доказательство многих положений теории вэйвлетов (полноту и ортогональность базиса, сходимостью рядов и др.) удалось получить именно для дискретного частотно-временного

пространства, образованного целыми сдвигами и растяжениями по степеням двойки [1, 2]. Данные положения имеют особую важность в задачах, где необходимо проведение разложения сигнала с использованием минимального числа независимых коэффициентов вэйвлет-преобразования и иметь точную формулу обратного преобразования (например, при сжатии информации или в задачах численного моделирования).

Аналогично описанному выше подходу осуществляется построение базиса пространства -2 (R) , состоящего из непрерывных вэйвлетов. Здесь значения коэффициента масштабного преобразования и параметра сдвига являются произвольными действительными числами:

¥аЬ () = ИГ^^а^), (5)

где а,Ь е R , ^ е - (R).

Непрерывное вэйвлет-преобразо-

вание, используя (5), можно записать следующим образом:

\_W.f](а,Ь) = |а|-'р £ Г (Iу„ (I)<Н, (6)

Далее, проводя аналогию с преобразованием Фурье, коэффициенты

Рис. 1, а. Вэйвлет-функция базисного вэйвле-та Койфлета 5-го порядка

С]к *,/разложения (4) функции

^ (і ) в ряд по вэйвлетам определяют

через интегральное вэйвлет-преоб-разование:

с.к = №’ ](М) ■ (7)

Для обозначения коэффициентов вэйвлет-преобразования в научной литературе используются более компактные обозначения: 1/У (а, Ь) , И/[ * ] или

№ [* ].

Таким образом, любая функция

* (і )є і2 ( *) может быть получена суперпозицией масштабных преобразований и сдвигов выбранного базисного вэйвлета/(/) , т.е. представлена набором

«вэйвлетных волн», амплитуды которых зависят от номера волны (соответственно, частоты или масштаба) и от параметра сдвига (времени).

Простейшим примером ортогонального вэйвлета является вэйвлет

Хаара (Нааг), определяемый соотношением

Рис. 1, б. Спектр базисного вэйвлета Койф-лета 5-го порядка

/

(і ) =

1,0 < і < 1/2, -1,1/2 < і < 1, 0, і < 0, і > 1.

(8)

Подставив (8) в (3), легко убедиться в том, что любые две функции ,

/нт, полученные из Нааг-вейлета с помощью масштабных преобразований 1/2у, 1/2' и сдвигов к/2у , к/2(, ортогональны и имеют единичную норму. Отметим, что вэйвлет Хаара хорошо локализован во временной области и плохо в частотной области, т.к. меандр имеет широкий спектр частот.

Известны и другие виды ортогональных вэйвлетов, исторически первым из которых был предложен И. Добеши [3]. Вэйвлет Добеши, реализуемый итерационными формулами, хорошо локализован и во временной и в частотной областях. Однако он также не свободен от недостатков, в частности, вэйвлет Добеши оказывается несимметричным.

2. Результаты обработки сейсмограмм, полученных при подземных взрывах

Рассмотрим результаты обработки выборочных сейсмограмм, полученных при подземном взрыве в шахте «Магнетитовая» Высокогорского горно-обогатительного комбината (г. Нижний Тагил), произведенном 4 декабря 2005 г. на глубине 510 м. Масса взры-ваемого заряда составила 50,1 тонны. Измерение сейсмических колебаний (скорости смещения грунта) производилось в точке, удаленной от эпицентра взрыва на расстояние 730 м. Регистрация мгновенных значений сейсмических сигналов осуществлялась в цифровой форме с помощью 14-разрядного АЦП. При этом частота дискретизации составляла 274 Г ц.

Обработка данных сигналов, состояла в вычислении нормированной спектральной плотности мощности, а также вэйвлет-спектра. Для вычисления последнего использовался вэйвлет Койф-лета 5-го порядка, базисная функция которого и его спектр представлены на рис. 1.

Проведем сравнительный анализ вэйвлет-спектра (рис. 2) и классического спектра сигнала (рис. 3) сейсмического сигнала. (Далее в связи с тем, что для нумерации оси абсцисс используется номер отсчета сигнала, все моменты времени мы указываем в выбранной шкале измерений.)

Из рис. 3 видно, что в спектре сейсмосигнала можно выделить следующие характерные области: гармоника с частотой 1,1 Гц; полоса [8-25] Гц, в которой энергия гармоник «квазилинейно» возрастает с увеличением частоты, достигая максимума на частоте 20 Гц; полоса [25-100] Гц, в которой сосредоточена меньшая часть энеАналижвэйвяет-спектра обнаруживает, что причиной возникновения колебаний является приход высокочастотного возмущения, которое оказывается локализованным в квадрате с координатами нижнего левого угла - [400;1] и верхнего правого - [500; 60]. Здесь значениям параметров масштабов а = 1 и а = 60 соответствуют вэйвлеты, у которых центральные частоты спектра равны 188,97 Гц и 3,1494 Гц, соответственно. Начиная с момента времени І « 650 и до конца анализируемого сигнала, вэйв-лет-спектр в диапазоне масштабов [95; 400] (соответственно, в дипазоне частот [0,472; 1,99] Гц частот) состоит из набора строго чередующихся светлых и темных полос, расстояние между которыми составляет 300 отсчетов.

300 1000 1300 2000 2 300 3000 3300 1000 4300 3000 3300

\№яУе№соеїїісіеігі5 зідпаї іІІіі^ЬаІіоп ге£иГС#<ІІіот соиИпиоіів іяа¥еІеИіаіі4Їогт

Таким образом, можно сделать вывод о том, в рассматриваемый временной промежуток в сигнале присутствует составляющая с частотой 1,1 Гц, факт существования которой можно интерпретировать. Это позволяет сделать вывод о

Рис. 2. Зависимость мгновенных значений виброскорости грунта от номера отсчета (времени) и ее вэйвлет-спектр

Рис. 3. Нормированный спектр сейсмосигнала

том, что составляющая спектра, факт существования которой подтверждает классический Фурье-анализ, появляется в анализируемом сигнале в момент времени I « 650 и продолжает существовать практически не испытывая затуханий вплоть до окончания анализируемого сигнала.

Наличие светлых полос в областях с высокими значениями параметра масштаба а (а > 430) иллюстрирует существование угла влияния [4], величина которого определяется видом возмущения и энергетическим спектром базисного вэйвлета. Высокочастотные колебания, обнаруживаемые на масштабах [27;100], которые можно идентифицировать, как процессы, частоты которых находятся во второй области нормированного спектра сейсмосигнала ([8-25] Гц), существуют весьма короткий промежуток времени. Данный результат понятен с физической точки зрения: как известно, коэффициент затухания сейсмических колебаний увеличивается при увеличении их частоты.

Waveletcoeff^cients цідилі іІІіМілйоп іе$иИе<Иют соїгіїніои^ \мауеМ (іа№й>іт

$саІе о! соїогс Ііот М М їо МАХ

Рис.4. Зависимость мгновенных значений виброскорости грунта от номера отсчета (времени) и ее вэйвлет-спектр (фрагмент)

Сделанные выше выводы, в полной мере подтверждает рис. 4, на котором представлен фрагмент вэйвлет-спектра анализируемого сигнала. При этом можно отметить, что в вэйвлет-спектре в момент на временном интервале [700;800] идентифицируется приход еще одного высокочастотного возмущения, которое, однако, по энергетике оказывается значительно слабее первого. Факт его существования объясняется приходом объемной волны, возбужденной произведенным взрывом, которая претерпела отражение от границы разлома.

Заключение

Проведенный анализ результатов применения непрерывного вэйвлет-

преобразования для обработки сейсмосигнала, зарегистрированного при мощном подземном взрыве показал, что данный метод оказывается более информативным по сравнением с методом классического преобразования Фурье, поскольку последний дает возможность только констатировать факт присутствия в сигнале той или иной составляющей и получать оценку ее амплитуды и частоты.

С помощью вэйвлет-преобразова-ния оказалось возможным однозначно установить время прихода импульса деформации, а также дать описание обнаруженных изменений его частотновременных характеристик, которое со-

гласуется с геофизическими представлениями о процессах распространения возмущений, создаваемых подземным взрывом.

Таким образом, вэйвлет-анализ оказывается весьма эффективным инструментом анализа сейсмических сигналов,

1. Grossman A., Morlet J. SIAM Journal Mathematics Analysis, 1984, Vol. 15, pp. 723737.

2. Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001.

поэтому представляется перспективной разработка методов автоматизированной интерпретации вэйвлет-спектров и соответствующих систем, с их последующей интеграцией с существующими геоин-формационными системами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.

4. http://atm53.phys.msu.ru/ Ilyushin /wavelet/wavelet.html

— Коротко об авторах -------------------------------------------------------------------

Мухаметшин А.М. - заведующий лабораторией горной геофизики ИГД УрО РАН, доктор геолого-минералогических наук,

Поршнев С.В. - заведующий кафедрой АИТ УГТУ-УПИ, доктор технических наук, Параничев А.В. - аспирант УГТУ-УПИ,

Анисимов В.М. - аспирант УрГУПС,

Ведерников А. С. - аспирант ИГД УрО РАН,

Сафьянов В.И. - заместитель начальника технологического управления по БВР ОАО «ВГОК».

--------------------------------------------------- РУКОПИСИ,

ДЕПОНИРОВАННЫЕ В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ

МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА

1. Талант В.В. Влияние параметров карьера первой очереди на приемную способность выработанного пространства карьера при использовании углубочносплошных систем разработки (467/07-06 — 13.04.06) 9 с.

2. Сарафанова А.Я. Влияние термической обработки на обрабатываемость жароирочных сталей (468/07-06 — 18.04.06) 4 с.

3. Данилов Г.В. Особенности интроскопии окрестностей горных выработок методом акустической локации (469/07-06 — 18.04.06) 5 с.