Использование моделей микроэкономики для анализа формул расчета фондовых индексо Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

меры воздействия: требования об устранении нарушений — в 373 случаях, наложены штрафы — в 284 случаях, отозваны лицензии — в 14 случаях11.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что успешное противодействие легализации доходов, полученных преступным путем, и финансированию терроризма может осуществляться только в случае, если оно будет одновременно происходить на двух уровнях — как национальном, так и международном. России необходимо продолжать активизировать международное сотрудничество в этой области. Назрела необходимость в информационном обмене между банками (создание базы данных по сомнительным операциям), который только ускорит процесс выявления и подтверждения сомнительных сделок, а также будет спо-

собствовать тесному сотрудничеству банков с налоговыми органами.

Примечания

1 http://www.un.org/ru ian/documen/convent /terfin.htm.

2 http://www.fatf-gafi.org/MLaundering_en.htm.

3 http://www.fatf-gafi.org/TerFinance_en.htm.

4 http://www.bi .org/publ/bcb c137.pdf.

5 http://www.bi .org/publ/bcb 30.pdf.

6 http://www.fatf-gafi.org/MLaundering_en.htm.

7 Там же.

8 О противодействии легализации (отмыванию) доходов, полученных преступным путем, и финансированию терроризма: федер. закон от 7 авг. 2001 г. № 115-ФЗ (с изм. от 25 июля, 30 окт. 2002 г.).

9 Хамаганова Л.Д. Валютное регулирование и валютный контроль: учеб. пособие. Иркутск, 2004. С. 241.

10 Ежегодный отчет банка России. 2005.

11 Там же.

Н.И. АЙЗЕНБЕРГ

старший научный сотрудник Института систем энергетики

им. Л.А. Мелентъева СО РАН, кандидат экономических наук, доцент, г. Иркутск

Н.П. ШЕРСТЯНКИНА старший преподавателъ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ МИКРОЭКОНОМИКИ ДЛЯ АНАЛИЗА ФОРМУЛ РАСЧЕТА ФОНДОВЫХ ИНДЕКСОВ*

Существуют разные модели фондового рынка, описывающие происходящие на нем процессы: модель Марковитца (описывающая формирование оптимального портфеля); модель САРМ — capital asset pricing model (применяемая для определения стоимости основных активов); модель Блэка с нулевой «бетой»; модель теории арбитражного ценообразования и др. В основном они опираются на использование в них значений фондовых индексов. Поэтому важно, чтобы индексы не искажали реальной ситуации и были устойчивы к различным колебаниям цен акций и фондовым кризисам. Для анализа методов расчета фондовых индексов нами построены имитационные модели функционирования фондового рынка с детерминиро-

ванно-заданными объемами сделок и учитывающие действие случайных факторов.

Модели с детерминированно-заданными объемами сделок. В данном исследовании рассматриваются модели поведения покупателя или продавца на рынке ценных бумаг. Под покупателем или продавцом подразумевается некоторый субъект (физическое лицо или фирма), выбирающий одну из альтернатив — покупка или продажа акций. Пусть имеется i = 1, 2, ..., п компаний-эмитентов, акции которых обращаются на некоторой торговой площадке. Объем сделок характеризуется вектором 5 = ..., Sn), цена акций — вектором Р = (Р1, ..., Рп). Для изучения процесса выбора используется функция полезности и = и(5). Для субъекта

* Работа поддержана Лаврентьевским конкурсом молодежных проектов СО РАН (постановление Президиума СО РАН от 26 января 2006 г.).

© Н.И. Айзенберг, Н.П. Шерстянкина, 2007

эта функция описывает выгоду или удовлетворенность от совершенной сделки с акциями.

Пусть покупатель акций располагает некоторой суммой денежных средств V для приобретения акций разных компаний-эмитентов. Задачей выбора покупателя является определение такого вектора S, при котором полезность будет максимальной: u(S) ^ max при условии

fpiSi < V, > 0, i = 1, 2, ..., n.

i = i

При фиксированном уровне полезности U можно найти минимальную сумму, потраченную на покупку определенного количества акций:

V(P, S) = %Р& ^ min; (1)

i=i

u(S) = U, S,. > 0, i = 1, 2, ..., n. (2)

Оптимальный вектор объемов сделок обозначается S(P, U) = arg min{ V(P, S) : u(S) = U}.

Тогда объем сделок при минимальном уровне затрат запишется как

S(P, U) = arg min PiSi (P, U): u(S) = U j.

Модель поведения продавца подразумевает, что он располагает некоторым набором акций разных компаний S = (S,, ..., Sn) и стремится их продать, выручив максимальную сумму денежных средств.

Пусть в модели поведения покупателя (1)-(2) или продавца зависимость объема сделок от цены акций определяется через одинаковую для всех видов акций и постоянную во времени эластичность S1:

S(P, U) = G(P, U)ai(Pi)s,

(3)

где

G(P, U) = U lEa-(p)

\ö+1

75+1

некоторая масштабирующая положительная функция от достигнутого уровня полезности; U = const — значение функции полезности u(S); а,- > 0 — некоторые коэффициенты; 8 — эластичность изменения объемов сделок от цены.

Пусть отсутствуют данные об объемах сделок по каждому конкретному виду акций, но известны структура объема торгов и цены акций. Тогда а, — доля каждого вида акций в объеме торгов. Для покупателя

эластичность объемов сделок от цены отрицательная (8 < 0), т.е. при росте цены объем сделок сокращается, а при падении, наоборот, увеличивается. Для продавца 8 > 0, т.е. он продает больше акций по более высоким ценам.

При разных значениях коэффициента эластичности функция полезности примет следующий вид2:

u(S) = Y((Si Г/а,. /, 8 < 0;

u(S) = П (S, , 8 = -1;

i

u(S) = l((S,)s+1/а, f-U, 8 > 0;

u(S) = min —, 8 = 0.

i =1.....n а ,

Аналитические индексы определяются по формуле3

A = Iт =

Apß 'pU

Ea p )

i=1

E a, (p;

75+1

(4)

При 8 = -1 формула (4) переходит в среднюю геометрическую.

Значения аналитических индексов (4) можно сравнивать с индексами, вычисленными различными методами при разных значениях коэффициента эластичности. Таким образом, можно выявить метод, наиболее часто совпадающий или дающий наименьшие расхождения с аналитическим индексом при различных значениях коэффициента эластичности.

Моделирование ситуаций и вычислительный эксперимент. На основе исходных данных по 11 видам акций, торгуемых на фондовых биржах РТС и ММВБ, рассмотрим ситуации, моделируемые соотношением (3). Для выбора пределов изменения коэффициенты эластичности рассчитывались ежедневно по указанным реальным данным. Эти коэффициенты принимают различные по величине и знакам значения (число ситуаций с положительной и отрицательной эластичностью для каждого вида акций составило 52 и 48% соответственно), поэтому принято решение брать коэффициенты 8, равные ±15, ±10, ±5, ±4, ±3, ±2, ±1,5, ±1, ±0,5, 0.

Исследовалось поведение индексов, рассчитанных методами:

i=1

- Ласпейреса:

II =Ъ Р'5;/Ъ Р 5;;

- Пааше:

гр =ъ р,?./ ъ р; 5' ;

- Фишера:

»т/ _ ¡т' »т'

^pF =у1 >р1 • >рр;

- Эджворта:

Се = Ъ Р (5Т+ 5; V Ъ Р (5Т+ 5;);

- Уолша I:

гЩ =ъ р!455/ъ ;

- Уолша II:

'рЩ-Ор , V, = РД

- Вартиа I:

п

'р'у =П Р ) ,

w

. = V'-V

Еу' -ЕУт

' 1пУ' - 1ПУ7 1пЕу' - 1пху;' Некоторые из индексов при определенных коэффициентах 8 совпадают с аналитическими4. Доказательства этих совпадений

приведены в работе Н.И. Айзенберг «Поведение индексов цен при разной эластичности спроса от цены»5. При 8 = -2 аналитический индекс совпадает с индексом Уолша I, при 8 = -1 — с индексами Уолша I и Вартиа I. При 8 = 0 совпадают с аналитическим индексы Уолша I, Эджворта, Ласпейреса, Пааше и Фишера, при 8 = 2 — индекс Фишера.

Для всех указанных коэффициентов эластичности и для обеих торговых площадок с 5 января 2004 г. по 29 декабря 2006 г. были вычислены ежедневные индексы цен

'рЩ1 способом:

- /т акций:

И/, Г', '

т'

,1'

т'

рМЕ , ' р1 , 'рР , ' pF

'ру,'рЩ,, цепным

П С = '0

Для каждого момента времени были вычислены отклонения по формуле

'р.8

£'-1,' = р,° (5)

£8 = А'-1,' . (5) Ар,8

Для обобщенного представления результатов отклонения (5) рассчитывались по формуле

( т 1 '

£8 = ехР Ъ- |п£8

V'=1 т

,'-1,' £8

1.

(6)

'=1

Таблица 1

Средние отклонения от аналитического индекса ежедневных индексов цен акций, вычисленных с 5 января 2004 г. по 29 декабря 2006 г. для моделей, описывающих зависимость объемов сделок от цен акций с эластичностью 8

8 Г' ' р- Г' 'рр Г' pF Г' 'рУ Г' 'рЩ, г' ' рЩ» Г' рМЕ

-10 0,011 4 0,010 9 0,000 2 0,028 24 0,000 08 0,000 08 0,000 2

-5 0,095 7 0,090 4 0,002 4 0,015 0 0,000 59 0,000 62 0,002 4

-2 0,118 6 0,109 6 0,004 1 0,043 4 0 0,000 3 0,004 1

-1 0,011 6 0,011 5 0,000 03 0 0,000 02 0 0,000 03

-0,5 0,029 2 0,029 0 0,000 15 0,063 7 0,000 07 0,000 02 0,000 15

0 0 0 0 0,080 1 0 0,000 02 0

0,5 0,007 7 0,007 7 0,000 004 0,089 4 0,000 01 0,000 02 0,000 004

1 0,009 3 0,009 3 0 0,092 7 0,000 01 0,000 01 0

2 0,016 3 0,016 3 0,000 01 0,094 4 0,000 01 0,000 02 0,000 01

5 0,064 9 0,064 8 0,000 05 0,099 5 0,000 04 0,000 04 0,000 05

10 0,065 6 0,066 0 0,000 2 0,108 10 0,000 1 0,000 1 0,000 2

Общие средние отклонения индексов от аналитического при всех значениях коэффициента эластичности

Общее среднее отклонение 0,034 6 0,033 7 0,000 2 0,061 3 0,000 02 0,000 08 0,000 2

При 8 < 0 0,046 2 0,043 9 0,000 8 0,038 2 0,000 01 0,000 2 0,000 8

При 8 > 0 0,026 0 0,025 9 0,000 03 0,098 3 0,000 03 0,000 04 0,000 03

Отклонения для случаев 8 = ±10, ±5, ±2, ±1, ±0,5, 0, рассчитанные по формуле (6), представлены в табл. 1. Жирным шрифтом выделена ситуация, в которой методы расчета не дают расхождений относительно аналитического индекса.

Сделаем выводы:

1. Наименьшие расхождения при различных значениях коэффициента эластичности имеют индексы Уолша I, Уолша II, Фишера и Эджворта:

- индексы Фишера и Эджворта показали примерно одинаковый результат независимо от знака коэффициента 8. При этом оба индекса в двух ситуациях (при 8 = 0, 1) не имеют расхождений с аналитическим индексом;

- индекс Уолша I является лидером по всем средним отклонениям как при отрицательной, так и при положительной эластичности.

2. Высокие отклонения от аналитического индекса показывают: стабильно — индексы Ласпейреса и Пааше; в большинстве случаев — индекс Вартиа I.

3. При положительных значениях 8 значения индекса Пааше всегда превышают значения индекса Ласпейреса (модель преобладания покупателей акций), при неотрицательных — наоборот (модель преобладания продавцов акций). Таким образом, при использовании этих индексов и их сравнении всегда можно определить лидера на рынке акций.

Имитационные модели, учитывающие действие случайных факторов на фондовом рынке. На фондовом рынке цены акций могут сильно меняться как в сторону роста, так и в сторону падения. При этом цены акций одних компаний-эмитентов могут повышаться, других — снижаться. Представляет интерес изучение поведения фондовых индексов в ситуации хаотичного изменения цен акций, для чего создана имитационная модель возмущения цен с различной интенсивностью колебаний. Из-за сравнительно небольшого периода функционирования фондового рынка в России в 3 года расширение базы данных по обеим торговым площадкам осуществлено по методу Монте-Карло.

Моделируется новая цена р = , где ^ — случайная величина, распределенная по логнормальному закону с математическим ожиданием, равным 1, и среднеквадрати-ческим отклонением, которое определялось

тремя ситуациями возможного состояния фондового рынка. Необходимым элементом метода является повторение процесса, который был запрограммирован с помощью встроенного языка Visual Basic в MS Excel.

Для построения имитационной модели весь период с 5 января 2004 г. по 29 декабря 2006 г. был разбит на несколько под-периодов с различным изменением цен. Для каждого подпериода были рассчитаны дисперсии, среднеквадратические отклонения и коэффициенты вариации. Экспериментально установлено, что в течение 3 лет коэффициент вариации цен акций разных компаний-эмитентов находился в интервале от 1,5 до 24,5%. В среднем по всем видам акций коэффициент вариации составлял от 5 до 15%. У двух компаний-эмитентов осенью 2004 г. этот коэффициент был равен 46,7 и 60,0%. Данные исследования использовались при установлении уровня среднеквадратичес-кого отклонения случайной величины . В результате было смоделировано три ситуации возможного состояния фондового рынка:

1. Стабильный период, когда наблюдается устойчивый на протяжении нескольких месяцев рост (снижение) цен акций с незначительными колебаниями (вариация 3-7%, возьмем значение 5%). Тогда практически все исследуемые индексы отражают ценовую динамику достаточно достоверно6, а сама ситуация на фондовом рынке является наименее рискованной для инвесторов.

2. Период неопределенности. Кратковременный рост сменяется кратковременным снижением цен акций, нет устойчивого восходящего или нисходящего тренда. В этом случае вариация цен составляет от 7 до 13%, для расчетов будем использовать 10%.

3. Кризис на фондовом рынке. Период коррекции на фондовом рынке, наступающий в результате его перегрева (обвал цен после их неоправданного роста), характеризуется высоким риском для инвесторов. В это время средняя вариация цен акций меняется от 13% и выше, достигая уровня 30-60% для отдельных видов акций. Возьмем коэффициент вариации, равный 20%. В такой ситуации важную роль для расчета фондовых индексов играют методы, наиболее устойчивые к хаосу цен и дающие адекватные результаты.

По итогам предыдущего исследования описанные три ситуации рассмотрены при 5 = ±10, ±5, ±2, ±1,5, ±0,5, 0. Таким образом, многократно моделируется 33 разных случая для исследования устойчивости методов расчета фондовых индексов. Для анализа этих методов с помощью рассмотренной модели весь процесс получения цен акций по формуле (6) с последующим вычислением значений индексов и их расхождений с аналитическим повторялся многократно. Результаты расчетов для случаев 5 = ±10, ±2, 0 представлены в табл. 2. Жирным шрифтом выделены индексы, дающие наименьшие расхождения в данной ситуации.

Сделаем выводы:

1. Индексы, вычисленные под влиянием случайного фактора, при положительной эластичности сохраняют ту же последовательность, которая сложилась на первом этапе исследований: значения индекса Лас-пейреса меньше значений индекса Пааше, все остальные располагаются между ними. При отрицательной эластичности большие значения принимает индекс Ласпейреса по отношению к индексу Пааше, значения всех остальных также находятся между ними.

2. Увеличение интенсивности колебаний цен (среднеквадратического отклонения) приводит к росту степени расхождения индексов с аналитическим. При среднеквадратическом отклонении а = 5% значения расхождений

Таблица 2

Средние расхождения ежедневных индексов при различной вариации и различных значениях эластичности

5 1Т ' Р- ' X' 'рр ' X' 'ре ' X, 'рУ' Г' 'рЩ Г' Г' рМЕ

Вариация 20%

-10 282 504 160 763 0,428 8 0,205 2 0,268 9 0,270 6 0,744 6

-2 9,7 • 106 6 • 106 0,176 1 0,181 8 0,160 0 0,161 9 0,332 4

0 0,187 9 0,187 9 0,188 2 0,209 3 0,187 9 0,191 6 0,186 3

2 184 575 104 963 0,194 1 0,236 6 0,216 9 0,218 4 0,284 7

10 6 • 106 4 • 106 0,423 2 0,292 1 0,374 3 0,383 6 0,595 6

Общие средние расхождения при всех значениях коэфф индексов с аналитическим :>ициента эластичности

Общее среднее расхождение 95 960 63 055 0,221 8 0,209 3 0,209 9 0,212 9 0,330 5

При 5 < 0 106 6 • 106 0,219 6 0,181 1 0,186 3 0,188 3 0,379 6

При 5 > 0 124 963 84 859 0,231 6 0,241 9 0,241 8 0,245 9 0,322 7

Вариация 10%

-10 3,563 3,091 0,104 7 0,098 6 0,100 8 0,100 8 0,116 2

-2 65 53 0,079 7 0,088 0 0,079 1 0,079 1 0,099 7

0 0,159 7 0,159 7 0,159 9 0,163 1 0,159 7 0,160 4 0,158 8

2 27 20 0,118 0 0,123 1 0,119 6 0,119 6 0,138 1

10 41 33 0,131 0 0,134 4 0,129 5 0,129 3 0,151 4

Общие средние расхождения при всех значениях коэфф индексов с аналитическим ициента эластичности

Общее среднее расхождение 8 8 0,126 3 0,129 2 0,124 0 0,124 1 0,143 0

При 5 < 0 22 17 0,098 0 0,098 5 0,096 1 0,096 2 0,116 5

При 5 > 0 6 7 0,155 4 0,161 8 0,152 1 0,152 2 0,171 8

Вариация 5%

-10 0,273 0,274 0,048 5 0,049 1 0,049 6 0,049 6 0,050 9

-2 2,225 1,912 0,042 5 0,046 2 0,042 3 0,042 2 0,048 3

0 0,160 1 0,160 1 0,160 3 0,160 6 0,160 1 0,160 3 0,159 7

2 1,550 1,076 0,094 8 0,091 9 0,095 2 0,095 2 0,104 0

10 1,669 1,351 0,072 9 0,073 0 0,074 5 0,074 5 0,080 0

Общие средние расхождения при всех значениях коэфф индексов с аналитическим ициента эластичности

Общее среднее расхождение 0,929 0,772 0,073 4 0,074 5 0,073 9 0,074 0 0,079 4

При 5 < 0 1,144 0,879 0,055 5 0,057 1 0,055 7 0,055 7 0,061 0

При 5 > 0 1,072 0,928 0,082 9 0,083 3 0,084 1 0,084 1 0,089 7

не превышали 0,1 для всех методов, кроме методов Ласпейреса и Пааше, при а = 10% не превышали 0,2 и при а = 20% — 0,4 за исключением индексов Ласпейреса и Пааше.

3. Наибольшую чувствительность к интенсивности колебаний цен проявили индексы Ласпейреса и Пааше, кроме случая с нулевой эластичностью (объемы сделок не реагируют на изменение цен). В этой ситуации все методы, являющиеся эталонными при а = 0% (см. табл. 1), показывают практически одинаковые расхождения. Индексы Ласпейреса и Пааше особенно большие расхождения имели при а = 20%. Таким образом, эти методы дали самые неудовлетворительные результаты.

4. Наименьшие расхождения во всех случаях показали методы Фишера, Уолша I, Уолша II, Вартиа I и Эджворта. Они являются наиболее устойчивыми при различных колебаниях цен.

Примечания

1 Зоркальцев В.И. Индексы цен и инфляционные процессы. Новосибирск, 1996.

2 Айзенберг Н.И. Поведение индексов цен при разной эластичности спроса от цены // Инструменты анализа и управления переходного состояния в экономике: тр. междунар. конф., г. Екатеринбург, 17-20 апр. 2006 г. Екатеринбург, 2006.

3 Там же.

4 Зоркальцев В.И. Указ. соч.

5 Айзенберг Н.И. Указ. соч.

6 Там же.

Д.А. ГЕРЦЕКОВИЧ

кандидат технических наук Иркутского государственного университета

ЗЕРКАЛЬНЫЕ ПАРЫ.

Все известные алгоритмы технического анализа опираются на предположение о том, что рынок предсказуем. Действительно, если достаточное количество трейдеров использует «одинаковые» методы, то в результате рассматривает и «одинаковые» прогнозы. Поэтому (при прочих равных) эти трейдеры будут действовать в унисон и, как следствие, окажут некое предсказуемое воздействие на торговлю1. Однако у сторонников детерминистского подхода есть противники — это представители диаметрально противоположной точки зрения. Следуя теории хаоса2, они считают, что движение рыночных цен имеет случайный характер. У цен нет памяти: то, что происходило вчера, не имеет никакого отношения к тому, что произойдет завтра.

Предлагаемый алгоритм «Линза» не требует применения каких-либо предсказательных техник и поэтому может с успехом использоваться представителями обеих точек зрения. Пусть на заданном интервале времени t1, t2, ..., ,п заданы курсы валют. Пронормируем исходные данные о динамике цен Рл, ¡, Pt2, ¡, ..., Р,п, ¡, где Р^ 1 — для определенности медиана курса ьй валюты (далее в тексте — валюта) в к-м баре (здесь предполагается, что бары строятся на основе тиковых данных; это позволяет вычислять не только традиционные цены — цену откры-

АЛГОРИТМ «ЛИНЗА»

тия, закрытия, максимальную и минимальную, но и медиану и оценку меры разброса цен в баре); i — номер валюты, i = [1:т]. Для этого на заданном интервале времени k = [1:л] определим: Pi, max = max(Pk, ) и Pi, min = min(Pk, ) Нормировка осуществляется по формуле Pk , norm = -1 + 2(Ptki i -- Pi, min)/(Pi, max - Pi, min). Очевидно, Что

таким образом нормированные значения цен Ptk, , norm принадлежат отрезку [-1, +1] и являются величинами безразмерными. Тогда, после нормировки, можно определить расстояние между i-й и у-й валютами в настоящем баре как линейную метрику:

Di, j |Ptk, i, norm Ptk, j, norm1.

После нормировки полученные величины Ptk, ¡, norm позволяют оценить состояние каждой валюты в сравнении с их состоянием в предыдущем историческом периоде, а также провести анализ состояния различных валют. Действительно, сравнительный анализ значений нормированных цен дает возможность определить, какие из них «ниже» (меньше) и какие «выше» (больше) друг относительно друга в новом (нормированном) пространстве, а также оценить состояние каждой из них по отношению к их состоянию в прошлые моменты времени.

Суть алгоритма «Линза» заключается в следующем. Валютный рынок представляет