Использование методов численного интегрирования в моделях летательных аппаратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

могут быть признаны перспективными в силу своей универсальности.

Первый подход использует в основе математического описания краевые условия на границе исследуемой области и на границах разнородных в магнитном отношении сред. Методы, основанные на этом подходе, получили название «методов вторичных источников».

Преимущество этого метода проявляется в полной мере при расчёте магнитных систем с линейными свойствами элемента, так как область интегрирования при этом ограничивается их поверхностями.

Второй подход базируется на использовании общего интегрального выражения для напряжённости магнитного поля:

4-71 I г3 } г3

где Н — напряжённость магнитного поля; М — намагниченность ферромагнитных элементов; г — радиус-вектор, соединяющий точку наблюдения 0 с текущей точкой интегрирования А; п — внешняя нормаль к поверхности 5 в точке интегрирования.

Предположение о постоянстве поля векторов намагниченности позволяет свести расчёт магнитной системы к интегральному уравнению Фредгольма первого рода для одномерного поля намагниченности М и индукции В. Это допущение выполняется автоматически при использовании высококоэрцитивных постоянных магнитов с линейной характеристикой размагничивания [1].

В связи с изложенным возникает необходимость в разработке такой методики магнитостатического расчёта магнитных систем с кольцевым постоянным магнитом, которая позволяла бы рассчитывать поле магнитной муфты независимо от марки высококоэрцитивного постоянного магнита. При этом методика расчёта должна быть пригодна не только для реализации на ЭВМ, но и для инженерных методов расчёта ММ.

Следует заметить, что магнитостатический расчёт, позволяющий определить топографию магнитного поля в рабочем зазоре ММ, должен служить основой для разработки устройств с заданными характеристиками и не являться самоцелью. Только с такой точки зрения можно правильно оценить точность и эффективность методики применяемого магнитостатического расчёта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кирсанов, А. Г. Расчет магнитного поля в зазоре электрической машины с цилиндрическим магнитом на основе редкоземельных элементов / А. Г. Кирсанов, А. И. Гриднев // Изв. вузов. Электромеханика. — 1979. — № 5. — С. 433 — 435.

2. Каплун, А. Б. АИ8У8 в руках инженера: практическое руководство /А. Б. Каплун, Е. М. Морозов, М. А. Олферьева. — М.: Едиториал УРСС, 2003. -272 с.

3. Математика и САПР: В 2 кн.: пер. с франц. / П. Шенен, М. Каснар, И. Гардан и др. — М.: Мир, - 170 с.

198

А. С.

Кравчук, А. Ф. Коген-Далин, Е.

4. Чигаров, А. В. АЗУЭ для инженеров: справ, пособие / А. В. Чигаров, Смалкж. — М.: Машиностроение - 1, 2004. - 512 с.

5. Коген-Далин, В. В. Расчет и испытание систем с постоянными магнитами / В. В. Комаров. — М.: Энергия, 1977. - 248 с.

6. Методы конечных элементов и САПР: пер. с франц. / П. Шенен, М. Каснар, И. Гардан и др. — М.: Мир, 1989. - 190 с.

УДК 629.7.072.8 Лапшин Э.В., Трусов В.А.

ФГОБУ ВО Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В МОДЕЛЯХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Динамические системы, имитируемые в авиационных моделях, описываются в основном обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для реализации аналогов таких математических моделей в цифровых вычислительных машинах (ЦВМ) должен осуществляться переход к дискретному времени и соответствующим разностным схемам. Разностные схемы (по крайней мере, для нелинейных математических моделей) заимствуются чаще всего из арсенала численных методов интегрирования дифференциальных уравнений и вычисления квадратур. Эти методы относятся к классическим хорошо разработанным разделам вычислительной математики, а соответствующее программное обеспечение - к стандартному обеспечению ЦВМ. Однако проблемная ориентация на те динамические системы, которые характерны для моделей летательных аппаратов и ракетных комплексов, позволяет и здесь предложить новые алгоритмы и методы, требующие меньших вычислительных затрат при заданной точности.

Пусть динамическая система с непрерывным временем описывается векторным уравнением в форме Коши

х = / .

(1)

Здесь х е Я"

и е Я

вектор состояния; тор управления (входная величина).

Входная величина поступает от других систем и может считаться функцией времени и = и (() . Поэтому без ограничения общности можно рассматривать динамическую систему вида

(2)

/М-

Векторная функция / векторного аргумента может быть негладкой и даже разрывной (с разрывами

первого рода)

Это обусловлено либо способом ап-

проксимации реальных гладких характеристик (в частности, быстрой кусочно-линейной интерполяцией, создающей разрывы на границах элементарных ячеек), либо отражает сам вид этих характеристик. Последнее имеет место, например, при имитации системы автоматического управления (САУ) с существенными нелинейностями сухого трения и др. Текущее непрерывное время ( разбивается на инН и фиксируются моменты начала

тервалы (шаги каждого шага

= кН (к = 0,1,2,...) . Для краткости момент в дальнейшем часто обозначается просто к , а круглые скобки для дискретного аргумента заменяются квадратными: X(кН) = X[к] .

Из выражения (2) следует (к+1)Н

X[к +1] = х[к] + | /(X,()dt . (3)

кН

В табл. 1 приведены, формулы, вычислительные затраты на один шаг и оценки порядка точности (для одного шага) следующих известных традиционных методов численного интегрирования: метода Эйлера, метода Рунге-Кутта (четвертого порядка), метода Адамса (второго и третьего порядков), метода Симпсона (третьего порядка).

Методы Эйлера и Рунге-Кутта относятся к од-ношаговым, методы Адамса и Симпсона - к многошаговым методам численного интегрирования [ 1].

В оценке количества необходимых арифметических операций обозначает число операций для

однократного вычисл

ения /(х[к],к) .

Обычно N ^ п . Оценка порядка погрешности метода на одном шаге для гладких функций / обозначена в табл. 1 через О^ ( V =2,3,...).

Метод Эйлера требует наименьшего числа операций на один шаг + 2п , но даёт погрешность

Метод Рунге-Кутта чет-

второго порядка О^к2^ .

вертого порядка (четырёхточечный) требует приблизительно в 4 раза большего числа операций, но

обеспечивает пятый порядок погрешности О^к5^ .

Проблемы начальных условий для одношаговых методов не возникает (не требуется отдельная программа для начала решения). Классические методы численного интегрирования Таблица 1

обыкновенных дифференциальных уравнений

Наименование метода Вычислительные формулы Число арифме-ти-ческих операций на 1 шаг Оценка погреш-но-сти на шаге для гладких функций

Метод Эйлера x[k +1] = x[k ] + hf (X[k ], k) Nf + 2n о( h2)

Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка X [k + 1] = X [k] + +h/6 (d + 2d2 + 2d3 + d4), di = f (X[k], k), d2 = f (X[k ] + 0,5d, k + 0,5), d3 = f (X [k ] + 0,5d2, k + 0,5), d4 = f (x[k ] + d3, k +1). 4 Ny + 4n о( h5)

Метод Адамса второго порядка X [k +1] = X [k ] + h/ 2 [3 f (X [k ], k )--f (X[k -1], k -1)] Nf + 4n о( h3)

Метод Адамса четвёртого порядка X [k +1] = X[k ] + h 12 [23 f (X[k ], k) - -16f (X[k -1], k -1) + +5f (X[k - 2], k - 2)] Nf + 7n о( h4)

Метод Симпсона третьего порядка X [k + 1] = X [k ]+ h [ f ( X [k ], k )--3/2 f (X[k -1], k -1) + +1/2 f (x[k - 2], k - 2)] Nf + 6n о( h3)

Приведённые в табл. 1 варианты многошаговых по вычислительным затратам

мало отличаются от метода Эйлера. Для них количество арифметических операций слабо увеличивается с возрастанием порядка метода V , погрешность же, как обычно, уменьшается в степенной

Однако многошаговым методам

методов при N ^ п

пропорции о(НУ) .

присуще дополнительное сглаживание (усреднение) входных воздействий, в том числе управляющих. Многошаговые методы требуют специальной программы (одношагового алгоритма) для "запуска" (определения начальных условий). Несмотря на это, они применяются в авиационных тренажёрах.

Так, в четвертой базовой конструкции применяется метод Симпсона третьего порядка, указанный в табл. 1.

Такой выбор в значительной мере определяется условиями располагаемой вычислительной производительности и затратами на вычисление / при традиционных методах аппроксимации функций многих переменных.

Так, для современных тренажёров суммарное число (для всех динамических систем) при

традиционных методах аппроксимации может составлять десятки тысяч арифметических операций. В этих условиях применение, например, метода Рунге-Кутта четвертого порядка даже для сравнительно большого шага ( к = 0,03 с) предъявляет чрезмерные требования к быстродействию ЦВМ.

Двухканальный метод быстрого численного интегрирования [2, 3] базируется на существовании при "замораживании" некоторой группы переменных состояния исходной модели явного аналитического

решения и линеаризации относительно этого решения.

При численной реализации аналитическое решение вычисляется с большим шагом h и называется опорным. Линеаризованное движение интегрируется с малым шагом h = ha/qm ( — целое число).

Таким образом, вычислительный процесс здесь является двухканальным и двухшаговым. Рассмотрим систему вида

х = f(x,u) =f(jc57(jc5m)) , ( 4 )

где f,F,Y — дифференцируемые вектор-функции указанных аргументов.

Предполагается, что существуют такие X = X, u =u (в общем случае — функции времени), при которых

Y (X, u ) = Y = const , (5)

и что уравнение

х =F(x,Y) = const ( б)

имеет аналитическое решение

X(t) = X(X(t0),t-t0,Y0) . (7)

Это решение на каждом интервале длительностью h рассматривается как опорное и относительно него производится линеаризация системы (4). А именно, полагая X = X + АX, u = u + Au , из (4), (5), (6) получаем с точностью до малых второго порядка относительно АX, Au :

Ax = /-(X,M)AX + /-(X,M)AW , (8)

где , - матрицы Якоби, вычисленные на опорном движении.

Матрицы Якоби , зависят от времени. Как показывает опыт моделирования, эта нестационарность достаточно эффективно учитывается путём линейного приближения:

/ЛМ =—{/л*] - V)+Л [*+1М,

1ш

11к=—{/- Шчш -у)+/Лк+•

1ш

(11)

(12)

Если для численного интегрирования (8) применяется метод Эйлера, то разностная схема будет иметь вид

Ах\к,у +1] = Ах\к,у\ + кл/х [к,у] кх\к,у\ + +кЛ[к^]Аи[к,у],

(13)

4) Рассчитываются /х [0], /х [1], / / [1] •

5) По формулам (11), (12) вычисляются

ЛМ,/Л<Н.

6) По формулам(13) , (14) определяются

А л: [ОД], Ах[0,2],.Ах[0,дш-\].

7 ) Завершается цикл вычислением ^[1] по формуле

х[к] = 1[к] + Ах[к-\,дш-\] .

и т.д.

Выигрыш в вычислительных затратах при равной с традиционными методами точности вычислений получается в силу следующего. Опорное движение по условию определяется аналитически и точность его

вычисления не зависит от

к

Вследствие этого

Выходными величинами являются величины:

[к ,у]~ и [к ], Ах [к ,0 = 0] . (14) к - го цикла алгоритма

Аи [к

ве ичи

Выражения (9) - (14) описывают полный цикл алгоритма вычислительного процесса на большом шаге. А именно:

1) Начальное значение вектора управления

и[0]= и [0] + Аи [0,0]

распределяется между и [0] и Аи[0,0] произвольным образом, но так, чтобы норма || А и [0,0] была

достаточно мала.

2) По формуле (

чений х [0] и и [0]

3) По формуле вычисляется х [1] .

большой шаг может быть значительным по величине.

Линейное приближение внутри большого шага вычисляется с достаточно малыми шагами Н , что

определяет малые запаздывания и малые динамические ошибки.

При сравнении двухканального метода с традиционными методами в отношении вычислительных затрат необходимо учитывать, что при описанном варианте двухканального метода вычислительные затраты по времени распределяются неравномерно: максимум приходится на начало каждого большого шага. Поэтому сравнение следует проводить как

к)

вычислительных

средних (например, за время затрат, так и пиковых оценок затрат.

Если же использовать менее экономичные спо-

9) на основании начальных зна-вычисляется

собы аппроксимации правых частей,

то

Ч

Г [0] .

10)

на основании

х I

[0] и ¥0 [0]

тематической модели может составлять тысячи единиц. Даже при указанном быстром методе интерполяции в сочетании с методом Рунге-Кутта четвёртого порядка, который применяется для снижения погрешности от конечности к до уровня (20), при

р =4

величина

Мн имеет порядок 2500.

ЛИТЕРАТУРА

1. Корн, Г. Справочник по математике: Для научных работников и инженеров/ Г. Корн, Т. Корн. -М.: Наука, 1974. - 832 с.

2. Красовский, А. А. Двойная линеаризация и быстрое численное моделирование нелинейных динамических систем./ А.Н. //ДАН СССР, 1989. - Т. 308. - №6. С. 115-122.

3. Красовский, А. А. Математическое моделирование динамики полёта летательного аппарата./А.А. Красовский, Э.В. Лапшин, Н.К. Юрков// Монография. Под редакцией Э. В. Лапшина - Пенза: Изд. ПФ РГУ ИТП, 2008. - 260 с.

УДК 621.396.6.001.2 Петров В.В., Наумова И.Ю.

ФГОБУ ВО Пензенский государственный университет, Пенза, Россия

КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ КОНСТРУИРОВАНИЯ КАК ОСНОВА ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА РЭС

Автоматизация процесса конструирования радиоэлектронных средств повышает качество проектных решений. Рассматриваются методы конструирования, позволяющие использовать автоматизированное проектирование. Ключевые слова:

геометрический метод, машиностроительный метод, топологический метод

Анализ большого количества конструкторских решений РЭС связан с автоматизацией процесса проектирования.

Автоматизация проектирования и конструирования связана с необходимостью анализа многих конструкторских решений и обоснования выбора лучшего варианта конструктивного исполнения.

Наличием взаимосвязанных этапов разработки электронных схем, конструкции, технологии изготовления, обусловлена сложность процесса проектирования современных радиоэлектронных средств (РЭС). Схемотехническое исполнение во многом определяет выбор конструктивных решений и технологические ограничения при изготовлении РЭС.

Качество конструкции зависит от выбора метода конструирования [1, 2]. Методы конструирования РЭС по видам связи элементов и их структурной

организации их структуры подразделяются на три взаимосвязанные группы (рисунок 1) [3]:

— по видам связей между элементами;

— по способу выявления и организации структуры связей между элементами;

— по степени автоматизации выявления структуры связей между элементами.

Выбор методов конструирования РЭС зависит от многих факторов: назначения аппаратуры; выполняемых функций; преобладающего вида связей; уровня унификации; возможности автоматизации проектировании; других.

При конструировании устройств с использованием интегральных схем (ИС) находит применение топологический метод (преобладают физические связи), функционально-модульный (в качестве функциональных модулей используются ИС), авто-

Далее следует цикл второго большого шага к

а