CC BY
63
УДК 621.317
В.М. Тиссен, Е.А. Туголукова
ФГУП «СНИИМ», СГГА, Новосибирск
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО В ИМИТАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕСТАБИЛЬНОСТИ КВАНТОВЫХ ЧАСОВ
В данной работе приведен алгоритм формирования стохастических временных рядов с произвольными статистическими характеристиками, использующий метод Монте-Карло. Получены средне - арифметическая оценка математического ожидания и оценка с учетом взаимосвязей между соседними измерениями, показавшие целесообразность использования последней как более оптимальной.
V.M. Tissen, E.A. Tugolukova
Siberian Scientific-Research Institute of Metrology (SNIIM)
4 Dimitrova UI., Novosibirsk, 630004, Russian Federation, SSGA, 10 Plahotnogo UI, Novosibirsk, 630108, Russian Federation
USING MONTE-CARLO SIMULATION OF QUANTUM INSTABILITY HOURS
In this paper we present an algorithm for the formation of stochastic time series with arbitrary statistical properties, using the Monte-Carlo method. Obtained in the middle of the arithmetic evaluation of the expectation and taking into account the interactions between neighboring measurements, which showed the feasibility of using the latter as a more optimal.
Постоянный рост требований к точности определения и прогнозирования элементов орбит НКА (навигационных космических аппаратов) ГЛОНАСС приводит к совершенствованию технических средств и методов навигационных измерений. Из существующих в настоящее время радиотехнических методов измерения расстояния для навигационных технологий наиболее перспективными являются беззапросные. Обязательным условием их проведения является наличие высокостабильных часов на измерительных станциях и НКА, шкалы которых согласованы со шкалой центрального синхронизатора КНС. Выполнение данного условия с высокой точностью является сложной задачей решение, которой развивается в двух направлениях:
1) Установка на КА и наземных беззапросных измерительных станциях (БИС) более совершенных высокостабильных атомных часов;
2) Создание и оптимизация алгоритмических методов внесения частотновременных поправок в часы БИС и КА, компенсирующих их уход от номинала.
Первый путь сопряжен со значительными затратами, так как предполагает создание и внедрение новых разработок в области нано-технологий (новые поколения активных и пассивных водородных стандартов частоты, фонтанные часы).
Второй путь не требует затрат на создание дорогостоящих средств измерений, так как его развитие, прежде всего, связано с совершенствованием математических моделей нестабильностей ухода квантовых часов от номинала. Принято представлять уход квантовых часов путём аппроксимации в виде суммы двух составляющих[2].
ATn(t) = s(t) + w(t), А Тп (i0) = А Тпо ,te[t0,tk], (1)
связывающего уход часов БИС ATn(t) с характеристиками долговременной s(t) и кратковременной w(t) нестабильностей частоты генератора часов. [1] Однако при создании имитационной модели часов необходимо разложить модель (1) на элементарные процессы дискретизированные во времени или в пространстве. Для реализации такого процесса нами предложен метод Монте-Карло, который основан на моделировании случайных процессов с помощью большого числа статистических испытаний. [4] Для решения задачи нестабильности ухода часов построена вероятностная модель, в виде математического ожидания функционала от случайного процесса. С её помощью моделируются массивы случайных величин с заданными распределениями.
Формирование массивов случайных чисел с различными СКО для заданных интервалов можно получить с помощью программного генератора случайных чисел (ГСЧ). Суперпозиция этих массивов происходит по схеме приведенной на рис. 1, поясняющей принцип работы алгоритма.
ГСЧ
r1 r2 r3 Гд r5 Гб
Модель часов х, = fit, r15r2
Массив показаний часов X; за время моделирования тт
____ X ________
Статистическая обработка результатов моделирования анализатором Аллана
Рис. 1. Принцип работы алгоритма
Для формирования временного ряда случайных чисел использована стандартная рекуррентная процедура:
х;=хы+8х;, (2)
t
где X; - вариация хода часов в момент времени ; 8х, - случайная величина, определяющая СКО ухода часов.
Особенность предлагаемого алгоритма состоит в том, что величина 8х, на каждом шаге рассчитывается следующим образом:
•/о -до
<&,- - I . ^, (3)
',-1 *0
/о - до
где -------------= / (О - относительная вариация частоты задающего
./ о
генератора.
С учетом (3) формула (2) примет вид:
x; = ^г_1 +
¡Y(t)dt, (4)
t,.
где в соответствии с табл. 1 функцию Y (t) можно представить в виде:
б
до = Z У] (0; у j (0 =, (5)
м
где Uj = kj • Vj , - массивы нормально распределенных чисел для j
интервала; v - нормально распределенные случайные числа с СКО =1 и
нулевым математическим ожиданием, рассчитываемые по формуле (1); k "
коэффициенты пропорциональности, устанавливающие связь между фактическими значениями дисперсий квантовых часов на шести интервалах времени 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 секунд и вариациями Аллана от отдельных составляющих ряда (5).
В настоящее время оценка математического ожидания (МО) частоты квантовых генераторов производится по ее среднеарифметическому значению за анализируемые интервалы времени.
Такая оценка может быть не оптимальной. Оптимальная оценка МО должна учитывать корреляционные связи между соседними измерениями по формуле приведённой в [3].
тх = СIх R~4yl ITRlX, (6)
где тх - оптимальная оценка МО; I - единичный вектор с компонентами, равными 1; 1Т - единичный транспонированный вектор; /Г1 - обратная матрица корреляционной функции; X - вектор, содержащий данные измерений.
В корреляционной матрице R для стахостических временных рядов, сформированных с помощью выше описанного алгоритма моделированием на ЭВМ достаточно учесть взаимосвязи между 4 соседними показаниями разности частот. Тогда матрицу R можно записать в виде:
Г11 Г12 Г13 Г14 0 0 0 0 0 0 ^
Г12 Г11 Г12 Г13 Г14 0 0 0 0 0
Г13 Г12 Г11 Г12 Г13 Г14 0 0 0 0
Г14 Г13 Г12 Г11 Г12 Г13 Г14 0 0 0
0 Г14 Г13 Г12 Г11 Г12 Г13 Г14 0 0
0 0 Г14 Г13 Г12 Г11 Г12 Г13 Г14 0
0 0 0 Г14 Г13 Г12 Г11 Г12 Г13 Г14
0 0 0 0 Г14 Г13 Г12 Г11 Г12 Г13
0 0 0 0 0 Г14 Г13 Г12 Г11 Г12
0 0 0 0 0 0 Г14 Г13 Г12 г11)
Г12 > Г13 , Г14 - коэффициенты корреляц
Элементы корреляционной матрицы (7) рассчитываются по формуле.
Гу = НиЕ™!*!*; (8)
где у - значение часов на моменты времени от 1 до 24 часов.
Результаты расчётов приведены в графическом виде на рис. 2 и отображают поведение нормированной корреляционной функции на интервале её исследования.
Рис. 2. График нормированной корреляционной функции
Соответствующие оценки МО, рассчитанные по средне - арифметическому и по формуле (6) приведены в таблице.
Таблица Сравнения оценок М(х) полученных двумя методами.
генерируемые временные ряды Оценки МО 1-2 1-3 2-3 1-4
Средне арифметическая оценка М(х) 1,44E-14 8,94E-14 3,68E-13 7,58E-14
Оценка М(х) с учётом корреляционных связей 1,56E-14 9,18E-14 3,87E-13 7,71E-14
Анализируя полученные результаты можно сделать следующие выводы:
1) Отмечается систематическое различие в оценках МО во всех 4-х случаях (см. Табл. 1), что подтверждает целесообразность применения формулы (6) для расчёта оптимальных оценок МО;
2) Рассчитанные значения корреляционной функции показывают устойчивость корреляционных связей между 4-мя соседними измерениями для всех анализируемых временных рядов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Тиссен, В.М. Математические модели нестабильности КСЧ [Текст] / В.М. Тиссен, А.С. Толстиков // материалы VII Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения, АПЭП-2004». -Новосибирск: НГТУ, 2004. - С. 263-269.
2. Одуан, К. Измерение времени. Основы GPS [Текст] / К. Одуан, Б. Гино // перевод с английского Домнина Ю.С. под редакцией Татаренкова В.М. - М.: Техносфера, 2002. - 400 с.
3. Виленкин, С.Я. Статистическая обработка результатов исследования [Текст] / С.Я. Виленкин // случайных функций. - М.: Энергия, 1979. - 320 с.
4. Ермаков, С. М. Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло) [Текст] / С.М. Ермаков // М., 1962. - 244 с.
© В.М. Тиссен, Е.А. Туголукова, 2011
