Имитационная модель нестабильности атомных часов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

УДК 681.783.25

ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАБИЛЬНОСТИ АТОМНЫХ ЧАСОВ

Виктор Мартынович Тиссен

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доцент кафедры метрологии, стандартизации и сертификации, тел. (983)134-86-09, e-mail: tissen@mail.ksn.ru

В данной работе приведен алгоритм формирования стохастических временных рядов с произвольными статистическими характеристиками, использующий метод Монте-Карло. Получены средняя арифметическая оценка математического ожидания и оценка с учетом взаимосвязей между соседними измерениями, показавшие целесообразность использования последней как более оптимальной.

Ключевые слова: моделирование, часы, нестабильность, рекуррентный процесс, метод Монте-Карло, вариации Алана, математическое ожидание, корреляция.

SIMULATION MODEL OF INSTABILITY OF ATOMIC CLOCK

Viktor M. Tissen

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., senior lecturer of chair of metrology, standardization and certification, tel. (983)134-86-09, e-mail: tissen@mail.ksn.ru

In this paper we present an algorithm for the formation of stochastic time series with arbitrary statistical properties, using the Monte Carlo method. Obtained in the middle of the arithmetic evaluation of the expectation and taking into account the interactions between neighboring measurements, which showed the feasibility of using the latter as a more optimal.

Key-words: modeling, clock, instability, recurrent process, Monte-Carlo method, Allan variance, mathematical expectation, correlation.

1. Актуальность темы исследований

Постоянный рост требований к точности определения и прогнозирования элементов орбит навигационных космических аппаратов (НКА) ГЛОНАСС приводит к совершенствованию технических средств и методов навигационных измерений. Из существующих в настоящее время радиотехнических методов измерения расстояния для навигационных технологий наиболее перспективными являются беззапросные. Обязательным условием их существования является наличие высокостабильных часов на измерительных станциях и НКА, шкалы которых согласованы со шкалой центрального синхронизатора космических навигационных систем (КНС). Выполнение данного условия с высокой точностью является сложной задачей, решение которой развивается в двух направлениях:

1) установка на НКА и наземных беззапросных измерительных станциях (БИС) более совершенных высокостабильных атомных часов;

107

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

2) создание и оптимизация алгоритмических методов внесения частотновременных поправок в часы БИС и НКА, компенсирующих их уход от номинала.

Первый путь сопряжен со значительными затратами, так как предполагает создание и внедрение новых разработок в области нанотехнологий (новые поколения активных и пассивных водородных стандартов частоты, фонтанные часы).

Второй путь не требует затрат на создание дорогостоящих средств измерений, так как его развитие, прежде всего, связано с совершенствованием математических моделей нестабильности ухода квантовых часов от номинала.

2. Алгоритмы нестабильности хода атомных часов

Принято представлять уход квантовых часов путем аппроксимации в виде суммы двух составляющих [1]

аТп (t) = s(t) + w(t X АТп (to) = АТп (, t G[t0, tk X (1)

связывающей уход часов БИС АТп (t) с характеристиками долговременной s(t) и кратковременной w(t) нестабильности частоты генератора часов [1].

При создании имитационной модели часов необходимо разложить сложный процесс ухода часов (1) на элементарные процессы, дискретизированные во времени или в пространстве. Решение этой задачи можно осуществить с помощью метода Монте-Карло - численного метода решения математических задач, основанного на моделировании случайных величин и построении статистических оценок для искомых величин за счет большого числа испытаний. В случае моделирования нестабильности хода атомных часов с заданными поин-тервальными вероятностными распределениями, необходимо выполнить преобразования одного или нескольких независимых значений случайного числа А, распределенного равномерно в интервале (o, 1) [2].

Для моделирования нестабильности хода атомных часов на суточном интервале была использована суперпозиция шести случайных процессов: r1, r2,... r6, - соответственно относящихся к интервалам времени 1,10, к 105се-кунд, сформированных с помощью стандартного программного генератора случайных чисел, согласно схеме, приведенной на рис. 1.

Для построения алгоритма хода часов используется рекуррентный процесс:

xi = Xi_! + foT + , (2)

где xi - ход часов в момент времени tt; f0 - номинальная частота генератора; t - интервал дискретизации;

5хг - случайная величина, определяющая СКО ухода часов.

108

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Рис. 1. Структурная схема построения имитационной модели часов

Для группы случайных процессов, порождающих общую нестабильность хода атомных часов, уравнение (2) можно записать в виде:

N

xi = xi-1 + /0t + Y.dxi / > j=1 1

где 1 = 1, 2... N - номер составляющей случайного процесса.

Величина Sx.. на каждом шаге i имитации хода часов для каждой состав-

1 ,i

ляющей j рассчитывается по формуле:

ti

dxji = j yj d, (3)

ti-1

где yj ,i =

относительная вариация частоты генератора для каждой

составляющей процесса - имеет статистические характеристики, определяющие параметры нестабильности хода модели часов на каждом интервале времени.

С учетом (3) формула (2) примет вид:

ti

xi = Xi-1 + /ot+ j Y (t )dt,

tt-1

(4)

109

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

где, в соответствии с табл. 1, функцию Y (t) можно представить в виде:

6

(5)

j=1

где Uj г- = kj ■ Vj г- - массивы нормально распределенных чисел для j интервала;

Vj ( - нормально распределенные случайные числа с СКО = 1 и нулевым

математическим ожиданием, рассчитываемые по формуле (1);

kj - коэффициенты пропорциональности, устанавливающие связь между

фактическими значениями дисперсий квантовых часов на шести интервалах времени 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 секунд и вариациями Аллана от отдельных составляющих ряда (5).

Приведенный алгоритм позволяет имитировать на ЭВМ случайный процесс ухода шкалы атомных часов от номинала для всех возможных вероятностных распределений. В результате появляется возможность выполнить проверку на адекватность физических моделей нестабильностей атомных часов, основанных на оценках вкладов дисперсий от отдельных видов шумов задающего генератора в общую оценку дисперсии случайного процесса ухода часов [1]. В этом контексте рассматриваемую имитационную модель можно использовать в качестве программного средства метрологического контроля известных и вновь разрабатываемых физических моделей атомных часов.

3. Оптимальная оценка частоты квантового генератора

С помощью описанного программного средства формирования временных рядов с заданными характеристиками нестабильности исследуем вопрос по выбору оптимальных оценок математического ожидания (МО) частоты квантовых генераторов.

В существующей практике служб времени оценка МО частоты квантовых генераторов производится по ее среднему арифметическому значению за анализируемые интервалы времени. Такая оценка будет не оптимальной, если между соседними измерениями присутствуют корреляционные связи. При наличии таких связей для расчета оптимальной оценки МО используется формула, приведенная в [3]

где mX - оптимальная оценка МО;

I - единичный вектор с компонентами, равными 1; IT - единичный транспонированный вектор;

R-1 - обратная матрица корреляционной функции; X - вектор, содержащий данные измерений.

mX = (lTR ~lI) 1ITR—X,

-1

Tn-1

(6)

110

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

В корреляционной матрице R при использовании стохастических временных рядов, полученных на ЭВМ с помощью приведенного в предыдущем пункте алгоритма, достаточно учесть взаимосвязи между 4 соседними показаниями разности частот. Тогда матрицу R можно записать в виде:

f r А11 Г12 ri3 ri4 0 0 0 0 0 0 N

Г12 r11 ri2 ri3 ri4 0 0 0 0 0

Г13 Г12 ri1 ri2 ri3 ri4 0 0 0 0

Г14 ri3 ri2 ri1 ri2 ri3 ri4 0 0 0

R^,. 0 ri4 ri3 ri2 ri1 ri2 ri3 ri4 0 0

n*n 0 0 ri4 ri3 ri2 ri1 ri2 ri3 ri4 0

0 0 0 ri4 ri3 ri2 ri1 ri2 ri3 ri4

0 0 0 0 ri4 ri3 ri2 ri1 ri2 ri3

0 0 0 0 0 ri4 ri3 ri2 ri1 ri2

V 0 0 0 0 0 0 ri4 ri3 ri2 r11,

(7)

где ru, r12, r13, r14 - коэффициенты корреляции.

Элементы корреляционной матрицы (7) рассчитываются по формуле

n m

r = ЕЕ XiXj, (8)

i=1 j=1

где i, j - значение часов на моменты времени от 1 до 24 часов.

Результаты расчетов приведены в графическом виде на рис. 2 и отображают поведение нормированной корреляционной функции на интервале ее исследования.

Рис. 2. График нормированной корреляционной функции

ill

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Соответствующие оценки МО, рассчитанные по среднему арифметическому и по формуле (6), приведены в таблице.

Таблица

Сравнения оценок М(х), полученных двумя методами

Г енерируемые временные ряды Оценки МО 1-2 1-3 2-3 1-4

Средняя арифметическая оценка М(х) 1,44E-14 8,94E-14 3,68E-13 7,58E-14

Оценка М(х) с учетом корреляционных связей 1,56E-14 9,18E-14 3,87E-13 7,71E-14

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы:

1) отмечается систематическое различие в оценках МО во всех 4 случаях (см. таблицу), что подтверждает целесообразность применения формулы (6) для расчета оптимальных оценок МО;

2) рассчитанные значения корреляционной функции показывают устойчивость корреляционных связей между 4 соседними измерениями для всех анализируемых временных рядов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Одуан К., Гино Б. Измерение времени. Основы GPS / Пер. с англ. Домнина Ю.С.; под ред. Татаренкова В.М. - М.: Техносфера, 2002. - 400 с.

2. Ермаков С.М. Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло). - М., 1962. -

244 с.

3. Виленкин С .Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных функций. - М.: Энергия, 1979. - 320 с.

Получено 06.11.2010

© В.М. Тиссен, 2011

112