Использование метода Монте-Карло при определении метрологических характеристик стандартных образцов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ МЕТРОЛОГИчЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТАНДАРТНЫХ ОБРАЗЦОВ

Д. П. Налобин, Е. В. Осинцева, И. А. Измоденов

Предложен способ определения метрологических характеристик стандартных образцов, основанный на применении метода Монте-Карло путем статистического моделирования процедуры установления аттестованных значений стандартных образцов, стандартной и расширенной неопределенности аттестованных значений.

Ключевые понятия: определение метрологических характеристик; стандартные образцы; метод Монте-Карло. Key concepts: determination of metrological characteristics; certified reference materials; Monte Carlo method.

В соответствии с законом об обеспечении единства измерений [1] работы по определению метрологических и технических характеристик однотипных стандартных образцов (СО) определены как процедура испытания СО. Аттестованное значение СО — одна из метрологических характеристик, определяемая при испытании СО. В настоящее время существуют следующие способы установления аттестованного значения [2]:

a) по результатам межлабораторного эксперимента;

b) с использованием эталонов;

c) с использованием аттестованной методики;

d) по процедуре приготовления.

В способах а) — с) аттестованное значение СО и неопределенность от способа установления аттестованного значения СО оценивают по результатам измерений аттестуемой характеристики в пробах материала СО. В этих двух случаях различие в способах выражается только в применении различных алгоритмов обработки полученных результатов измерений для оценивания аттестованного значения СО и его неопределенности.

В способе d) аттестованное значение СО оценивают по уравнению, вид которого зависит от процедуры приготовления материала СО и используемых исходных материалов для его приготовления. Для СО, материал которых приготавливают смешиванием двух исходных материалов, алгоритмы оценивания аттестованных значений СО и их стандартных неопределенностей приведены в [2]. При выводе формул для расчета стандартных неопределенностей аттестованных значений СО использовали «закон распространения неопределенностей» [3]. В соответствии с этим законом суммарная стандартная неопределенность ис величины у, оцененной по значению входных величин х. по уравнению:

y = Ях19 ..., х),

(1)

вычисляется по стандартным неопределенностям входных величин u(x ):

к(у) =

п

S

7=1

df_ дх

м2(х). (2)

Научно-методическая концепция

9

Если есть уравнение измерения для вычисления аттестованного значения СО, то возможен и другой способ определения метрологических характеристик СО с использованием процедуры статистического моделирования (метод Монте-Карло). Возможность использования этого способа допускается в Руководстве ИСО 35 [4], где отмечено, что в некоторых ситуациях «можно использовать другие статистические методы, включая метод Монте-Карло».

Этот метод позволяет на основе аналитического описания объекта моделировать поведение выходной величины с учетом случайного изменения входных величин. Для этого с помощью генератора случайных чисел задаются значения входных величин для первого испытания и вычисляется значение выходной величины. Затем задаются значения входных величин для второго испытания и вычисляется соответствующее значение выходной величины и т. д. В результате проведенных испытаний получается совокупность значений выходной величины. С помощью статистического анализа оценивается закон распределения этой совокупности и его параметры [5].

Схема использования метода Монте-Карло при исследовании систем со случайными параметрами представлена на рис.1.

На рис.1 использованы следующие обозначения:

ГСЧ — генератор случайных чисел;

ПЗСЧ — преобразователь закона случайных чисел;

БВСХ — блок вычисления статистических характеристик;

БОД — блок оценки достоверности.

Построив модель системы со случайными параметрами, на ее вход подают входные сигналы от генератора случайных чисел. Генератор случайных чисел устроен так, что он выдает равномерно распределенные случайные числа из интервала [0; 1]. Так как каждая входная величина имеет свою функцию распределения, то равномерно распределенные случайные числа от генератора подают на преобразователь закона случайных чисел, который преобразует их в заданный пользователем закон распределения вероятности, например, в нормальный или равномерный закон с заданными параметрами функции распределения. Эти преобразованные случайные числа подают на вход модели. Модель отрабатывает входной сигнал по некоторому закону и получает выходной сигнал, который также является случайным.

Далее выходной сигнал поступает на блок вычисления статистических характеристик, где происходит статистическая обработка результатов эксперимента. Это позволяет сделать выводы о статистических свойствах моделируемого объекта.

Если же поставлена задача оценки параметров функции распределения выходной величины с заданной точностью, то к описанной выше схеме необходимо добавить еще одну составляющую — блок оценки достоверности, в котором происходит оценка соответствия результата опыта предъявляемым к нему требованиям. Если требуемые параметры выходных данных имеют точность не меньше заданной, то результаты эксперимента принимают в качестве ответа, в противном случае генерацию случайных

Рис. 1. Схема использования метода Монте-Карло

10

Научно-методическая концепция

входных воздействий продолжают, и процесс моделирования повторяется.

При установлении аттестованного значения СО по процедуре приготовления имеются две группы входных величин: 9 значения аттестуемой характеристики в исходных веществах, используемых для приготовления материала СО; 9 количества исходных веществ (массы, объемы).

Аттестованное значение СО А оценивают по оценкам входных величин, используя зависимость по уравнению [6]:

А = ..., хп, q1? ..., q})

(3)

где х, ..., хп — оценки значения аттестуемой характеристики в исходных веществах, д,,..., — измеренные при приготовлении материала СО количества исходных веществ, определенные с применением поверенных средств измерений.

В качестве исходных веществ могут быть использованы материалы других СО или вещества с известными значениями аттестуемой характеристики, полученными по результатам измерений по аттестованной МВИ. И в том, и в другом случае значения аттестуемой характеристики оценивают средним значением, поэтому можно принять закон распределения /-ой входной величины нормальным со средним значением х. и стандартным отклонением, равным стандартному отклонению х ..

Сведения о параметрах распределений величин обычно получают из эксплуатационной документации на весы или мерную посуду, в которых обычно заданы границы погрешности в виде интервала ±Д..

В этом случае предполагают обычно равномерное или треугольное распределения значений входных величин на интервале [7]:

где — величина взвешивания или измерения объема исходных веществ для приготовления материала СО.

Рассмотрим применение метода Монте-Карло на примере определения метрологических

характеристик СО по процедуре приготовления. В качестве примера возьмем один из четырех способов приготовления материала СО, рассмотренных в работе [2]: исходные материалы — порошки, метод приготовления — механическое перемешивание.

Пример. Для исходных веществ известны значения массовых долей аттестуемого компонента с1, с2 и их значения различны (с1 < с2). Значение аттестуемой характеристики СО А можно задать в интервале с1 < А < с2. При смешивании двух навесок исходных веществ аттестованное значение СО в полученной смеси вычисляем по формуле:

л= crmi+c2'm2

тл +т2

(4)

где т1, т2 — массы навесок первого и второго исходного вещества.

После выполнения смешивания необходимо оценить качество этой процедуры. Для этого оцениваем в соответствии с рекомендациями [8] стандартную неопределенность, обусловленную неопределенностью ик, и массу наименьшей представительной пробы т0. Неопределенность значений аттестуемой характеристики в пробах приготовленного материала СО массой т0 имеет два источника неопределенности: 9 неопределенность результатов измерений массовых долей аттестуемого компонента в исходных веществах; 9 неопределенность, обусловленную неопределенностью материала СО. Если массовая доля компонента в первом исходном материале значительно меньше массовой доли аттестуемого компонента во втором исходном материале (с, < с2), то вклад неопределенности от неоднородности в неопределенность аттестованного значения СО можно учесть, полагая для стандартного отклонения с2:

°2 = ft

2 . 2

С, +Uh

(5)

где а

с9

стандартное отклонение результата

измерения массовой доли аттестуемого компонента во втором исходном материале;

Научно-методическая концепция

11

ик — стандартная, обусловленная неопределенностью от неоднородности материала СО.

Предположения относительно функций распределения входных величин приведены в таблице 1.

В таблице 1 приняты следующие обозначения для параметров функции распределения: ^— математическое ожидание; о2— стандартное отклонение, вычисленное по формуле (5);

а — нижняя граница интервала равномерного распределения;

Ь — верхняя граница интервала равномерного распределения.

В качестве значения математического ожидания для величин ех и с2 принимаем массовые доли аттестуемого компонента в исходных веществах.

После реализации п-го цикла испытаний в методе Монте-Карло по полученным с помощью ПЗСЧ значений входных величин вычисляем аттестованное значение СО по формуле:

Щп+т2п

(6)

Для полученных значений по результатам п циклов испытаний вычисляем параметры распределения аттестованного значения (среднее значение, стандартное отклонение) и квантили распределения порядка а/2 и 1 - а/2.

Для вычисления средних значений и стандартных отклонений оцениваем накопленные

суммы аттестованных значений 8А и квадратов аттестованных значений ££ следующим образом.

После проведения первого испытания полагаем:

(7)

После второго испытания вычисляем сум-

мы:

среднее значение и стандартное отклонение:

1

-—(5Й?2-2-4). (9)

Перед проведением каждого п-го испытания запоминаем полученные после проведения (п - 1)-го испытания значения аттестуемой характеристики Ап1, среднее значение Ап1 и стандартное отклонение £п-1.

После проведения п-го испытания вычисляем суммы:

средние значения аттестуемой характеристики Ап и стандартное отклонение Sn:

п V п-\

(Ж„-яЧ2). (11)

Сравниваем полученные значения аттестуемой характеристики и стандартного отклонения

Таблица 1

Функции входных величин для примера

Входная величина Единица измерения Тип распределения Параметры функции распределения

с1 % равномерное а = 0; Ь = 0,02

С2 % нормальное ц = 5,00; о2 = 0,09

г равномерное а = 99,99; Ь = 100,01

т2 г равномерное а = 1,997; Ь = 2,003

12

Научно-методическая концепция

после проведения (п - 1)-го и п-го испытания, проверяя выполнение неравенств:

К-4,-1

■ViP6,

(12)

где 8А, — заданные перед началом испытания точности оценок аттестованного значения СО и стандартного отклонения аттестованного значения СО.

Если неравенства (12) выполняются, испытания заканчиваем и в качестве аттестованного значения СО и стандартной неопределенности аттестованного значения СО принимаем:

А = Ап, и(А) = *п. (13)

Для оценивания расширенной неопределенности используем ее определение как «интервал вокруг результата измерений, в пределах которого, как можно ожидать, находится большая часть распределения значений, которые с достаточным основанием могли бы быть приписаны измеряемой величине» [3]. Оценить расширенную неопределенность значит оценить границы этого интервала для заданного уровня доверия а. Границы интервала, симметричного по вероятности, определяем квантилями порядка а/2 и 1 - а/2.

Квантили порядка а/2 и 1 - а/2 по полученным после проведения п циклов испытаний значениям аттестуемой характеристики оцениваем следующим образом:

— упорядочиваем по возрастанию значения аттестуемой характеристики в ряд:

A < A < ... < A < ... < A ,

Л(1) - (2) - ^(/) - - Л(п)'

вычисляем номера:

а -п

л а \ «•(1-у)

(14)

(15)

где [х] означает целую часть числа х,

— оцениваем квантиль порядка а/2 по значению аттестуемой характеристики из ряда (14) с номером д:

(16)

Za/2 A(q)'

— оцениваем квантиль порядка 1 - а/2 по значению аттестуемой характеристики из ряда (14) с номером р:

*1 - а/2 = Ар, (I7)

— вычисляем расширенную неопределенность по формуле:

(18)

— вычисляем коэффициент охвата для уровня доверия 1 - а для полученного распределения:

П(А)

и(А)

(19)

Таблица 2

Сравнение оценок метрологических характеристик СО

Метрологические характеристики Оценки метрологических характеристик

Методом Монте-Карло По формулам из [2]

Аттестованное значение СО, % 0,1078 0,1079

Стандартная неопределенность аттестованного значения СО, % 0,00593 0,00595

Расширенная неопределенность аттестованного значения СО для уровня доверия 0,95, % 0,01018 0,01162

Коэффициент охвата для уровня доверия 0,95 1,71 1,96

Научно-методическая концепция

13

Сравнение результатов оценивания метрологических характеристик методом Монте-Карло и по формулам, приведенным в работе [2], для примера 1 проведено в таблице 2.

В таблице 2 приведены значения метрологических характеристик с большим числом значащих цифр, чтобы показать небольшие различия в аттестованных значениях СО и стандартных неопределенностях аттестованных значений СО. При округлении по принятым правилам получим для аттестованного значения СО и стандартной неопределенности одни и те же значения для разных способов оценивания:

А = 0,108 %, и(А) = 0,006 % .

Различие получили при оценивании расширенной неопределенности аттестованного значения СО. И это различие вполне понятно, так как квантили полученного для данного примера распределения результатов мы оценивали по эмпирической функции этих результатов. В Руководстве [3] расширенную неопределенность оценивают в предположении о нормальности распределения результатов измерений. В данном примере распределение результатов получилось отличное от нормального распределения.

Сравнение процедуры оценки метрологических характеристик СО методом Монте-Карло и используемого способа, предложенного в работе [2], показывает, что аттестованные значения СО и стандартные неопределенности аттестованных значений СО, полученные этими способами, имеют одно и то же значение. Различие в результатах испытаний чаще всего может быть при оценивании расширенной неопределенности аттестованного значения СО.

Это различие объяснимо, так как эту метрологическую характеристику методом Монте-Карло мы оцениваем по реально существующему распределению аттестованного значения СО, полученного из суперпозиции распределений исходных результатов, по которым оценивали аттестованное значение СО.

ЛИТЕРАТУРА

1. Федеральный закон Российской Федерации от 26 июня 2008 г. № 102-ФЗ «Об обеспечении единства измерений».

2. Налобин Д. П., Осинцева Е. В. Стандартные образцы состава веществ: аттестация по процедуре приготовления. // Стандартные образцы. 2006. № 2. C. 9-17.

3. Guide to the expression of uncertainty in measurement. ISO, Geneva, 1993. (Руководство по выражению неопределенности измерения. Пер. с англ. под ред. В. А. Слаева. СПб.: ВНИИМ, 1999).

4. ISO/REMCO Guide 35 Reference Materials - General and statistical principles for certification.

5. Соболь И. М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1968.

6. МИ 3174—2009. ГСИ. Стандартные образцы веществ (материалов). Установление прослежи-ваемости аттестованных значений.

7. EURACHEM/CITAC. Guide Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement. Количественное описание неопределенности в аналитических измерениях. Руководство ЕВРАХИМ/СИТАК / Пер. с англ., под ред. Л. А. Конопелько. СПб: ВНИИМ, 2002.

8. Р 50.2.058—2007. Оценивание неопределенностей аттестованных значений стандартных образцов. М.: Стандартинформ, 2007.

14

Научно-методическая концепция

Авторы

НАЛОБИН Дмитрий Петрович

Кандидат химических наук, ведущий научный сотрудник ФГУП УНИИМ. Направления деятельности: разработка СО и НД по СО, аттестация МВИ, испытания СИ, аттестация испытательного оборудования, экспертиза технической документации на СО. Имеет более 130 публикаций.

Адрес:

ФГУП УНИИМ, 620000, г. Екатеринбург,

ул. Красноармейская, 4

Телефон:

8 (343) 350-60-08

E-mail:

[email protected]

ОСИНЦЕВА Елена Валерьевна

Старший научный сотрудник ФГУП УНИИМ лаборатории ГССО, кандидат химических наук. Имеет более 70 научных трудов.

Адрес:

ФГУП УНИИМ, 620000, г. Екатеринбург,

ул. Красноармейская, 4

телефон:

8 (343) 350-60-08

E-mail:

[email protected]

ИЗМОДЕНОВ И. А.

Студент УрГУ им. А. М. Горького