ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА КИНЕМАТИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ В АНАЛИЗЕ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ИНЕРЦИОННОГО РАСХОДОМЕРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

Научная статья УДК 53.082.2+532.57

Использование метода кинематической аналогии в анализе рабочего процесса инерционного расходомера

Олег Валентинович Жиляев1

Владислав Николаевич Ковальногов

1 2

' Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск, Россия.

1 oleg_zhilyaev@rambler. ru

2 [email protected]

Аннотация. Содержит описание метода графического представления хода рабочего процесса, специально разработанного для анализа математической модели инерционного расходомера (ИР). Целью разработки метода является устранение необходимости точной синхронизации моделированных и натурных сигналов при выполнении анализа адекватности модели. Другая цель метода - увеличение наглядности представления, получение возможности выявления определяющих параметров процесса. В представленном методе рассматривается аналогия между изменением исследуемого сигнала и движением точки некоего механизма. Показано, что применение метода аналогии при анализе сигналов ИР позволяет упростить анализ и способствует лучшему пониманию закономерностей исследуемого процесса. Приведён пример применения метода в других приложениях. Представленный метод способствует расширению арсенала средств методологии математического моделирования. Ключевые слова, математическая модель, жидкость, плотность, массовый расход, измерение, метод аналогии.

NATURAL SCIENCES Scientific article

Applying of the kinematical analogy method on analysis of working process of inertia-based flowmeter

Oleg V. Zhilyaev1 Vladislav N. Kovalnogov2

1,2Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia. oleg_zhilyaev@rambler. ru [email protected]

Abstract. Contains a description of the method of graphical representation of the progress of the workflow, specially developed for the analysis of the mathematical model of the inertial flowmeter (IR). The aim of the method's development is to eliminate the need of precise synchronization of nature and model signals during the analyze of model's adequacy. The other aim of the method is to increase the visibility of the representation as well as to get the possibilities of identification of defining parameters of the process. In the method introduced an analogy is considered between the varying of signal under exploration and the movement of a point of some mechanism. It is demonstrated that applying the analogy method during the analysis of IF signals

© Жиляев О. В., Ковальногов В. Н., 2023

allows to simplify it and leads to better understanding of rule of the process under exploration. An example of the applying of the method in other application is given. The method introduced contributes to broaden the variety of methodology of mathematical modeling.

Keywords: mathematical model, liquid, density, mass flow rate, measuring, analogy method.

Введение

Инерционный расходомер (ИР) предназначен для измерения массового расхода и плотности жидкости. В предыдущих работах [1], [2] представлены устройство и принцип действия расходомера. В работе [1] представлена первоначальная математическая модель (ММ) рабочего процесса ИР. Показано, что при гармонических колебаниях поршня расходомера на участках трубопровода, по которому движется измеряемый поток жидкости, возникают перепады давления Ap1(t), Ap2(t), Ap3(t), несущие полезную информацию о массовом расходе и плотности жидкости. В работе [2] представлены результаты экспериментальной проверки адекватности первоначальной ММ. Дано описание опытной установки для проведения натурных экспериментов, приведены результаты проведённых экспериментов. Показано, что первоначальная ММ рабочего процесса не обладает достаточной точностью. Представлены формулы усовершенствованной ММ, в которой учитывается неоднородность поля скоростей в сечении трубопровода. Вместе с тем показано, что при сравнительном анализе моделированных и натурных сигналов ИР приходится сталкиваться с затруднениями, связанными как с необходимостью точной синхронизации (выставления одинаковой фазы) этих двух видов сигналов, так и со сложностью интерпретации расхождений. Для преодоления указанных сложностей разработан специальный метод визуализации изучаемого процесса. Описанию этого метода посвящена данная работа.

1. Затруднения в проведении сравнительного анализа данных натурного эксперимента и результатов численного эксперимента с ММ ИР.

В работе [2] описан процесс моделирования сигналов Ap1(t), Ap2(t), Ap3(t). Приведено сравнение формы сигналов, записанных при проведении экспериментов на проливочном стенде, и моделированных сигналов, полученных в результате численных экспериментов. Определённую трудность при сопоставлении формы сигналов представляет необходимость совмещения натурного и моделированного сигналов по фазе. Поскольку мы располагаем записями реализаций процесса в виде дискретных отсчётов значений функций Ap1(t), Ap2(t), Ap3(t) по времени, то модельный сигнал для сопоставления с натурным должен располагаться на графике в той же фазе, что и натурный сигнал. Если положение датчика импульсов опытной установки таково, что импульс выдаётся не точно в момент прохождения поршнем крайнего положения («мёртвой точки»), а после поворота привода на угол ф0 от этого положения, то закон движения поршня можно записать в виде

xn(t)=Acos (at + фо), (1)

где ф0 - начальный угол поворота привода от крайнего положения поршня («мёртвой точки») до положения привода в момент выдачи импульса.

Для качественного сопоставления натурного и моделированного сигналов моделированный сигнал должен быть рассчитан также с условием

ф = at + ф 0,

где начало отсчёта времени t берётся с приходом очередного импульса датчика положения привода, а начальный фазовый сдвиг ф0 относительно моментов прохождения импульсов должен совпадать с таковым у натурного сигнала. Таким образом, для корректного сравнения натурного и моделированного сигналов необходима их синхронизация.

Другую трудность для понимания рабочего процесса ИР и понимания степени адекватности ММ рабочему процессу представляет сама функция сигналов Ap1(t), Ap2(t), Ap3(t). В самом деле, сигналы Ap1(t), Ap3(t) представляют собой комбинацию тригонометрических функций в первой и второй степенях, причём в структуре сигналов присутствуют одновременно величины плотности и массового расхода жидкости. Глядя на графики натурных реализаций процесса и на отклонения, имеющие место быть у моделированных сигналов, затруднительно определить, какая часть модельной функции вызывает большие отклонения при описании процесса. Нам же для решения задачи идентификации

необходимо понимание, как именно изменение плотности и массового расхода жидкости влияет на форму сигнала; если имеются отклонения между натурным и моделированным сигналами, то почему они происходят, и какая часть ММ ответственна за возникающие отклонения.

Таким образом, приходим к выводу, что для более продуктивного качественного и количественного анализа ММ ИР, для анализа отклонений формы и величины моделированных сигналов нам необходим специальный метод упрощённого анализа. Этот метод должен обладать следующими полезными свойствами:

1) нечувствительность к точности синхронизации модельного и натурного сигналов; в идеальном случае - полное отсутствие привязки формы сигнала к оси времени;

2) метод должен давать возможность выделения из сигнала отдельных его составляющих. При анализе же формы временной реализации невозможно выделить явно составляющие сигнала, зависящие от массового расхода и плотности жидкости на основной и удвоенной частотах, то есть выделить отдельные слагаемые в функции сигнала.

2. Метод кинематической аналогии как один из способов применения методологии математического моделирования.

Дадим описание метода на примере обработки сигнала Ap1(t). Формула ММ для этого сигнала имеет вид

С„ . С_ . С

Ap— (t) = -p—^ cos at - m0—ysinat + p—prsin2 cot, (2)

где

cp

FA a2 L1 2

C_ = FAa

Ср2 = — (К4с)2 - постоянные комплексы геометрических параметров расходомера;

т—1 2

F - площадь поршня, м ; L1 - длина первой камеры массообмена, м; A - амплитуда колебаний поршня, м; t - время, с;

со - угловая частота, с-1; р - плотность жидкости, кг/м3; т 0 - массовый расход жидкости, кг/с;

K=kS - эффективная площадь сечения трубопровода, м2 (описана в работе [2]); k - коэффициент эффективной площади; S - площадь сечения трубопровода, м2. В формуле (2) время t отсчитывается от крайнего положения поршня («мёртвой точки»). Из (2) видно, что даже один сигнал Ap1(t) несёт всю полноту информации о массовом расходе и плотности жидкости, поскольку в его структуре присутствуют компоненты, пропорциональные этим величинам. Дадим описание метода для сигнала Лp1(t).

Введём обозначение ф=С Выражаем sin2at=sin2ф через cos2ф:

sin2 ю

2

= — (l - cos 2ю).

Тогда выражение для Ap1(t) принимает вид

C C 1 C

Ap— (t} = -p—p cos cot - m0 —msin at + — p-p- (l - cos 2ю). K K 2 K

Поскольку р, т0, Ср, Ст, Ср2 есть величины постоянные, то объединим их в комплексы и введём следующие обозначения:

л=р %,

K

M = m

0 K2

Р = 1

2 K2

С учётом постоянных комплексов (3) выражение (2) принимает вид

Apj (t) = —D cos p —M sin p + Р — Р cos 2p,

(3)

(4)

где ф=С

Будем рассматривать мгновенное значение сигнала Ар1(() как координату точки С на оси х=Яе(Ар) комплексной плоскости Оху. С течением времени ^ изменяется значение Ар1(() в соответствии с выражением (4), и точно так же изменяется координата х точки С. Построим на комплексной плоскости Оху такой механизм, чтобы при вращении его начального звена с постоянной скоростью со вокруг стойки некая точка С этого механизма описывала траекторию, проекция которой на ось Ох совпадала бы с выражением (4) для Ар1(0. Так как координата ф=С однозначно определяет координату Хс проекции точки С на ось Ох, это значит, что механизм должен обладать одной степенью свободы.

Обратимся сначала к более простому примеру - определение закона изменения координат точки, движущейся равномерно по окружности (рис. 1).

У

Рис. 1. К обоснованию метода кинематической аналогии

Пусть постоянный по модулю радиус-вектор Я = ОА точки А вращается вокруг начала координат О с постоянной скоростью со. Уравнение движения точки в полярных координатах

I (р = с

(5)

R =

OA

= const

Уравнения движения точки A в декартовых координатах имеют вид

х = R cos p

(6)

y = R sin p . p = at

Из (6) видно, что координата x соответствует первому слагаемому выражения (4) для Ap¡(t). Следуя обозначенному принципу, строим кинематическую модель для прочих слагаемых сигнала Ap¡(t). Получаем механизм, изображённый на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема механизма-аналога

Механизм состоит из стойки OA и двух подвижных звеньев: рычаг 1 KAB и рычаг 2 BC. Рычаг 1 образован следующим образом. Плечо KA рычага 1 предназначено для задания координаты ф - это угол между направлением ОА, совпадающим с осью Ox, и линией AK рычага 1. Таким образом, рычаг 1 является начальным звеном рассматриваемого механизма, в терминологии Теории механизмов и машин

[3, с. 60]. Плечо AB рычага 1 обозначает первые два слагаемых формулы (4). При ф = 0 вектор AB , связанный с точками A и B рычага 1, имеет следующие проекции на координатные оси:

- на ось Ox - вектор D такой, что |d| = D в формуле (4) для Ap1(t), а направление вектора D противоположно Ox, так как cos ф = -1 при ф = 0;

- на ось Oy - вектор M такой, что |m| = M в формуле (4) для Ap1(t), а направление вектора M совпадает с осью Oy, так как sin ф = 0 при ф = 0, и при последующем вращении рычага 1 и связанного с ним вектора AB появится проекция вектора M на ось Ox с отрицательным знаком.

Вектор D соответствует слагаемому -Dcos ф в формуле (4), пропорциональному плотности жидкости р ; вектор M соответствует слагаемому -Msin ф, пропорциональному массовому расходу m0. Будем называть векторы D и M изображающими векторами плотности и массового расхода соответственно. При вращении рычага 1 вокруг стойки OA с постоянной скоростью со против часовой стрелки имеем нарастание угла ф. При этом точка B будет описывать окружность радиуса R вокруг точки A. Радиус-вектор

R = AB = D + M ,

его модуль

R = VD2 + M2 .

Координата x точки B будет меняться по закону

xB = -Dcos ф - Msin ф + P,

то есть включает в себя три первых слагаемых формулы (4) для Ap1(t).

Постоянный сдвиг вдоль оси Ox на величину P в (4) учитываем путём переноса центра вращения A из начала координат O вправо на эту величину.

Для отображения оставшегося слагаемого -Pcos 2ф включаем в механизм рычаг 2 BC. Этот рычаг при ф=0 направлен против оси Ox и совершает вращение против часовой стрелки с угловой скоростью 2с вокруг точки B. Взаимосвязь между вращением рычага 1 со скоростью со и вращением рычага 2 со скоростью 2с можно моделировать при помощи планетарного механизма, показанного на рис. 3.

у Im(Ap)

x=Re(Ap)

Рис. 3. Механизм-аналог в виде планетарной передачи

Планетарный механизм состоит из двух колёс 2 и 4, имеющих возможность перекатывания друг по другу без проскальзывания. Колесо 4 неподвижно и имеет своим центром точку A механизма-аналога. Колесо 2 имеет своим центром вращения точку B механизма-аналога. Также в механизме присутствует рычаг 1 KAB, как было описано выше, и выполняет функцию водила для колеса 2. Точка С механизма-аналога занимает фиксированное положение на колесе 2. Таким образом, роль рычага BC выполняет

вектор BC, жёстко связанный с колесом 2. Если диаметры центроид колёс 2 и 4 будут равны между собой, то при вращении рычага 1 со скоростью со вокруг точки A колесо 2 будет вращаться в ту же сторону, что и рычаг (водило) 1, но с удвоенной скоростью 2с, по свойствам планетарных передач.

Поскольку точка С зафиксирована на колесе 2, то вектор BC , связанный с этим колесом, также будет вращаться со скоростью 2ю в сторону, аналогичную вращению рычага (водила) 1.

Данный механизм называем механизмом-аналогом ММ ИР, поскольку моделирование рабочего процесса ИР по методу аналогии сводится к исследованию движения одной из точек этого механизма, а именно точки C. Как мы могли убедиться при построении механизма-аналога, координата x точки C на комплексной плоскости в точности совпадает с модельной функцией (4) закона изменения перепада давления Ap1(t).

Целью же применения механизма-аналога, да и вообще метода кинематической аналогии, при анализе рабочего процесса ИР является уход от параметра «время» при анализе графических характеристик процесса. Использование механизма-аналога позволяет получить на комплексной плоскости в дополнение к x=Re(Ap1(t)) ещё одну координату изображающей точки C: y = Im(Ap1(t)). Вместо графической диаграммы (t, Ap1(t)) мы получаем диаграмму вида (x(t), y(t)), параметр «время» в которой явно не присутствует. Характеристикой рабочего процесса на такой диаграмме (x(t), y(t)) служит кривая, описываемая изображающей точкой во время процесса. За один кинематический цикл, то есть период движения привода ИР, получаем один образец кривой (x, y). При измерении стационарного потока m 0 = const, р = const имеем повторение рабочего процесса

Ap1(t + nT) = Ap1(t) для n=1, 2,... ,

где n - порядковый номер кинематического цикла; Т- период движения привода ИР.

Соответственно,

x(t + nT) = x(t), y(t + nT) = y(t).

Это значит, что при стационарном потоке параметрические кривые (x, y) повторяют форму кривой первого рассматриваемого цикла, то есть сливаются и накладываются друг на друга.

Определим вид кривой, которую описывает изображающая точка С механизма-аналога. Вычертив траекторию путём построения планов положений механизма-аналога, убеждаемся, что в общем случае изображающая точка С описывает кривую, называемую «улитка Паскаля». Действительно, в книге [4, с. 270], приводятся сведения о математической кривой, получаемой тем же способом, который мы применяем в нашем построении. Указано, что впервые подобное построение было применено учёным и художником эпохи Возрождения Альбрехтом Дюрером, им же впервые была получена данная кривая, описан способ получения, даётся ссылка на трактат А. Дюрера «Руководство к измерению».

Приведём цитату из книги [4]. «Покажем теперь, что честь открытия кривой, известной как улитка Паскаля, в действительности принадлежит Дюреру. В главе, посвящённой Дюреру, мы неоднократно упоминали о его трактате «Руководство к измерению». В этом трактате Дюрер приводит следующее построение.

Начертив окружность, он делит её на двенадцать равных частей и нумерует точки деления так же, как на циферблате часов... Из концов радиусов 1, 2, 3, ... Дюрер проводит отрезки одинаковой длины, параллельные соответственно радиусам 2, 4, 6, ..., и соединяет свободные концы отрезков плавной кривой».

Согласно [4, с. 272], «такая кривая называется эпитрохоидой, и построение Дюрера позволяет установить, что описанный в «Руководстве» частный случай эпитрохоиды является не чем иным, как улиткой Паскаля». Описанное построение показано на рис. 4. Далее в книге [4] приводится доказательство, что полученная кривая является улиткой Паскаля.

Итак, мы получили структуру и вид механизма-аналога, движение одной из точек которого - точки С - представляет собой в проекции на координатную ось Ox полную кинематическую аналогию ММ рабочего процесса ИР. Будем называть точку С механизма изображающей точкой. Уравнение движения точки С на комплексной плоскости Oxy имеет вид

\КС = -Бв'9 + Мв'{(р+Л !2) + Р - Рв"2(р

\ С , (7)

[ (р = С

где D, M, P - постоянные комплексы в выражении (4), - радиус-вектор точки С, выраженный в виде комплексной координаты.

С использованием метода кинематической аналогии алгоритм моделирования рабочего процесса ИР выглядит следующим образом. В качестве исходных данных при моделировании используются следующие данные:

- геометрические параметры расходомера;

- частота вращения привода со;

- плотность моделируемой жидкости р и моделируемый массовый расход т0.

Рис. 4. Вид характеристической кривой. Изображение заимствовано из [4, с. 271]

Подставляем параметры в формулы (3), получаем значения постоянных комплексов D, M, P (они же - длины соответствующих рычагов механизма-аналога). Далее по формуле (4) строим ММ процесса в виде зависимости перепада давления от времени Ap1(t). Затем, используя величины D, M, P как длины рычагов механизма-аналога, строим траекторию движения изображающей точки С. Полученную на комплексной плоскости кривую - траекторию точки С - будем называть характеристической кривой, а сам описываемый метод - методом кинематической аналогии. Метод аналогий позволяет заменить рассмотрение некоего сложного процесса рассмотрением аналогичного ему по виду уравнений процесса, обладающего большей наглядностью [5, с. 95]. Приведём цитату из [5]. «В задачах механики часто встречаются случаи, когда совершенно различные по физической сущности задачи сводятся к одним и тем же дифференциальным уравнениям. Тогда между задачами может быть установлена аналогия... Часто бывает так, что в первой задаче, не решая уравнений, трудно представить себе связь между переменными x1 и у1, а физическое содержание второй задачи допускает простое и наглядное толкование зависимости x2 от у2. В таком случае установленная аналогия даёт возможность наглядно представить себе закономерности, существующие в первой задаче».

3. Свойства характеристической кривой

Изучим свойства характеристической кривой (рис. 5). Введём и рассмотрим её основные геометрические элементы. Кривая у - улитка Паскаля - определяется в системе Oxy как геометрическое место точек С, подчиняющихся уравнениям

ОС = ОА + АВ + ВС

OA = const, OA = P, OA = 0

AB

= const,

BC

= const

(8)

3 = 3n+ot, Г = ж + lot, o = const

где 0, 0О - соответственно, текущий угол между осью абсцисс Ox (Re (Ap1)) и вектором АВ = Я , и начальное значение этого угла; Г - угол между осью абсцисс Ox(Re (Ap1)) и вектором ВС = Р .

Вектор О = АО - изображающий вектор инерционной плотности. В начальный момент при ф=0 вектор О направлен против оси Ox.

Для построения характеристической кривой выбираем начальное положение механизма-аналога ф = Ш= 0. На рис. 5 выделяем следующие векторы:

Рис. 5. Геометрические элементы характеристической кривой

Вектор М = АМ - изображающий вектор массового расхода. В начальный момент при ф=0 вектор М1 Ох.

Вектор Р = ВС - изображающий вектор скоростного напора дополнительного потока. В начальный момент при ф = 0 вектор Р || Ох и направлен противоположно Ox.

Как уже говорилось выше, вектор Р скреплён с колесом 2 механизма-аналога на рис. 3, в то время

как вектор Я = АВ связан с рычагом, или водилом, этого механизма. Поэтому при повороте вектора

Я вместе с водилом на любой угол Лф из начального положения вектор Р поворачивается в ту же сторону на угол 2Лф.

Расстояние OA > Р, так как в общем случае к слагаемым, имеющимся в уравнении (4), для Лр¡(0 может добавляться гидравлическое сопротивление, обусловленное вязкостью жидкости.

Векторы Б , М, Р направляем таким образом, чтобы их проекции на ось Ох соответствовали нужным слагаемым в формуле (4) как в начальный момент при ф=0, так и при дальнейшем вращении векторов.

Так как D=const и М=со^^ то

АВ = Б + М = еотг. (9)

Обозначим АВ = Я .

Поскольку Б1М, то в соответствии с (9)

R - lAB -■

,2

( C Y ( C

p—

v K J

+ 1 . (I0)

Траектория точки С получается при вращении векторов АВ (вокруг точки А со скоростью со) и ВС (вокруг точки В со скоростью 2а) против часовой стрелки. Как уже говорилось, в соответствии с принципом построения А. Дюрера эта кривая уявляется улиткой Паскаля.

Улитка Паскаля имеет ось симметрии; назовём её главной осью. В общем случае главная ось характеристической кривой имеет наклон относительно координатной оси Ох. Изучим, чем определяется этот наклон.

Обозначим точки кривой у на оси симметрии через Е и Е - ближайшая точка кривой у к точке А, Е - наиболее удалённая от точки А точка кривой у. Из способа получения кривой у видно, что на главной оси векторы АВ и ВС , при вращении которых получается изучаемая кривая, коллинеарны, т. е. направлены в одну сторону или противоположны.

Когда механизм-аналог принимает положение, в котором линии АВ и ВС совпадают, а направление

вектора ВС противоположно вектору АВ , изображающая точка С занимает положение минимальной скорости в точке Е. Значение угловой координаты 9 рычага 1, при которой механизм-аналог занимает положение минимальной скорости изображающей точки С, назовём углом 9тт. Аналогично, значение угловой координаты 9 рычага 1, при которой механизм-аналог занимает положение максимальной скорости изображающей точки С, назовём углом 9тах. Определим эти углы.

При повороте рычага 1 (АВ) из начального положения 9 = 90 в положение, соответствующее точке Е, на угол Лфщт, рычаг 2 (ВС) из положения с угловой координатой Г = п поворачивается в ту же сторону на угол 2Лфтт и принимает положение с угловой координатой Гтт. Получаем следующие выражения:

9о + Лфтт = 9тт; (11)

П + 2Лфтт = Гтт. (12)

Поскольку в положении минимальной скорости точки С векторы АВ и ВС противоположны, то

Гтт = 9тт + П. (13)

Решаем систему уравнений (11-13) относительно 9тт, Гтт. Получаем

2

6шт = 20о; (14)

Гтт = 26о + п.

Отсюда следует, что угол минимальной скорости равен удвоенному значению начального угла в0.

Из рис. 5 видно, что угол 90 определяется длинами векторов Пи М :

ж Ъ ж

60 = у + — = атегя — + —. (15)

0 Л 2 &М 2

Область значений угла 0О

Тогда

(16)

. (17)

ш„п е 1

При Qm = 0 6о = П, 6шт = 2п.

При Qm^^X> Эо^п/2, Этт^П.

По аналогии находим угол максимальной скорости Эшах.

Эшах = 2Эо- П. (18)

С учётом(19)

Эшах е(о;ж]. (19)

Так как углы Эшт и Этах отсчитываются относительно одной и той же точки А, а из выражений (14) и (18) видно, что

Эшах Эmin"п,

это означает, что лучи AE и AF, проведённые соответственно под углами Эшт и Этах к оси Ox, лежат на одной прямой, т. е. все три точки A, E, F лежат на одной прямой. Эта прямая является главной осью улитки Паскаля.

Приведём основные свойства полученной характеристической кривой у, имеющие для нас значение в качестве факторов, отражающих рабочий процесс ИР.

1. Характеристическая кривая у представляет собой улитку Паскаля.

2. Исходя из кинематического способа построения кривой у как траектории точки C механизма-аналога, кривая получается при синхронном вращении двух рычагов механизма со скоростями ю и 2ю, т. е. представляет собой также эпитрохоиду.

3. Кривая у отличается от окружности за счёт наличия рычага 2 в механизме-аналоге, длина которого P=BC есть изображающий вектор скоростного напора дополнительного потока. Если бы данный рычаг 2 отсутствовал или его длина P = о, то кривая у представляла бы собой окружность, радиус которой AB является векторной суммой:

АВ = М + Ъ,

где М и Ъ - изображающие векторы массового расхода и плотности соответственно.

Размеры кривой у определяются величинами изображающих отрезков D, M, P, то есть слагаемыми инерционной плотности, массового расхода и скоростного напора в уравнении (4).

4. Кривая у имеет ось симметрии EF. Наклон оси симметрии к оси абсцисс Ox определяется соотношением между длинами изображающих отрезков M и D, то есть между комплексами, пропорциональными массовому расходу и плотности жидкости соответственно.

5. Движение изображающей точки C по кривой у происходит с переменной скоростью; в точках E и F, лежащих на главной оси кривой, скорость принимает экстремальные значения - минимум и максимум соответственно.

6. Сложный характер движения изображающей точки и характерный «клюв» улитки Паскаля объясняют сложный характер временных реализаций сигнала перепада давления, то есть графиков Ap1(t). Вспоминая, что сигнал Ap1(t) в кинематической аналогии является не чем иным, как проекцией на ось

Ох=Яе(Ар) движения точки С механизма-аналога, понимаем, что те или иные особенности графиков Ар¡(0 при разных расходах полностью определяются соответствующими длинами рычагов механизма.

4. Обратное преобразование данных по методу кинематической аналогии.

Перейдём к обработке полученной характеристической кривой с целью осуществления обратного преобразования данных, то есть нахождения величин массового расхода жидкости и её плотности. Данная задача является одним из видов задач идентификации. В трактовке метода кинематической аналогии задача идентификации понимается следующим образом. Имея перед собой кривую (рис. 5), являющуюся траекторией точки С механизма заданной структуры (рис. 3), необходимо определить длины звеньев этого механизма.

Из полученных выше свойств характеристической кривой определяем, что для идентификации длин рычагов механизма-аналога важно определить направление главной оси кривой и центр вращения рычага 1 - точку А. Для определения главной оси находим сначала точки Е и Е, в которых скорость движения точки С испытывает экстремумы - минимальное и максимальное значения.

Критерии минимума и максимума скорости в точках Е, Е следующие.

Если Уа < Уа_± А Уа < УСг+1, то Уа=ут7п, маркируем точку 7 как Е.

Если Уа > Уа^ А Уа > Уа+1, то Уа=утсх, маркируем точку 7 как Е.

Далее через точки Е и Е, соответствующие углам 9тт и 9тах, проводим прямую а, являющуюся главной осью улитки Паскаля у. Точка пересечения а с осью абсцисс Ох=Яе (Ар) даёт точку А - центр вращения вектора АВ .

Далее принимаем во внимание, что на линии а - в точках Е и Е - векторы АВ и ВС механизма занимают коллинеарные положения. Исходя из этого, запишем основные соотношения.

EF = 21b = 2

( с Y ( с Y

+1 ™о ^1 . (20)

V K j

AF - AE = 2lBc = 2P = 2-^Р^ = p-f. (21)

1 С С

1 Ср2 Ср

2 Р~Р = Р1Р'

Имеем два уравнения (20), (21) для определения трёх неизвестных: т0, р, К. Дополним систему уравнением, описывающим положение главной оси характеристической кривой.

9mm=29o, 9тах=290 - п.

Поскольку линия а одна, как прямая, составленная из двух лучей, направляющие углы которых отличаются на п, то оставим для удобства один угол 9тах. Определим его через координаты точек Е и Е.

шв = ур — УЕ , Хр — хЕ

У — у

аг^ ——— при х^. — хв Ф 0

Хр — ХЕ . (22)

ж

— при х^ = хЕ

Далее находим

1 , ч Т 1

(23)

9о = 1 (т + ^max ) = Т + ^m*.

2 2 2 Нас интересует угол

Х = 9 — ж = 9^. (24)

Из рис. 5 находим с учётом формул (3)

tgX =

D

M

=n CjL k.

K mn С mn С

(25)

0 m 0 m

Уравнения (20), (21), (25) составляют систему трёх уравнений относительно трёх величин пг0, р, K=kS:

П K2 п С й П--п K = tg

mo Ст 2

Решим её методом подстановки. Получаем после преобразований

2,

Г с„ ^

п

K

+ 1 т,

С

т

0 K2

= EF

п2 = AF - AE

(26)

K =

п =

Сп2 EF sin х 2С р AF - AE '

Сп2 (EF sin х)2

4С2 AF - AE

С

т 0 =

П2

(EF sin х)3 1

8СП (AF - AE)2 Cmtgx

(27)

(28)

(29)

Формулы (27-29) предоставляют результат обратного преобразования данных по методу кинематической аналогии.

Таким образом, методология математического моделирования рабочего процесса ИР по методу кинематической аналогии включает в себя следующие этапы.

1. Создание математической модели процесса в виде механизма-аналога, определение длин его звеньев, вычерчивание характеристической кривой - траектории изображающей точки механизма.

2. Проведение натурного эксперимента с теми же параметрами процесса, с которыми проводится численный эксперимент с математической моделью. Или наоборот: вначале проводится натурный эксперимент со сбором данных прямого преобразования, затем с этими же параметрами проводится численный эксперимент с моделью.

3. По данным прямого преобразования, полученным из натурного эксперимента, выполняется расчёт параметров механизма-аналога, построение характеристической кривой.

4. Производится сравнение двух характеристик - полученных в результате эксперимента натурного и численного. Выполняется анализ отклонений кривых.

5. Выполняется расчёт обратного преобразования данных натурного эксперимента по методу кинематической аналогии. Вычисляются значения относительных погрешностей определения расхода и плотности.

6. Из результатов сравнения двух кривых (п. 4) и из значений относительных погрешностей (п. 5) делается вывод об адекватности применяемой математической модели.

2

2

2

5. Другие применения метода кинематической аналогии

Разработанный и описанный выше метод кинематической аналогии может применяться и при анализе и решении других задач, а не только задачи об ИР. Так, например, схожий подход, с некоторыми изменениями, был использован для решения задачи определения сдвига фаз сигналов расходомера Ко-риолиса [6].

В настоящее время измерительный сигнал преобразователя расходомера Кориолиса в большинстве случаев представляет собой два гармонических или близких к гармоническим сигнала напряжения или тока, снимаемые с катушек, размещённых на колеблющихся участках проточного тракта расходомера.

Рис. 6. Изображение заимствовано из [6]. В виде маркеров показаны значения дискретных отсчётов сигналов x(t) иуф, полученные при аналого-цифровом преобразовании. Требуется найти сдвиг фаз Аф

(изображение заимствовано из [6])

Сдвиг фаз между этими двумя сигналами несёт основную информацию об измеряемом расходе жидкости, будучи пропорциональным массовому расходу. Коэффициент пропорциональности между расходом и сдвигом фаз определяется при градуировке прибора. Таким образом, задача измерения массового расхода по первичным сигналам расходомера Кориолиса сводится к задаче измерения сдвига фаз двух сигналов, близких к гармоническим.

Сущность метода кинематической аналогии применительно к данной задаче состоит в следующем. Сигналы регистрируют аналого-цифровым преобразователем в виде периодических отсчётов и

для моментов времени ti. График изменения сигналов во времени показан на рис. 6.

Как указано в описании метода применительно к задаче об ИР, исключим время из рассмотрения сигналов и у(). Отложим значения дискретных отсчётов вдоль оси абсцисс Ox, значения дискретных отсчётов - вдоль оси ординат Oy; или, в терминологии комплексных чисел, значения отсчётов xi откладываем вдоль действительной оси, значения отсчётов - вдоль комплексной оси. Полученные точки образуют фигуру Лиссажу, имеющую вид эллипса, главные оси которого наклонены к оси абсцисс. В процессе прохождения сигналов x(t), у(() точка, соответствующая мгновенному значению этих сигналов в каждый момент времени, движется вдоль линии эллипса либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки в зависимости от знака сдвига фаз сигналов. Таким образом, путём исключения параметра времени вместо двух исходных функций x(t) и у(() получаем одну функцию у=^). Искомый сдвиг фаз однозначно определяется геометрическими параметрами полученной фигуры, изображающей график функции у^. Площадь фигуры пропорциональна искомому сдвигу фаз, а коэффициент пропорциональности между площадью и сдвигом фаз может быть получен либо при градуировке, либо расчётным путём.

Кинематическая аналогия в данной задаче может быть выявлена следующим образом. Гармонический сигнал x(t) может быть представлен в виде проекции на ось абсцисс движения некоторой точки механизма-аналога. В то же время гармонический сигнал у(() отображается в виде проекции движения другой точки на ось ординат. Принципиальная схема механизма-аналога, реализующего указанное отображение, показана на рис. 7. Механизм состоит из колеса 1, на котором закреплены с угловым сдвигом Аф друг относительно друга два штифта 2, 3, соответствующие двум анализируемым сигналам. Эти штифты находятся в пазах кулис ползунов 4, 5, имеющих возможность прямолинейного перемещения вдоль оси Ox. Кроме того, ползун 5 взаимодействует с колесом 6, которое, в свою очередь, передаёт движение на ползун 7, обладающий возможностью вертикального перемещения. На ползуне 7 жёстко зафиксирован лист бумаги, на котором осуществляется вычерчивание характеристики, в то время как с ползуном 4 связано крепление пера самописца. При вращении колеса 1 с постоянной скоростью ю на листе бумаги механизм-аналог будет вычерчивать характеристическую кривую метода кинематической аналогии, имеющую вид эллипса.

Как видим, в обоих рассмотренных применениях метода кинематической аналогии общим приёмом является исключение параметра «время» из построения и рассмотрения диаграмм, характеризующих рабочий процесс. Вместо времени и физического параметра, характеризующего

Рис. 7. Механизм-аналог для анализа сигналов расходомера Кориолиса. 1 - колесо;

2, 3 - штифты, соответствующие двум анализируемым сигналам; 4, 5, 7 - ползуны; 6 - колесо;

С - точка установки пера самописца; Р - лист бумаги для вычерчивания характеристики

процесс, используется два параметра одинаковой физической природы. В случае ИР это вторая координата изображающей точки механизма-аналога, в случае расходомера Кориолиса - это значение второго анализируемого сигнала. В результате применения метода получаем кинематическую диаграмму, позволяющую отвлечься от характера изменения сигналов во времени, и вместе с тем представляющую достаточно наглядный портрет исследуемого процесса. Характеристическая кривая, описывающая этот портрет, обладает чётко выраженными геометрическими характеристиками, позволяющими выявить и идентифицировать существенные параметры процесса, провести детальный анализ адекватности ММ. Таким образом, метод кинематической аналогии, разработанный специально применительно к теме исследования ИР, является эффективным инструментом анализа в методологии математического моделирования.

Выводы.

1. Для более продуктивного качественного и количественного анализа ММ ИР, для анализа отклонений формы и величины моделированных сигналов разработана специальная методология построения графической характеристики рабочего процесса.

2. Полученная методология обладает следующими полезными свойствами:

- метод нечувствителен к точности синхронизации модельного и натурного сигналов;

- метод позволяет осуществлять выделение из сигнала отдельных его составляющих.

3. Применение метода кинематической аналогии при математическом моделировании упрощает понимание рабочего процесса ИР, позволяет отвлечься от привязки к временным реализациям сигналов и увеличить наглядность графического представления ММ за счёт рассмотрения характеристической кривой.

4. На основе разработанного метода получена методика и алгоритм обратного преобразования данных, приводящие к получению результата измерения.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Жиляев О. В. Инерционный способ измерения расхода и плотности среды // Вестник Ульяновского государственного технического университета. 2019. №1(85). С. 22-31. EDN ОЦ^НК.

2. Жиляев О. В., Ковальногов В. Н. Экспериментальная проверка адекватности математической модели инерционного расходомера // Автоматизация процессов управления. 2022. №1(67). С. 68-79. DOI 10.35752/1991-2927-2022-1-67-68-79. EDN ZLKUEB.

3. Теория механизмов и машин: Учеб. для втузов / К. В. Фролов, С. А. Попов, А. К. Мусатов и др.; под ред . К. В. Фролова. Москва: Высшая школа, 1987. 496 с.: ил.

4. Пидоу Д. Геометрия и искусство / Пер. с англ. Ю. А. Данилова под ред. и с предисл. И. М. Ягло-ма. Москва: Мир, 1979. 332 с. с ил. (В мире науки и техники).

5. Сопротивление материалов / Феодосьев В. И. Москва: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1967. 552 с.

6. Патент №2762219 С1 Российская Федерация, МПК G01F 1/84. Способ измерения сдвига фаз сигналов расходомера Кориолиса : №2021100093 : заявл. 11.01.2021 : опубл. 16.12.2021 / О. В. Жиляев. -EDN ATHPOS.

Информация об авторах

О. В. Жиляев - аспирант кафедры «Тепловая и топливная энергетика» Ульяновского государственного технического университета. Окончил факультет «Специальное машиностроение» Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана. Имеет статьи и изобретения в области измерения и учёта жидкости.

В. Н. Ковальногов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Тепловая и топливная энергетика» УлГТУ. Окончил Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина. Имеет статьи, монографии, изобретения и научные работы в области математического моделирования, исследования и оптимизации тепловых и гидрогазодинамических процессов в приложениях к проблемам создания энергетического оборудования и теплотехники, транспортной энергетики и энергомашиностроения.

REFERENCES

1. Zhilyaev O. V. Inercionny'j sposob izmereniya rasxoda i plotnosti sredy [Inertial method of measuring the flow rate and density of the medium]. Vestnik Ul'yanovskogo gosudarstvennogo texnicheskogo universiteta [Bulletin of the Ulyanovsk State Technical University]. 2019. No. 1(85) pp. 22-31. EDN OUNZHK.

2. Zhilyaev O. V. , Kovalnogov V. N. E^ksperimentaVnaya proverka adekvatnosti matematicheskoj modeli inercionnogo rasxodomera [Experimental verification of the adequacy of the mathematical model of an inertial flowmeter]. Avtomatizaciyaprocessov upravleniya [Automation of control processes]. 2022. No. 1(67), pp. 68-79. - DOI 10.35752/1991-2927-2022-1-67-68-79. - EDN ZLKUEB.

3. Teoriya mexanizmov i mashin: Ucheb. dlya vtuzov [Theory of mechanisms and machines: Studies for higher education institutions]/ K. V. Frolov, S. A. Popov, A. K. Musatov, etc.; Ed. K. V. Frolova. Moscow, Vy'sshaya. shkola [Higher School], 1987. 496 p.: ill.

4. Pidou D. Geometriya i iskusstvo. Per. s angl. Yu. A. Danilova pod red. i s predisl. I. M. Yagloma [Geometry and Art. Translated from English by Yu. A. Danilova ed. and with a preface by I. M. Yagloma]. Moscow, Mir, 1979. 332 p. with ill. (Vmire nauki i texniki) [(In the world of science and technology)].

5. Soprotivlenie materialov [Resistance of materials] / Feodosiev V. I. Moscow, Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury' izd-va «Nauka», [The main editorial office of the physical and mathematical literature of the publishing house «Science»], 1967. 552 p.

6. Patent № 2762219 S1 Rossijskaya Federaciya, MPK G01F1/84. Sposob izmereniya sdviga faz signalov rasxodomera Koriolisa [Patent No. 2762219 C1 Russian Federation, IPC G01F 1/84]. [Method of measuring the phase shift of Coriolis flow meter signals : No. 2021100093 : application 11.01.2021 : publ. 16.12.2021] / O. V. Zhilyaev. EDN ATHPOS

Information about the authors

O. V. Zhilyaev - Postgraduate Student at the Department of Heat and Fuel Energetic of the Ulyanovsk State Technical University. Graduated from the Faculty of Special Machine Building of the Bauman Moscow State Technical University. An author of articles and inventions in the field of liquid's measuring. V. N. Kovalnogov - Doctor of Sciences in Engineering, professor, the head of Department of Heat and Fuel Energetic of Energetic Faculty of the Ulyanovsk State Technical University. Graduated from the Ulyanov-Lenin Kazan State University. An author of articles, monographs, inventions in the field of mathematical modeling, research and optimization of heat, gas and hydrodynamic processes in applications to the problems of creation energy equipment, heat equipment, transport energetic and energy machines.

Статья поступила в редакцию 18.05.2023; одобрена после рецензирования 28.05.2023; принята к публикации 09.06.2023.

The article was submitted 18.05.2023; approved after reviewing 28.05.2023; accepted for publication 09.06.2023.