Исследование вынужденных колебаний с возмущением инерционного типа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.8/534

Исследование вынужденных колебаний с возмущением инерционного типа

© В.В. Дубинин, В.В. Витушкин МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Представлен метод моделирования колебаний различных механических систем с инерционным возмущением с использованием лабораторной установки. Приведено описание конструкции и работы этой установки, методики проведения исследований колебаний и построения расчетных и экспериментальных амплитудно-частотных (АЧХ) и фазочастотных (ФЧХ) характеристик. Показано, что в силу подобия дифференциальных уравнений движения различных реальных промышленных объектов и данной экспериментальной установки, возможно применение последней для моделирования процессов колебаний указанных объектов. Приведены параметры подобия, позволяющие осуществлять такое моделирование и получать АЧХ и ФЧХ различных промышленных устройств.

Ключевые слова: механические системы, инерционное возмущение, колебания систем, частотные характеристики, лабораторная установка, моделирование колебаний, параметры подобия.

В течение ряда лет на кафедре теоретической механики МГТУ им. Н.Э. Баумана успешно развивается направление создания автоматизированных лабораторных комплексов различного типа механических систем для научной работы и учебного процесса по основным разделам механики [1, 2].

На практике часто встречаются процессы, в которых возникают колебания систем с инерционным возмущением. В данной работе представлена физическая установка, на которой моделируется такой реальный физический процесс. Она входит в лабораторный исследовательский комплекс, который можно использовать также и в учебном процессе для исследований линейной модели вынужденных колебаний механической системы. Этот комплекс включает в себя собственно электромеханическую установку с блоком управления, аналого-цифровой преобразователь (АЦП), ПЭВМ и программно-методическое обеспечение.

Электромеханическая лабораторная установка (рис. 1, а) представляет собой механическую систему, состоящую из основания 1 с направляющими 2, в которых с возможностью продольного перемещения установлена каретка 3 с колесами 4. На каретке смонтирован механизм возбуждения ее колебаний, состоящий из электродвигателя 5, редуктора 6, маятника 12 и шарнирного механизма, включающего в себя закрепленный на выходном валу редуктора кривошип 7 с регулируемым эксцентриситетом и шток 8. Маятник шарнирно уста-

новлен на стойке 11, закрепленной на основании, и снабжен грузом 13 и рычагом 9, шарнирно соединенным со штоком 8. При этом груз можно закреплять на стержне маятника на различных расстояниях от его оси вращения. Маятник совершает вынужденные колебания в соответствии с законом, близким к синусоидальному. Эти колебания обеспечивают формирование возмущающего воздействия на каретку, которая соединена с основанием пружинами 15 и на которой установлены также дополнительные сменные грузы 14. Устройство снабжено потенциометрическим датчиком 10 угла поворота маятника, индуктивным датчиком 18 продольных перемещений каретки, блоком 16 электропитания электродвигателя и датчиков и ПЭВМ 17. При этом датчик 18 выполнен в виде катушки, установленной на основании 1, и ферромагнитного стержня 19, закрепленного на каретке. Сменные пружины 15 и грузы 14 позволяют изменять жесткостные и инерционные свойства системы, получать и исследовать различные амплитудно-частотные (АЧХ) и фазочастотные (ФЧХ) характеристики вынужденных колебаний каретки.

Рис. 1. Схемы электромеханической установки: а — конструктивная; б — расчетная

Для вынужденных колебаний каретки, вызванных возмущением инерционного типа, при изменении частоты вынужденных колебаний строят теоретические кривые АЧХ и ФЧХ. Вычисление амплитуды и разности фаз осуществляют на основе анализа сигналов, снимаемых с датчиков угла отклонения маятника и линейного перемещения каретки, т. е. сигналов возмущения и вынужденных колебаний. Запись сигналов и их обработку, получение параметров вынужденных колебаний тележки проводят с помощью ПЭВМ. Программное обеспечение рассматриваемого комплекса реализовано как в оригинальном исполнении, так и в среде системы LabView 7.0.

Исследование вынужденных колебаний с возмущением инерционного типа

Рассмотрим линеаризованную математическую модель движения каретки. На расчетной схеме установки (рис. 1, б) длина стержня 15 маятника равна l1, OC = l, масса каретки равна M, массу m груза 13 считаем сосредоточенной в точке C, масса стержня 12 равна m1. Колеса 3 совершают плоское движение, но в силу их малой массы будем учитывать ее в общей массе каретки M при прямолинейном поступательном движении последней. Система имеет две степени свободы, обобщенные координаты: х — линейное перемещение каретки и ф — угловое отклонение маятника. Изменение координаты ф задано, а уравнение х = х(0 необходимо определить. Примем, что колеса катятся без скольжения, поэтому работа на перемещениях точек приложения сил N, N', FjV , Fp равна нулю.

Для составления дифференциального уравнения движения каретки используем уравнение Лагранжа 2-го рода

d-T--T=а. (1)

dt - х - х

Mv2 + mvC + Jc^2 + m1vC где 1 =--1--— +---1--1--кинетическая энергия;

2 2 2 2

v = VI = х, vc = vr + Ve, VC1 = ve1 + vn, Vr = ОСф = 1фф, Ve = Ve1 = V, Vr n =11 ф, Jc1Z = m1 2/12,

vC = (ve + vr )2 = х2 + l2(p2 - 2 х l ф cos ф,

2 /_ _ \ 2 .2 ll . 2 _ . l1 .

vC1 = (ve1 + vr 1) = х + -4 ф - 2х—ф cos ф

и окончательно —

х2 f mb \ f П V

2 .

= (( + m + m1)х2-fm+m1 ^ _ cosfm/2 + _ +*

T = -----1 m н---I х1ф cos ф +

2 l 2 1 1

ml2 + Jc1Z + m1 — l 4 J

Обобщенная сила

Г-с (хо + х)- С (X - Хо )-ЦХ1бх

Ох = ^---^---— = -2сх - |Х,

ох

где х0 и с — начальная деформация и жесткость пружин; | коэффициент вязкого трения.

С учетом выражений для Т и Qx уравнение Лагранжа 2-го рода принимает вид

(К + m + m1 )х + —X + 2cx = | m + ■m1-у ]¡(ф cos ф-ф2 sin).

В правой части уравнения находится нелинейная обобщенная

возмущающая сила (здесь слагаемое ф2 sin ф — величина третьего

порядка малости). Угол ф задан принудительно: p = posin(oí + 5),

где ф0 и o — соответственно амплитуда и частота кинематического параметра возмущения ф. В силу предположения о том, что ф — малая величина, линейное дифференциальное уравнение движения системы можно записать как

mi ¡i

í ™ 7 Л

2 l

(М + m + m1 )X + —X + 2cx = 1 m + '—— I¡ф = - m +—— ¡ф0о2 sin(oí + 5)

2 1 У

или

; + 2nX + K2 x = -h sin ( ю í + 5 ). (2)

mi ¡i ,2

m +---I ¡ф0о2

Здесь K = . -2c-, 2n =---, h - 2 ¡

\M + m + m1 M + m + m1 M + m + m1

Интерес представляют вынужденные колебания каретки (системы). Найдем решение уравнения (2) в виде хв = ав sin (oí + 5-s), где амплитуда вынужденных колебаний определяется соотношением -ав o2 + ав K2 = -h и, следовательно,

( m1 ¡1V 2 I m +---I ¡ф0о

ав =-—

(К + m + m1 ))(k 2-o2 ) + 4n2 o2

A,=

m1 ¡1

m +---

ав _ 2 ¡

¡ ф0 M + m + m1

1 - z2) + z V Q2

в = аг^

6(1" 2 2)

(3)

где 2 = ш/К — коэффициент расстройки; X — коэффициент динамичности; 6 = К/ 2п — добротность системы.

Для определения параметров п, К, 6 регистрируем собственные затухающие колебания системы (рис. 2, а). Определяем круговую частоту затухающих колебаний К1 = 2 л / Л, круговую частоту свободных (собственных) колебаний системы без учета сопротивления —

К = Л/К2 + п2 (здесь Т1 — условный период затухающих колебаний

системы), а также декремент и логарифмический декремент колебаний

В = 4 / 4+1 = епТ1, и 1п В = 1п-^ = пТ1,

4+1

откуда находим п = 1п В/Т и 6 = К/2п.

С использованием полученных таким образом данных строим по формулам (3) теоретические кривые X = Х(2) и в = в(2).

Затем включаем электродвигатель и, постепенно увеличивая частоту возмущения маятника ш, регистрируем частоту вынужденных колебаний и соответствующее ей значение максимального отклонения каретки от положения равновесия (шг, хт) (рис. 2, б).

На рис. 3 представлены теоретические АЧХ и ФЧХ вынужденных колебаний каретки, рассчитанные по формулам (3), а экспериментальные значения приведены в виде совокупности точек, образующих размытые линии.

Результаты экспериментов подтверждают допустимость применения линейной модели для анализа работы лабораторной установки.

Обобщим типовые схемы таких реальных механических объектов, в которых имеется инерционное возмущение (рис. 4).

Применяя уравнение Лагранжа 2-го рода (1), для приведенных на рис. 4, а-г схем механических систем (диски — однородные, качение — без скольжения) и без учета сопротивления имеем, соответственно, следующие дифференциальные уравнения движения:

х + К2х = И Бт (<И + 5), И = 50ш2, К2 = —;

т

х + К2х = И Бт ( + 5), К2 =---, И =-т-50ш2;

т + т1/2 т + т1/2

: + К2э = И мп ( + 5), К2 = , И = т —2-

т + М т + М

х0ш

: + К2^ = И соб ( + 5), К2 =

с , т , 2 И =

М + т М + т

/ш2. (4).

аа

№ С.'* 1<хй Огочг йгЛ» И*1 И» •'ЙГ^тсмлАп пи К

»»«« 1 '11111 г^^^ИМигК! |

А

1

Е

12 юд хк »А лоо,о ЮОО>5 ЯООЛ *»ОД *»0Л ®СОЛ 5*0,0 ж «*

к

* [1*

№1 [Ив!

б

Рис. 2. Фрагменты записи свободных и вынужденных (при ю < К) колебаний системы

я

Рис. 3. АЧХ и ФЧХ на экране виртуального прибора

Рис. 4. Типовые схемы реальных механических объектов, заданы: 5 = s0sin(ct + 5) (а); 5 = s0 sin (cot + 5) (б); х = хо sin (cot + 5) (в);

ф = ш t, ш = const (г)

В силу того, что дифференциальные уравнения (4) аналогичны уравнению (2), созданная установка позволяет получать АЧХ и ФЧХ для реальных установок (натурных объектов) при одинаковых значениях добротности модели и натурного объекта 0м = Qн .

Рассмотрим вариант рис. 4, а. В этом случае коэффициент X определяется формулой

72 7

1 - 72 ) + 72 / Q2

где все величины безразмерные, т. е. уже являются инвариантами при моделировании.

При 7 = ~ = 1пу = 1-1, Q = ~~ = 1пу = ^2 коэффициент динамичности

X = ту = I. (5)

Это означает, что при выполнении условий для инвариантов -1,12 (коэффициентов подобия) можно получить для любых экспериментов Хн = Хм, т. е. предсказать вид зависимости Х(7,Q) для натурного объекта. Выполняя условия (5), получаем

I-=а=&- чкт- -

Юн Кн

откуда следует, что необходимо выполнить условия-=-= тк и

Юм Км

— = Кн = тк (тк — масштабный коэффициент). Тогда 7н = 7м,

—м Км

м

Qн = Qм, Xн =Хми кривые Х(7,Q) для натурного объекта и модели совпадают.

В случае вынужденных колебаний инерционного типа массовый коэффициент в зависимостях X = Х(7, Q) не всегда равен единице, поэтому для него также нужно ввести коэффициент подобия -з, например, как в данной экспериментальной установке (см. (3)):

13 = (т + у 1 (М + т + т1)

Исследование вынужденных колебаний с возмущением инерционного типа

На рис. 5 представлены АЧХ и ФЧХ лабораторной установки и пример моделирования колебаний натурного объекта при =1,2.

Безразмерные зависимости в - в (2,Q) и X = X(Z,Q) модели и натурного объекта в силу равенства Qм - Qн при моделировании совпадают (рис. 5, кривые 1 и 2), при этом шн - шм шК.

Для продолжения

Отн. амплитуда нажмите любую клавишу Сдвиг фаз

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 Рассторойка

I_!_I_I

2,80 3,36 Частота, рад/с

Рис. 5. Построение кривой моделирования

На этом же рисунке построены зависимости Xн - Хн (ш) и в = 8 (2, Q) для натурного объекта (кривые 3, 4), причем в этом случае по оси абсцисс отложены значения ш в рад/с (нижняя ось абсцисс на рисунке). Кривые 3 и 4 смещены вправо по отношению к кривым 1, 2 и при резонансе Xн = Хм, но шм = Км «2,8 рад/с, а шн = шм • шК = 2,8-1,2 = 3,36 рад/с.

Таким образом, показано, что в различных промышленных устройствах процессы колебаний при их инерционном возбуждении описываются дифференциальными уравнениями, аналогичными дифференциальным уравнениям движения разработанной экспериментальной установки (модели), что позволяет применять ее для математического и физического моделирования процессов колебаний реальных промышленных объектов.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Дубинин В.В., Жигулевцев Ю.Н., Назаренко Б.П., Ремизов А.В. О внедрении новых информационных технологий в учебный процесс по курсу

«Теоретическая механика». Научно-методическая конференция, посвященная 35-летию образования факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20 декабря 1999 г. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999, с. 65-66.

[2] Дубинин В.В., Витушкин В.В., Назаренко Б.П. Современный лабораторный комплекс по теоретической механике. Интеграция образования, науки и производства. Материалы секционного заседания Международной конференции IXМеждународного форума «Высокие технологии XXI века», 23 апреля 2008 г. Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008, с. 153-156.

Статья поступила в редакцию 05.02.2014

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Дубинин В.В., Витушкин В.В. Исследование вынужденных колебаний с возмущением инерционного типа. Инженерный журнал: наука и инновации, 2014, вып. 1. URL: http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/1178.html

Дубинин Владимир Валентинович родился в 1937 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1961 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Теоретическая механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 250 научных работ в области теоретической и прикладной механики. е-mail: fn3@bmstu.ru

Витушкин Вячеслав Валентинович родился в 1942 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1968 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры «Теоретическая механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 научных работ в области прикладной аэрогазодинамики и теоретической механики. е-mail: sovettm@bmstu.ru