CC BY
17Использование диофантовых уравнений для автоматической генераций математических задач
Баранова Полина Андреевна,
студент, ментор научно-образовательного центра математики ИТМО, Университет ИТМО E-mail: [email protected]
Гилев Павел Андреевич,
аспирант, ассистент научно-образовательного центра математики ИТМО, Университет ИТМО E-mail: [email protected]
Ким Эрик Евгеньевич,
студент, ментор научно-образовательного центра математики ИТМО, Университет ИТМО E-mail: [email protected]
Ланбин Юрий Владимирович,
студент, ментор научно-образовательного центра математики ИТМО, Университет ИТМО E-mail: [email protected]
Статья посвящена применению диофантовых уравнений в рамках обучения студентов математическим дисциплинам для автоматической генерации различных типовых задач. Диофанто-вы уравнения и изучение методики их решения представляют интерес сами по себе в связи с их широкой применимостью, например для решения линейных и квадратных уравнений над конечными полями, а также преподавания понятий приводимости. Для автоматизации составления задач по дискретной математике существует потребность в генерации графов с различными характеристиками, непосредственно связанной с теорией квадратичных вычетов, в рамках которой стоят вопросы разрешимости диофантовых полиномиальных алгебраических уравнений второго порядка над конечными кольцами. Генерация матриц для задач на решение систем линейных алгебраических уравнений и арифметические операции с матрицами в общем случае завязана с проблемой арифметической сложности, например высокими мощностями элементов матриц, возникающих при операции умножения матриц. Для ограничения арифметической сложности могут быть использованы диофантовы уравнения, сохраняющие целочисленность коэффициентов.
Ключевые слова: педагогика, образование, математика, линейная алгебра, генерация задач
Введение
В настоящее время преподаватель постоянно сталкивается с вопросом проверки и контроля знаний своих студентов. Для данного этапа обучения достаточно часто используется решение типовых задач по пройденному материалу. Однако сейчас большинство задачников, используемых преподавателями для формирования проверочных работ, находятся в открытом доступе, и студент может достаточно легко найти решение любой задачи. Помимо этого, студенты быстро адаптировались к экзаменам с небольшим количеством вопросов, вследствие чего происходит простое запоминание ответов без применения и отработки навыков. В связи с этим стоит обратить внимание на качественную проверку и контроль полученных знаний. Обычно сегодняшние преподаватели увеличивают банк вопросов, регулярно его обновляя, но это достаточно трудоемкий и затратный по времени процесс, с которым тяжело справиться одному человеку в рамках своего обучающего курса. Преподаватель не может составить вариант для каждого студента в потоке, именно поэтому возникает потребность в автоматизации. Данную проблему в рамках математических дисциплин может решить генерация задач различными методами.
Существующие работы преподавателей дисциплин математического цикла по применению дополнительных возможностей для формирования индивидуальных задач помогли понять суть работы этих генераторов. Соответственно, генератор -это продвинутый "калькулятор", который включает в себя условие задачи и алгоритм ее решения. Также были описаны и различные направления и методы генерации. Одним из самых эффективных методов является метод генерации задач с использованием диофантовых уравнений.
Если давать определение простыми словами, то диофантово уравнение - это уравнение над конечными полями и их коэффициентами [1]. Традиционно их исследование относится к дискретному анализу и теории чисел. Как известно, использование диофантовых уравнений достаточно распространено. Одна из самых известных теорем в математике - теорема Ферма - как раз представляет собой диофантово уравнение.
В современном мире растет число исследований, в основе математической модели которых выступают диофантовы уравнения, следовательно, постоянно расширяется и область их применения. Например, разработаны дискретные модели на основе диофантовых уравнений, которые при-
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о m О от
З
ы о со
о с
и
см со
меняются в задачах ассоциативно-коммутативном унификации [2] и создании универсальных тестовых множеств [3].
Это еще раз подтверждает, что сфера применения диофантовых уравнений весьма велика и с их помощью также можно сгенерировать варианты задач для каждого студента в потоке.
Научно-образовательным центром математики Университета ИТМО разработаны методы генерации задач с использованием диофантовых уравнений, существенно снижающие трудоемкость задачи по разработке индивидуальных математических задач.
Диофантовы уравнения
В рамках статьи будут рассматриваться полиномы над целочисленным кольцом и над конечными полями. Решение диофантового уравнения и представляет собой нахождение корней таких полиномов. Само по себе изучение конечных полей и колец несет в себе методическую ценность в связи с тем, что на них существуют соответствующие алгебраические структуры и, при этом, такие структуры не являются изоморфными структурам целых, рациональных и действительных чисел.
Также модульная арифметика дает возможности для изучения абстрактной алгебры в будущем из-за отсутствия однозначной привязки между ними, которая часто возникает у обучающихся высшей школы. В данном случае это допустимо по причине того, что в качестве примеров групп, колец и полей рассматриваются арифметические бесконечные пространства целых и вещественных чисел соответственно.
Изучение более сложных техник решения диофантовых уравнений позволяет студенту в рамках изучения математических дисциплин решать не только линейные уравнения, но и квадратные. Так, для решения квадратных уравнений в конечных полях существует понятие символа Кронекера-Якоби [4]. Алгоритмы решения задач, связанные с ними, опираются на широкий набор теоретических выкладок. При этом формулы, которые используются достаточно часто, в таких задачах являются конструктивными, что позволяет студенту легче усваивать теорию. Конструктивные доказательства являются методикой сами по себе, что далеко не всегда применимо к неконструктивным доказательствам.
Также теория, связанная с диофантовыми уравнениями, может быть применена при преподавании понятий приводимости. Так, критерии неприводимости Перрона, Коха и Гильберта [5] являются примерами теорем и методов, на которых можно основываться при обучении студентов в случае достаточности их знаний в области структуры конечных полей.
Генерация графов Пэли
Иная сфера применения диофантовых уравнений в генерации задач по математике - это генерация
графов с различными характеристиками. Проблема генерации графов является существенной для автоматизации задач по дискретной математике. В случае генерации графов итоговыми важными характеристиками может являться их плотность или связность.
Теория квадратичных вычетов, связанная с разрешимостью диофантовых полиномиальных алгебраических уравнений второго порядка над конечными кольцами, помогает в генерации таких графов.
В свою очередь, граф Пэли - это граф, вершины которого соединены, если разница между ними является числом, равным квадратичному вычету соответствующего конечного кольца. Заметим, что для построения таких графов необходимо пользоваться вычислением символа Кронекера-Якоби. В случае простого количества вершин можно заменить алгоритм вычисления символа Кронекера-Якоби на символ Лежандра, который представляет собой сужение и может являться характеристикой конечных полей. Это возможно из-за того, что любое конечное кольцо с простым количеством вершин является конечным полем.
Граф Пэли обладает рядом свойств, которые бывают удобны для генерации задач по дискретной математике. В частности, из-за того, что этот граф является плотным, мы можем рассматривать различные алгоритмы обхода графа на более нетривиальных вариантах. Кроме того, граф является инвариантным относительно сдвига вершин, что дает возможность упрощенной проверки корректности выполнения различных алгоритмов обхода графа и поисков кратчайших путей.
Генерация матриц с ограниченной арифметической сложностью
Проблема автоматизированной генерации матриц возникает при создании различных задач в рамках курса по линейной алгебре или дискретной математике. Такие задачи включают в себя, например, генерацию и решение систем линейных уравнений или поиск нормальных подгрупп перестановок. Сложность, возникающая при формировании данных задач, связана с растущим количеством итераций для вычисления элементов матрицы из-за роста количества арифметических операций между самими матрицами.
Для оценки такой сложности рассмотрим арифметические операции, которые встречаются в процессе изучения дисциплин математического цикла в высшей школе. Такими операциями являются следующие:
• сложение;
• умножение;
• возведение в степень;
• поиск обратной по умножению;
• поиск радикалов матриц;
• поиск определителя.
В случае со сложением сложность вычисления элемента не изменяется, так как сложение и вычитание происходят поэлементно. Умножение матриц уже является операцией, которая многократно использует элементы матрицы для нахождения результата мультипликации двух матриц. Так, согласно определению умножения матриц А = ВС, выполнено следующее тождество, верное для элементов итоговой матрицы:
aj =
= ^ bikCkj
к=1
Значение такого числа можно оценить сверху как т\\В\\р\\, где ||Х|| - значение максимального
модуля элемента матрицы. В случае возведения в степень скорость роста арифметической сложности значений может быть больше, чем при умножении: А = Вк является умножением В на В к раз, что дает верхнюю оценку величины коэффициентов (к -1)т||В||||С||.
Поиск обратной матрицы сопряжен с алгоритмом Жордана-Гаусса, который позволяет, используя не более чем п элементарных преобразований, найти обратную матрицу. Однако даже в случае с достаточно малыми значениями определителя, максимальное изменение может быть очень большим. Это связано с возможными малыми значениями элементов в исходной матрице, так как в случае применения метода Гаусса, регулярно возникает деление на малые числа.
Задачи на поиск корней из матриц являются достаточно редкими, поскольку нахождение корня из матрицы является, в общем случае, неразрешимой однозначно системой нелинейных уравнений.
В случае задачи на поиск определителя матрицы порядка п, ее решением будет сумма из п! произведений по п чисел, которая дает верхнюю оценку на определитель:
¿е^х А = п!|| А||п.
Оценка является неточной, так как определитель является кососимметричной формой, что порождает знакочередующийся ряд, настоящее значение которого может быть существенно меньше вышеприведенной оценки.
Решение проблемы арифметической сложности вышеописанных задач заключается в использовании диофантовых уравнений, которые позволят ее ограничить, сохраняя целочисленность коэффициентов. А сами ограничения возможно рассматривать как часть системы диофантовых алгебраических уравнений.
В случае генерации задач на поиск определителя можно рассматривать матрицу, у которой сгенерирована только первая строка, а все последующие - это столбцы неизвестных коэффициентов, ограничениями на вычисления которых являются значения элементов суммы, возникающих при подсчете определителя тем или иным способом.
Заключение
Использование диофантовых уравнений может быть ценно само по себе, а так же использоваться для решения части проблем генерации задач в областях дискретной математики и линейной алгебры, посредством генерации графов и матриц с полезными характеристиками, недоступными в случае спонтанной генерации этих математических объектов.
В рамках изучения дисциплин математического цикла теория, связанная с диофантовыми уравнениями, может быть применена при преподавании понятий приводимости, а изучение более сложных техник решения диофантовых уравнений позволяет студенту решать не только линейные уравнения, но и квадратные. Кроме того, генерация графов с различными характеристиками для автоматизации задач по дискретной математике основана на теории квадратичных вычетов, которая связана с разрешимостью диофантовых полиномиальных алгебраических уравнений второго порядка над конечными кольцами.
Проблема автоматизированной генерации матриц с ограниченными мощностями элементов также может быть решена с использованием ди-офантовых уравнений путем снижения уровня трудозатратности, связанной с растущим количеством итераций для вычисления элементов матрицы.
Подводя итог, мы видим, что сфера применения диофантовых уравнений действительно весьма велика и их прикладное использование может заключаться в генерации задач в рамках дисциплин математического цикла.
Литература
1. Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. // Наука. 1972.
2. Stickel M.E. A Unification Algorithm for Associative-Commutative Functions, (1981) Journal of ACM, Vol.28, № 3., pp. 423-434
3. Схрейвер A. Теория линейного и целочисленного программирования. // Мир. 1991.
4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. // ГИТ-ТЛ.1952.
5. Lang S. Algebra, Graduate Texts in Mathematics, (2002) Springer-Verlag (New York), vol. 211.
APPLICATION OF DIOPHANTINE EQUATIONS TO MATHEMATICAL PROBLEMS AUTOMATIC GENERATION
Baranova P.A., Gilev P.A., Kim E.E., Lanbin Yu.V.
ITMO University
The article is devoted to the use of Diophantine equations in the framework of teaching students mathematical disciplines for the automatic generation of various typical problems. Diophantine equations and the study of methods for their solution are of interest in themselves due to their wide applicability, for example, for solving linear and quadratic equations over finite fields, as well as teaching the concepts of reducibility. To automate the compilation of problems in discrete mathematics, there is a need to generate graphs with different characteristics, which is directly related to the theory of quadratic residues, within which there are questions about the solv-
es о
CO "O
1=1 А
—I
о
C3 t; о m О от
З
ы о со
ability of second-order Diophantine polynomial algebraic equations over finite rings. The generation of matrices for problems on solving systems of linear algebraic equations and arithmetic operations with matrices is generally associated with the problem of arithmetic complexity, for example, high cardinalities of matrix elements that arise during the operation of matrix multiplication. To limit the arithmetic complexity, Diophantine equations can be used that preserve the integer coefficients.
Keywords: Pedagogy, education, mathematics, linear algebra, problem generation.
References
1. Bashmakova I.G. Diophantus and Diophantine equations. // Science. 1972. (in Russian)
2. Stickel M.E. A Unification Algorithm for Associative-Commutative Functions, (1981) Journal of ACM, Vol.28, № 3., pp. 423-434
3. Schrijver A. Theory of linear and integer programming. // Mir. 1991. (in Russian)
4. Vinogradov I.M. Fundamentals of number theory. // GITTL. 1952. (in Russian)
5. Lang S. Algebra, Graduate Texts in Mathematics, (2002) Springer-Verlag (New York), vol. 211.
o d
u
CM CO
