CC BY
6Методы автоматической генерации матриц для различных задач курса линейной алгебры в технических вузах
Гилев Павел Андреевич,
аспирант, ассистент научно-образовательного центра математики ИТМО, Университет ИТМО E-mail: [email protected]
Казанков Владислав Константинович,
аспирант, ассистент научно-образовательного центра математики ИТМО, Университет ИТМО E-mail: [email protected]
Кожевникова Элина Олеговна,
студент, ассистент научно-образовательного центра математики ИТМО, Университет ИТМО E-mail: [email protected]
Ланбин Юрий Владимирович,
студент, ментор научно-образовательного центра математики ИТМО, Университет ИТМО E-mail: [email protected]
Матвеева Милена Вадимовна,
аспирант, ассистент научно-образовательного центра математики ИТМО, Университет ИТМО E-mail: [email protected]
В дистанционном формате обучения чаще всего невозможно отследить корректность хода решения задач, в связи с тем, что на многие популярные сборники задач имеются готовые ответы с прошлых годов. Таким образом преподавателям не всегда удается определить уровень освоения материала студентами. Данная статья посвящена методам автоматической генерации матриц для различных задач курса линейной алгебры. Матрицы являются одним из ключевых объектов в курсе линейной алгебры, так как активно используются в практических задачах. Неотъемлемой частью матриц является нахождение их определителя. Применение LU -разложения для генерации матриц позволяет эффективно контролировать значения определителя. Контроль всевозможных значений определителя матрицы способствует формированию различных задач, связанные с курсом линейной алгебры.
Ключевые слова: педагогика, образование, математика, линейная алгебра, генерация задач.
Введение
В настоящее время возникают трудности с преподаванием математики в дистанционном формате. Опыт показывает, что реализация дистанционного обучения гуманитарными дисциплинами реализуется намного лучше, чем техническими. Особенности формата взаимодействия, в рамках предмета, напрямую связаны с характером адаптации [1, 2], что и формирует предметную специфику. Дело в том, что при изучении гуманитарных предметов на первый план выходит непрерывное взаимодействие с преподавателем, как с носителем рецептурного знания. Когда дело касается дисциплин математического цикла, то возникает сложность с передачей общепринятых обозначений со стороны преподавателя, и трудность с освоением их со стороны студента. Главная стратегия изучения математики - применение полученных знаний на практике, так как решение задач помогает студентам освоить ключевые обозначения, отработав их использование.
В дистанционном формате проведения занятий крайне трудно проверить корректность всех этапов хода решения, и, следовательно, невозможно проверить уровень усвоения материала. Стоит также отметить, что на практических занятиях часто используются устаревшие решебники, к которым, к тому же, скорее всего опубликованы готовые решения. Сталкиваясь с подобной моделью обучения у любого студента может возникнуть фрустрация, которая приведет к потере мотивации и дискредитации предмета. Сейчас стоит использовать более современные подходы к отработке практических навыков в курсах дисциплин математических циклов.
Известный факт - математика способствует развитию абстрактного мышления, а также формирует более низкий входной порог в использовании современной вычислительной техникой. Стоит также отметить, что существует необходимость постоянного обновления учебных материалов для сохранения связи между изучаемым материалом и современными тенденциями в науке [3]. Составлять варианты вручную - это очень трудоемкий и бессмысленный процесс, потому что тогда необходимо не только сохранить одинаковый уровень сложности, но и достичь высокого разнообразия в однотипных задачах.
В настоящей статье предлагается один из подходов к решению данной проблемы. Рассмотренный далее набор инструментов, демонстрирующий использование этого подхода, позволяет создавать варианты задач, сохраняющих уровень
сз о со "О
1=1 А
—I
о
сз т; о m О от
З
ы о со
о с
U
см со
сложности вне зависимости от варианта. Для создания дальнейших материалов используется методика и подходы подробно описанные в работах [4-8].
Командой научно-образовательного центра математики Университета ИТМО созданы наработки, касающиеся генерации задач, помогающие справиться со всеми вышеописанными проблемами преподавания математики.
Задачи линейной алгебры
В процессе изучения дисциплины «Линейная алгебра» в ее курсе встречается большое количество задач, некоторые из которых могут быть параметризованы. Параметризовать задачу - значит получить шаблон, на основе которого можно генерировать довольно большой набор разных вариантов одной задачи. Как правило, следствием хорошей параметризации задачи является также и получение универсального алгоритма проверки предполагаемого ответа задачи.
Матрицы являются одним из центральных объектов изучения в курсе линейной алгебры, ввиду широкого использования в практических задачах. Так, например, для решения СЛАУ в рамках университетского курса линейной алгебры, изучаются методы Гаусса, Крамера и обратной матрицы. Для последних двух способов необходимо рассматривать не только арифметику матриц, но и поиск их определителя.
Одной из основ корректной методологической составляющей задач является консистентная сложность задач как между вариантами, так и в процессе решения задачи. В качестве решения этой проблемы предлагается ввести методологические инварианты не только на этапе генерации вариантов задачи, но и при создании алгоритма ее решения.
Генерация матриц для поиска определителя
Для рассмотрения настоящих идей предлагается начать с задачи поиска определителя некоторой матрицы размера п х п . Общая проблема работы с матрицами заключается в генерации элементов матрицы с сохранением основных свойств и консистентной сложности, возникающей при решении задач.
Для использования в обучающих задачах автоматически сгенерированных матриц, необходимо создавать такие матрицы с учетом возможных различий в сложности итогового задания. Такая проблема связана с обилием потенциальных вариантов матриц и арифметической сложностью плотных колец. Один из подходов, позволяющий ее решить, заключен в сужении колец с плотных до дискретных. Данный метод позволяет решить проблемы с автоматической генерацией и проверкой задач, описанные подробнее далее. Первой проблемой при генерации элементов плотных колец является их многочисленность. Вероятность создания одного и того же варианта становится
крайне мала из-за использования всего информационного пространства, предоставляемого переменными. Необходимость ограничения мощности множества вариантов диктуется возможностью нахождения и воспроизведения ошибок, созданных при написании кода. Второй проблемой использования плотных колец является неточность, которая возникает из-за технических ограничений информационных систем, не позволяющих представлять элементы плотных колец однозначно декодируемым образом.
Зафиксированное дискретное конечное или бесконечное поле не дает достаточных ограничений сложности, не позволяя регулировать или сохранять сложность задачи при генерации различных вариантов. Например, при сужении кольца вещественных чисел до кольца целых, с введением ограничения на максимальные и минимальные значения элементов матрицы, может возникнуть ситуация, в которой в одном варианте значение определителя будет того же порядка, что и элементы матрицы, а в другом существенно отличаться. Рассмотрим случай двух матриц 3 х 3 :
( 13 16 3^
А =
и матрицы
B =
-10
(13 -10
-11
6
1
-11
6
-2 1
3 ^ -2 1
оказывается, что det A = 1, а det B = 91.
Для генерации матриц с ограничениями на область значения определителя предлагается использовать LU -разложение [9]. Матрицы с ненулевым определителем и ненулевыми ведущими минорами являются LU -разложимыми. Само LU -разложение заключается в поиске двух матриц L и U таких, что L - нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица. Так как A = LU , то det A = det L ■ det U , а у верхней и нижней треугольной матриц определитель равен произведению диагональных элементов, что дает полный контроль над определителем матрицы.
К сожалению, у такого подхода есть проблема, которая не позволяет легко ограничивать максимальную сложность вычислений. Так как каждый элемент матрицы A является суммой n элементов, по норме не превосходящих ||L|| ■ ||U||, то верхняя граница вычисляется по формуле
IIA = n -I|L|| -|Uli.
Генерация матриц для СЛАУ и ФСР
Для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) можно использовать генерацию невырожденных матриц, то есть матриц с ненулевым определителем. Такие матрицы всегда соответствуют СЛАУ с единственным решением.
В случае с задачами на поиск фундаментальной системы решений (ФСР) предлагается использовать способ генерации матриц с заданным заранее рангом. В начале в LU -разложении выбирается некоторая матрица, у которой необходимое количество элементов на диагонали приравнивается к нулю. В результате значение ранга исходной матрицы будет иметь ранг ниже, чем размерность матрицы, ровно на количество элементов диагонали обращенных в ноль. Так как матрица и в такой ситуации является матрицей с ненулевым определителем, то такая матрица соответствует изоморфизму линейных пространств. Этот факт позволяет произвести соответствие между исходной и результирующей матрицами через смену базиса оператора. Как следствие, смена базиса не влияет на ранг матрицы и соответствующей ей исходной системы уравнений. Данный подход позволяет контролируемо генерировать ФСР.
Задачи с использованием линейных операторов напрямую связаны с ФСР, так как размерность ФСР является размерностью ядра линейного оператора, а само пространство фСр является ядром исходного линейного оператора. Поэтому для генерации задач на поиск ядра некоторого оператора LU -разложение может быть удобным подходом.
Генерация матриц для спектральных задач
Задача на поиск спектра является комплексной задачей, которая сочетает в себе несколько этапов. На первом этапе строится характеристическое уравнение, коэффициенты и корни которого при случайной генерации могут быть сложны для восприятия студента. Так, в случае матриц размера 3 х 3 или 4 х 4 для нахождения корней характеристического уравнения может понадобиться прибегнуть к использованию формул Кардано и Феррари, которые, в свою очередь, редко входят в основную программу линейной алгебры, вследствие чего увеличивается методологическая сложность по сравнению с исходной спектральной задачей. На втором этапе нужно найти собственные и присоединенные вектора исходной матрицы, и, в случае отсутствия присоединенных векторов, появляется возможность найти спектральные проекторы.
Жорданова нормальная форма, являющаяся основой спектрального анализа, позволяет произвольный оператор А разложить следующим образом: А = БУТ , где Т - обратная к 5, а У - жорданова матрица. В таком разложении можно заметить возможность контролировать значения собственных чисел при помощи вариации значений блоков жордановой матрицы. Такой подход позволяет задавать корни контролируемым образом, что помогает избегать применения формул Карда-но и Феррари. С методической точки зрения не рекомендуется рассматривать задачи с размерностью матриц более пяти, так как задача на поиск
корней полиномиального уравнения может быть неразрешима в радикалах, согласно теореме Абеля-Руффини [10].
В качестве матрицы S предлагается использовать матрицу, полученную от одного из возможных видов LU -разложения. Для матрицы T предлагается воспользоваться нахождением обратной матрицы. В случае известных обратных к L и U матриц, можно использовать их для удобного нахождения значения матрицы: T = .
Заключение
Применение LU -разложения для генерации матриц позволяет эффективно контролировать значения определителя. Контроль возможных значений определителя матрицы позволяет формировать различные задачи, связанные с курсом линейной алгебры. В качестве демонстрации применимости результатов стоит отметить класс задач о поиске жордановой нормальной формы и использовании спектральной теоремы.
Литература
1. Copur-Gencturk Y., Thacker I., Cimpi-an J.R. Teacher bias in the virtual classroom (2022) Computers and Education, 191, art. no. 104627.
2. Asian A., Ursavas E., Romeijnders W. A Precedence Constrained Knapsack Problem with Uncertain Item Weights for Personalized Learning Systems, (2023) Omega (United Kingdom), 115, art. no. 102779.
3. Попков Р.А, Мансурова С.Е. Истина и красота. О месте математики в образовании студента технического вуза // Актуальные проблемы преподавания математики в техническом вузе. 2019. № 7.
4. Посов И.А. Обзор генераторов и методов генерации учебных заданий // ОТО. 2014. № 4.
5. Муханов С.А., Муханова А.А. Проектирование генератора заданий по высшей математике с использованием рекурсивных функций // Современное педагогическое образование. 2022. № 5.
6. Шестаков А.П., Генерация дидактических материалов по математике // 2000.
7. Карнаухов В.М. Компьютерные генераторы контрольных работ в преподавании математики // Природообустройство. 2011. № 3.
8. Кручинин В.В., Магазинников Л.И., Морозова Ю.В. Модели и алгоритмы компьютерных самостоятельных работ на основе генерации тестовых заданий // Известия ТПУ. 2006. № 6
9. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем // Мир. 1991.
10. Алексеев В.Б. Теорема Абеля в задачах и решениях // МЦНМО. 2001
сз о со -а
I=i А
—I
о
сз т; о m О от
З
ы о со
METHODS OF AUTOMATIC MATRIX GENERATION FOR VARIOUS TASKS OF THE LINEAR ALGEBRA COURSE IN TECHNICAL UNIVERSITIES
Gilev P.A., Kazankov V.K., Kozhevnikova E.O., Lanbin Yu.V., Matveeva M.V.
ITMO University
In the distance learning format, often it is impossible to observe the correctness of the solving problems progress due to there are ready-made answers from previous years. Thus, teachers are not always able to determine the level of learning of material by students. Methods of automatic generation of matrices for various problems of the linear algebra course were presented in this paper. Matrices are one of the key objects in the course of linear algebra, as they are actively used in practices. In addition, an integral part of matrices is finding their determinant. Application of decomposition to generate matrices allows you to effectively control the values of the determinant. The control of all possible values of the determinant of the matrix contributes to the formation of various tasks associated with the course of linear algebra.
Keywords: pedagogy, education, mathematics, linear algebra, problem generation.
References
1. Copur-Gencturk Y., Thacker I., Cimpian J.R. Teacher bias in the virtual classroom (2022) Computers and Education, 191, art. no. 104627.
2. Aslan A., Ursavas E., Romeijnders W. A Precedence Constrained Knapsack Problem with Uncertain Item Weights for Personalized Learning Systems, (2023) Omega (United Kingdom), 115, art. no. 102779.
3. Popkov R.A., Mansurova S.E. Truth and beauty. About the place of mathematics in the education of a student of a technical university // Actual problems of teaching mathematics in a technical university. 2019. № 7. (in Russian)
4. Posov I.A. Review of generators and methods of generating training tasks // OTO. 2014. No. 4. (in Russian)
5. Mukhanov S.A., Mukhanova A.A. Designing a task generator in higher mathematics using recursive functions // Modern pedagogical education. 2022. № 5. (in Russian)
6. Shestakov A.P., Generation of didactic materials in mathematics // 2000.
7. Karnaukhov V.M. Computer generators of control works in teaching mathematics // Nature management. 2011. № 3. (in Russian)
8. Kruchinin V.V., Shopinnikov L.I., Morozova Yu.V. Models and algorithms of computer independent work based on the generation of test tasks // Izvestia TPU. 2006. No. 6 (in Russian)
9. Ortega J. Introduction to parallel and vector methods for solving linear systems // Mir. 1991. (in Russian)
10. Alekseev, V.B. Abel's theorem in problems and solutions // ICN-MO. 2001 (in Russian)
o d
u
CM CO
