Использование детерминированных характеристик при динамическом анализе производственного процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ СИСТЕМ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО

ПРОЦЕССА М.Л. Лапшина, Д.Д. Лапшин, В.Э. Меерсон

Произвольная система показателей, характеризующих состояние или динамику функционирования экономического объекта, рассматривается с точки зрения определения системы зависимостей между входящими в систему показателями. Задача "прямого детерминированного факторного анализа " показателей деятельности экономического объекта в начальной постановке состоит из определения соответствующей функции, в однозначной форме выражающей значения показателей через наборы показателей-факторов, а также анализа влияния этих факторов на значение функции. Постановка задачи уточнения и анализа тождественных соотношений между элементами такого набора показателей может рассматриваться отдельной задачей. С помощью предложенного подхода был разрешен ряд практических задач с использованием детерминированного анализа для описания машиностроительных предприятий. Формируется модель этой системы в виде дробно-рациональных функций от переменных, соответствующих начальным значениям

Ключевые слова: характеристики, системы, функции, алгоритм, объемы производства

Рассмотрим ситуацию, описываемую в 3-х компонентном случае: предметная область (множество объектов 5 = , рассматриваемых в статике или динамике), совокупность первичных показателей х1 ,...ХИ и множество расчетных показателей у, у,...,ут, определяемых на основе первичных с помощью соотношений У, = Л(Хг,...х„), где - заданные для данной предметной области £ функции, 1 = 1,...,т. Предполагаем, что набор расчетных показателей сформирован для отражения характеристик состояния или динамики объектов из множества £. Зависимость функций Л (х,. ., х„) от анализируемой системы ситуаций £ ("контекста" рассмотрения) выражается при помощи предположения о существовании у функции Л параметров, значения которых зависят от множества

х^.^ хп) = /г(аи Х— Хп X где аи - вектор параметров 1-й функции, определяемых множеством £. Этот случай имеет место, например, если £ - множество возможных состояний некоторого предприятия, Х - соответствующий данному состоя-

нию размер его капитала, х2 - размер трудовых ресурсов у, у2, у - расчетные показатели объема производства, прибыли и себестоимости продукции,

У, = Л (а,, х1, х2), 1 = 1,2,3 где а, - вектор параметров г-й функции, найденный на основе статистических данных о значениях соответствующих показателей за ретроспективный период и зависящий, таким образом, от множества £. Но, нередко таких параметров у функции Л нет, и тогда можно считать, что

а и, следовательно, функции fi; не зависят от £. Чтобы различать эти ситуации, будем говорить, что в первом случае показатели у, у2,...,ут заданы как контекстно определенные (т.е. определенные только для данного множества объектов £), или просто контекстные, во втором - внеконтекстные (заданные безотносительно к предметной области £).

Будем считать, что шкалы измерения всех показателей одинаковы и представляют собой подмножество множества действительных чисел Я. При этом предполагаем предметную область £ достаточно обширной и включающей разнообразные объекты, а первичные показатели достаточно чувстви-

тельными в том смысле, что множество возможных значений каждого из них охватывает некоторый отрезок действительной оси. Будем называть такую предметную область полной по отношению к показателям

Хп •

Уточним, что между производными у, у2,...,ут заданными для данной предметной области £ с помощью функций У = £ (а?, 5), г = 1,..., т имеется функциональная зависимость в данном классе К функций от т переменных, если существует ненулевая дифференцируемая функция Ф(,...,) от т переменных, принадлежащая классу К, такая, что Ф(£5(х(5),...,хп(5)) = 0 при любом 5 е 5. То есть, при спецификации любого объекта из предметной области и определении соответствующих первичных и производных показателей подстановка значений последних в функцию Ф обращает ее в нуль [1].

Учитывая параметрическое выражение зависимости функций £5 (х) от предметной области £ и используя векторную запись системы первичных показателей х = (х,...хи), можно переписать выражение зависимости между показателями Уг = £ (а?, х(5)), г = 1,..., т в виде 0/5, х(5),..., /т (а5), х(5)) = 0 (1) при любом 5 е ?.

Таким образом, функция Ф(,...,) реализует зависимость между показателями у, у2,...,ут для предметной области £, если

для любого 5 е ? выполняется условие (1).

Но надо учесть вопрос и о выполнении тождества (1) при различных системах £. Если функция Ф(^,...,) строится вне зависимости от параметров а[,..,а5т (т.е. эти параметры не используются при формировании расчетных показателей у и они являются внеконтекстными для г = 1, ..., т), то равенство (1) имеет место не только для любого

объекта £, но и при любом множестве объектов £, для которого система х1 ,...хи является полной. Будем говорить, что в этом случае имеет место внеконтекстное соотношение между показателями у, у2,...,ут и называть эти показатели внеконтекстно зависимыми.

Таким образом, показатели у , у , ... , у в

общем случае могут быть:

а) внеконтекстно зависимыми, если в классе К существует функция Ф(^,...,гт), которая обращается в нуль при подстановке г = У = £ (а?, х(5)) при любом 5е ? для

любой системы £, являющейся полной по отношению к показателям х : ? ^ К, г = 1, . ., п;

б) контекстно зависимыми для данной системы £ и класса К, если существует функция Ф(Ъ\,...,Ът;г1,...,гт) от двух множеств переменных - векторных переменных Ъ, г = 1, .., т размерности векторов Ъ

совпадают с размерностями векторов а и скалярных переменных 2Х,..., , которая по переменным 2Х,..., принадлежит классу К и обращается в нуль при подстановке Ъ = <, г, = У = £(ах(^)), г= 1, ...,т, при

любом 5 е ?.

Очевидно, что внеконтекстно зависимые показатели являются и контекстно зависимыми для любой эмпирической системы £ и что может существовать набор контекстно зависимых показателей, для которых не существует никакой внеконтекстной зависимости.

Набор показателей у = £ (а?, х(5)), будем называть вполне независимым относительно класса К, если для любой функции Ф^,...,Ът;г1,...,хт) от векторных переменных Ъ с размерностями, соответствующими размерностям векторов а и скалярных переменных ,..., , которая по переменным

^,...,принадлежит классу К, существует такое £ е 5, что

Ф(а;,...,ат;Л«,х(;),...,Ла,х(;)) ^ 0.

Еще одно определение независимости показателей у , у ,... , у получается как отрицание условия внеконтекстной зависимости, т.е. в случае, когда не существует функции, удовлетворяющей требованию а). Будем называть такие показатели слабо независимыми.

Таким образом, можем утверждать, что для любого набора показателей у, у2,...,ут можно говорить о внеконтекстной или контекстной зависимости, слабой или полной независимости.

Модель ситуации определяется: предметной областью 5 = ; набором первичных показателей-отображений Х : 5 ^ К, 1 = 1, . ., п; набором производных

показателей Л, /2,...,/т - функций от п действительных переменных х1 ,...хи; классом функций К от т действительных переменных.

Задача в общей постановке состоит в определении наличия и характеристик функциональных зависимостей между производными показателями. Заметим, что типовой задачей является такая постановка, в которой множество производных показателей задано с помощью указания их наименований, а множество первичных показателей и алгоритмов вычислений производных показателей не заданы в явном виде; в этом случае необходимо уточнить постановку, определив недостающие условия задачи. Из-за неоднозначности этого процесса выбор той или иной системы первичных показателей-образующих для исследуемых производных показателей определяется в соответствии с особенностями ситуации. Часто в таких "недоопределенных" случаях зависимость или независимость заданных показателей обусловливается выбором системы первичных показателей.

Рассмотрим простейший пример постановки задачи детерминированного анализа системы показателей.

Пример 1. Система показателей эффективности производства.

Предметная область: множество 5 = состояний данного предприятия.

Первичная система показателей: х1 -размер выручки предприятия от реализации продукции, х2 - издержки производства, х3 -

размер капитала, Х4 - численность занятых

на предприятии.

Анализируемая система расчетных пока-

х — х

зателей и формулы расчета: у = — °

рентабельность производства, у =

х

х1 х2

х,

х~1

рентабельность капитала, у3 = — - средняя

х^

х

производительность капитала, у4 = ■

х4

средняя производительность труда. В общем виде задача состоит в том. чтобы определить функциональную зависимость между показателями у, у2,у3,у4.

В данном случае каждая из функций, выражающих расчетные показатели через первичные, - дробно-линейная и не содержащая параметров, зависящих от предметной области £, так что показатели у, у, у, у заданы внеконтекстно, что позволяет применить алгоритм, предложенный в [2]. В результате оказывается, что сопо-купность показателей у , у , у , у не является независимой, причем уу — у1у3 + у = 0.

Показатели оказались внеконтекстно зависимыми, т.е. множество всех функциональных зависимостей между у, у, у, у4 является определяющим в кольце многочленов от четырех переменных К [у, у, у, у ]

над полем действительных чисел, по рожденным многочленом у1у2 — у1у3 + у2.

Проанализируем различные постановки задачи детерминированного анализа системы показателей для случаев, когда исследуемые показатели у, у2, у3, у4 - рациональные, но не дробно-линейные функции от первичных показателей х1,..., хи.

Пример 2. Система показателей сравнительного анализа производительности труда на двух предприятиях.

Предметная область ? = [{5, 5}] - множество состояний двух предприятий (через 5 обозначено состояние первого предприятия, через 82 - второго).

Первичная система показателей: х - доход первого предприятия; х2 - численность занятых на первом предприятии; х3 - доход второго предприятия; х - численность занятых на втором предприятии.

Анализируемая система расчетных пока-

х

зателей и формулы расчета: у = х3 (—) — х4 -

х

х4 х2

их производительности труда; у4 =

х4 х2

у5 =

(( ~ Л

VVх4 ;

V х1

-1))100

относительное

экономия затрат труда на втором предприятии по сравнению с первым; у2 = ■

прирост (уменьшение) дохода, приходящийся на одного дополнительно занятого (высвобожденного) работника на втором предприятии по сравнению с первым; х

у = х3 (—) — х1 - часть прироста (уменьше-

х4

ния) дохода второго предприятия по сравнению с первым, обусловленная различием в

прирост производительности труда на втором предприятии по сравнению с первым;

(процентное) изменение производительности труда на втором предприятии по сравнению с первым.

Показатели у, у3 + у , как видно из формул, не являются дробно линейными. Все показатели у,...,у5 являются внекон-текстными.

Пример 3. Система показателей анализа эффективности использования основных факторов производства. Предметная область: множество ? = {5} возможных состояний данного предприятия. Первичная система показателей: х - размер капитала предприятия; х2 - численность занятых на предприятии. Анализируемая система расчетных показателей состоит из трех показателей: у -рентабельность затрат на производство; у2 -рентабельность капитала; у3- рентабельность труда.

При этом предполагается, что деятельность предприятия описывается двумя производственными функциями от размеров труда и капитала:

г = /(X1, X2), и = g(X1, х2\

где

/2 2

— а^ I а^х^ I а2х2 I ^^2X^X2 I а^-^х^ I а22х2 квадратичная функция, а ^ = Ъ0 + Ъх + Ъ2х2 -линейная функция с коэффициентами а, аи, а, , а 1, а22, Ь, Ь, Ь, определяемыми на основе статистических данных за ретроспективный период функционирования данного предприятия. Функция ъ выражает зависимость объема продаж от используемого труда и капитала, а и - зависимость издержек производства от этих же факторов.

Тогда расчетные формулы имеют вид

ух

2 2

а0 ах^ а2х2 ^^2X^X2 а^-^х^ а22х2

— ЬхХХ — Ь2Х2 -Ь0

Ъ0 + Ъ1 х1 + Ъ2 х2

у—

_ "0

2 2

12 1 2

^22х2

11

2 2 0

Ь0 + Ь1 х1 + Ь2 х2

у 2

х.

Показатели у, у2, у3 являются дробно-линейными и задаются с помощью параметров, зависящих от предметной области £

[3].

Для решения поставленной задачи примем некоторые упрощающие модель предположения.

1. Функции Л, Л,..., Л предполагаются рациональными функциями от переменных хг,...хи над полем действительных чисел.

Это предположение связано с тем, что на практике в большинстве случаев значения расчетных показателей вычисляются с помощью арифметических действий над значениями первичных показателей, а также умножением их на произвольные действительные константы (коэффициенты перехода от одной единицы измерения к другой). Множество функций, полученных таким образом, представляет собой поле рациональных функций, каждый элемент которого имеет вид

Л (х ,...х) = ^^х^, Ь(х х )

к( х1,...хп )

где g, к - многочлены от п переменных.

2. В качестве класса функций К в общем случае будем рассматривать множество многочленов от т переменных ,...,над некоторым кольцом А без делителей нуля К = А[ *!,..., 2т ] .

Это объясняется, с одной стороны, тем, что наиболее интересным для практики является случай, когда соотношения между показателями выражаются с помощью арифметических действий. С другой стороны, можно доказать, что если искомое соотношение Ф (у, у2,..., ут 2) = 0 существует в классе произвольных дифференцируемых функций

Ф от т переменных, то оно существует и в классе многочленов над Я, выделим два случая: когда А является полем действительных чисел (в этом случае речь идет об анализе внеконтекстной зависимости или, соответственно, слабой независимости показателей), К = А[z1,...,^], или когда А является кольцом многочленов от параметров а, ., О,, участвующих в выражении производных показателей через первичные. В этом случае найденная зависимость будет относиться к числу контекстных. Соответственно отсутствие зависимости в данном классе К будет означать, что у, у2,...,ут вполне независимы.

Описание алгоритма нахождения тождественных соотношений между показателями представим следующим образом:

1. Пусть у = Л, у2 = А ,...,ут = А, где

§1 §2 §т

Л,§ - многочлены от переменных хг,...хи, причем § = §1,...%т ф 0.

2. Для удобства вычислений введем новые независимые переменные ^,...,^,и.

Рассмотрим следующую систему многочленов от к + т +1 независимых переменных

х1,...хп , zm ' и

К = Л

к2 = § 2 Z2 — Л2 ,

к = § z — Л

т о т т л т >

кт+1 = §и — 1

Нам необходимо построить так называемый редуцированный базис Грёбнера для системы многочленов относительно лексикографического порядка переменных

г, < г, <... < г < х < х, < ... < х < и.

12 т 12 п

2. Применим классический "алгоритм критических пар", описываемый ниже.

Опишем построение базиса Грёбнера для произвольной системы многочленов. Каждый многочлен от переменных X ,. хи, ^,. ., ги, и записывается в виде несократимой суммы одночленов. Всякий одночлен мы будем записывать следующим образом. Сначала идет числовой множитель (если он не равен 1), а затем произведение переменных, причем переменные в произведении следуют строго в порядке старшинства: старшей считается и, затем

Хп , Хп-1'...' х1, гт , гт-1'...' г1.

Если теперь записать слагаемые-одночлены, составляющие данный многочлен / в "алфавитном" порядке, соответствующем этому "алфавиту", то старшее из них (стоящее раньше других в словаре, упорядоченном по этому "алфавиту") назовем

старшим членом / и обозначим /. Например, если / = 4х2х: + Э^х2 + 2и, то / = 2и.

Если вычисления проводились над пространством рациональных дробей, то чтобы получить соотношения с полиномиальными коэффициентами, достаточно привести эти тождества к одному знаменателю. Если же таких многочленов среди \,\...,Нг нет, то

показатели у, у, ..., ут независимы.

Литература

1. Вороновицкий, М.М. Равновесные траектории макроэкономической модели, учитывающей производственный цикл и дефицит государственного бюджета [Текст]/ М.М. Вороновицкий // Прикл. нелинейная динамика. - 2008. - Т.4. №3, С.46-54.

2. Иванов, Ю.Н. Математическое описание элементов экономики [Текст] / Ю.Н. Иванов, В.В. Токарев, А.П. Уздемир // Системный анализ экономических показателей - М.: Информ-электро - 2010. С. 59-68.

3. Клейнер, Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение [Текст] / Г.Б. Клей-нер - М.: Финансы и статистика - 1986, 312 с.

Лапшина Марина Леонидовна, доктор технических наук, профессор, Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова (г. Воронеж, Российская Федерация), marina_lapshina@mail.ru

Лапшин Дмитрий Дмитриевич, кандидат технических наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (г. Воронеж, Российская Федерация), marina lapshina@mail.ru

Меерсон Вера Эдуардовна, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры вычислительной техники и информационных систем, Воронежский государственный лесотехнический университет имени Г.Ф. Морозова (г. Воронеж, Российская Федерация), marina lapshina@mail.ru

THE DETERMINISTIC CHARACTERISTICS IN DYNAMIC ANALYSIS

OF PRODUCTION PROCESS

M.L. Lapshina, Voronezh State Forest Technical University named after G. F. Morozov, Voronezh, Russian Federation, marina lapshina@mail.ru

D.D. Lapshin, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation, mari-na_lapshina@mail.ru

V.E. Meyerson, Voronezh State Forest Technical University named after G. F. Morozov, Voronezh, Russian Federation, marina lapshina@mail.ru

The arbitrary system of indicators characterizing the state and dynamics of economic entity performance has been considered from the viewpoint of defining the system of relationships between its constituent parameters. Initially, the problem of direct determined factor analysis of the indicators of economic entity performance consists in specifying the appropriate function, clearly expressing indicator values through factor sets, and the analysis of how these factors impact the function value. The specification and analysis of identical relations between the elements offactor sets can be considered a separate task. The proposed approach has helped to solve a number of practical tasks, using the deterministic analysis for the description of machine-construction companies. The model of this system is being created in the form offractional rational functions of variables, corresponding to initial values

Key words: characteristics, systems, algorithm, production volumes

References

1. Voronovitsky M.M. Ravnovesnye traektorii makroekonomicheskoj modeli, uchityvayush-chej proizvodstvennyj cikl i deficit gosudarstvennogo byudzheta [Tekst] [Equlibrium paths of the macroeconomic model, considering the production cycle and the state budget deficit [Text]]. Prikl. nelinejnaya dinamika [The applied non-linear dynamics]. 2008. - V.4. №3, PP.46-54.

2. Ivanov Y.N., Tokarev V.V., Uzdemir A.P. Matematicheskoe opisanie elementov ekonomiki [Tekst] [The mathematical description of economic elements [Text]]. Sistemnyj analiz ekonomich-eskih pokazatelej [The systematic analysis of economic indicators]. Moscow: Informelektro - 2010. PP. 59-68.

3. Kleiner G.B. Proizvodstvennye funkcii: teoriya, metody, primenenie [Tekst] [Production functions: theory, methods, application [Text]]. Moscow: Finance and Statistics - 1986, 312 p.