Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010 Теоретические основы прикладной дискретной математики №2(8)

УДК 519.719.325

АДДИТИВНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ СТЕПЕНИ НЕЛИНЕЙНОСТИ ДИСКРЕТНОЙ ФУНКЦИИ1

А. В. Черемушкин

Институт криптографии, связи и информатики, г. Москва, Россия

E-mail: [email protected]

В работе предлагается подход к определению степени нелинейности дискретных функций, заданных на абелевых группах, инвариантный по отношению к введению мультипликативных операций. В качестве приложения введенного понятия описан алгоритм нахождения групп инерции в группе сдвигов для функций рт-значной логики.

Ключевые слова: дискретные функции, степень нелинейности, группа инерции.

1. Конечные производные и степень нелинейности функций на абелевых группах

Рассмотрим функции F : G ^ H, у которых на множествах G и H заданы структуры абелевых групп.

Определим производные по направлению AaF, a Е G, функции F равенствами

AaF (x) = F (x + а) — F (x),

где x Е G.

Следующие свойства очевидно вытекают из определения.

A1. При всех а Е G выполняется равенство

Aa(F1 + F2) = AaF1 + AaF2.

Для обозначения нейтрального элемента групп G и H будем использовать символ 0. A2. Если AaF(0) = 0 для всех а Е G, то и AaF(x) = 0 для всех a, x Е G.

A3. При всех a,b Е G выполняется равенство

Aa+b F (x) = AaF (x + b) — AbF (x).

A4. При всех a,b Е G выполняется равенство

AaAbF = Aa+bF — AaF — AbF

Степенью нелинейности функции F : G ^ H (обозначается dl F) называется минимальное натуральное число m, такое, что

Aai ... Aam+i F (x) = 0

при всех a1,..., am+1 ,x Е G.

хРабота выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ №4.2008.10.

Заметим, что степень нелинейности определена не для всех функций и абелевых групп. Например, для функции 6-значной логики ^, задающей подстановку (0, 2,1, 5)(3)(4), последовательность

Д^, Д^*1, Д^Д^,...

является периодической, причем ни одна из функций этой последовательности не равна тождественно нулю.

Ниже будет показано, что если на множестве аргументов и значений функции задана структура элементарной абелевой группы, то степень нелинейности определена всегда.

Для степени нелинейности функции ^ : О ^ Н выполняются следующие очевидные свойства.

В1. Функция ^ имеет первую степень нелинейности в том и только в том случае, когда она имеет вид ^(х) = <^(х) + а, ^ € Нош(О, Н) — гомоморфизм, а € О.

В2. Если й ^ определена, то ^ ^ — это максимальное т, такое, что при некоторых а1,..., ат € О

Д«1 ... Дат ^(0) = °.

Вытекает из свойства А2 производных.

В3. Если й ^ определена, то dl Да^ ^ dl ^ — 1 при всех 0 = а € П, причем всегда найдется такой элемент 0 = а € П, что dl Да^ = dl ^ — 1.

В4. Если dl ^ определена, то для любых функций ^\(х) = ф(х) + а, ^2(х) = <^(х) + Ь, где ф € End(О), ^ € Е^(Н) — эндоморфизмы, а € О, Ь € Н, выполнено равенство

^ ^ = ^ (^2 о ^ о ^1),

где о — операция композиции отображений, (^2 о ^ о )(х) = ^2(^(^\(х))).

В5. Если для функций ^ : О ^ Н, г =1, 2, определены dl и dl ^2, то

dl (^\ + ^2) ^ шax{dl ^\, dl ^2}.

2. Конечные производные функций на элементарных абелевых группах

Пусть на множестве аргументов и значений произвольной функции ^ : О ^ Н заданы структуры элементарных абелевых р-групп. Если естественным образом рассматривать элементарные абелевы группы как векторные пространства над полем СЕ(р) = Zp, О = Zn и Н = Zk, то функция ^ задается набором координатных функций (^1,... , ). Поэтому помимо введенного выше «аддитивного» определения

степени нелинейности, вычисляемого с помощью производных по направлению, можно применять обычное «мультипликативное» определение степени отображения как максимума степеней многочленов координатных функций (см. [1]).

Покажем, что эти два подхода к определению степени нелинейности в данном случае совпадают.

Заметим, что можно рассматривать и более общий случай функций рт-значной логики ^ : Пп ^ Пк, где на множестве П задана структура элементарной абелевой р-группы. Если на множестве П ввести дополнительно операцию умножения так, чтобы П приобрело структуру конечного поля ОЕ(д), д = рт, то также можно показать, что «аддитивное» определение степени нелинейности совпадает с «мультипликативным» (см. ниже). Отсюда, в частности, вытекает, что способ введения операции умножения не влияет на значение степени нелинейности функций.

Помимо перечисленных выше свойств А1-А4 производных из-за введения операции умножения оказываются справедливыми также следующие.

А5. При всех а € Пп выполняется равенство

Д«^1^2(х) = Да^\(х)^2(х) + Л(х + а)Да^2(х).

Если функции и существенно зависят от непересекающихся множеств аргументов: Г\(х) = /1(х/) и Г2(х) = /2(х"), х = (х',х"), а = (а', а"), то

Да ^1^2(х) = Да/1/2(х) = Да /1 (х') /2 (х'') + /^х^Д^ ^(х").

А6. Для функции Г : П ^ П справедливо разложение в точке х = 0:

Г (х) = Г (0) — £ х £ ^ •

'=1 0=а€СР(д)

Пятое свойство очевидно. Шестое свойство вытекает из формулы

ЛЮ = — Е #.г: = 0,

^/ аг

0=аеср(д)

для коэффициентов разложения функции

9-1 I

'х\•? | —1, х = а;

/ (х) = ЕЛ(г)хг.

г=0

Здесь использовано равенство

9“ \а/ 0, х = а,

'=1 ^ > / >

справедливое для элементов поля СЕ(д).

Особо отметим свойства производных при а =1. Напомним, что факториальные степени определяются равенствами

I х(х — 1)... (х — г + 1), г ^ 0;

(х)г = 1, - - г = 0.

Факториальные степени связаны с обычными степенями соотношениями:

п

(х)п = Е 5(п,^')х'; (1)

'=0

п

хг = Е ^(п,.7 )(х)', (2)

'=0

где ^(п,^) и ^(п,^) — коэффициенты, которые для числовых полей называются числами Стирлинга первого и второго рода соответственно. Кроме того, при 0 ^ г ^ п справедливы равенства (в поле ОР(рт)):

А7. Д1 (х)п = (п)г(х)п-г;

А8. Д1хп = Е ^(п3)(3)г(х)'-г;

3=0

А9. Дп(х)п = п!.

Доказательство этих свойств осуществляется несложной проверкой.

Так как данные равенства рассматриваются как соотношения в поле ОР(рт), то для получения нетривиальных соотношений имеет смысл ограничиться случаем

0 ^ г ^ п ^ р — 1.

В случае, когда а — произвольный элемент поля, не обязательно равный единице,

можно положить

х(х — а)(х — 2а)... (х — (г — 1)а), г ^ 0;

1, г = 0.

(х)г,а

Тогда после замены х на ах получаем аналогичные равенства:

(х)п,а = Е«(п,3)ап 3х3;

3=0

хг = Е ^(п,.7)ап 3 (х)3,а. 3=0

Теперь последние три свойства можно сформулировать в более общем виде:

А7 . Да(х)п,а (п)га (х)п-г,а;

п

А8'. Дахп = Е ^(п,3)ап-3+г(з)г(х),--г,а;

3-

3=0

О

А9'. Дп(х)п,а = п!ап.

3. Степень нелинейности функции рт-значной логики

Пусть, как и выше, на множестве П задана структура конечного поля ОЕ(рт). Согласно введенному выше определению, степенью нелинейности dl Г функции рт-значной логики Г называется минимальное натуральное число т, такое, что

Да1 ... Дат+1 Г (х) = 0

при всех а1,..., ат+1 € П.

Из свойства А5 производных вытекает следующее очевидное свойство степени нелинейности произведения функций.

В6. dl (Г1 ■ Г2) ^ dl Г1 +dl Г2. Если функции Г1 и Г2 зависят от непересекающихся множеств переменных, то dl(F1 ■ Г2) = dl Г1 + dl Г2.

Стандартное «мультипликативное» значение степени нелинейности рт-значной функции Г, заданной над конечным полем, называемое также индексом нелинейности, определяется как максимальное значение величины

11Ь1II + ' ' ' + 11Ьп|

для всех входящих в многочлен функции одночленов х1.........х^1, Ьг € {0,1,... , рт — 1},

1 ^ г ^ п, где ||Ьг|| — сумма цифр в р-ичной записи числа Ьг, 1 ^ г ^ п.

Как показывают следующие три свойства, эти определения в данном случае равносильны. Сначала установим равносильность для случая т =1.

В7. Для функций над полем СР(р) степень нелинейности и степень функции совпадают.

Доказательство. Пусть f (xi,... , xn), n ^ 1, — произвольная функция, многочлен которой имеет степень deg f, причем все переменные входят в степенях не выше p — 1. Из свойств B1-B3 степени нелинейности следует, что dl f ^ deg f. Докажем обратное неравенство.

Воспользуемся индукцией по числу n. Если n =1 и deg f = k, причем

f (x) = cfc xk + cfc-ixfc-i + ... + CiX + Co,

то, согласно равенству (2) и свойству A9, имеем f (x) = ckk! = 0.

Предположим, что утверждение справедливо для всех функций от n — 1 переменного. Пусть deg f = k ^ 2 ив многочлен функции f входит одночлен x^1 • ... • xSs,

s

Е bi = k, s ^ 1. Разложим многочлен функции f по первой переменной:

i=1

f (xi, . . . ,xra) = x^ffc(x2, . . . ,xra) + xi-1ffc_i(x2, . . . ,xra) + ...

... + xifi(x2, . . . , xra) + fo(x2, . . . , xra).

Тогда для вектора a = (1,0,..., 0) Є GF(p)n выполнено

д!1 f (xi,...,x„) = ДІ1 xi1 • ffc(x2,...,x„) = bi! • ffc(x2,... ,x„).

По предположению индукции функция ffc имеет степень нелинейности k — bi, поэтому найдется набор векторов a1,... , ak-b1 Є GF(p)n, такой, что

Д«1 ... Д«к_Ь1 f (x2,...,xn) = 0.

Отсюда следует, что dl f ^ k.

B8. Если при фиксации базиса поля GF(pm), рассматриваемого как пространство над GF(p), функция F : GF(pm)n ^ GF(pm), n ^ 1, задается в координатном виде набором многочленов f1,..., fm над полем GF(p) от mn переменных, то

dl F = maxdl fj.

i=1,n

Доказательство. Пусть e1,...,em — стандартный базис и функция F задается в координатном виде выражением

m

F (x1, . . . , xn) eifi (x1,1, . . . , x1,n, . . . , xm, 1, . . . , xm,n) ,

j=1

где значения переменных в обеих частях равенства связаны соотношениями

im

xi = Em=1 xi,jei, j = 1, n, i = 1, m.

Заметим, что каждая координата хг,3-, 3 = 1,п, выражается через хг, г = 1,п,

т- 1

как линейная функция ^(аг,3-хг) ^г(х) = Е хр — функция след) при некотором

*=0

аг,3 € GF(pm). Подставляя эти выражения в правую часть равенства и используя свойства В1-В3 степени нелинейности, получаем оценку

dl Г ^ шaxdl /г.

г=1,п

С другой стороны, если

max dl fi = dl fs = k,

i=1,n

то по определению найдутся элементы й1, ... , а& Е ОР(р)т”, такие, что

дв1... Д^ Л = о.

Отсюда, с учетом того, что абелевы группы полей ОР(р)т” и ОР(рт)” совпадают, получаем

т

Д„1 ... Дв*/ = ЕегД«1 . . . Д«к/г = 0,

г=1

то есть

й ^ ^ шахД /

І=1,П

В9. Степень нелинейности одночлена

где 6* Є {0,1,... ,рт — 1}, і = 1,..., п, совпадает с

1161II + ■ ■ ■ + ||Ьп||,

где 11б»| — сумма цифр в р-ичной записи числа 6*, 1 ^ і ^ п. Степень нелинейности многочлена над полем ОР(рт) совпадает с максимальной степенью нелинейности для входящих в него одночленов.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай п =1. Так как при т =1 это утверждение по сути уже доказано (см. свойство В7), то рассмотрим случай т ^ 2.

Пусть 0 ^ к ^ (р — 1)т.

Покажем, что множество и многочленов, в которых все входящие в них одночлены хЬ, 6 Є {0,1,... , рт — 1}, удовлетворяют неравенству ||6|| ^ к, совпадает с множеством многочленов, степень нелинейности которых не превосходит к.

Обозначим через М(р, т, к) число разбиений числа к на т неотрицательных слагаемых, каждое из которых не превосходит р — 1. Тогда

| и |= П 2м *=0

С другой стороны, согласно свойству В8, множество и'к совпадает с множеством функций, которые задаются в координатном виде набором многочленов /1,... , /т над полем ОЕ(р) от т переменных степени нелинейности к. Как нетрудно проверить, множество имеет в точности такую же мощность:

| и |= П 2м

*=0

В силу очевидного неравенства й хъ ^ ||Ь||, которое вытекает из представления

хъ = хъ(0) . хр1ъ(1) . . хрт-1 ъ(т-1)

^х ^Х ^Х ... ^Х ,

т—1 з

ь = е Р ь(г), е ь(г) = ||ь|| , выполняется включение Ц си[. Отсюда получаем Цк = Ц.

г=0 г=1

При п ^ 2 рассуждения полностью аналогичны, за исключением того, что в данном случае

IЦ 1=1 Ц 1= П2М (р,т”’*).

*=0

B10. Степень нелинейности функции рп-значной логики для случая элементарных абелевых групп определяется только свойствами операции сложения. Поэтому для заданной элементарной абелевой р-группы при любом способе задания операции умножения так, чтобы в результате получилось поле из рп элементов, степень нелинейности функций всегда будет инвариантна по отношению к выбору операции умножения.

B11. Если G, H и R — элементарные абелевы р-группы, F1 : G ^ H, F2 : H ^ R и

о — операция композиции отображений (F о F2)(x) = Fi(F2(x)), x Е G, то

Пусть | С |= р”, | Н |= рт и | R |= рк. В силу свойства В8 достаточно предполагать, что на множествах элементов групп С, Н и R заданы структуры ОР(р)”,

от п и т переменных соответственно над полем ОЕ(р). По свойству В8 степень нелинейности совпадает с максимумом степеней одночленов в многочленах, задающих эти уравнения. Остается подставить во вторую систему вместо аргументов многочлены уравнений первой системы и воспользоваться свойством В5.

В12. Если С и Н — элементарные абелевы р-группы и R ^ С — подгруппа в С, то для степеней нелинейности функции ^ : С ^ Н и ее ограничения ^|д : R ^ Н на подгруппу R выполнено неравенство dl(F|д) ^ dl ^.

Это свойство очевидно вытекает из определения степени нелинейности.

В заключение заметим, что вопрос о свойствах аддитивного определения степени нелинейности функций для случая задания на множествах их аргументов и значений других типов групп, например, примарных циклических, остается пока открытым.

В качестве применения введенного выше понятия степени нелинейности рассмотрим метод нахождения групп инерции функций рт-значной логики в группе сдвигов, основанный на группировке одночленов в многочленах функций рт-значной логики по степеням нелинейности.

Пусть ^ : П” ^ П — функция рт-значной логики, причем считаем, что П = = СР(рт). Группа инерции (Ига)^ этой функции в группе сдвигов Нп относительно

при всех х1,..., Є ОР(рт).

Ниже будет описан метод, позволяющий вычислять группу инерции (Ига)^ по известному многочлену функции ^(х1,..., хп) над полем ОЕ(рт). Обозначим этот многочлен /(Х1, ...,х„).

В основе метода лежит сведение исходной задачи к решению нескольких систем уравнений над полем ОЕ(рт), являющихся линейными над полем ОЕ(р). Поэтому сначала, следуя [2], напомним способ решения таких систем.

dl(Fi о F2) ^ dl Fi ■ dl F2.

GF(p)m и GF(p)k. Тогда функции F1 и F2 можно задать системами из m и k уравнений

4. Вычисление групп инерции функции рт-значной логики

в группе сдвигов

операции сложения в поле ОР(рт) состоит из преобразований сдвига на век-

торы а = (а1,...,ап), где а1,...,ап Є ОР(рт), таких, что

F(xi + ai, ...,Xn + a„) = F(xb ...,x„)

4.1. Решение систем р -линейных уравнений 1. Под линейным (над ОР(р)) отображением Ь : ОЕ(рт) ^ ОЕ(рт) будем понимать произвольный эндоморфизм поля ОЕ(рт), рассматриваемого как линейное пространство (П, +) над полем ОЕ(р). Многочлен /(ж), представляющий линейное отображение Ь над полем ОЕ(р), называется 'р-многочленом (см. [2]).

Как известно, произвольный р-многочлен имеет вид

т— 1

/ (ж) = Е ,

і=0

где а Є ОР(рт),і Є 1,т — 1. Если зафиксировать какой-либо базис е1,...,ет поля ОЕ(рт) над полем ОЕ(р), то Ь, как линейное отображение векторного пространства, однозначно задается некоторой матрицей размера т х т с элементами из поля ОЕ(р).

Таким образом, решение одного уравнения Ь(ж) = 0 над полем ОЕ(рт) сводится к решению системы из т линейных уравнений над полем ОЕ(р). Чтобы выписать эту систему, выразим элементы Ь(в^) в базисе е1, ...,вт векторного пространства (П, +):

т— 1 _________

Ь(єі) = Е Ьйвй, і Є 1, т — 1.

і=0

Тогда при

т—1

ж — \ Л ж(і)в-

•Ду у ^ «Ду ^15

і=0

где ж(і) Є ОР(р), і Є {1,т}, получаем

т—1 т—1

Ь(ж) = Ь( Е ж(г)ві) = Е ж(г)Ь(ві) = (ж(1),...,ж(т))В^ і=0 і=0

при некоторой матрице = (6^^). Теперь искомая система уравнений принимает вид

(ж(1),...,ж(т))Вь = (0,..., 0).

2. Рассмотрим теперь систему уравнений над полем ОЕ(рт) с линейными над СР(р) многочленами. Ее можно записать в виде

Ь11(ж1) + ... + Ь1га(жга) = °

... (5)

Ьй1(ж1) + ... + Ьйга(жга) = 0,

где Ьу — р-многочлены, і Є 1, к, і Є 1, п. Как и выше, зафиксируем некоторый базис поля ОЕ(рт), рассматриваемого как линейное пространство над полем ОЕ(р). Сопоставим каждому многочлену Ьу п х т-матрицу Ву аналогично тому, как это было сделано выше. Тогда система (5) может быть записана в виде системы линейных уравнений над полем ОР(р)

В11 ... Вй1 \

I = (0,...,0). (6)

В1п ... )

Теперь всякому решению системы (6) соответствует решение

/т (і) т

(Ж1, ...,жга) = ЕХві,..., £>£*4

\г=1 і=1

системы (5).

(1) (т)

/у» 4 ' /у» 4 '

11

ж(1) ж П 5 * * * 5

(т)

4.2. Расширения группы инерции Определим цепочки расширений группы инерции, используя сравнения функций с точностью до многочленов степени нелинейности не выше в, 0 ^ в ^ (р — 1)жи.

Множество функций Г : ОР(рт)га ^ ОЕ(рт), степень нелинейности которых не превосходит в, обозначим через

и = {Г(хь...,х„) : й Г ^ в} .

При в = —1 полагаем и-1 = {0}.

Несложно проверить, что множество ТЛ3 является векторным пространством над полем ОЕ(рт), в частности, ТЛ3 замкнуто относительно операций сложения функций и умножения на элементы поля ОЕ(рт)). Введем также множества

(Н„)У = / ( | ^ Е Н„ : Г(х + а) — Г(х) Е Ы&

|Д х + а)

Несложно проверить, что при любом в ^ —1 множество (Нга)^ является подгруппой группы Нп. В частности, при в = —1 выполнено равенство

(Н„)^-1) = { ^ ^ Е Н : Г(х + а) = Г(х)} = (Н„)р.

С другой стороны, по свойству В1 степени нелинейности ДаГ(х) Е р-1, следо-

вательно,

(н )(^1 р-1) Н

(Нга) р — Нга.

Поэтому первой нетривиальной группой может быть только группа (Нга)р?1Р 2).

Каждой группе (Нга)р?) можно однозначно поставить в соответствие подпространство

Ж = (а = (аь...,а„) Е ОЕ(рт)п : ( X ) Е (Нга)^

[ \х + а)

Очевидны следующие цепочки включений:

{0} = и-1 С ио С ... С (Н„)р = (Н„)рт1) С ... С (Нга)^ С ... С (Н„)Ра1 р-1) = Н Ж-1 С Жо С ... С Жа1 р-1 = СЕ(рт)га.

4.3. Метод нахождения групп инерции

Рассмотрим теперь сам метод нахождения группы инерции.

Пусть функция F(xi,...,xn) Е Uk представима многочленом f(xi,...,xn) степени нелинейности dl F = k, 1 ^ k ^ (p — 1)nm.

Рассмотрим многочлен

A«f = f (x + a) — f (x), где x = (x1 ,...,xn), a = (a1,...,an) Е GF(pm)n. Сгруппируем одночлены, входящие в Aaf, по степеням нелинейности:

k—1

A»f = ЕЕ tb (a)Xib,

i=0 be/i

где через

Xb = ж^1.........xb'

n

обозначен произвольный одночлен многочлена Да/, tb(a) — коэффициент при этом одночлене, a I обозначает множество

I = {6 =(bi,...,bn) g{0,1,...,pm - 1}n : dl Xb = г}.

Как было показано выше, группы (Hn)F^ могут быть нетривиальными только при -1 ^ s ^ dl F - 2.

Первым шагом предлагаемого метода является нахождение группы (Hn)F^F 2) (или, что то же самое, подпространства Wk_2). Ее нахождение сводится к решению системы уравнений

{tb(a) = 0, 6 G /fc_i,

в левой части которой стоят p-линейные по переменной а многочлены tb(a) (см. утверждение 1 ниже). Используя описанный выше метод решения системы линейных уравнений, находим множество решений W&_2 и, следовательно, группу (Hn)F 2).

Далее процесс нахождения группы инерции осуществляется индуктивно по мере убывания значения s, —1 ^ s ^ k — 2.

Предположим, что уже найдена группа (Hn)F^ и соответственно подпространство Ws для s ^ k — 2. Теперь для нахождения множества Ws_1 надо решить систему уравнений (вообще говоря, нелинейных)

{tb(a) = 0, 6 G /s. (7)

Покажем, что на самом деле эта система является линейной на подпространстве Ws. Утверждение 1. Система уравнений

{tb(z) = 0, 6 G (8)

является системой линейных уравнений относительно z G Ws.

Доказательство. Заметим, что для z G выполняется включение Дг/ G U

по определению группы (Hn)Fs). Поэтому для всех z1,z2 G Ws по свойствам A3 и A4

производных и свойству B1 степени нелинейности выполняется условие

Д^1+^2 f — Д^1 f — Д^2 f = Д^1 f Д^2 f G Us_b

откуда получаем

tb(zi + Z2) = tb(zi) + tb(z2) для всех z1, z2 G Ws, 6 G Is. Отсюда следует, что

tb(ciZi + C2Z2) = citb (zi) + C2Íb(z2)

для всех zi, z2 G Ws, ci, c2 G GF(p), 6 G Is, что и означает, что данная система является системой линейных уравнений на пространстве Ws. ■

Таким образом, система (7) при наложении ограничения a G Ws становится линейной, а множество ее решений образует пространство Ws_i.

В результате, последовательно находя подпространства

Жк-2 ,Ж*_з,...,ЖьЖо ,Ж_ь и решая в них системы линейных уравнений, тем самым находим группу

^=(С+„) «е иЧ-

Понятно, что сложность данного алгоритма определяется степенью нелинейности функции (она определяет число шагов алгоритма) и сложностью решения систем линейных уравнений над полем СР(р) от не более чем тп неизвестных. Поэтому в худшем случае трудоемкость можно оценить величиной 0((й ^) • (пт)3).

Заметим, что трудоемкость линейно зависит от параметра й ^. Для более точной оценки следует воспользоваться одним из быстрых алгоритмов решения систем уравнений, а также учесть, что число неизвестных в получаемых системах в процессе решения должно монотонно уменьшаться (меняется число п). Следует также учитывать справедливость асимптотической оценки шенноновского типа о тривиальности расширений групп инерции почти всех функций в группах сдвигов ([3], теорема 5). Пример.

Пусть функция от трех переменных над полем

ОЕ(25) = ОЕ(2)[х]/х5 + х2 + 1

задана многочленом

•р (гу <"у» - ''У*4 'У*5 I '"У*4 '"У*4 '"У* 1 I ''У*4 ''У*3 I О''4 'У* ''У*2 I ''У*4 ''У*3 I <-у»4 ^у»4 ^у»3 I <"У*5 О''2

</ V1''-' 1 ? • • •) ^п ) — ^ 1 ^2 1 ^2 3 3 а> 1 ^ 2 ^ 3 "Г- 1 3 1 2 3 2 3 *

Все одночлены этого многочлена имеют степень нелинейности 3.

Сначала найдем группу (Н3)^1). Подпространство Ж1 состоит из векторов х = (х^х2,х3) Е ОР(25)3, являющихся решениями системы уравнений

^2 + й3 + «3 = 0,

а! + а2 = 0, а2 + а2 = 0,

а1 + а2 + а3 = 0,

«1 + «4 = 0, а2 + а2 + а3 = 0,

которая получается приравниванием к нулю коэффициентов многочлена Жегалкина левой части уравнения Д/(х) = 0 при одночленах степени нелинейности 2. Поскольку последние три уравнения являются следствиями трех первых, то достаточно решить систему

(а2 + а3 + а3 = 0,

а1 + а2 = 0, (9)

а241 + а233 = 0.

Воспользуемся изложенным выше методом. Выберем базис

{1,в,в2,в3,в4},

где в — корень неприводимого многочлена х5 +х2 + 1 над полем СЕ(2). Пусть линейному многочлену /¿(х) = х2* соответствует матрица С^, где г Е {0,1, 2}.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что

Со = Е, С1

Тогда система (9) имеет вид

/ 1 0 0 0 0 \ / 1 0 0 0 0 \

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0 0 1 1 0

V 0 1 0 0 0 / V 0 0 1 0 0 /

X

(1)

.,х1

(5) „(1)

X.

2

.,х2

(5) „.(1)

X

3

х(5) ., х3

0

Е

С2 о о С2

(0,..., 0)

С + С С1 С1

Решая ее, находим единственное ненулевое решение

= (00101,00101,01001)

х(1)

1

х(5) х(1) х(5) х(1) х(5) ,х1 , х2 ,***,х2 , х3 , ••*, х3

Таким образом, Ж1 = {0, а}, где а = (в2 + в4, в2 + в4, в + в4).

Подставляя найденный вектор в уравнение Д/(х) = 0, убеждаемся, что

И0 = И— = {0}.

Окончательно получаем

(Н3)

)(1) 3)/

№)/0)

!(Нэ)/1 = 1.

і.

2.

3.

ЛИТЕРАТУРА

Черемушкин А. В. Аффинная эквивалентность и ее применение при изучении свойств дискретных функций (обзор результатов) // Материалы Междунар. научн. конф. по проблемам безопасности и противодействия терроризму. Интеллектуальный центр МГУ. (2-3 ноября 2005 г.) М.: МЦМНО, 2006. С. 103-130.

ЛиддлР, Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1,2. М.: Мир, 1988. 818 с.

Черемушкин А. В. Некоторые асимптотические оценки для класса сильно зависимых функций // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2006. №17. С. 87-94.

1

2