Факторный анализ и математическое обоснование в его реализации Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДеТермиНироваНННый факторный анализ

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ В ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ

Е.Н. ГОЛОПУЗОВ,

доцент А.И. ШАДРИНЦЕВ Сибирский государственный индустриальный университет, г. Новокузнецк

Анализ экономических явлений и процессов уже давно является предметом широких дискуссий. Это относится как к экономическому анализу в целом, так и к факторному анализу в частности. Факторный анализ представляет собой способ выделения гипотетических факторов из некоторого множества переменных. Это комплексное, систематическое изучение и измерение воздействия отдельных факторов на результативный показатель с использованием детерминированных или стохастических моделей анализа. При этом стремятся к объективной (экономической) интерпретации факторов и факторной структуры. Остановимся на задачах прямого детерминированного факторного анализа с дальнейшим развитием метода дробления приращений факторных признаков.

В этом направлении следует отметить ряд работ, выполненных А.Д. Шереметом, Г.Г. Деем и Шаповаловым [1], В.Е. Адамовым [2], С.С. Липо-вецким [3] и др.

В работе [2] было начато рассмотрение прямого детерминированного факторного анализа относительно трех факторов и предложен к рассмотрению альтернативный метод «построения взаимосвязанных факторных индексов». В работе [3] дан анализ разделения остаточного члена между факторами.

В основе фундаментального интегрального метода, по оценке А.Я. Ванинского [4], лежит следующее двухшаговое построение: в каждой точке функциональная зависимость результативного показателя от факторов линеаризуется:

dz = d-dxl +... +d—dxm

(1)

а затем разложение получается интегрированием по кривой изменения факторов

Az = Jdz = ±* ,

„ <=11 дх,

В рамках интегрального метода на счет фак тора х относится величина, равная

(2)

Az- [ x Yff-dx., .

(3)

С вычислительной точки зрения метод цепных подстановок может рассматриваться как частный случай интегрального метода, который получается при ступенчатой кривой изменения факторов. Или короче: интегральный метод факторного анализа основывается на суммировании приращений функций; каждая функция определена как частная производная, умноженная на приращение аргумента на бесконечно малых промежутках. Как отмечают авторы [5], применение интегрального метода факторного анализа в детерминированном экономическом анализе наиболее полно решает проблему получения однозначно определяемых величин влияния факторов. А.Я. Ванинский [4] полагает, что «интегральный метод — единственно возможный способ построения разложения..., что создание интегрального метода в определенном смысле полностью решает проблему разложения приращения результативного показателя».

В данной работе предлагается новый подход и новая математическая схема в реализации прямого детерминированного факторного анализа.

Рассмотрим мультипликативную модель

вида:

f = x-y-z-q-p

где х, у, z, ?, Р — независимые переменные, факторы (экономические показатели); f — функция (зависимая переменная). Структура факторной системы согласно [5] определяется следующим видом:

А/ = ХГ уг Р1 - VУо г-?0-Ро = А + Л + А + А + А , (4) для нее разработаны рабочие формулы расчета элементов структуры факторной системы, например,

1 12

+4Г гГ(Р1-Хо + Ро -Х1) + VХо -(Л -?о + Ро - Ад) +

А = —-Ау- {4-^о- Ро- ?о- Хо + 2-Р1- ХГ(^1 -?о + ?Г го) +

о о ^ - ' - — ' и др. (5)

+4г Ро-(^г Хо + V Ах) + Аг-Ах-(2-Ро- Ад + р-д0) +

+Ар- Ад- (2- хо -Аг + х1 -го)}+1- Ах- Ау- Аг- Ад- Ар

И в дальнейшем весь процесс заключается в вычислительной трудоемкости.

В настоящей работе предлагается новая математическая модель (схема) определения влияния локального фактора на результативный показатель (функцию). Идея заключается в том, что взаимосвязь приращенных факторов можно определить в начале процесса, т.е. разложить влияние отдельного фактора на систему одночленов определенного вида, вычисление которых и дает количественную оценку влияния отдельного фактора на результативный показатель.

Как и в источнике [5], рассмотрим функцию вида:

/ = х-у-г-д-р ,

А/ = А/Х +А/у + А/ +А/д +А/р = £А/ , (6)

где А/ — приращение по / -му фактору, г е х, у, г,д, р

На основе факторного анализа приращение функции можно рассматривать как

А/ = х1- уг г- д1- Р1 - хо- у- го- до- Ро = (Хо + Ах) - (у о +Ау) - (го + Аг) - (до + Ад) - (Ро + Ар) - , (7) —хо- уо- го- до- ро

где о — базовые (плановые) переменные;

1 — отчетные (фактические) переменные. При выполнении соответствующих математических преобразований получим совокупность одночленов. Они относительно приращения данной функции будут иметь следующий вид:

уо-го-до-Ро-Ах

хо- уо-4о- Ро- Аг хо- уо-го- Ро- Ад хо- уо-го-до- АР

#1 = с/

(8)

N = с2

го-до- Ро -Ах-Ау = 2- — го-до- Ро- Ах-Ау; уо-до- Ро -Ах-Аг = 2-2-уо-до- Ро- Ах-Аг; уо-го- Ро -Ах-Ад = 2-2-уо-го- Ро -Ах-Ад; уо-го-до -Ах-Ар = 2-2-уо-го-до -Ах-Ар; Хо-до- Ро -Ау-Аг = 2- 2-Хо-до- Ро -Ау-Аг; Хо-го- Ро -Ау-Ад = 2-2-Хо- го- Ро- Ау-Ад; Хо-го-до -Ау-Ар = 2- 2-Хо-го-до -Ау-Ар; Хо- уо- Ро -Аг-Ад = 2-2-Хо- уо- Ро -Аг-Ад; Хо- уо-4о -Аг-Ар = 2-2-Хо- уо-до- Аг-Ар; Хо- уо- го -Ад-Ар = 2- 2-Хо- уо-го -Ад-Ар;

Или в общем виде одночлен определяется следующей зависимостью:

1 л

пх=о (ет—„)АХ, ((ест ) ,

я

где с — число сочетаний из т по п.

(9)

(1о)

И для

Ах-Ау-Аг-Ад-Ар =

= 5---Ах-Ау-Аг-Ад-Ар, #5 = С55 (11)

5 5

где N = £ N = 5+1о + 1о + 5+1 = 31 — число одночле-

1=1

нов в структурной системе. (12)

Теперь из системы равенств (8—11) группируются многочлены, которые включают конкретное приращение в различных сочетаниях.

Например, сделаем группировку относительно Ау , т.е. как бы гипотетически выделяем влияние на А/ только приращения по неизвестной у .

А/у = Хо - го - до - Ро - Ау + 2 - го - до - Ро - Ах - Ау + +2-Хо-до- Ро- Аг-Ау+2-Хо- го- Ро -Ад-Ау + +2-Хо-го-до- Ар-Ау + 2-до- Ро- Ах-Аг-Ау + +2-го- Ро- Ах-Ад-Ау + 2-го - до - Ах-Ар-Ау +

+3- Хо - Ро - Аг- Ад- Ау + 2- Хо - до - Аг- Ау- Ар + +1-хо -го- Ад- Ар- Ау+1-ро - Ах- Аг- Ад- Ау + +1-до - Ах- Аг- Ар- Ау +1-хо - Аг- Ад- Ар- Ау + +1-го - Ах- Ад- Ар- Ау+1- Ах- Ау- Аг- Ад- Ар.

(13)

С помощью формулы (13) определяем совокупное влияние Ay (в различных его сочетаниях) на приращение результирующего показателя через Afy. Аналогичную операцию проводим относительно Afx, Af, Af , Afp, их суммарное влияние дает Af.

Следует отметить, что данная математическая модель не зависит от числа независимых переменных, но с изменением их на момент исследования количественная оценка будет меняться. Порядок расположения независимых переменных в самой исследуемой функции (в ее первоначальном виде) не влияет на количественную оценку факторного приращения, что очень важно при некоторых исследованиях. Если интегральный метод дает единственно возможный способ построения разложения [4], то с помощью данной математической схемы можно получить конечное множество равносильных способов разложения, и все они дадут одинаковую количественную оценку. Например, с помощью формулы (13) получили Afy, теперь, делая различные группировки с одночленами правой части равенства, будем получать эквивалентные решения. Данная математическая схема дает точную количественную оценку, так как расчеты идут в прямом детерминированном варианте. И последнее — простая реализация на ЭВМ и практическая возможность просчета ручным способом без применения интегрального исчисления, что часто в практике анализа отпугивает.

Для того чтобы пользоваться данной математической моделью, необходимо обосновать (доказать) три положения (правила):

I. ^Af = Af , т.е. сумма приращений функции от независимых переменных (факторов) равна приращению зависимой переменной (функции).

II. В основе определения количественного влияния отдельного фактора ( Afi ) на приращение функции ( Af ) должна лежать группировка многочленов с учетом сочетаний (взаимосвязи) приращений независимых переменных и разбиение первичных одночленов на определенное количество сомножителей, т.е. построение системы равенств аналогичной (8—11), но для конкретного количества независимых исследуемых факторов (переменных).

III. Данная математическая модель должна быть справедлива для n независимых переменных.

При этом на мультипликативную связь пере-

менных

f = П x,

учетом сочетания (взаимосвязи) приращений независимых переменных и разбиения первичных одночленов на определенное числа сомножителей, т.е. построение системы равенств аналогичной (8—12), но для конкретного число независимых исследуемых факторов (переменных).

Для упрощения записи и изложения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.

Пусть

(14)

(15)

f = x-y-z

и Af = Afx + Afy + Afz = X1 • У1 • Z1 - x0 • y0 • Zo =

(Xo + Ax )• (Уо +Ay)-(Zo +Az ) - Xo- Уо-Zo.

В результате элементарных преобразований получаем

А/ = у0-г0 -Ах + х0 г -Ау + Zo -Ах-Ау + х0 • у0 -Аг

+у0-Ах-Аг + х0-Ау-Аг + Ах-Ау-Аг. (16)

С помощью предложенной математической модели можем записать систему одночленов, которые определяют приращение функции

у0-г0-Ах; х0- г0- Ау;

V Ут Az;

Zo • Ax^ Ay = 2 y zo • Ax^ Ay; yo • Ax^ Az = 2^ L yo • Ax^ Az; xo • Ay • Az = 2 y xo • Ay^ Az.

Ax^ Ay • Az = 3 — Ax^ Ay • Az.

(17)

(18)

(19)

не налагаем никаких ограничений и не требуем выполнения каких-то определенных условий, группировку многочленов производим с

Приращения по независимым переменным (А/х, А/у и А/г ), определенные по предложенной методике, дают те же результаты, что и в источнике [5], но для целостности изложения покажем эти преобразования:

А/х = у0- V Ах + 2-г0 -Ах-Ау+2-у0- Ах-Аг +

1-Ах-Ау- Аг = 2-Ах-[2-у0- г0 + (г0- Ау + (20)

+у0-Аг)]+3-Ах-Ау-Аг.

В результате аналогичных преобразований получим

А/у = х0-г0 -Ау+2-г0 -Ах-Ау + 2-х0 -Ау-Аг+-3-Ах-Ау-Аг =

2-Ау-[2-х0-г0 + (г0 -Ах + х0-Аг)] + -3-Ах-Ау-Аг.

(21)

А/г = Хо-уо- Аг+2-уо- Ах-Аг +1 хо -Ау- Аг + 2-Ах-Ау- Аг =

и 1 2 2 1 3 (22)

уАг-[2-Хо- уо + (уо -Ах + Хо -Ау)]+3-Ах-Ау- Аг.

Путем простых преобразований легко проверить, что первые два требования выполняются (относительно п = 3).

Приращение функции А/ можно представить в виде многогранника (рис. 1), который получается как параллелепипед со сторонами х1, у , г1, без внутреннего параллелепипеда, построенного на сторонах хо , уо , го (в дальнейшем будем рассматривать как многогранник А). Рассмотрим в уравнении (16) слагаемое уо-го-Ах , геометрически оно представляет собой параллелепипед УЬ/РКЩСсС (или короче V,, ); слагаемое г0-Ах-Лу - уп, и т.д. г

Рис. 1. Геометрическая интерпретация приращения функции вида / = х - у - г

Система равенств (18) предусматривает разложение одночленов на две равные части, что геометрически представляет собой разложение параллелепипеда на две равные объемные части.

Например, го-Ах-Ау — на две части 2-го-Ах-ау , что геометрически представляет два многогранника УьлФВвА и У1ШВСВ. По аналогии другие одночлены имеют такую же геометрическую интерпретацию. Остановимся на одночлене Ах-Ау-Аг, геометрически он представляет собой параллелепипед Уш и Уш = У+У2 +К3, где У1 = Ушжв ; У2 = УМШВ и У3 = УВГШМ . Согласно элементарной геометрии [6] каждый многогранник можно разбить на конечное число тетраэдров, в данном случае рассматриваем разбиение относительно вершины В, тогда

У = 1-Ау- Аг- Ах+1-Ах-Аг-Ау +1-Ах- Ау-Аг = Ах- Ау- Аг .

Рассмотрим геометрическую интерпретацию относительно приращений по неизвестным переменным. Так, на основании формулы (2о)

А/Х = уо-го-Ах + 2-го-Ах-Ау + 2-уо-Ах-Аг +1-Ах-Ау-Аг , что геометрически можно представить как

УА/Х = У1С2 + У1КЯВСВ + УВВ1С1С#Ы1 + УВИЖВ , (23)

т.е. получим цельное геометрическое тело (многогранник), что-то конкретное, а не какие-либо отдельные объемные составляющие.

В системе равенств (18) и (19) необходимо производить кратное деление (правой части равенства), т.е. одночлен левой части равенства делится на число приращений сомножителей данного равенства, таким образом дополняем величину каждого приращения фактора на одну и ту же равную величину. Например, го -Ах- Ау при определении А/х дополняем на величину 2-го -Ах- Ау, а при определении А/у увеличиваем на эту же величину

2-г(| -лх- Ау^. Если же будет таких приращенных

сомножителей п , то левая часть одночлена будет делиться на п, где п — целое положительное число.

Возникает естественный вопрос: в результате эквивалентных алгебраических преобразований сохраняется ли интерпретация этого геометрического тела? Продолжаем рассуждения относительно формулы (2о).

Можно ее рассматривать и как

А/х = 2-Ах-[2-уо-го + (го-Ау + уо-Аг)] + 3-Ах-Ау-Аг . (24)

Но в таком виде можно говорить как о количественной оценке полученных объемных частей, ибо выражение в квадратных скобках формулы (24) дает площадь боковой поверхности частей многогранника, но не о геометрическом теле в целом, тогда возникает дилемма, нужно ли делать дальнейшие алгебраические преобразования или можно остановиться на первом этапе. Конечно, с вычислительной точки зрения в этом может быть есть какая-то необходимость, но надо помнить, что при увеличении числа переменных эти алгебраические преобразования очень трудоемки, и что самое главное — теряется геометрическая наглядность, целостность восприятия.

Геометрическая интерпретация позволяет более наглядно рассмотреть первое положение, т.е. ^А/ = А/ . С помощью этого правила можно рассматривать полноту разбиения по факторам, т.е. то, что алгебраически представили через уравне-

ния (20—22). Чтобы не вдаваться в математическую детализацию данного вопроса, попытаемся на общих рассуждениях показать это. Проведем на фигуре А линии, разбивающие ее на такие части, из которых можно составить различные фигуры А1 (многогранники). Вершинами многогранников А^ является совокупность точек (х0, у, , г0, Дх , Ду, Дг) , в которых пересекаются ребра между собой. Тогда, опираясь на лемму при доказательстве теоремы Хадвигера, можно доказать, что А^ являются многогранниками и, собрав многогранник по этим факторам, как мы это делаем, получим три новых многогранника, представляющих собой сумму объемов 2А1 . Таким образом, полноту разбиения по факторам можно рассматривать

геометрически как А = 2А1, т.е. 2А1 снова дает

1 1

равновеликую фигуру А. Необходимо отметить, что алгебраические преобразования, хотя они эквивалентные, все же затрудняют геометрическую и экономическую интерпретации.

Геометрическое изображение (см. рис. 1) представляет собой отражение функции на конец времени t, т.е. ¿о ^Ч. В течение этого времени Дt = - ¿0 функция / = /(х, у, г) теоретически может вести себя по-разному в зависимости от вида функции и изменения независимых переменных, но нас интересует значение функции на какой-то конкретный фиксированный момент времени (г eДt). Например, рассмотрим элемент приращения функции (Д/) — одночлен вида Дх • Ду • Дг . Если рассматривать декартову систему координат (рис. 2), то соответственно сомножители Дх, Ду и Дг можно рассматривать как соответствующие векторы, которые подчиняются законам теории векторного исчисления, т.е. состояние Дх-Ду-Дг есть векторное произведение, а й будет представлять результирующий вектор, длина которого равна

й = 7(Дх)2 + (Ду)2 + (Дг)2 , (25)

такое же поведение результирующего вектора будет и в п -мерном пространстве, т.е. V параллелепипеда равен:

V = • а2 •...• ап^ , где (а1 • а2 •••• ап) — п -кратное произведение векторов пространства Еп .

Формулы (20—22) имеют экономическое обоснование, геометрическую наглядность, и факторное влияние будет полным, количественная оценка будет точной, но как определить алгебраически полноту разложения и сами члены. Остановимся на этом более подробно.

г„ Дх

У /^0(0, 0, 0)

/Ч х

Рис. 2. Геометрическая интерпретация частичного приращения факторов вида Д/' = Дх • Ду • Дг

Согласно источнику [6] произведение п двучленов вида

(х + 01) •(х+Й2)^ •••• (х+ап) (П)

можно представить следующим образом

(х+а1)^(х+а2) •... • (х + ап) = хп + р1 • хп + Р2 • хп-2 + ... + рк-хп-к +... + рп р1 = а1 + а2 + ... + ап; р2 = а • а2 + а1 •а, + а1 •а4 + ... + ап-1 • а

где

I Рп = а1 а ••■■• ^ т.е. справедлива следующая теорема. В каноническом представлении произведения (П) коэффициент при хп-к равен сумме всевозможных произведений, составленных из чисел ^, 02, ", ап, взятых по к.

Бином Ньютона является частным случаем доказанной теоремы. Если положить а1 = = " = ап = а ,

то коэффициент при хп-к примет следующий вид:

С к к

п •ак , а поэтому получим:

(х + а)п = хп + Схп-1 • а1 + Сп2- хп-2 • а2 +... + +Спк • хп-к • ак + "+ап.

(П1)

Для доказательства необходимо рассмотреть следующее произведение:

(х + а^ (х^ + а^ "• (хк + ак )• ...• (хп + ап) =

Учитывая рассмотренные произведения (П) и (П1), можно предположить, что произведением (П2) является:

у

Х1 - Х2 - • •«- Хп +

-*--...- х + Р1 -Спп—1 -{хгх2-•..-Хп}

Iх!- х2 - • • •- х„ }+

+Р2-Спп—2-{Х1-Х2---Хп }+ • +

! п—к

+Рк-Сп"— -{Х1-Х2---Хп }+ ••• +

+Рп-Сп" {Х1-Х2 ---Хп}

где Р1 =ХСп' -{а1 -а2---ап }= а1 + «2 + •••+а-;

Р2 =ХСп '{а1 -а2---ап }= а1 -а2 + «1 - а3 + •■■ + ап—1 - ап ; Р3 =ХС»3' {^Г а2---ап}= а1 -а2-а3 + а1 -а2-а4 +• + ап—2 - Оч-а„ ;

Рк =ХСпк- {а1 -й2---ап }= а - а2---ак +

+ а - а2 ---ак—1 -ак+1 +• + ап—к ап—1 - ап

СП

п = а1 -а2 ---ап .

Окончательно формула будет иметь следующий вид (П3):

(х1 + 01)-(х2 + а.)-•-(Хк + ак )..(Хп + а) = хг х2-•-хп + +(а + а2 + •+ап)- (х1 -х2 -•..- хп—1)-- (х^ х2-•..-хп)••..-

=( п—1) =( п—1)

- (х2- х3-•- хп—1 -хп)+а -а2+а -а3 + •..+ап—1 -ап)-

-(хг Х2 - •- Хп—2) - (Х1- Х2 - • • -- Хп—

=( п—2) =( п—2) =( п—2)

-(х3 - х4-•-хп)+а-а2-а3 + а-а2-а4 + •+ап—2-ап-ап)-

=( —2)

(П3)

- (Х1 - Х2 - • • - - Хп_3 ) - (х1 - Х2 - • • - - Хп_2) - (Х^ - Х2 - • • - - Хп—) - (х1 - Х2 - • • - - Хп ) -

=( п—3) =( п—3) =( п—3) =( п—3)

-...-(х4- х5 -•..- хп)+......+(а1 -а2-•-ак + а1-а2 -•..- ак—1 -ак+1 +

=( п—3) =к =к

+ •■■ + ап —к ■•■■а—1 ' ап )-(хГ Х2-•-Хп —к ) - (х,- Х2 -•- Хп —к+1)- •■■

=к =( —к) =( —к)

(Хп—к'Хп—к+! - • ■ -- хп ) + • + а-а2-°3---°п •

и

По аналогии

/2(Р2{ Ах, Ау, Аг}; С31{Хо, уо, го}) = = (Ах-Ау + Ах-Аг + Ау- Аг)- (хо -уо - го) = = го-Ах-Ау + уо -Ах-Аг + + хо -Ау-Аг

/3(Р3{ Ах, Ау, Аг}; С3°{Хо, уо, го}) = Ах - Ау - Аг -1,

Теперь согласно доказанной теоремы (П3) рассмотрим произведение двучленов (П4):

(Хо + Ах) - (уо + Ау) - (го +Аг) = С33 {хо, уо, го}+ /1(Р {Ах, Ау, Аг}; С32 {хо, уо, го}) + /2(Р2 {Ах, Ау, Аг}; С31 {хо, уо, го}) + + /3СР3 {Ах, Ау, Аг}; С3о {хо, уо, го}) = где /1, /2, /3 — соответствующие функции и

/1(Р1[Х0, Уо, г о);С2 {Дх, Ау, Аг}) = = (Ах + Ау + Аг) ■ (Хо ■ Уо, Хо ■ го,Уо • го) = (П4)

= Уо ■ го ■Ах + Хо ■ го ■Ау + +Хо ■ Уо ■Аг, так как члены последовательности не могут умножаться сами на себя, т.е. на свои приращения: хо на Ах; уо на Ау; го на Аг.

окончательно

= Хо- уо- го + Хо- уо -Аг + Хо- го- Ау + уо-го- Ах + +хо - Ау- Аг + уо - Ах- Аг + го- Ах- Ау + Ах- Ау- Аг.

Возможен и другой подход при доказательстве.

Пусть / = х -у -г ,

А/ = (Хо +Ах)- (уо +Ау)-(го +Аг) — Хо- уо-го.

Тогда число членов (N) будет составлять N = 23 —1, т.е. 7 членов. Число членов и сами члены можно определить через сочетания элементов множества М.

Пусть М = {хо,уо,го,Ах,Ау,Аг}, число членов бу-

п 3

дет С6 , определим их:

Хо- уо- го, Хо - уо - Ах, Хо - го - Ах, уо - го - Ах, Хо - уо - Ау, Хо - го - Ау, уо - го - Ау, Хо- уо -Аг, Хо - го - Аг, Хо - го - Аг,

хо - Ах - Ау, хо - Ах - Аг, хо - Ау - Аг, уо - Ах - Ау, уо - Ах - Аг,

уо - Ау- Аг, го- Ах-Ау, го - Ах- Аг, го - Ау - Аг, Ах-Ау-Аг.

Как уже отмечалось, нас интересуют только те сочетания (они выделены), которые не содержат вместе составляющие неизвестных х1, у1 и

21, кроме того, при определении А/ сочетание хо - уо - го уничтожится, то

А/ = уо-го -Ах + Хо -го -Ау + Хо- уо -Аг + Хо -Ау- Аг + +уо- Ах- Аг + го- Ах- Ау + Ах- Ау- Аг

Как говорят в математике, что и требовалось доказать.

Если функция задана мультипликативно, то разработанная модель может быть также пригодна для определения качественной и количественной оценки влияния конкретного приращения независимой переменной от ( п+1) факторов (независимых переменных). При этом никакие ограничения не налагаются. Методом математической индукции для функции вида

/ = Х1 - Х2 - • ..- Х1—1 - Х1 - Х1 +1 - • ..- Хп+1 (26)

докажем основные выдвинутые положения.

Первое, что

+1

А/ = £А/ (1 = 1, 2, • • • , п+1). (27)

. =1

Пусть данное утверждение справедливо для п членов, т.е. что А/ = ^А/ .

к

к

к

п

1=1

Необходимо доказать справедливость утверждения для (п+1) членов. Не теряя общности рассуждения, формулу (27) можно представить как

А/ = £А/ = £А/ + /+

1=1 1=1

Для и членов справедливо

(28)

А/ * =П Х,1 -П Х,0, (29)

1=1 1=1

тогда для (п+1) членов будет выполняться

п п п+1 п+1

А/ = (П Х,^' Хп+1,1 - (П Х!,0)- Хп+1,0 =П Х,1 -П Х,0 =

1=1 1=1 1=1 1=1

Х1,1 ' Х2,1 ' • " ' Х1,1 ' • " ' Хп+1,1 - Х1,0 ' Х2,0 ' • " ' Х1,0 ' • " (30)

• • •' Хп+1,0 = (Х1,0 +АХ1) ' (Х2,0 +Ах2) ' • ' (Х,0 + АХ1) ' • '

• " ' (Хп+1,0 + АХп+1) - Х1,0 ' Х2,0 ' • ■ ■' Х1,0 ' • ■ ■ ' Хп+1,0 .

Первое утверждение можно доказать и следующим способом. Для функции вида (26)

п+1

/=П Х

1=1

будет справедлива следующая система равенств

А/х1 = (х1,1 - Х1,0)' Х2,0' • ■ •' Х1,0' • ■ •' Хп+1,0; А/х2 = Х1,1 ' (Х2,1 - Х2,0 ) ' Х3,0 ' • ■ •' Х1,0' • • •' Хп+1,0;

А/Х1 = Х1,1 ' Х2,1 ' • • •' (Х1,1 Х1,0 ) ' Х+1,0 ' Х+2,0 ' • ■ • ' Хп+1,0 ;

(31)

А/Хп+1 = Х1,1 ' Х2,1 ' • ' Х1,1 ' •''' Хп,1 ' (Хп+1,1 Хп+1,0 ).

В равенствах системы (31) раскроем скобки и приведем подобные члены

А/ п+1 = £А/ = Х1,1 ' Х2,0 1=1 • Х1 ,0 • Х п+1,0 -

Х1,0 ' Х2,0 ' • " 'Х1,0 Хп+1,0 + Х1,1 Х2,1 Х3,0 ' • Х1,0 •

- Х1,1 ' Х2,0 ' •••' Х1,0 Хп+1,0 + • .. + х1 ,1 Х2,1 • ••'Х1,1'

' Х1+2,0 •• Хп+1,0 - Х1,1 Х2,1 • •••'Х1,0 ' Х+1,0 ' Х1+2,0 •

' Хп+1,0 + • + Х1,1' Х2,1 '•■■' Х1,1 '• ••'Хп,1 ' Хп+1,1 - Х1,1 Х2

' Х,1' • "' Хп,1 ' Хп+1,0 = Х1,1 Х2,1 • ■■'Х,1 '• Хп,1

' Хп+1,1 - Х1,0 ' Х2,0 ' • ■ Х1,0 •••' Хп+1,0 .

Обоснование второго положения функции (26) для (п+1) независимых переменных не требует больших усилий.

В начале статьи уже отмечалось, что разработанная факторная модель определяет точно и полно количественную оценку влияния локального фактора на приращение результативной переменной независимо от числа факторов. Определим количественную оценку факторов относительно мультипликативной функции вида / = Х'у^^'р по трем методикам. По интегральному методу [5], методике, предложенной в [8], и предлагаемой к рассмотрению. Возьмем условный числовой пример, пусть

х1 = 7; Ах = 2; Я = 9; Ау = 3; г1 = 11; Аг = 4; q1 = 14; Аq = 6; р1 = 11; Ар = 1.

Система данных дается в условных единицах. Количественные оценки влияния факторов сведены в табл. 1.

Х0 = 5

У0 = 6

г> = 7

qo = 8 Р0 = 10;

(32)

Таблица 1

Количественная оценка влияния факторов

на результативную переменную (приращение функции) вида / = Х'уг q' р

На такое доказательство ссылаются в работах [4, 8], т.е. после получения приращения факторы (независимые переменные) оставляют на достигнутом уровне 1, а остальные факторы — на уровне базиса 0. Такой подход имеет и экономический смысл, но следует сразу отметить, что суммарное влияние факторов (£А/) дает истинное значение, т.е. А/, но количественная оценка локального фактора (А/) не соответствует действительности. Здесь ведем рассуждения относительно мультипликативной связи, приращение фактора представляем в аддитивной форме.

Показатель По предлагаемой методике По интегральному методу [5] По методике Э. Ферстера [8]

А/Х 16 595,8 15 955,8 6 720

А/У 19 801,8 19 801,8 11 760

А/г 21 926,8 21 992,8 20 160

/ 26 731,8 26 731,8 41 580

/ 4 865,8 4 865,8 9 702

А/ = £А/ 1 89 922 89 348 89 922

Как видно из табл. 1, при сравнении количественной оценки мультипликативной функции от пяти переменных по интегральному методу и предлагаемой методике есть различие в количественной оценке влияния факторов. Хотя были просчитаны по рабочим формулам интегрального метода [5] мультипликативные зависимости вида / = Х'У'г ; / = х-у-г-q, где количественные значения факторов совпали, эти отклонения можно объяснить только точностью расчетов.

п+1,0

Если расхождение количественных оценок при интегральном методе в основном можно объяснить вычислительной схемой, то предложенный в статье [8] метод изначально был неверный, хотя уже отмечали, что ряд исследователей пользуется этим методом. Действительно, он суммарно дает ту же оценку, что и предлагаемый метод, но локальная оценка влияния факторов не верна. Вернемся к данной зависимости / = х-у-г-д-р . По данным статьи [8] влияние локальных факторов можно определить следующим способом: А/Х = (х — Хо)-уо-го-до-Ро;

А/у = Х1-(у1 — уо)-го - до-Ро; А/г = хГ уг (г1 — го)-до-Ро; А/д = Х1-уг гг(д1 — до)-Ро;

А/Р = Х1- уг г1 -дг (л — Ро). (33)

В результате элементарных преобразований системы равенств (33) можно установить, что

А/ = А/х +А/у + А/г +А/д +А/р = ,

= хг уГ гх-дг Р1— хо-уо-го-до-Ро т.е. суммарная оценка влияния факторов верна. Рассмотрим приращение по одному из факторов, например А/г, согласно методике [8] он будет определен следующим образом:

f = Уг(г - го)-?0- Ро = х0- Уо-?0- Ро -Дг +

+Уо-?о- Ро -Дх-Дг+хо-?о- Ро-Ду-Дг++?о- Ро- Дх-Ду-Дг.

(34)

Для того чтобы учесть все взаимосвязи и отсечь лишние, не определяющие влияние данного фактора, необходимо сделать следующие преобразования:

1) вычесть многочлен вида 1 . . 1

2-Уо-?о- Ро- Дх-Дг + 2-хо-?о- Ро- Ду-Дг + 2

+3-?о-Ро-Дх-Ду-Дг ;

_ (35)

2) добавить дополнительные влияющие факторы, сгруппированные в следующий много-

член:

2-хо- Уо- Ро- Дд-Дг+2-хо- Уод -ДР-Дг +

3-Уо- Ро- Дх-Дд-Дг+3-Уо-до- Дх-Др-Дг + +1 - хо - Ро - Ду - Дд - Дг+1 - хо - до - Ду - Дг - Др +

3 3 (36)

1 1 3-хо-уо -Дд-Др-Дг + 4-Ро- Дх-Ду- Дд-Дг +

+3-до - Дх- Ду- Др- Дг+3- хо - Ду- Дд- Др- Дг +

3-уо - Дх- Дд- Др- Дг + 3- Дх- Ду- Дг- Дд- Др.

В результате таких дополнений получаем точное определение приращения результирующей переменной по данному фактору (независимой переменной г).

Если воспользуемся данными условного примера (32), то

f = 2о 1бо - 5 боо + 7 366,8 = 21 926,8.

В силу того что данным приемом (правилом) пользуются многие исследователи при различных видах функций, следует остановиться на этом более подробно.

Согласно литературным источникам существуют несколько способов представления полного приращения функции. Для краткости изложения рассмотрим функции вида

f = х-у-г.

I. Первый способ представления полного приращения функции (дг) в виде

Дf = [ f (хо +Дх, Уо + Ду, го + Дг) - f (хо, Уо + Ду, го + Дг)] + +[ f (хо, у о + Ду, го + Дг) - f (хо, Уо, го + Дг)] + +[ fK, Уо, го +Дг) - f^, Уо, го)].

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции лишь по одной переменной.

II. Второй способ представления полного приращения функции:

Af = [ f (хо + Дх, Уо, го) - f (хо, Уо, го)] + +[ f (хо +Дх, Уо +Ду, го) - f (хо + Дх, Уо, го)] +

+[ f (хо +Дх, Уо + Ду, го + Дг) - f (хо + Дх, Уо + Ду, го)].

III. Третий способ:

ДГ = (хо + Дх) - (Уо +Ду)-(го +Дг) - хо- Уо-го.

При первом способе представления полного приращения функции часто пользуются в математическом анализе при переходе от частных приращений функции к существованию частных производных в окрестности точки (хо, уо, го) при достаточной малости Дх , Ду , Дг . При этом при рассмотрении частного приращения функции по какой-либо конкретной переменной все значения переменных до нее фиксируются на уровне 1, а после нее — на уровне о.

Второй способ более конкретен при экономическом осмыслении, при нем происходит аналогичная ситуация, только при этом фиксация переменных происходит наоборот.

Третий способ обычно используется при прямом детерминированном факторном анализе. Используя аналогичный подход, можно точно представить приращение функции с помощью формулы конечных приращений Лагранжа в виде

А/ = (Х1 — Хо)-/х ) + (у — уо)-.

- /у(%,П,¥) + (г1 — го)-/г )

Он обычно используется при приближенном вычислении способом границ погрешностей.

Для всех этих способов характерно то, что функция задается в любом виде, но определяет только полное приращение функции, но не частные приращения, поэтому использование данных подходов при определении влияния локальных факторов на приращение результативной функции дает неправильную оценку.

В экономической практике независимые переменные гораздо реже встречаются в виде абсолютных величин, чем в виде относительных. Это прежде всего относится к анализу плановых показателей, а также к реализации удлиненных мультипликативных схем, которые очень часто используются при анализе финансово-хозяйственной деятельности, и в частности обобщающих (интегральных) показателей.

Пусть

У = Л^ ^ х---Х+1^ (37)

где хо, х , х2, • , Хп+1 — независимые переменные и

Хо Х1 Х1 Хп Л—Г Х1

отсюда

У = Хо^., ^ = П~, (38)

Х1 Х2 Х1+1 Хп+1 1=о Х1+1

АУ = —ГГ^^. (39)

л/+1 п+1 1=о Л+1

Хи Х1,о

1=о Х+1.1 1=о Х1+1,о Для мультипликативной модели, где факторы представлены в виде относительных величин, можно воспользоваться приемом (правилом), предложенным, в частности в [8], что при расчете факторов (а ), сохраняем варьирование перемен-Х

ной а = — , влияние которой мы хотим опреде-

Х1+1

лить при переходе из состояния о в состояние 1, и закрепляем переменные ао, а1, • • •, а,.—1, влияние которых уже определено в состоянии 1, а переменные а,.+1, • • • , ап — для состояния о (их влияние еще следует определить). Тогда зависимость (39) можно представить следующим образом:

1—1,1 Л1+1,о

Х,1 ~

., (4о)

АУ = 2

1=о ^ Х1+1,1 х1+1,о ) х1,1 х2,1 х1,1 х1+2,о хп+1,о

где Хп+1 =1.

Для более наглядной иллюстрации в виде примера рассмотрим частный случай зависимости:

V = / (х У ^ Р)

(41)

где х , у , г, д, Р — независимые переменные и

У = У х у - г - д _р_

при этом

х у г д р Хп

У

ао =—; х

х

а1 =-; 1у

у.

г г

а3 = —;

(42)

а2 =—;

д д

а4 = —; Р

=Р

хп ; (43)

где принимаем хп = 1.

На основании первоначального подхода мож-н о предложить следующие расчетные формулы:

АК = ■ И-

V V

хо = хо -Дал, где Аао = ——-;

V, ( х1 хо ) V х1 хо

=—-I — —0 I-Уо =—■ Уо ■М, где Да, =——0 и т.д.;

1 х1 ^ У1 Уо) хо У1 Уо

= — • ^о -Аа2;

2 У1

(44)

=—■ 4о

3

AVа4 = ~• Ро -Да4; 4 ?1

= ^•(Р1 - Ро).

Р1

Но как показывают исследования, имеет место для практической реализации и второй подход, который отличается от первого тем, что при рас-

Х

чете а1 = — закрепление переменных а в состо-

Х+1

янии о и 1 имеет обратный смысл, т.е. не 1 и о, а о и 1, тогда

АУ * = 2

хо,о Х1,о Хч,о Х1+1,1 Хп,1

Х1,о Х2,о X ,о Х+2,о Х+1Д

(45)

и, как показывают расчетные данные, они количественно отличаются от первого подхода (табл. 2). С экономической и математической точек зрения и первый, и второй подходы имеют смысл, как быть в таком случае. С точки зрения математики ни один из этих подходов не имеет четкого математического доказательства (имеется в виду определение Аа ).

5

хх

хх

х

х

х

х

=о

+1,1

+1,о

Можно предложить следующее — уравнять в правах как первый, так и второй подходы. Идею его рассмотрим на простой иллюстрации зависимости (44), так как AVa =Aa0- x0 и AVao*=Aa0- x1 и на существование имеют реальные шансы два этих подхода, то примем AVa =AVao *, тогда AV = AV * = Aa • xo + xi , а например, при определе-

a а 0

2

нии AV^ =AVa2 *=Aa2

Vr У o • ¿o + Vo • УГ Zi

, т.е. уже опе-

2 У0 У1

рируем со средневзвешенными оценками.

В общем виде с учетом зависимостей (40) и (45) 1 -е приращение определяется как

Х,-, о л + Хп п ' Х 1 ' Х,-, 1 1

AV. = Aa • -

2 • X¿,0 • xi,1

(46)

где Аа, =---

Х1+1,1 Х1+1,0

Для того чтобы пользоваться данной математической зависимостью, необходимо доказать, что

AV ~ = 2AV-=2

где Aa^

ДаГ

Х0 1 • Xi 0 • Xi+

1 + x0

2 • x¡ 0 • x i

, (47)

При прямом расчете доказательство объемно и трудоемко (что в рамках статьи важно), поэтому воспользуемся следующим, так как мы приняли, что А К = АУ *, где а У = £Аа1 и доказано в [2], а АУ* = £Ау* доказывается аналогично, то и АУ**, рассчитанная по формуле (47), равна А У, т.е. А У = А У * = А У ** выполняется.

Проведем расчеты относительно условного примера и сведем расчетные данные по этим трем вариантам в табл. 2.

Как видно из расчетных данных таблицы, количественная оценка по предлагаемой методике представляет собой среднеарифметическую оценку по приращенным факторам Аа1 первых двух вариантов.

Таблица 2

Расчет приращений по факторам мультипликативной модели, где приращение факторов задано относительными показателями (условный пример)

Показатель С учетом источника f21 По второму подходу По предлагаемой методике

Aa0 59 430 83 202 71 316

Aa1 -5 082 -1 680 -3 381

Aa2 -3 234 -1 200 -2 217

Aa3 -6 930 -3 000 -4 965

Aa4 36 036 10 920 23 478

Aa5 9 702 1 680 5 691

SAa,- 89 922 89 922 89 922

На основании предложенной прямой детерминированной факторной модели и новых подходов факторного анализа можно сделать следующие выводы.

1. Предложенная модель детерминированного факторного анализа дает возможность применения факторного анализа на определенный вид функций без применения интегрального исчисления. Метод дает качественную и точную количественную оценку независимо от числа переменных. Метод реализуется путем ручного счета и на ЭВМ.

2. С помощью прямого детерминированного факторного анализа можно находить количественную оценку влияния переменных 2-го, 3-го уровней и т.д. на приращение функции (объем статьи не позволил остановиться на этом).

3. Конечные результаты при прямом детерминированном факторном анализе хорошо согласуются с экономическим обоснованием и имеют геометрическое отображение (п < 3).

4. Предложенные первоначальные способы приращения функции дают четкое обоснование направления правильности использования факторного анализа.

5. При использовании прямого детерминированного факторного анализа расположение (порядок) переменных не влияет на количественную оценку, но число факторов (переменных) перераспределяет количественную оценку.

6. При прямом детерминированном факторном анализе с помощью эквивалентных преобразований многочленов можно получить альтернативные решения, т.е. конечное множество решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шеремет А.Д., Дей Г.Г., Шаповалов В.Н. Метод цепных подстановок и совершенствование анализа экономических показателей. — ВМУ. Серия 6. Экономика. - 1971. -№ 4. - С. 62-69.

2. Адамов В.Е. Факторный индексный анализ. - М.: Статистика, 1977. - 199 с.

3. Липовецкий С.С. Вариационный анализ распределения прироста по факторам. - Э и ММ. 1983, Т. XIX. Вып. 1. С. 125 -130.

4. Ванинский А.Я. Интегральный метод экономического анализа в историко-методологическом аспекте. - ВМУ. Серия 6. Экономика. 1987. № 1. С. 34 -41.

5. Баканов М.И., Шеремет АД. Теория экономического анализа. - М.: Финансы и статистика. 1999. - 416 с.: ил.

6. Энциклопедия элементарной математики. Кн. 5-я. Геометрия. - М.: Издательство «Наука». - Гл. редакция физико-математической литературы, 1966. - 624 с.

7. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. - М.: Государственное издательство «Высшая школа», 1962. - 564 с.

8. Математико- и статические методы исследования взаимосвязей в экономике. Из теории и практики ГДР. -М.: Статистика, 1977. - 181 с., ил.

x i • x

1 /+2,1

x

x

;,1

i,0

x

x

1+1,0

i+1,0