CC BY
47УДК 338.27.015
1 2 Е.С. Митяков , В.А. Сазонтов
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева1,
ООО «Интеком»2
Рассмотрена возможность применения алгоритмов адаптивной фильтрации для анализа и прогнозирования экономической динамики. Проведена апробация алгоритмов адаптивной фильтрации для прогнозирования индикаторов экономической безопасности Нижегородской области.
Ключевые слова: адаптивная фильтрация, прогнозирование, временные ряды, экономическая динамика.
Рассмотрим механизм прогнозирования, связанный с использованием адаптивной фильтрации. Проблема фильтрации временных рядов и случайных процессов является одной из традиционных и основополагающих для кибернетики и информатики. Она берёт начало с работ А.Н. Колмогорова и Н. Винера [1-3]. Позднее к решению задач фильтрации было приковано внимание очень многих исследователей. Особенно широкую известность получили работы Р. Калмана [4, 5], предложившего оригинальный подход, базирующийся на описании процессов с помощью стохастических дифференциальных или разностных уравнений. Основной целью сложившейся здесь теории является оптимальный (или приближённо оптимальный) синтез фильтров, требующий определённых априорных сведений о вероятностных характеристиках наблюдений и их составляющих.
Современные методы адаптации и обучения открыли новые, ранее не использованные возможности в теории фильтрации. Они выразились в синтезе процедур обработки наблюдений, требующих существенно меньшего объёма априорных сведений, способных приспосабливаться к конкретным эмпирическим данным и разнообразным практическим ситуациям. Такие свойства алгоритмов достигаются за счёт настройки фильтров как по текущим наблюдениям, так, и, возможно, по так называемым обучающим реализациям, связанным с полезным сигналом (трендом) или шумом. Адаптивные фильтры по своей структуре являются нелинейными и могут приобретать свойства, близкие к оптимальным, лишь по мере накопления данных.
Простейшая адаптивная модель основана на расчёте так называемой экспоненциальной скользящей средней, которая вычисляется с помощью рекуррентной формулы:
Уг = ах, + (1Уг-1, (1)
где г - дискретное время; уг - значение скользящей средней в момент г; хг - исходный
временной ряд; а - фактор сглаживания ( 0 <а< 1). Выражение (1) может быть представлено в следующем виде:
Уг = Уг-1 + а((хг - Уг-1) . (2)
Последняя разность в правой части (2) представляет собой ошибку предыдущей оценки, а новая оценка получается в результате корректировки с учётом последней ошибки. В этом состоит адаптивность модели.
Данные формулы часто используются для краткосрочного прогнозирования временного ряда, особенно в техническом анализе финансовых рынков. Предположим, что исходный ряд генерируется следующей моделью:
© Митяков Е.С., Сазонтов В.А., 2012.
х = а , (з)
где - некоторая неслучайная последовательность, определяющая тренд; { - случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией.
Тогда стандартная прогнозная модель для такого ряда имеет вид
л
Хх= у, (4)
л
где хт - прогноз, сделанный в момент ? на т шагов вперёд. При прогнозировании следует, с одной стороны, как можно быстрее отразить изменение тренда а{, а значит, уменьшить фактор сглаживания а, а, с другой стороны, необходимо сгладить случайные колебания ^, что требует увеличения а. Эти два требования находятся в противоречии друг с другом, поэтому оптимизация модели состоит в нахождения компромиссного значения а для конкретной задачи.
В случае, когда временной ряд имеет тенденцию линейного роста, экспоненциальное сглаживание даёт систематическую ошибку, т.е. приводит к смещённой оценке. Чтобы её избежать, используют несколько адаптивных моделей, в основе которых лежит гипотеза о том, что прогноз подчиняется уравнению
л л л
ХТ = а1,т + та2,т > (5)
л л
где а1 т, а2 т - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома первого порядка.
Классической моделью, позволяющей получить данные оценки, является модель Хольта, в которой расчёт производится следующим образом:
л л л
а1,т =а1 X + (1 -а1)(а1, т-1 + а2,т-1);
л л л л
а2,т = а 2 (а1,т - а1, т-1) + (1 - а 2 ) а2,т-1,
где а1, а2 - параметры сглаживания (0 <а1з а2 < 1).
Оптимальные значения параметров, как правило, рассчитываются путём минимизации среднего квадрата ошибки прогноза. Двухпараметрический предиктор Хольта используется также в качестве основы для построения более сложных фильтров, таких как фильтр Тейла-Вейджа или трёхпараметрическая модель Бокса-Дженкинса. Однако, как показывают многочисленные эмпирические исследования, многопараметрические модели не дают заметного преимущества. На практике широко используется частный случай модели Хольта, называемый моделью Брауна, для которой а1 = а 2.
Все эти методы фильтрации обладают существенным недостатком, связанным с тем, что временной ряд рассматривается изолированно от других явлений, оказывающих на него влияние, и даже при наличии дополнительной информации она может быть учтена лишь при оптимизации скорости адаптации фильтра. Помимо этого, точность подобного рода прогноза быстро падает со временем, поэтому для долгосрочного прогнозирования эти методы не работают.
Ещё одно направление, которое пользуется большой популярностью в традиционных эконометрических приложениях, связано с работами Бокса и Дженкинса. Гипотеза, лежащая в основе разработанных ими адаптивных моделей, состоит в том, что исходный временной ряд х может быть аппроксимирован предельно стационарным (в широком смысле) процессом. Обычно рассматриваются три возможных варианта [6]:
1) последовательность скользящего среднего порядка я :
я
X = X сV - ' 1=0
где vt - дискретный белый шум; сг - фиксированные числа;
2) модель авторегрессии порядка p:
xt + ax _! + ... + apxt _ p = vt,
где at - фиксированные числа;
3) смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего порядка (p, q):
Xt + aiXt-1 + . + apXt-p = C0Vn + . + CqVn-q •
В общем случае, когда описание тренда может быть задано с помощью вектора состояний и системы стохастических разностных уравнений, то оптимальные линейные фильтры называются фильтрами Калмана. Для построения данных фильтров достаточно знать первые два момента соответствующего случайного процесса. Поскольку априорные вероятностные характеристики исходного временного ряда зачастую неизвестны, то оценки ковариационных функций по конечной реализации производятся с неопределённой погрешностью и достоверностью. Именно поэтому адаптивный алгоритм настройки, используя текущее расхождение между наблюдениями и оценками, осуществляет постоянную корректировку структурных параметров. При этом фильтр приспосабливается к статистическим характеристикам именно тех эмпирических данных, которые поступают в него.
Как показывает опыт, адаптивные модели временных рядов могут давать более надежные результаты, чем сложные эконометрические системы уравнений. Так, при достаточно резком изменении некоторой экономической системы (например, под влиянием научно-технического прогресса, изменений социально-политических условий и т.п.) эконометри-ческая модель с постоянными параметрами будет экстраполировать существенно устаревшие зависимости. Адаптивная модель в таких же условиях перманентно приспосабливается и учитывает эти изменения.
В качестве примера можно привести эксперимент Ч. Нельсона [7], в котором сравнивалась точность прогнозов, полученных на основе эконометрической модели, состоящей из нескольких уравнений, и достаточно простых адаптивных моделей, применявшихся для прогнозирования нескольких временных рядов. Оказалось, что для периода, использованного при оценивании параметров эконометрической модели, последняя показала лучшее приближение к данным наблюдения, чем адаптивные модели. Однако за пределом периода наблюдения с помощью эконометрической модели (с экзогенными реальными данными) полученные результаты оказались хуже, чем с помощью адаптивных моделей.
Таким образом, методы адаптивной фильтрации в настоящее время являются наиболее перспективными при анализе и прогнозировании. Однако до настоящего времени их использование в задачах анализа и прогнозирования индикаторов экономической безопасности не до конца изучено. Вместе с тем, модели адаптивной фильтрации могут эффективно использоваться в задачах мониторинга экономической безопасности страны и региона, что подтверждается их успешной апробацией в Нижегородском регионе.
Апробация алгоритмов адаптивной фильтрации проведена на основе данных, предоставленных Территориальным органом Федеральной службы государственной статистики по Нижегородской области [8]. Количественных сведений оказалось недостаточно для того, чтобы выявить существенное статистическое преимущество какого-либо из адаптивных методов. Вместе с тем, удалось построить достаточно простой и эффективный класс прогнозирующих фильтров. При разработке алгоритма построения этих фильтров использовались следующие соображения. Во-первых, долгосрочная динамика основных показателей экономической безопасности региона удовлетворительно описывалась линейным трендом, который определяется по стандартным формулам линейной регрессии. Во-вторых, временные ряды за вычетом трендовой составляющей имели характерные циклические компоненты. Таким образом, были получены аппроксимирующие функции следующего типа [9]:
y = mt + b + a1 cos (ш^+ф1) + a2 cos(2Qt+92), (6)
где m, b - коэффициенты линейной регрессии; ш - частота основной гармоники; a1, a2 -
амплитуды первой и второй гармоники; ф1, ф2 - фазы первой и второй гармоники. Последнее слагаемое представляет собой поправку к первой гармонике на двойной частоте. Неизвестные параметры гармонических составляющих определялись методом наименьших квадратов.
В качестве примера на рис. 1 - рис. 4 приведена динамика некоторых показателей со-циодинамики Нижегородской области за период 2000-2009 гг.
Рис. 1. Доходы консолидированного бюджета Нижегородской области, млн руб.
• Эмпирические данные -Прогнозная модель
-----Экспоненциальная скользящая средняя.......Линейный (Эмпирические данные)
Рис. 2. Уровень безработицы Нижегородской области, %
Рис. 3. Динамика численности населения Нижегородской области, тыс. чел.
Реальные данные представлены круглыми маркерами, прогнозная модель - сплошной линией. Для сравнения на тех же рисунках приведен ряд экспоненциальной скользящей средней с коэффициентом сглаживания 0,5 (штрих-пунктирная линия), а также линейный тренд, построенный по эмпирическим данным (пунктир). Модель строилась на основании данных за 2000-2009 гг. (для ВРП - за 2000-2008 гг., для численности населения - за 1990-2009 гг.).
Для верификации модели приведены реальные данные соответствующих индикаторов для
одного года после прогноза (символ «х»): для ВРП - за 2009 г., для остальных показателей - за 2010 г. Кроме того, для ВРП приведены неофициальные данные за 2010 г. (символ «+»).
Рисунки демонстрируют хорошее соответствие модельной зависимости исходным рядам данных. Что касается верификации прогноза, то результаты можно считать вполне удовлетворительными, за исключением показателя «Уровень безработицы». Последний показатель, как видно из рис. 3.13, имеет очень большую дисперсию и его поведение год от года трудно предугадать. По-видимому, время адаптации здесь должно быть существенно меньше года, поэтому следует использовать более оперативную информацию об исходных данных.
В дальнейшем предполагается разработка методик прогнозирования устойчивого развития и экономической безопасности региона с использованием математических и эконометрических моделей и алгоритмов адаптивной фильтрации. В частности, будет использован прямой синтез адаптивных фильтров непосредственно по текущим наблюдениям, когда фильтруемый сигнал является обучающим, а процедуры настройки носят рекуррентный характер.
Библиографический список
1. Колмогоров, А.Н. Интерполирование и экстраполирование стационарных случайных последовательностей // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1941. № 5.
2. Wiener, N. The extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series / N. Wiener. -N.Y.: Wiley. 1949.
3. Хинчин, А.Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов // Успехи мат. наук. 1938. Вып. 5.
4. Kalman, R.E. New methods and results in linear prediction and filtering theory. / R.E. Kalman. -Baltimore: RIAS Tech. Rep. 1961. P. 1-61.
5. Kalman, R.E. New results in linear filtering and prediction theory / R.E. Kalman, R. Bucy. // ASME J. Basis Eng. - March 1961. - V. 83.
6. Копыркин, К., Динамические скользящие средние // Современный трейдинг. 2001. №5 -6. С. 8-12.
7. Лукашин, Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов / Ю.П. Лукашин. - М.: Финансы и статистика, 2003.
8. URL: http: //www.gks.ru
9. Инновационные преобразования как императив экономической безопасности региона: мониторинг и прогнозирование / Ю.М. Максимов [и др.] // Инновации. 2011. №7. С. 96-100.
10. Валовый внутренний продукт //http://www.vvprf.ru/archive/clause316.html
Дата поступления
в редакцию 25.04.2012
E.S. Mityakov, V.A. Sazontov
APPLICATION OF ADAPTIVE FILTRATION ALGORITHMS TO FORECAST ECONOMIC DYNAMICS
Nizhny Novgorod State Technical University n.a. Alekseev, Company "INTEKOM"
This study covers a possible application of adaptive filtration algorithms to analyze and forecast economic dynamics. Adaptive filtration algorithms have been approved to be used to forecast indicators of the Nizhny Novgorod region economic security.
Key words: adaptive filtering, forecasting, time series, economic dynamics.
