CC BY
75
УДК 311.13, 311.17
В.Б. Байбурин, М.П. Близникова, С.С. Гельбух
СПОСОБ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАГРУЗКИ ВНЕШНЕГО КАНАЛА СВЯЗИ КОРПОРАТИВНОЙ ТЕЛЕФОННОЙ СЕТИ
Статья посвящена прогнозированию трафика в университетской телефонной сети с целью предотвращения перегрузки внешнего канала связи. Использован способ получения временного ряда из чисел одновременных соединений за определенные моменты времени, равноотстоящие друг от друга. Предложен способ прогнозирования числа одновременных соединений, заключающийся в применении адаптивного метода Хольта к временному ряду, полученному в результате частотной фильтрации исходного ряда методом дискретного преобразования Фурье.
Временной ряд, сглаживание, прогнозирование, обратное дискретное преобразование Фурье, метод Хольта, телефонная сеть
V.B. Baiburin, M.P. Bliznikova, S.S. Gelbukh
A METHOD FOR PREDICTING THE LOAD OF EXTERNAL TRUNK IN A CORPORATE TELEPHONE NETWORK
The article is devoted to predicting the traffic in the university telephone network in order to prevent overload in the external trunk. Original time series where obtained from initial sequences of call records by calculation of simultaneous call numbers at points, separated by equal time intervals. The method of prediction of simultaneous call numbers was introduced comprise Holt adaptive forecast on time series, resulting from frequency filtering of original time series by discrete Fourier transform.
Time series, forecasting, prediction, inverse discrete Fourier transform, Holt method, telephone network
Исследование возможности прогнозирования количества одновременных телефонных соединений в определённые моменты времени (интенсивности соединений) в корпоративной телефонной системе без ожидания с применением статистических методов является актуальной задачей, решение которой создаёт основу для управления и оптимизации нагрузки на каналы связи, а также управления другими ограниченными ресурсами системы.
В настоящее время известно достаточно большое количество методов моделирования и анализа временных рядов и получения прогноза на их основе в различных случаях [1-3].
Достоверность прогноза во многом зависит от адекватности используемой математической модели и её способности учесть особенности сложного процесса, порождающего исследуемый временной ряд. С этой точки зрения, как представляется, вызывает особый интерес аппроксимация с помощью дискретных преобразований Фурье.
Дискретное преобразование Фурье временного ряда дает множество коэффициентов, в каждом из которых учитывается интегрированный вклад породивших ряд процессов, проявленный в каждом члене ряда. Обратное преобразование с частотной фильтрацией дает сглаженный ряд, отражающий некоторые долговременные тренды, скрытые в исходной случайной последовательности. В настоящей работе проверена гипотеза о том, что применение метода адаптивного прогнозирования к 180
сглаженным методом Фурье временным рядам интенсивности соединений позволит более точно предсказывать долговременные изменения этих рядов.
В результате предложен способ совместного применения методов сглаживания частотной фильтрацией и адаптивного прогнозирования.
Анализ интенсивности соединений проведен для корпоративной телефонной сети с числом абонентов около 500. Определяющим параметром состояния системы является количество одновременных соединений с использованием ограниченного числа внешних соединительных линий.
Опубликован ряд работ, посвященных прогнозированию нагрузки на телефонные сети [3, 10, 13-16]. Отличием нашего подхода является использование для построения временного ряда непосредственного расчета количества одновременных соединений в определенные моменты времени, равноотстоящие друг от друга. Полученные таким способом ряды использованы для прогнозирования в течение дня количества одновременных соединений.
Как показал статистический анализ в работах [6,7] средняя продолжительность соединения с абонентами внешних сетей в рабочее время составляет 80 секунд.
Из рисунка 1 видно, что прогнозирование перегрузки в изученной сети целесообразно проводить в период времени с 10 до 17 часов, когда вероятность двух и более одновременных соединений превышает 50%.
I.
1 II.
12345673 9 10 1112 13 14 15 16 17 13 19 20 21 22 23 24
Рис. 1. Распределение вероятности обнаружения одновременных внешних соединений по часам суток
Усреднение по выборке за два месяца (апрель - май 2014) для дневного трафика представлено на рис. 2.
Рис. 2. По оси абсцисс отложены интервалы по 80 секунд, по оси ординат -среднее число одновременных соединений по выборке за два месяца
Как видно из рис. 2, имеются слабо выраженные тренды, отражающие поведение абонентов в течение дня. Провал в области интервала с номером 110, в частности, соответствует обеденному перерыву. Рассмотрим применение дискретного преобразования Фурье (ДПФ) [9] для выявления этих трендов в дневных данных интенсивности одновременных соединений. Обозначим элементы ряда от начала дня до момента времени с номером M как x-, j = 1, к M . Для получения сглаженного ряда,
который в последующем будет экстараполироваться на глубину R, добавим к исходному ряду x- R
элементов ряда, полученного усреднением интенсивностей одновременных соединений по ансамблю нескольких дней, начиная с момента времени M . Применим обратное ДПФ к полученному ряду yi,i = 1,...M + R . В результате получен ряд Yj (1)
M +R j M +R j 1 M +R
Yj = XAncos(2Kn——) + X B„sinf2nn-—) + —— * X Уп (1)
M + R П=1 M + R M + R П=1
где коэффициенты An и Bn выражаются ДПФ через элементы исходного ряда y ■ в форме конечных сумм тригонометрических рядов.
M +R j M +R j
X УпC0S(2ЛП M+R ) X ynsin(2pn M+R)
A = _п=0_M + R в = —_M + R (2)
j M + R ' ' M + R
Для сглаживания ряда отобраны гармоники с максимальным номером, для оценки которого
использована формула
L=P(M + R) (3),
2R
где L - максимальный номер гармоники, P - вероятность, что точка прогноза на глубину R попадет в область за экстремумом ряда Yj.
Полученный таким образом ряд Yj используется для экстраполяции от точки с номером M на R шагов вперед. В настоящей работе использован адаптивный метод прогнозирования Хольта [12], который определяет способ вычисления коэффициентов линейной экстраполяции Qm и Ьм (4). Значения параметров метода Хольта a и /3 по результатам оценочных экспериментов были выбраны равными 0.95 и 0.5, соответственно.
aj =aYj + (1 -a)(aj-1 - bj-1)
bj =3(Qj - a-,) + (1 -3)bj-1 ( )
Прогнозированные значения Ym + k, k = 1,..., R для моментов времени начиная с M вычислены согласно формуле (5)
YM+k = aM + kbM (5)
Точечная оценка прогноза рассчитана как средняя абсолютная относительная ошибка (The mean absolute percentage error, MAPE):
MAPEM+k =100(XM+k - Ym+k) (6)
xM+k
Было проведено сравнение результатов прогнозирования описанным способом и прогнозирования методом Хольта по исходным данным x- .
В ходе эксперимента были обработаны временные ряды, полученные за 10 случайно выбранных рабочих дней. Момент времени, от которого рассчитывался прогноз во всех временных рядах за каждый из 10 дней, был выбран произвольно, и длина каждого ряда для прогнозирования составляла 90 значений.
Сравнение точности при прогнозировании всего ряда обоими методами представлено в табл. 1.
Таблица 1
Величина средней относительной ошибки в зависимости от глубины прогноза при прогнозировании ряда методом Хольта и временного ряда, сглаженного методом Фурье
Глубина прогноза Средняя относительная ошибка прогноза методом Хольта Средняя относительная ошибка прогноза методом Хольта данных, сглаженных методом Фурье
1 40% 25%
2 52% 19%
3 63% 28%
4 81% 18%
5 81% 29%
Из табл. 1 видно, что предложенный метод прогнозирования значений временного ряда, предварительно подвергнутого сглаживанию методом ОДПФ с частотной фильтрацией дает относительную ошибку, меньшую, чем прогноз, полученный методом Хольта по временному ряду, не обработанному предварительно.
Интервальная оценка сглаживания получена по ряду У, сглаженному применением ДПФ с частотной фильтрацией до четвертой гармоники, с использованием момента
:,=У1 + (" * )
2
Соответствующая этому моменту дисперсия
м
Е (2п - уп)2
0(2)
п=1
м
(7)
(8)
где М - число элементов прогнозируемого ряда. Отсюда среднее квадратичное отклонение можно оценить по формуле (9) [8]. Доверительный интервал сглаживания с уровнем достоверно-
сти 95% составляет У1 ± 1.960 [8].
Пример прогнозирования значений исходного ряда представлен на рис. 3.
а
Ь
Рис. 3. Сравнительный анализ прогноза методом Хольта исходного случайного временного ряда без обработки
и исходного временного ряда, сглаженного методом Фурье. По оси абсцисс отложены промежутки времени, по оси ординат отложены значения а) экспериментального временного ряда без обработки, экспериментального временного ряда, сглаженного методом Фурье и построенные прогнозы, Ь) экспериментального временного ряда без обработки, построенные прогнозы и границы доверительного интервала для прогноза экспериментального временного ряда, сглаженного методом Фурье в увеличении
По результатам проведенного в работе статистического анализа потока соединений на УАТС и экспериментов с прогнозированием можно сделать вывод, что прогнозирование трафика в корпоративной телефонной системе без ожидания с уровнем достоверности, общепринятым в технике [2], возможно в результате применения предложенного авторами способа, который предусматривает предварительную обработку исходного временного ряда дискретным преобразованием Фурье с частотной фильтрацией и последующее применение метода адаптивного прогнозирования (Хольта).
ЛИТЕРАТУРА
1. Brown L., Gans N., Mandelbaum A., Sakov A., Shen H., Zeltyn S., Zhao L.: Statistical Analysis of a Telephone Call Center / L. Brown, N. Gans, A. Mandelbaum, A. Sakov, H. Shen, S. Zeltyn, L. Zhao // Journal of the American Statistical Association. March 2005. P. 36-50
2. Paul D. Mandelbaum A., Mandelbaum F.: Workload forecasting for a call center: methodology and a case study Sivan Aldor-Hoiman / D. Paul, A. Mandelbaum, F. Mandelbaum // The Annals of Applied Statistics. 2009. Vol. 3, No. 4. P. 1403-1447.
3. Башарин Г.П., Клапоущак С.Н., Русина Н.В.: Мультисервисная модель Эрланга с потоковым трафиком и пороговой стратегией доступа для эластичного трафика / Г.П. Башарин, С.Н. Клапоущак, Н.В. Русина // «T-COMM: ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ И ТРАНСПОРТ» М.: Издательский дом Медиа паблишер. 2012. № 7, т.6, с 19-22.
4. Безручко Б.П., Смирнов Д.А., Математическое моделирование и хаотические временные ряды / Б.П. Безручко, Д. А. Смирнов. Саратов. ГосУНЦ «Колледж», 2005. 299 с.
5. Близникова М.П., Гельбух С.С. Выявление тренда в рядах телефонных соединений методом ДПФ и прогнозирование тренда методом Хольта / М.П. Близникова, С.С. Гельбух // ММТТ-27 Математические методы в технике и технологиях XXVII: сб. науч. тр. / Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2014.
6. Близникова М.П., Гельбух С.С. Контроль и прогнозирование телефонного трафика университета / М.П. Близникова, С.С. Гельбух // ММТТ-25 Математические методы в технике и технологиях XXV: сб. науч. тр. / Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2012. Том 6, стр 148-151.
7. Близникова М.П., Гельбух С.С. Управление потоками внешних и внутренних соединений телефонной системы предприятия на основе статистической информации / М.П. Близникова, С.С. Гельбух // Телематика'2013: сб. науч. трудов. СПб: СПбГУ инф. технологий., механики и оптики, 2013. Т. 1. С. 277-279.
8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. / Е.С. Вентцель. 6-е изд. стер. М.: Высш. шк., 1999. 576 с.
9. Воскобойников Ю.Е., Гочаков А.В., Колкер А.Б. Фильтрация сигналов и изображений: Фурье и Вейвлет алгоритмы (с примерами в Mathcad)/ Монография / Ю.Е. Воскобойников, А.В. Гочаков, А.Б. Колкер: Новосиб. гос. архитектур.-строит. ун-т (Сибстрин). Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2010. 188 с.
10. Кулябов Д.С., Королькова А.В., Зарядов И.С. Обзор подходов к моделированию модуля управления трафиком / Д.С. Кулябов, А.В. Королькова, И.С. Зарядов // «T-COMM: телекоммуникации и транспорт» М.: Издательский дом Медиа паблишер. 2012. № 7. Т. 6, С. 122-124.
11. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Основы теории сложных систем / А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. М.: Регулярная и хаотич. Динамика, 2007. 620 с.
12. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов./ Ю.П. Лукашин; М.: Финансы и статистика, 2003. 416 с.
13. Макаренко С.И. Анализ математических моделей информационных потоков общего вида и степени их соответствия трафику сетей интегрального обслуживания / С.И. Макаренко // Воронеж: Вестник Воронежского государственного технического университета, Воронежский государственный технический университет, 2012. Т. 8, №8, С. 148-151.
14. Овчинников К.А. Методы прогнозирования параметров телекоммуникационных систем с использованием нейронных сетей / К.А. Овчинников // Харьков: Восточно-европейский журнал передовых технологий, Технологический центр, 2012. Т. 4. № 9(58). С. 53-56.
15. Пасмарнова Н.С. Построение модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего для прогнозирования количества звонков с использованием пакета STATISTICA 6 / Н.С. Пасмарнова // Пенза: Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе, ООО «Центр анализа и развития кластерных систем», 2012. №2(3). С. 117-124.
16. Савельев О.О., Шевченко А.И. Постановка задачи исследования прогнозирования связей в трафиках телефонных сетей / О.О. Савельев, А.И. Шевченко // Харьков: Восточно-европейский журнал передовых технологий, Технологический центр, 2012. Т. 6. №3(60). С. 51-60.
Байбурин Вил Бариевич - Vil B. Baiburin-
доктор физико-математических наук, профессор, Dr. Sc., Professor
заведующий кафедрой Саратовского Head of Department,
государственного технического университета Yuri Gagarin State Technical University of Saratov имени Гагарина Ю.А.»
Близникова Маргарита Павловна - Margarita P. Bliznikova-
аспирант Саратовского государственного Postgraduate,
технического университета имени Гагарина Ю.А. Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
assistant
Гельбух Сергей Сергеевич - Sergey S. Gelbukh-
кандидат физико-математических наук, Ph.D.,
начальник управления информатизации Head: Department of Information
и телекоммуникаций Саратовского and Telecommunications,
государственного технического университета Yuri Gagarin State Technical University of Saratov имени Гагарина Ю.А.
Статья поступила в редакцию 11.11.14, принята к опубликованию 25.12.14
