Ионизация орбитально-поляризованных атомов электронным ударом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.194

И. Ю. Юрова, И. Д. Борисполъский

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2005, вып. 3

ИОНИЗАЦИЯ ОРБИТАЛЬНО-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ АТОМОВ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ

1. Введение. В настоящей работе рассматривается вывод аналитического выражения для тройного дифференциального сечения ионизации атома электронным ударом из начального состояния с фиксированной проекцией т орбитального момента количества движения I атома в лабораторной системе координат. Аналитические выражения для амплитуды ионизации, а именно, для борновского матричного элемента между сплошным и дискретным спектром, были получены и ранее в борн-кулоновском приближении [1-4]. Наряду с преимуществом, которое дает существование аналитического выражения для трехмерного интеграла при получении численных результатов, работы [1- 4] имеют общий недостаток: направление оси квантования орбитального момента атомного электрона задавалось параллельным вектору импульса к вторичного, т. е. образовавшегося в результате ионизации, электрона. Следствием такого выбора оси квантования являлось непостоянство значения проекции момента т при изменении направления вектора к, что позволяло вычислять только усредненные по значку шипо направлению к величины.

Цель данной работы — вывод необходимых формул и с их помощью произведение конкретного расчета тройного и двойного дифференциального сечений ионизации атома электронным ударом путем введения оси квантования с направлением, постоянным в лабораторной системе координат. В этом случае тройное дифференциальное сечение ионизации уже будет зависеть не только от полярного угла рассеяния, а и от аксиального угла. Влияние резонансных состояний отрицательного атомного иона на величину сечения ионизации можно учесть методом, использовавшимся в [4].

Основные формулы. Тройное дифференциальное сечение прямой ионизации (т. е. без учета вклада резонансного процесса) электронным ударом атомного электрона с квантовыми числами п, I, т в нерелятивистском приближении определяется следующим образом [6]:

<^иШт _ 4р1к г-Ч-1Л I2 т

в£ (1П с1£1к РоЧ4 п1тк

где сЮ,, (КЛк - дифференциальные телесные углы рассеяния первичного и вторичного электронов соответственно; к - импульс вторичного электрона, е = к2/2 - энергия вторичного электрона, ро, Р1 — импульсы рассеиваемого электрона до и после рассеяния; Я - переданный импульс: Ч = Ро — Рь В формуле (1) и далее в работе используются атомные единицы. Борн-кулоновский матричный элемент между сплошным и дискретным спектром (е1'ч'г) г входящий в формулу (1), имеет вид

(е‘'Ч'г)<к- ч (Г)Й3Г, (2)

в котором Фпг?п(г) ~ волновая функция связанного состояния атомного электрона в начальном состоянии, г) - волновая функция сплошного спектра, описывающая

состояние ионизованного электрона, ортогональная к функции связанного состояния:

© И. Ю. Юрова, И. Д. Бориспольский, 2005

Здесь Ф^ ^(г, к) — кулоновская функция электрона в поле положительного однократно заряженного атомного иона, зависящая от координат г и импульса к вторичного электрона. Для матричного элемента (3) возможно получить аналитическое выражение, если использовать замкнутое аналитическое выражение (без разложения по парциальным волнам) для кулоновской волновой функции сплошного спектра Ф^ (г, к) в параболических координатах [9] и одновременно в качестве угловой части волновой функции связанного состояния атомного электрона сферическую функцию Ууп а в качестве радиальной части — линейную комбинацию слетеровских орбиталей [1], как частный случай - водородоподобную функцию (так называемое приближение эффективного заряда в одноэлектронной модели атома [2]). Направление оси ^ системы координат, в которой производится вычисление трехмерного интеграла, задается параллельным вектору к, поскольку только тогда существует замкнутое аналитическое выражение для функции фЦ. \г,к). Будем называть такую систему координат связанной с вектором к и обозначать индексом к как оси этой системы (Х*, У*, 2’*-)-, так и переменные, определенные в данной системе, а также функции от этих переменных и матричные элементы, вычисленные с такими функциями, например:

Ф!£п' = Фп1т' (т,#к,<Р1к) ,

или

(е‘ Ч Г)!г^ = («(к.1-) |е4 , Г| Ф„<т Выбор системы координат и поворот оси квантования. Чтобы обобщить выводы работ [1-4] на случай произвольного направления оси квантования О, используем, аналогично [5], свойство преобразования угловой части волновой функции связанного состояния, т. е. сферических функций, при повороте системы координат. Кроме системы координат Хк,Ук, Zk, введем систему координат X■oYoZo с началом в центре масс и с фиксированным направлением осей: с осью Zo, направленной вдоль вектора

О. и осью лежащей в плоскости, проходящей через векторы ро и О, следовательно, аксиальный угол вектора ро в данной системе равен нулю (рис. 1).

Начало отсчета введенных систем координат находится в центре масс системы «атом + электрон», в принятом нами приближении точечного, бесконечно тяжелого ядра совпадающим с положением ядра атома. Поскольку определить фиксированную проекцию и момента I возможно только в системе координат, имеющей фиксированное направление осей, в нашем случае это XoYoZo, найдем в данной системе выражение для матричного элемента (2). Обозначим полярные углы векторов р и я в системе XoYoZo как др, ,дч, их азимутальные углы отличаются на 7г: <рч — <рр + 7г. Функция связанного состояния Фп*т(г) в системе XoYoZo зависит от углов радиуса-вектора г: Фп/т (г,$о,<Л))- Представим угловую часть одноэлектронной функции Фп1т (г,$о,(ро), которая является сферической функцией аргументов 19о,</?о, в виде суммы по сферическим функциям аргументов т9к,<Рк с разными значениями проекций момента т. Поскольку радиальные части волновых функций ФП1Ш (г. г9о, <А>) и ФП1Ш (т^к^к) одинаковы, будем иметь следующее соотношение [7]:

1

Фп/т (г,г9о,<Л>) — ^ ] Втп'тп {^ко) Ф п1тп' 1 $ к , ф к) > (4)

тп' = — 1

Рис. 1. Схематическое изображение импульсов налетающего электрона (ро — начальный, рі — конечный), вторичного электрона к и переданного импульса я и углов, определяющих направление всех указанных векторов.

Лабораторная система координат имеет ось £о, направленную по оси квантова-

ния О. Пунктиром показаны плоскость, перпендикулярная вектору ро, и проекции на эту плоскость векторов О, к и рі; отсчет азимутального угла рассеяния в данной плоскости осуществляется от проекции оси О.

где В1т,т (Мко) - Функция Вигнера [7]; 0,ко = {ось, Рк,7к) ~ углы Эйлера, которые соответствуют повороту, переводящему систему координат ХкіУкіЯк в Х0Уо^о- Углы Рк, 1к можно найти из рис. 1, выбирая ось Хк в плоскости, перпендикулярной вектору ро, представляя искомый поворот как сложение двух последовательных поворотов: 1) £>і - совмещение системы координат Хк,Ук,Як с промежуточной системой с осью 2, направленной по ро, и осью X, лежащей в плоскости ро^о'- аі = 0, /#і = $к, 7! = — 7г/2 — </9*; 2) £>1 — совмещение промежуточной системы отсчета с Х^У^ъ'. а-і = 7г/2, $2 — $о, 72 = 0. Для результирующего поворота, пользуясь теоремой сложения, приведенной в [7], будем иметь: ак = 7г/2, сое/?*; = сові?*; сов^ — віп^о,

•ук — —<рк — к/2, 'во — угол между осью квантования и вектором ро; функции Вигнера Вт'гп будут вычисляться по формуле

где функции <і1т,т приведены в [7]. С учетом формул (2)—(4) будем иметь следующее

выражение для борн-кулоновского матричного элемента с учетом ортогонализации:

тп' — 1

7П ' — — 1

(5)

тп' = —1

Здесь Uqo — совокупность углов Эйлера, соответствующих повороту, переводящему вектор q в вектор О, символом «q» обозначен выбор оси Z при определении угловых аргументов функции Фп/т(г), направленной по вектору q (см. (П.4)).

Расчет сечения ионизации 2р-оболочки атома кислорода электронным ударом. В качестве примера применения полученных выше выражений проведем расчет сечения ионизации из 2р-оболочки атома кислорода. Согласно работе [2], для эффективного заряда будем использовать величину Zeff = 4,035, потенциал ионизации 2р-оболочки атома кислорода равен 1{ОТ1 = 13,614 эВ [8]. Тройное дифференциальное сечение ионизации вычислялось по формуле

данный матричный элемент при оси квантования, направленной по вектору к, ранее аналитически вычислялся только в случае нулевой проекции орбитального момента связанного электрона т — 0. Поскольку для расчета потребуются также матричные элементы с т, отличным от нуля, мы получили соответствующие аналитические выражения, подробности вывода указаны в приложении. Там же приведены формулы Для вычисления матричных элементов от ехр^ • г) с двумя волновыми функциями дискретного спектра.

Двойное сечение ионизации определяется следующей формулой:

Для вычисления интегралов в (6), (7) была написана программа на языке РОКГ11АМ’ Результаты вычислений. На рис. 2 представлены результаты численных расчетов двойных дифференциальных сечений ионизации атома кислорода, выполненных в борн-кулоновском приближении. Можно видеть сильную зависимость сечений от угла между направлением падающего пучка и оси квантования, которая не исследовалась в предыдущих теоретических работал по изучению ионизации атомов электронным ударом. Следует ожидать, что результаты настоящей работы явятся основой нового метода получения атомов с заданной орбитальной поляризацией. Можно обобщить полученные результаты на случай ионизации молекул электронным ударом.

Приложение. Вывод аналитических выражений проведем для борн-кулоновских матричных элементов (е* 4 г)п/тА; с п = 2, I = 1, т = 1. В качестве волновой функции ионизованного электрона используем кулоновскую функцию (к, г), соответствующую единичному отрицательному заряду частицы, находящейся в поле единичного положительного заряда и распространяющейся в направлении вектора к [9]. В качестве

(6)

где матричныи элемент

определен формулой (5). Следует отметить, что

7Г

(7)

о

л

Рис. 2. Двойное дифференциальное сечение ионизации атома кислорода из оболочки 2р с магнитным квантовым числом |тп| = 1 в зависимости от угла т?о между направлением первичного пучка электронов и осью квантования.

Энергия первичных электронов равна 250 эВ, энергия вторичных электронов 0,1 эВ, угол рассеяния т? = 3°, аксиальный угол рассеяния цз = 0, 45, 90°.

волновой функции связанного электрона Фгш (/', ф) используем водородоподобную функцию с эффективным зарядом Ztff, причем угол д отсчитывается от направления вектора к [10]:

^_)(к,г) = {2к)-*/'2е7г/2кГ

И)

е<(к'г^(-->1>-г(А:г + (к>г))) ,

у5/2

§2\±1{г,-д,ч>) = (*?)е оге±** о = 2е///2.

у27Г

Для вычисления интеграла (е1Ч'г) перейдем к параболическим координатам 21 ± 1 согласно формулам

т = (£ + г/)/2, гйш(^) = уДт/, г сон (15) = (£ - //)/2,

угол (р в сферических и параболических координатах совпадает, элемент объема йУ — (£ + ?7)/4 с££ сЬуй</з. При этом матричный элемент (е1ЧГ)21±1 сведется к сумме двух отличных от нуля интегралов: (ег 4 г)91±1 — Л + Ь, где

Ь = ^ Ж) с1(р£3/2г11/2 соб {р)ехр(-5*£ -5т] + г^т(7)уДг] со1,г/с^ ,

(П1)

А/2 сое (</з)ехр(-5*^ — 6т) + iqsm('y)^/£7} сой (</з))^ ( р 1,гА:^ .

(П2)

А± = (1 - |-) а5/2/у/27г, <5 = а/2 — 1к/2 + 29005(7)/2, 7 - угол между векто-

рами к и Интегрирование по переменным г/ и </? проводится со следующей заменой переменных: Л/тусоз((^) = и, Л/^8т(у>) = у, с?£^г/ = 2с£ис?1/. После выполнения интегрирования по переменным и и и получим следующие выражения для величин 1\ , 1-г (см. формулы (П1), (П2)):

/1 = ^-^29зт(7)72; /2 = ^-^[2г'98т(7)^ - гд3, бш3 (7)/(4<5)Л],

•Л = У £ехр(—еО-Р ^ = У ^2ехр(-вО ^ 1,гЛ^

е = й. + ?!^.

45

Интегралы J], J2 могут быть вычислены с использованием общей формулы [10]

7 _ / Р (]_ 1 ;1-с\ ЛС т — Г7„, _|_ ^---(”+1) ГГ. л. 1 ■ 1

„п- ! ч ^ £ у.

Учитывая свойство гипергеометрической функции [11]

г

277\(а, Ъ\с. г) — (1 - г) а 2Гг а, с, -Ъ;с;

г-1

интегралы ^2 сводятся к полиномам первой и второй степени от переменной ^7. Окончательно будем иметь следующее выражение для матричных элементов

(ег'чг)21±1:

^'чг)21±1 = С±

(ПЗ)

В2 = с(11_ + Л^],с =

е - гк 2{е - гк)2 ) ' \е — гк /

Матричный элемент от экспоненты (е1'ч'г)2ю,21(Ь вычисленный с функциями связанного состояния при оси квантования, направленной вдоль вектора я, имеет простой вид:

22 — 5с/2

<Ф210(г,Л,^/)|е^Г|Ф210(г!^,^)) =гье//-^—

(^//+0

■ (П4)

(Ф2Ц (т,-дч,(рч) |ег'ч г| Ф2ц (т,-дч,(рд)) = -------

^//+<г2)

С использованием правила преобразования сферических функций при повороте (4) с заменой вектора к на я вычисляется величина (ег'ч'г)2ю,2ю (^до) при произвольном направлении оси квантования. Из рис. 1 имеем следующие значения для углов Эйлера, соответствующих повороту (Пчо)-

Здесь угол д равен углу между начальным и конечным импульсами первичного электрона, (р - азимутальный угол вектора я в системе координат XoYoZo, до ~ угол между импульсом падающего пучка ро и осью О. Отметим, что интеграл перекрыва-

Yurova I. Yu., Borispolsky I. D. Ionization of orbital polarized atoms by electron impact.

The analytical expression for a differential ionization cross section of a 2p atomic electron impact is obtained. The generalization on the case of any fixed direction of the angular momentum quantization axis is done. Numerical results are received for oxygen atom ionization.

Литература

1. Peach G. // J. Phys. B. 1968. Ser. 2. Vol. 1. P. 1088—1108. 2. Omidvar K., Kyle H. L., Sullivan E. S. I/ Phys. Rev. A. 1971. Vol. 5, N 3. P. 1174—1186. 3. Barlett P. L., Stelbovics A. T. II Phys. Rev. A. 2002. Vol. 66. P. 012707. 4. Юрова И. Ю., Борисполъский И. Д. // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2003. Вып. 3. С. 114-118. 5. Belkic Z. // J. Phys. В. 1981. Vol. 14. P. 1907—1914. 6. Петеркоп Р. К. Теория ионизации атомов электронным

ударом. Рига, 1975. 7. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. JT., 1975. 8. Радциг А. А., Смирнов Б. М. // Параметры атомов и атомных ионов: Справочник. М., 1986. 9. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. // Теоретическая физика: В 8 т. М., 1974. Т. 3. 10. Давыдов А. С. Квантовая механика. М., 1963. 11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: В 3 т./Пер. Н. Я. Виленкина; Под ред. М. Я. Ворновицкого. М., 1965. Т. 1.

aq — 7t/2,COS = COS -0 COS -во — sin I? sin $0, lq — 7Г/2 —

НИЯ

равен нулю.

Summary

Статья поступила в редакцию 16 марта 2005 г.