Аналитическое приближение Борна-Кулона в теории ионизации молекулы водорода электронным ударом Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2009. Вып. 1

КРАТКИЕ НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 539.194

И. Ю. Юрова, Н. К. Шевякина

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ БОРНА-КУЛОНА В ТЕОРИИ ИОНИЗАЦИИ МОЛЕКУЛЫ ВОДОРОДА ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ

Ионизация молекулы водорода электронным ударом исследована недостаточно хорошо в сравнении с тем, как подробно изучена ионизация атома водорода. В настоящее время, используя различные теоретические модели, можно точно определить поведение полного дифференциального сечения атома водорода для большого спектра кинематических параметров (энергий и векторов импульса). В связи с этим интерес переходит к изучению более сложных систем, таких как многоэлектронные атомы и молекулы, исследование которых представляет большую трудность. Этот интерес проявляется как в экспериментальном исследовании процессов ионизации, так и в теоретическом [1—12]. Это приводит к развитию теоретических приближений для описания процессов молекулярной ионизации. Наиболее распространённым приближением для такого рода задач является первое приближение Борна, вид этого приближения с кулоновской функцией сплошного спектра используется в данной работе.

Рассматриваемый процесс ионизации молекулы водорода электронным ударом можно условно изобразить следующим образом:

н2 + ез (ко, Ео) ^ н+ + е3 (кх, Е\) + е2 (к2, Е2)•

Налетающий быстрый электрон имеет импульс ко до столкновения с молекулой, кх - после столкновения. Выбитый медленный электрон имеет импульс к2, q - переданный импульс. Для определённости обозначим электроны в молекуле индексами «1» и «2», налетающий электрон - индексом «3», атомы - индексами «а» и «6».

В начальном состоянии молекула водорода находится в основном состоянии, которое представляется волновой функцией, включающей наложение гомеополярных и ионных членов.

Выбранная нами волновая функция (функция Вейнбаума [13]) имеет вид

Фи2 (Г1Г2 ) = Фа(г1)ФЬ(г2 ) + ^Ь(т1)^а(т2) + с( Фа(п )^а(т2 ) + ФъЫФъ(г2 )) }, (1)

где Фа(/’1) = \]а3/71 ехр(—а?’о1) - 1в-орбита одного электрона в поле только ядра о, эффективный заряд а =1,193, коэффициент при ионных членах с = 0, 256, интеграл перекрывания Б = / ФаФъ^Т = 0, 672 и Мн - нормировочный множитель [14]. Расстояние между атомами водорода в нормальном состоянии молекулы Н2 Я = 1, 42.

© И. Ю. Юрова, Н. К. Шевякина, 2009

Волновая функция конечного состояния системы имеет вид

ФН+С(Г1 Г2) = (Фа(^1) + Фь(г1)) Fc (Г2) + (Фа(г2) + Фь(г2 )) Fc

где Фа(п) = /пехр(—Рга1), а Гс - одноцентровая кулоновская функция сплошного

спектра [15], эффективный заряд для иона Н+ в = 1, 228 и Мн+ - нормировочный множитель.

Движение относительно быстрого налетающего и рассеянного электронов описывается плоскими волнами. Движение медленного выбитого электрона, находящегося в поле двухатомного иона, описывается кулоновской функцией.

В отличие от аналогичной задачи по нахождению сечения ионизации атома водорода электронным ударом, в данной задаче волновая функция конечного состояния уже не ортогональна волновой функции начального состояния, поэтому необходимо ввести дополнительную ортогонализацию. Ортогонализованная волновая функция выглядит следующим образом:

) = |ФН+ с) - 1фн2)(ФН2 |ФН+ с)

ort ________

+ ^ /

Амплитуда ионизации с учётом ортогонализации приобретает следующий вид:

f (ki, k2) = fif - Sif fu,

(3)

(4)

где

fif = ~^2 (Фн+с(Г1Г2) exp(iqri) + exp(iqr2) Фн2(г1Г2)^ ; (4a)

Sif = (Фн2 (r1r2) ФН+с(г1 r2)) ; (4b)

2 , | | v fu = —2 \Фн2(г1г2)| exp(*qri) + exp(*qr2) |Фн2(г1Г2)) • (4c)

Рассмотрим вывод аналитических выражений для величин (4а)-(4с), входящих в амплитуду ионизации (4). Выражение (4а) имеет следующий вид:

fif — — 2%/2д ^-^н.^-^н+с! [^Ь9“ ^ь4ь c{Iaqa + Iaqb)\laF +

+ \_c(Ibqa + Ibqb) + 1aqa + laqb] IbF + [Saa + Sab + c(Sba + Sbb)] ^1h +

+ [c(Saa + Sab) + Sba + Sbb] ^1+ (5)

где введены следующие обозначения матричных элементов:

!a,b q a,b = (^a,b| exP(^qr) |^a,b), Sa,b a,b = (фa!ь|фa!ь),

Ia,b f = {^a,blFc), I1 +h = (^a,b| exp(*qr)|Fc).

Подставляя вид волновых функций (1)—(2) и вычисляя интегралы аналитически, получаем матричные элементы в следующем виде:

т л / • R 1 R

/1+ = Лехр ( —*q— + *k2 —

R

+ h+ h}

(6)

2

(7)

где коэффициент Л = у/о3Тл(2л)-3/2 ехр(л/2А^)Г(1 — г/ко), I^ - интеграл, аналогичный подобному выражению 1н в аналитической теории ионизации атома водорода [15]. Отличие интеграла 1а от 1н состоит лишь в величине эффективного заряда а, который у атома водорода, и, следовательно, в интеграле 1н равен единице.

т = *(АВ)-\і-гк2В-1Гі/кі х

х< А-1 +

1 -

д біп у

2 А

(В - гк2)-1 [1 - (1 + гк2)В-1} }; (8)

1

71СО£0йД

2 А

1 +

д біп у

2 А

Ро

Р~^г

. гпд біп у

/2 = 81п9йдС08фйд ^ д9 Р\\

2А2

Із =

1

д біп у

2 А

А

Ро

(9)

(10)

где у - угол между векторами q и к2, 8ик - угол между векторами к 2 и И, Ро, Рі - интегралы с гипергеометрическими функциями вида

СЮ СЮ

Р0 = J ехр(-є^)^(г/к +1, 2,гк^)3^, Р1 = /Ъ ехр(-є^)^(г/к +1, 2,гк^)3^,

оо соответственно. Используя [16], можно получить следующие выражения для Ро и Р^.

Ро = Тк

(І-ікВ-1)-1-* , Рі =В~2(1 -ікВ-1)

где

„ д2 біп2 у , , гд соб у — гк2 + а

В = -йГ + а~А'А= 2 " •

(11)

(12)

Матричные элементы 1ар и 1ьр определяются из формул (6)-(12), полагая в них д = 0:

1аР = ^1+ [д = 0], 1ьр = А-[д = 0]. (13)

Для упрощения вычисления матричных элементов 1ада, 1ачъ, 1ъча и 1ъчъ в функциях 1в-состояний производится замена а и в на у = (а + в)/2. В результате получаем следующие выражения:

/ово -ехр( «12) (1 + (9/(2у))2)2> ^9Ь-еХр(*Ч2) (1 + ((?/(2у))2)2;

т ________ т _________ I К

-І-адЬ — -Ї-Ьда — СОв I С[

[(уД)-

2 У (1 + (д/(2у))2)2 \ 3

+ у Д + 1 .

(14)

(15)

2

2

2

Формула (15) является точной в предельных случаях: Д ^ 0, Д ^ ж, д ^ 0, д ^ ж. Матричные элементы Баа, Баь, Бьа, Бьь вычисляются в эллиптических координатах. В результате имеем:

Saa = Sьь =

8(оф)3/2 (а + (3)з:

SaЬ = Sьa =

(оф)3/2Д3ехр(-^)

2X^2

в%2 - в-%2

вХ2 + e-2

^2

(16)

где ^1 = (а + Р)Д/2, ^2 = (а — Р)Д/2. в формуле (4) - интеграл перекрывания между

волновыми функциями начального и конечного состояний. Заметим, что Б^f = /2

при равной нулю величине переданного импульса:

S

if

(17)

fii =

(1 + (q/(2T ))2)2

(1 + 2cs + c2)

RR

ехР І ) + exp f *q—

+ 2(2c + s + c2s) cos 9kRe

-aR

+

. (18)

Таким образом, мы получили выражения для всех компонент амплитуды ионизации (формулы (5)—(18)), что является окончательным результатом данной работы. С использованием полученных выражений предполагается выполнить расчёты различных сечений ионизации из K-оболочек гомоядерных двухатомных молекул электронным ударом.

Литература

1. Coplan M. A., Moore J. H., Doering J. P. (e, 2e) Spectroscopy // Rev. Mod. Phys. 1994. Vol. 66. P. 985-1014.

2. Jacobsen F. M., Frandsen N. P., Knudsen H., Mikkelsen U. Non-dissociative single ionization of molecular hydrogen by electron and proton impact // J. Phys. (B). 1975. Vol. 28. P. 4675-4689.

3. Jung K., Schubert E, Paul D. A. L. Ehrhardt Angular correlation of outgoing electrons following ionization of H2 and N2 by electron impact // Ibid. Vol. 8. P. 1330-1337.

4. Takahashi M., Watanabe N., Khajuria Y., Udagawa Y., Eland J. H. D. Observation of a molecular frame (e, 2e) cross section: an (e,2e + M) triple coincidence study on H2 // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. P. 213202-(1)-213202-(4).

5. Murray A. J. (e, 2e) Studies of H2 in the intermediate energy regime // J. Phys. (B). 2005. Vol. 38. P. 1999-2013.

6. Week P., Fojon O. A., Hanssen J., Joulakian B., Rivarola R. D. Two-effective center approximation for the single ionization of molecular hydrogen by fast electron impact // Phys. Rev. (A). 2001. Vol. 63. P. 042709-(1)-042709-(6).

7. Week P., Fojon O. A., Joulakian B., Stia C. R., Hanssen J. et al. Two-effective center approximation for the single ionization of molecular hydrogen by fast electron impact // Ibid. 2002. Vol. 66. P. 012711-(1)-012711-(8).

8. Stia C. R., Foj’on O. A., Week P. F., Hanssen J., Joulakian B. et al. Two-center continuum approximation with correct boundary conditions for single-electron emission in e- + H2 collisions // Ibid. 2002. Vol. 66. 052709-(1)-052709-(8).

2

9. Champion C., Hanssen J., Hervieux P. A. Influence of molecular orientation on the multiple differential cross sections for the (e, 2e) process on a water molecule // Ibid. 2001. Vol. 63. P. 052720-(1)-052720-(9).

10. Champion C., Hanssen J., Hervieux P. A. Theoretical differential and total cross sections of water molecule ionization by electron impact // Ibid. 2002. Vol. 65. P. 022710-(1)-022710-(9).

11. Chkridt M., Lahmam-Bennanit A., Duguett A., Zurales R. W. et al. Triple differential cross sections for molecular hydrogen, both under Bethe ridge conditions and in the dipolar regime. Experiments and theory // J. Phys. (B). 1989. Vol. 22. P. 3483-3499.

12. Casagrande E. M. S., Naja A., Mezdaril F., Lahmam-Bennanil A. (e, 2e) Ionization of helium and the hydrogen molecule: signature of two-centre interference effects // Ibid. 2008. Vol. 41. P. 025204-(1)-025204-(7).

13. Weinbaum S. The normal state of the hydrogen molecule // J. Chem. Phys. 1933. Vol. 1. P. 593-596.

14. Эйринг Г., Уолтер Дж., Кимбалл Дж. Квантовая химия / Пер. с англ. М., 1948. 527 c.

15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория М., 1974. 752 c.

16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: T. 1 / Пер. с англ. М., 1969. 343 c.

Принято к публикации 16 сентября 2008 г.