Инволюции группы автоморфизмов вполне разложимой абелевой группы конечного ранга Текст научной статьи по специальности «Математика»

2023

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 86

Научная статья УДК 512.54

doi: 10.17223/19988621/86/13

MSC 15B33,20H25, 20K15

Инволюции группы автоморфизмов вполне разложимой абелевой группы конечного ранга

Егор Александрович Тимошенко1, Иван Владиславович Третьяков2

12 Томский государственный университет, Томск, Россия 1 tea471@mail.tsu.ru 2 ivantretyakov00@gmail.com

Аннотация. В рамках исследования вопросов определяемости вполне разложимой абелевой группы конечного ранга ее группой автоморфизмов показано, что всякое множество попарно перестановочных инволюций такой группы автоморфизмов, обладающее некоторыми дополнительными свойствами, сопряжено с множеством диагональных инволюций.

Ключевые слова: вполне разложимая группа, группа автоморфизмов, инволюция, матрица

Благодарности: Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-02-2023-943).

Для цитирования: Тимошенко Е.А., Третьяков И.В. Инволюции группы автоморфизмов вполне разложимой абелевой группы конечного ранга // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 86. С. 167-175. 10.17223/19988621/86/13

Original article

Involutions of the automorphism group of a completely decomposable finite-rank Abelian group

Egor A. Timoshenko1, Ivan V. Tretyakov2

12 Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 tea471@mail.tsu.ru 2 ivantretyakov00@gmail.com

Abstract. Let B be a completely decomposable torsion-free Abelian group of finite rank. It can be written as a direct sum B = Bi © B2 © ... © Bs, where Bis are the homogeneous components of B (then, the types t(Bi) are pairwise different). These components can be enumerated in such a way that t(Bi) > t(Bj) always implies i < j. Then the automorphism group Aut B can be identified with the group of all matrices of the form

© Е.А. Тимошенко, И.В. Третьяков, 2023

(A11 A12

A =

0 A

22

0

0

Ais Л

2s

As

such that Aij e Hom(Bj, Bi) when i < j and Au e Aut Bi for every i. We denote by Aut B the group of all matrices A e Aut B such that Aj = 0 when i < j. The symbol Z will stand for the group of all matrices A such that Aj e Q ® Hom(Bj, Bi) when i < j and each entry An coincides with the trivial automorphism 8,- of Bi.

Involutions Di,D2,...,Ds e Aut B are defined as follows: the ith diagonal entry Au of Dk equals -s, or e, depending on whether i < k or i > k. The main result is the following theorem:

Theorem 3. Let Ji, J2, Js e Aut B be pairwise commuting involutions such that the set {U-1JkUJk | Ue Aut B} is closed under multiplication and JkDk e Z for every k. Then there exists a matrix T e Z such that T ~lJkT = Dk for every k and Aut B c T_1(Aut B)T. Keywords: completely decomposable group, automorphism group, involution, matrix

Acknowledgments: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of Russia (agreement No. 075-02-2023-943).

For citation: Timoshenko, E.A., Tretyakov, I.V. (2023) Involutions of the automorphism group of a completely decomposable finite-rank Abelian group. Vestnik Tomskogo gosu-darstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 86. pp. 167-175. doi: 10.17223/19988621/86/13

Пусть В е X, где X - некоторый класс абелевых групп. Мы будем говорить, что В определяется своей группой автоморфизмов в классе X, если изоморфизм групп автоморфизмов Ли! В и АШ: В', где В' е X, влечет изоморфизм В = В'.

Нас интересует случай, когда X - класс всех вполне разложимых групп (без кручения) конечного ранга. Напомним, что вполне разложимой группой ранга к называют всякую группу, представляющую собой прямую сумму к групп ранга один. Поскольку всякая группа ранга один изоморфна некоторой рациональной группе (т.е. отличной от 0 подгруппе аддитивной группы поля Q рациональных чисел), для удобства можно сразу рассматривать группы из класса X как прямые суммы рациональных групп. Цикл работ Вильданова [1-4] посвящен определяе-мости абелевых групп их группами автоморфизмов в классе X и некоторых его подклассах. В частности, в [4] найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы 2-делимая группа В е X определялась своей группой автоморфизмов среди всех 2-делимых групп, принадлежащих классу X. Настоящая работа представляет собой очередной шаг к нахождению ответа на аналогичный вопрос для ситуации, когда группа В е X может и не быть 2-делимой. Для групп ранга три эта задача была ранее решена авторами в статье [5].

Символом ■ будет обозначаться конец доказательства. Для группы У ранга 1 через ^У ) обозначается тип этой группы (подробнее о типах см.: [6]). Пусть дано семейство рациональных групп У, где индекс / пробегает некоторое множество. Для индексов /, ] введем обозначение Г,-,- = (а е Q | aУj с У,}. Нетрудно показать, что справедливы следующие свойства:

1. Всякий гомоморфизм У- ^ У, представляет собой умножение на некоторое число а е Г--. Таким образом, (Г-, +) - абелева группа, которая изоморфна группе гомоморфизмов Нот(Т/, У,).

2. Г и - подкольцо поля Q, порожденное элементом 1 и элементами р1, где р пробегает множество всех простых чисел таких, что рУ, = У.

3. Г- Гк,- с Г,-,- для любых индексов к.

4. Если неравенство ^У,) > ЦУ-) не выполняется, то Г-, = 0.

5. Если t(УI) > t(У^), то Г,,- * 0 и ^Г» = t(УI) : ^У).

Группу В е X можно записать в виде В = В1 © В2 © ... © Вц, где каждое прямое слагаемое В, представляет собой прямую сумму п, копий одной и той же рациональной группы У,, причем группы У1, У2, ..., Ух попарно неизоморфны (известно [6. Предложение 86.1], что любые два таких разложения группы В изоморфны). Учитывая частичный порядок, который задан на множестве всех типов, можно пронумеровать однородные компоненты В, так, что для любого , тип ^У,) будет одним из максимальных элементов множества {Ч(У,), ^У1+1), ..., ^У*)}. Тогда при , <- имеем Г- = 0, а кольцо эндоморфизмов Е(В) группы В изоморфно (см.: [7]) кольцу блочно-верхнетреугольных матриц вида

А =

(А11 А12 - А1*Л 0 А22 - А2*

V 0 0 ... ,

(1)

таких, что каждый блок А- принадлежит множеству Д- = М(п,, п,, Г-,), состоящему из всех матриц размера п, х п- с элементами из Г- Поэтому в последующем мы будем отождествлять кольцо Е(В) с указанным матричным кольцом, считая, что Ли! В есть группа матриц, обратимых в этом кольце. Матрица А е Е(В) вида (1) лежит в Ли! В тогда и только тогда, когда каждый блок Аи принадлежит полной линейной группе ОЬ(пи Г,,) над кольцом Гй (иначе говоря, определитель каждого блока Аи должен быть обратимым элементом в Г,,); строгое обоснование этого факта можно найти в [7].

Для дальнейшего нам понадобятся некоторые дополнительные обозначения:

- через Ли! В обозначим группу всех матриц А е Ли! В вида (1), для которых А- = 0 при , <

- через Е обозначим группу матриц вида (1), для которых А- е М(п,, п-, Q) при , <а каждый блок Аи равен единичной матрице Е (далее размер матрицы, обозначаемой символом Е, в каждом конкретном случае будет ясен из контекста);

- через Еу(О) будем обозначать матрицу А вида (1), для которой А- = С, а все остальные блоки равны 0;

- через %, где , < обозначим отображение, которое сопоставляет матрице А вида (1) значение ее блока А, ;

- через ж мы обозначим эндоморфизм группы Ли! В, сопоставляющий всякой матрице А вида (1) матрицу п(А) е Ли! В такую, что Пп(и(А)) = Аи при всех ,'.

Подгруппа Ли! В группы Ли! В, очевидно, изоморфна прямому произведению групп Ли! В, = ОЬ(п,, Г,,) по всем , е {1, 2, ., s}. Данная подгруппа играет важную роль при исследовании вопроса об определяемости группы В е X группой Ли! В.

Используя семейства коммутирующих инволюций, Вильданов показал [3, 4], что для 2-делимой группы В строение группы Ли! В однозначно определяется строением Ли! В. В настоящей статье мы докажем, что всякое семейство коммутирующих инволюций, обладающее некоторыми дополнительными свойствами, сопряжено с множеством инволюций, содержащимся в Ли! В.

Нам понадобится еще одно свойство групп Г,,-:

Лемма 1. Если а е Г^ \ 2Ги и р е Гд \ 2Г,к, то ар е Г,,- \ 2Г-.

Доказательство. Из условия следует, что аУк содержится в У, но не в 2 У,. Легко убедиться, что факторгруппа У, /2У, состоит из двух элементов, поэтому У, = 2У , + аУк. Аналогично показывается, что Ук = 2Ук + РУ,. Если ар е 2Г-, то

У, = 2 У, + 2оУк + ар У,- с 2 У, + 2ГИУ* + 2—, с 2 У, + 2 У, + 2У, = 2 У,, что невозможно. Полученное противоречие доказывает лемму. ■

Через фх, где X - элемент какой-либо группы, будем обозначать внутренний автоморфизм этой группы, переводящий всякий ее элемент А в элемент XЧАХ. Напомним, что инволюцией называется элемент группы, квадрат которого равен нейтральному элементу группы. Пусть инволюции Б1, Б2, ..., е Ai.it В таковы, что ж,,(Дк) = -Е, если , < к, и жц(Бк) = Е, если , > к. В доказательстве следующей теоремы, использующем некоторые идеи из [5], важную роль играют свойства множества Л(А) = (Т -АТА | Те Ли! В}, где А - инволюция.

Теорема 2. Пусть З1,З2,..., е Ли! В - попарно коммутирующие инволюции, для которых ж(7к) = Бк и множество Л(/к) замкнуто относительно умножения при всех к. Тогда существуют матрица Хе Ли! В п Е и система матриц С, е А,, где , <,, такие, что:

(1) для автоморфизма у = фХ и любых /,,, к е (1, 2, ..., 5} выполнено

Е, если I = , > к, -Е, если I = , < к, С,, если I < к < ,,

0 во всех остальных случаях;

(И) если С, е 2Д,,, то С, = 0;

(ш) если С, Ф 0, то п, = п, = 1;

(1у) если , < к <,, то С ,к = 0 или Ск,, = 0.

Доказательство проведем индукцией по 5. При 5 = 1 утверждение теоремы очевидно, так как в этом случае = -Е и можно взять X = Е.

Пусть теперь 5 > 1 и утверждение теоремы верно для случая 5 - 1 однородных компонент. Обозначим гомоморфизм групп Ли! В ^ Ли!(В2 © ... © В5), который «вычеркивает» из матрицы первую строку и первый столбец, через р. Поскольку р - сюръекция, множество {Т чр(/к)Тр(/к) | Те Ли!(В2 © ... © В5)} замкнуто относительно умножения при всех к. Применяя предположение индукции к группе В2 © ... © В5 и семейству инволюций р(/2), ..., р(Л), можно найти такую матрицу X е Ли! В п Е, что Жу(Х) = 0 при любом, > 1 и условия (1)-(1у) выполняются для подходящей системы матриц С, е А,, где 1 < , <,, при любых значениях индексов ,,,, к е{2, 3, ..., 5}. Ясно, что для у = ^ матрицы у(/к) коммутируют между собой и множества Л(у(/к)) замкнуты относительно умножения при всех к > 1.

Jk)) =

Для любой матрицы Е имеем фЕ о у = ^хр. Из всех матриц Е е Ли! В п Е с тем свойством, что р(фхр (Зк)) = р(у(/к)) при всех к > 1, мы выберем ту, для которой количество ненулевых блоков яу(фХЕ (Л)) является наименьшим. Заменяя X матрицей ХЕ е Ли! В п Е в равенстве у = фХ, можем сразу считать, что инволюция у (Л) минимальна в указанном нами смысле.

Легко видеть, что я(у(/к)) = Бк для любого к > 1 и Яу(у(/к)) = 0, если , <- < к или к <, <- (так как у(/к) - инволюция). Для всех - > 1 положим Су = л1-(у(,/1)). Предположим, что для некоторого - > 1 выполняется Су е 2Ду \ {0}. Для матрицы Е = Е+Еу-(С) е Ли! В п Е, где С е Ду, имеем Е -1 = Е - Еу-(С) и

Е Х^Е = уСЛ) - Еу(С)ч1(Л) + ^У1)Еу(С) - Еу(С)ц1(Л)Еу(С) = = у(/1) - Еу(С) - Еу(С) - Еу(С)Еу(С) = ^(Л) - Еу(2С). Если матрица С выбрана так, что 2С = Су, то первая «строка» матрицы фхр (Ту) содержит меньше ненулевых блоков, чем у (Л). Поскольку при этом выполнено р(фХЕ (Лк)) = р(у№)) для всех к > 1, приходим к противоречию с минимальностью у (Л). Это означает, что условие (И) выполнено в том числе и для , = 1.

Рассмотрим два случая.

I. Пусть п1 = 1. Мы докажем индукцией по к е {2, 3, ..., s}, что если - > к, то %у(\^(Тк)) = Су и либо С1к = 0, либо Су = 0. Допустим, что для значений, которые меньше к, требуемые утверждения истинны. Тогда С11 С- = 0, если 2 < I < к и I < Так как у (Л) и ц1(Тк) коммутируют, то для всякого - > к имеем

-Су + пу(ц(7к)) = П1-(ц1(Лк)ц1(Л1)) = Пу(ч1(71)ч1(7к)) = = -пу(щ(Лк)) + С12С2/ + . + С1к Су + С- = -щ^Лк)) + С1к Су + Су. (2)

Допустим, что выполняется Сук ^ 0 и Су Ф 0. Тогда имеем Сук г 2А1к, Су г 2Ду и пк = п- = 1. Так как Д1к = Гк1, Ау = Г-к и Ду = Г-у мы можем применить лемму 1 и заключить, что Сук Су г 2Ду. Но из (2) вытекает Сук Су = 2%у(\^(Тк)) - 2Су е 2Ду- -противоречие. Значит, С1к = 0 или Су = 0, откуда в силу (2) получаем равенство лу(у(/у)) = Су-. Таким образом, условия (1) и (у) также справедливы для любых /',_/, к е{1, 2, ..., s}.

Выберем произвольный индекс - со свойством п > 1. Мы выведем равенство Су = 0 из замкнутости множества Л(А), где А = относительно умножения.

Гомоморфизм групп ст: Ли! В ^ Ли!(Ву © ... © В-), «вычеркивающий» из матрицы все строки и столбцы с номерами > сюръективен, а следовательно, множество {Тчст(А)Тст(А) | Те Ли!(Ву © ... © В-)} также замкнуто относительно умножения. Поэтому мы можем, не умаляя общности, считать, что - = s.

Разбивая главную диагональ на блоки порядков пу + ... + п3-1 и пх, запишем

/ ._1 ГГ-1 тт-1 Л

A-\~E С 1, U-\U11 U12 I, Г = 0 E У { 0 U22

иуу -иу^иц

0 U

22

легко видеть, что UW = WU = E и, следовательно, W = U 1. Тогда

-U11 CU22 - U12 ^ (-E Uf11(CU22 - 2U12)^

U-1AU = W| 11 ^22""12 0 U22

v 0 E

(3)

(4)

Если Б^А е Л(А), то существует матрица и е Ли! В вида (3), удовлетворяющая равенству и4Аи = Для такой матрицы и выполнено Си22- 2и12 = 0. Тогда

C = 2U12U.

-l

12u22

; (2Ai,

,2 A

s-1, s

) • Ass и, в частности, Cis = лЦА) e 2Ai,Ass = 2Ai.

Ввиду условия (и) отсюда следует Си = 0.

Рассмотрим случай, когда А-А г Л(А). Зафиксируем матрицы

'Е 0

T =

Е 0

о т22J, и = [ о и22/

для которых выполнено Т22, и22 е ОЬ(пи, Гии) и Т22 + и22 = Е (существование таких матриц следует из [8. Лемма 1]). С учетом вычислений (4) имеем

T_1 AT ■ A U_1 AU = T_1 AT ■ A

-E CU.

22

-E CT

22

E C - CU.

22

0 E -E C(T22 + U22 - E)

= D

s-1 •

0 Е д0 Е ) у 0 Е

Значит, Би-1А представляет собой произведение двух матриц Т~1АТА и и-1АШ, принадлежащих Л(А). Отсюда вытекает Б—А е Л(А), что противоречит нашему предположению.

Итак, доказано, что если п > 1, то Су = 0. Следовательно, условие (ш) также выполнено для всех I,] е {1, 2, ..., и}.

II. Осталось рассмотреть случай п1 > 1. Пользуясь замкнутостью множества Л(А), где А = у(./1), относительно умножения, покажем, что у (Л) = Б1. Разбивая главную диагональ на блоки, имеющие порядки п1 и п2 + ... + пи, мы можем вновь воспользоваться записями (3) и (4).

Если Б1А е Л(А), то илАи = Б1 для подходящей матрицы и е Ли В вида (3).

Тогда Си22 - 2иу2 = 0 и, далее, С = 2и12Щ2 е (2Д12, ...,2Дь). Следовательно, при всех ] > 1 имеем Су = пу(А) е 2Лу. Применяя (й), получаем, что Су = 0 для всех ] > 1, т.е. А = А.

Рассмотрим случай, когда Б1А г Л(А). Так как п1 > 1, то существуют матрицы

T =

T

U =

U-

11 0

для которых Т11, и11 е ОЬ(п1, Г11) и Т111 + и111 = Е. С учетом (4) имеем

T"1 AT ■ A -U_1 AU = T_1 AT ■ A

f-E Uf/C^ 0 E

-E T^C

0

E

E C-U^C^

0

E

- E (T1I1 + Щ1 - E )C

0

E

= D1.

Значит, Б1А есть произведение матриц Т~1АТА и и-1АиА, принадлежащих Л(А). Отсюда Б1А е Л(А), что противоречит нашему предположению.

Мы показали, что инволюция А = у(./1) совпадает с Б1. Так как А и у(Л), где к > 1, коммутируют, то для всякого ] > 1 имеем

пу(\\1(Л)) = %у(\\1(Л)Б1) = я/АуШ) = -%у(\\>(Л)) и, следовательно, %у(\\1^к)) = 0. Таким образом, условия (1), (ш) и (у) выполнены для всех 1,], к е{1, 2, ..., и}. Теорема доказана. ■

Далее мы установим, что каждое семейство инволюций, обладающее указанными в теореме 2 свойствами, сопряжено (вообще говоря, не в Ли! В, а в более широкой группе) с семейством диагональных инволюций Бу, Б2, ..., Б$.

Теорема 3. Если инволюции J1, J2, ..., Js е Ли! В удовлетворяют требованиям, перечисленным в условии теоремы 2, то существует матрица Т е Е, для которой Фт (Л) = Бу при всех к и Ли! В с фт (Ли! В).

Доказательство. Пусть у = фХ и {С-},■ <- - автоморфизм и система матриц, найденные нами в доказательстве теоремы 2. Обозначим через V сумму матриц Е-(С-) по всем г, для которых ■ <В силу условия (гу) имеем V2 = 0. Из этого

следует, что для матрицы Е = Е + у V еЕ выполнено Е_1 = Е - 2 V.

Пусть А - какая-либо матрица из Ли! В и ■Кц(А) = А и для всех г. Из очевидных равенств Е-(С-)А = Е--(С - А-) и АЕ-(С-) = Е-(А цС-) получаем, что

$—1 $ $—1 $ VA = Е Е Е-(С-А-), AV = Х I Е-(АС)

г=1 у=г+1 г=1 +1

и ^) = X ^гк тп- (V) = X (СгкАкк )Су , когда ■ <

к=г+1 к=г+1

Из (гу) следует, что все слагаемые СуАккРу равны 0, а значит, VAV = 0. Тогда

ЕАЕ"1 = Е (А - 2 AV) = А - 2 AV + 2 VA - 2 VAV = А + \(уА - AV).

Предположим, что ■ <- и матрица 2я-(ЕАЕ = С-А--А1гСу- отлична от 0. Тогда имеем С- ф 0, откуда в силу (И) и (ш) получаем С- е Д-- \ 2Д-- и пг = п- = 1. Из этого вытекает, что группа Д-- = Г- не является 2-делимой, а следовательно, ^У,) > t(Y), 2У/ Ф Уг и 2У Ф У-. Таким образом, Г- с Ги и 2 не является обратимым элементом колец Г,-,- и Г- Обратимые элементы Ац е Ги и А- е Г- - это просто рациональные числа с нечётными числителем и знаменателем. Значит,

п- (ЕАЕ_1) = 2 С- А - А,,) е 2 Г г 2Т„ = Гл= А- .

Тем самым мы установили, что ЕАЕ 1 е Ли! В. Так как фЕ (ЕАЕ = А, получаем, что Ли! В с фЕ (Ли! В) = фЕ (у(Ли! В)).

Допустим теперь, что блочно-диагональная матрица А совпадает с одной из

инволюций Бк, и найдем матрицу (ЕАЕ~у) = 2 (С- А- - А,, С-), где г <-:

- если к < г <то (ЕАЕ_1) = 1 (С^Е - ЕСЦ-) = 0 ;

- если г < к <то пг] (ЕАЕ_1) = 2(С1}Е + ЕСг]) = Сг];

- если г <- < к, то Лу (ЕАЕ_1) = 2 (-С ЦЕ + ЕС ^) = 0 .

Сравнивая полученное с (1), видим, что при любом к справедливы равенства

ЕБкЕ 1 = Бк + -Бк¥) = у(Jk). Тогда имеем Бу = фЕ (ЕБуЕ-1) = Фе (у(/к)),

и остается только положить Т = ХЕ, так как X е Е и фЕ о у = фХЕ. ■

Пример 4. Покажем, что изоморфизм фЕ (и, значит, фТ) из теоремы 3, вообще говоря, переводит Ли! В в какую-то группу, отличную от Ли! В. Для этого рассмотрим группу В = Уу © У2 © У3 такую, что для г е {1, 2} рациональная группа У)

не является 2-делимой, содержит Yi+1 в качестве 2-сервантной подгруппы и при этом t(Yi) > t(YI+1).

( 10 0 ^

Если (в обозначениях теоремы 3) F =

0 1 -1

и A =

(10 0 ^

FAF"1 = FA

0

0 0

1 2

1

(1 1

0 0 1 у 0 V1 0 0 ^

0

0 0

1 - 1

1

0

0 0

1 2

1

Г1 1 01

0 1 0 , то

0 0 1

V V

' 1 1 1N

2

0 1 0

0 0 1

V у

Поскольку 7з не содержится в 271, получаем, что ЕАЕ 1 г Аи В. Таким образом, группа Аи В не содержит матрицу, которая могла бы быть прообразом матрицы А е Аи В при отображении фЕ. Следовательно, фЕ (Аи В) Ф Аи В.

Список источников

1. Вильданов В.К. Определяемость вполне разложимой абелевой группы без кручения

ранга 2 своей группой автоморфизмов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 3 (1). С. 174-177.

2. Vildanov V.K. Determinability of a completely decomposable block-rigid torsion-free Abelian

group by its automorphism group // J. Math. Sci. (New York). 2014. V. 197, № 5. P. 590594. doi: 10.1007/s10958-014-1739-9

3. Vildanov V.K. On determinability of a completely decomposable torsion-free Abelian group

by its automorphism group // J. Math. Sci. (New York). 2018. V. 230, № 3. P. 372-376. doi: 10.1007/s10958-018-3742-z

4. Вильданов В.К. Определяемость абелевой группы ее группой автоморфизмов и центром

кольца эндоморфизмов : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Н. Новгород, 2014.

5. Тимошенко Е.А., Третьяков И.В. Определяемость вполне разложимой группы ранга 3 ее

группой автоморфизмов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 76. С. 32-42. doi: 10.17223/19988621/76/3

6. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М. : Мир, 1977. Т. 2.

7. Третьяков И.В., Тимошенко Е.А. Инволюции в группе автоморфизмов вполне разложи-

мой группы // Все грани математики и механики : всерос. молодежная науч. конф. студентов : сб. ст. Томск : Изд-во НТЛ, 2021. С. 139-154.

8. Henriksen M. Two classes of rings generated by their units // J. Algebra. 1974. V. 31, № 1.

P. 182-193. doi: 10.1016/0021-8693(74)90013-1

References

1. Vildanov V.K. (2011) Opredelyaemost' vpolne razlozhimoy abelevoy gruppy bez krucheniya

ranga 2 svoey gruppoy avtomorfizmov [Determinability of completely decomposable torsionfree Abelian group of rank 2 by its automorphism group]. VestnikNizhegorodskogo universi-teta im. N.I. Lobachevskogo - Vestnik of Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod. 3(1). pp. 174-177.

2. Vildanov V.K. (2014) Determinability of a completely decomposable block-rigid torsion-free

Abelian group by its automorphism group. Journal of Mathematical Sciences (New York). 197(5). pp. 590-594. DOI: 10.1007/s10958-014-1739-9.

3. Vildanov V.K. (2018) On determinability of a completely decomposable torsion-free Abelian

group by its automorphism group. Journal of Mathematical Sciences (New York). 230(3). pp. 372-376. DOI: 10.1007/s10958-018-3742-z.

4. Vildanov V.K. (2014) Opredelyaemost' abelevoy gruppy ee gruppoy avtomorfizmov i tsentrom

kol'tsa endomorfizmov [Determinability of an Abelian group by its automorphism group and the center of its endomorphism ring]. Dissertation. Tomsk State University.

5. Timoshenko E.A., Tretyakov I.V. (2022) Opredelyaemost' vpolne razlozhimoy gruppy ranga 3

ee gruppoy avtomorfizmov [Determinability of a completely decomposable rank 3 group by its automorphism group]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 76. pp. 32-42. DOI: 10.17223/19988621/76/3.

6. Fuchs L. (1973) Infinite Abelian groups. Vol. 2. New York; London: Academic Press.

7. Tretyakov I.V., Timoshenko E.A. (2021) Involyutsii v gruppe avtomorfizmov vpolne

razlozhimoy gruppy [Involutions in the automorphism group of a completely decomposable group]. All-Russia Youth Scientific Student Conference "Vse grani matematiki i mekhaniki" (sbornik statey). Tomsk: NTL. pp. 139-154.

8. Henriksen M. (1974) Two classes of rings generated by their units. Journal of Algebra. 31(1).

pp. 182-193. DOI: 10.1016/0021-8693(74)90013-1.

Сведения об авторах:

Тимошенко Егор Александрович - доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра Томского государственного университета, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: tea471@mail.tsu.ru

Третьяков Иван Владиславович - аспирант механико-математического факультета Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: ivantretyakov00@gmail.com

Information about the authors:

Timoshenko Egor A. (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tea471@mail.tsu.ru

Tretyakov Ivan V. (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: ivantretyakov00@gmail.com

Статья поступила в редакцию 02.09.2022; принята к публикации 04.12.2023

The article was submitted 02.09.2022; accepted for publication 04.12.2023