ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМОЙ ГРУППЫ РАНГА 3 ЕЁ ГРУППОЙ АВТОМОРФИЗМОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2022

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 76

Научная статья

УДК 512.54 15B33, 20H25, 20K15

doi: 10.17223/19988621/76/3

Определяемость вполне разложимой группы ранга 3 ее группой автоморфизмов

Егор Александрович Тимошенко1, Иван Владиславович Третьяков2

12 Томский государственный университет, Томск, Россия 1 tea471@mail.tsu.ru 2 ivantretyakov00@gmail.com

Аннотация. В работе Вильданова, Гайдак и Тимошенко ранее были найдены все вполне разложимые группы ранга 2, определяющиеся своей группой автоморфизмов в классе всех вполне разложимых групп. В настоящей статье аналогичная задача решена для групп ранга 3. Показано, что вполне разложимая группа ранга 3 определяется своей группой автоморфизмов тогда и только тогда, когда она является прямой суммой трех почти делимых слагаемых ранга 1, два из которых изоморфны друг другу и вкладываются в третье.

Ключевые слова: матрица, инволюция, вполне разложимая группа, группа автоморфизмов

Благодарности: Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых - докторов наук МД-108.2020.1.

Для цитирования: Тимошенко Е.А., Третьяков И.В. Определяемость вполне разложимой группы ранга 3 ее группой автоморфизмов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 76. С. 32-42. doi: 10.17223/19988621/76/3

Original article

Determinability of a completely decomposable rank 3 group by its automorphism group

Egor A. Timoshenko1, Ivan V. Tretyakov2

12 Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 tea471@mail.tsu.ru 2 ivantretyakov00@gmail.com

Abstract. Let B e X, where X is a class of Abelian groups. We say that B is determined by its automorphism group in the class X if AutB = AutB' implies B = B' for every B'e X.

Recall that a group is said to be a completely decomposable group of rank k if it is a direct sum of k torsion-free rank 1 groups. A group Y is called almost divisible if pY = Y for almost all primes p. Our main theorem gives a criterion for determinability of a com-

© Е.А. Тимошенко, И.В. Третьяков, 2022

pletely decomposable rank 3 group by its automorphism group in the class of all completely decomposable groups:

Theorem 11. For a completely decomposable group B of rank 3, the following are equivalent:

(1) B is determined by its automorphism group in the class of all completely decomposable groups.

(2) B = Yi © Y2 © Y2 with Y2 being an almost divisible rank 1 group that can be embedded in Yi.

Keywords: matrix, involution, completely decomposable group, automorphism group

Acknowledgments: The research was supported by the Russian Federation President's Grant for young Russian scientists MD-108.2020.1.

For citation: Timoshenko, E.A., Tretyakov, I.V. (2022) Determinability of a completely decomposable rank 3 group by its automorphism group. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 76. pp. 32-42. doi: 10.17223/19988621/76/3

Пусть B e X, где X - некоторый класс абелевых групп. Мы будем говорить, что B определяется своей группой автоморфизмов в классе X, если из изоморфизма групп автоморфизмов Aut B и Aut B', где B' e X, всегда следует B = B'.

Всюду ниже под X понимается класс всех вполне разложимых групп (без кручения). Данная статья служит продолжением работ [1, 2] и развивает некоторые идеи цикла работ Вильданова [3-6], посвященного вопросам определяемости абелевых групп их группами автоморфизмов в классе X и некоторых его подклассах. Напомним, что вполне разложимой группой ранга к называется всякая группа B, представляющая собой прямую сумму к групп ранга 1; известно (см.: [7, предложение 86.1]), что любые два таких разложения группы B изоморфны. Так как всякая группа ранга 1 изоморфна подходящей рациональной группе (т.е. ненулевой подгруппе аддитивной группы поля рациональных чисел Q), то для удобства сразу рассматриваем группы из класса X как прямые суммы рациональных групп.

Результаты работы [6] позволяют указать необходимые и достаточные условия для того, чтобы 2-делимая группа B e X ранга 3 определялась группой Aut B в классе всех 2-делимых групп, принадлежащих X. В настоящей статье аналогичная задача решена уже для произвольных групп ранга 3 из класса X (не обязательно являющихся 2-делимыми).

Через M(n, R), где R - некоторое кольцо с единицей, мы обозначаем кольцо матриц порядка n над R, а через GLn(R) - группу всех обратимых матриц этого матричного кольца. Символом ■ будет обозначаться конец доказательства (либо отсутствие доказательства).

Пусть P - множество всех простых чисел. Для всякого множества L с P будем обозначать символом Q(L) то подкольцо поля Q, которое порождается элементом 1 и числами рт1, где р e L. Хорошо известно, что все подкольца (с единицей) поля Q исчерпываются кольцами вида Q(L).

Для группы Y ранга 1 через t(Y) обозначается тип этой группы (подробнее о типах см.: [7]). Пусть B - прямая сумма рациональных групп Yi, где i eI. Для i,j e I положим Tij = (a e Q | aY; с Yj}. Несложно установить следующие свойства:

1. Всякий гомоморфизм Yi ^ Yj представляет собой умножение на некоторое число a e Tj. Таким образом, (Tj, +) - абелева группа, изоморфная группе гомоморфизмов Hom(Y,, Yj).

2. Г,-; = Q(Ь), где Ь - множество всех простых чисел р, таких, что рУ, = У,. При этом кольцо Г,,- изоморфно кольцу эндоморфизмов Е(У,) группы У,, а группа обратимых элементов и (Г,,) кольца Г;; изоморфна группе Ли! У;.

3. Г, Гjk с Гк для любых ,,,, ke I.

4. Если неравенство t(УI) < ^У) не выполнено, то Г- = 0.

5. Если ОД) < ОД), то Г,- ф 0 и ОД,) = ОД) : t(УI).

Нетрудно убедиться, что кольцо Е(В) изоморфно кольцу конечно-столбцовых (I х 1)-матриц (й-),,,е1, таких что й- е Г,, при всех ,,- е I (напомним, что матрицу называют конечно-столбцовой, если каждый ее столбец содержит лишь конечное число элементов, отличных от 0). Поэтому в дальнейшем будем отождествлять кольцо Е(В) с указанным матричным кольцом.

Ясно, что всякая рациональная группа изоморфна некоторой рациональной группе, содержащей 1. Договоримся сразу считать, что 1 е У, при всех , е I; для всякого простого р будем обозначать р-высоту элемента 1 в группе У, через И(р, ,). В формулировке следующей технической леммы считаем, что да - да = да:

Лемма 1. Пусть ОД) < ОД). Тогда:

а) множество М = {р е P | И(р, ,) < И(р, ,) < да} конечно;

б) группа Г, содержит натуральное число т, равное произведению выражений р^ ,) - ^■,) по всем р е М. При этом р-высота элемента т в группе Г, равна 0, если р е М, и равна Н(р,,) - И(р, ,), если р г М. ■

Абелеву группу У называем почти делимой, если рУ = У почти для всех р е P. Следующий результат для полноты изложения приведем с доказательством.

Теорема 2 [8]. Если хотя бы одно из слагаемых У, в прямом разложении группы В не является почти делимым, то существует группа В' е X, не изоморфная В и такая, что Е(В' ) = Е(В).

Доказательство. Пусть для некоторого к е I слагаемое Ук не является почти делимым, т.е. множество Ь = {р е P | И(р, к) < да} бесконечно. Для всех , е I определим группу Z; с Q, такую что 1 е Z; и р-высота элемента 1 в Z; равна числу

[ П(р,0, если р г Ь,

п (р,I) = <

\к(р,I) + П(р,к) +1, если р е Ь.

Для ,, , е I положим О, = {а е Q | аZ; с Zj}.

Ясно, что условия И(р,,) + к(р, к) + 1 < И(р, ,) + И(р, к) + 1 < да и И(р,,) < И(р, ,) < да равносильны при любых ,, , е I и р е Ь. Следовательно, условия к'(р, ,) < И'(р, ,) < да и И(р,,) < И(р, ,) < да равносильны для всякого р е P. Так как при всехр е P равносильны также условия И'(р,,) < к'(р, ,) = да и И(р,,) < к(р, ,) = да, для любых ,,, е I можно записать следующие эквивалентности:

Г, ф 0 t(Уi) < ОД) t(Zi) < ОД) О ф 0.

Зафиксируем произвольную пару ,,, е I, для которой ОД) < ОД) и t(ZI) < ОД). Легко видеть, что конечное множество М = {р е P | И(р,,) < И(р, ,) < да} совпадает с множеством {р е P | И'(р,,) < И'(р, ,) < да} и при всехр еМвыполнено равенство к'(р, ,) - И'(р,,) = И(р, ,) - И(р,,). Кроме того, И'(р,,)- И'(р, ,) = к(р,,) - И(р, ,) для каждого р г М. Применяя теперь пункт б) леммы 1, мы найдем натуральное число т, принадлежащее группам Г, и О, и имеющее в этих группах одинаковые р-высоты для всех р е P. Таким образом, О, = Г,.

Мы показали, что при всех i,/ е I выполнено О./- = Гу. Поэтому для группы В', равной прямой сумме групп Zi по всем i е I, будем иметь Е(В' ) = Е(В). С другой стороны, для всякого i е I множество {р е P | И'(р, i) > И(р, Л)} = £ является бесконечным, и значит Ф ЦУк). Поэтому В' и В не могут быть изоморфны, так как в противном случае прямое разложение группы В' в прямую сумму групп ранга 1 содержало бы слагаемое, изоморфное Ук. ■

Поскольку из Е(В' ) = Е(В) вытекает изоморфизм Ли! В' = Ли В, мы приходим к такому результату:

Следствие 3. Если хотя бы одно слагаемое Уi в прямом разложении группы В не является почти делимым, то В не определяется своей группой автоморфизмов в классе X. ■

Если группа В е X имеет конечный ранг п, то можно взять I = {1, 2, ..., п}; при этом кольцо конечно-столбцовых матриц превратится в кольцо обычных квадратных матриц порядка п, элементы которых должны удовлетворять условию а/ е Г/,-. В этом случае Е(В) оказывается подкольцом кольца М(п, Q), а матричная группа Ли! В = и(Е(В)) - подгруппой группы ОЬп(0). Мы будем использовать следующий результат:

Теорема 4 [6]. Если В = У1 © У2 © ... © Уп и ни для какого i е {2, 3, ..., п} не выполнено ^У,) < t(Уl), то В не определяется группой Ли! В в классе X. ■ Ранее была установлена

Теорема 5 [2]. Группа В е X ранга 2 определяется своей группой автоморфизмов в классе всех вполне разложимых групп ранга 2 тогда и только тогда, когда В = У © У, где У - почти делимая группа ранга 1. ■

Будем называть инволюцией всякую матрицу, у которой квадрат совпадает с единичной матрицей. Если группа В е X имеет конечный ранг п, то наибольшая мощность множества попарно коммутирующих инволюций, которое содержится в Ли! В, равна 2п (см.: [3, 6, 9]). Если же ранг группы В е X бесконечен, то Ли! В содержит бесконечное множество попарно коммутирующих инволюций (в качестве таких инволюций можно взять диагональные матрицы из Е(В), на главной диагонали которых стоят только 1 и -1). Отсюда следует, что если В, В' е X и В имеет конечный ранг п, то изоморфизм Ли! В' = Ли! В возможен лишь тогда, когда и В' имеет ранг п. Таким образом, группа В определяется своей группой автоморфизмов в классе X тогда и только тогда, когда она определяется группой Ли! В в классе всех вполне разложимых групп ранга п. В частности, теорема 5 описывает те группы В ранга 2, которые определяются группой Ли! В во всем классе X.

Перейдём к рассмотрению вопроса об определяемое™ вполне разложимых групп ранга 3 их группами автоморфизмов в классе X (или, что то же самое, в классе всех вполне разложимых групп ранга 3). Будем нумеровать слагаемые у, таким образом, чтобы матрицы кольца Е(В) были блочно-верхнетреугольными либо блочно-нижнетреугольными; критерии принадлежности таких матриц группе Ли! В = и (Е(В)) приведены в [6, 9]. Мы выделим пять случаев.

I. Пусть В = У1 © У2 © Уз, где У1, У2, Уз - попарно неизоморфные рациональные группы. Так как в трехэлементном множестве О(У0, ^У2), ^У3)} есть минимальный элемент, то в силу теоремы 4 группа В не определяется своей группой автоморфизмов в классе X.

II. Пусть В = У1 © У2 © У2, причем типы t(Уl) и t(У2) несравнимы. Вновь применяя теорему 4, получаем, что В не определяется группой Ли! В в классе X.

III. Если B = У © Y2 © Y2 и t(Yi) < t(Y2), то, полагая A12 =

Г,

12

Г

, имеем

12 У

Г

о

Ги (гп)

о

E(B) = 1 11 I, Aut B =

M(2,Г22)J { A12 GL2 (Г22)

По теореме 4 группа B не определяется своей группой автоморфизмов в классе X. IV. Пусть B = Yi © Y2 © Y2, причем t(Yi) > t(Y2). Полагая A21 = (Г21, Г21), имеем

E(B) =

Г

11

A

21

О M (2, Г22)

Aut B =

U (Гц)

A

21

О ОЬ2(Г22)

V. Если В = У © У © у, то, очевидно, Е(В) = М(3, Гп) и Ли! В = 0!з(Гп). Пользуясь результатами работ [6, 9], соберем в следующей таблице некоторые свойства группы Ли! В для каждого из рассматриваемых пяти случаев.

Инварианты группы Aut B

Тип группы В е X ранга 3 I II III IV V

Наибольшая мощность содержащегося в Ли! В множества попарно коммутирующих инволюций, являющихся квадратами элементов группы Ли В 1 2 2 2 4

Число центральных инволюций группы Ли! В 2, 4 или 8 4 2 2 2

Из этой таблицы можно сделать два вывода:

- если группа В е X относится к типу IV и для группы В' е X имеет место изоморфизм Ли! В' = Ли! В, то группа В' относится к типу IV либо к типу III;

— если группа В е X относится к типу V и для группы В' е X имеет место изоморфизм Ли! В' = Ли! В, то группа В' может относиться только к типу V.

Теорема 6. Пусть В = У © У © У, где У - рациональная группа. Для группы В' е X эквивалентны следующие условия:

1) Ли! В' = Ли В.

2) В' = У2 © У2 © У2, где У2 - рациональная группа, такая, что Е(У2) = Е(У).

3) В' = У2 © У2 © У2, где У2 - рациональная группа, обладающая тем свойством, что кольцо Г22 = {а е Q | аУ2 с У2} совпадает с Гц.

Доказательство. 2) ^ 3). Если 2) выполнено, то Г11 = Е(У1) = Е(У2) = Г22. Так как подкольца поля Q изоморфны лишь тогда, когда они равны, то Г22 = Г11.

3) ^ 1). Если выполняется 3), то Е(В' ) = М(3, Г22) = М(3, Гц) = Е(В), а значит, Лиг В' = и (Е(В' )) = и (Е(В)) = Лиг В.

1) ^ 2). Ввиду сказанного перед теоремой из условия 1) следует, что В' -группа типа V, т.е. В' = У2 © У2 © У2, где У2 - рациональная группа. Так как выполнено ОЬ3(Е(У2)) = Ли! В' = Ли! В = ОЬ3(Е(У1)) и при этом кольца Е(У1) и Е(У2) являются коммутативными областями целостности, то в силу [10, теорема 5.7.7] имеет место изоморфизм Е(У2) = Е(У1), что и требовалось. ■

Следствие 7. Пусть В = У1 © У1 © У1, где У1 - рациональная группа. Следующие условия эквивалентны:

1) Группа В определяется своей группой автоморфизмов в классе X.

2) Слагаемое У1 является почти делимым.

Доказательство. 1) ^ 2). Предположим, что группа У1 не является почти делимой. В этом случае существует рациональная группа У2, такая что ^У2) > ^УО и Е(У2) = Е(У1). Ввиду теоремы 6 имеем АШ(У2 © У2 © У2) = Ли! В. Сами группы В и У2 © У2 © У2 при этом не изоморфны, поскольку не изоморфны друг другу группы У1 и У2, - получаем противоречие с условием 1).

2) ^ 1). Предположим, что В' е X и Ли! В' = Ли! В. Применяя теорему 6, получаем, что В' = У2 © У2 © У2, где У2 - рациональная группа, такая что ЕУ) = Е(У1). Так как группа У1 почти делима, то аддитивная группа кольца Е(У1) изоморфна У1. Тогда аддитивная группа кольца Е(У2) также изоморфна У1, что возможно лишь в случае У2 = У1. Таким образом, В' = В, т.е. В определяется своей группой автоморфизмов в классе X. ■

Пусть теперь группа В относится к типу III или IV, т.е. В = У1 © У2 © У2, где ^УО и ^У2) - различные (но сравнимые) типы. Тогда имеем

Е(В) =

Гц

А,

Ао

(

Ли! В =

и (Гп) А 21 А12 СЬ2(Г22)

Л12 М (2, Г22) ,

при этом в точности одна из групп А12 и А21 равна 0, так как выполняется ровно одно из условий Г12 = 0 и Г21 = 0. Через Еп далее обозначаем единичную матрицу порядка п, через О - группу Ли! В.

Лемма 8. Пусть А = (%) - инволюция группы О, такая что й11 = 1, = йзз = -1 и й23 = = 0, и пусть ЛА = {Т ~1АТА | Те О}. Следующие условия эквивалентны:

1) Множество ЛА совпадает с множеством Н =

1

2А

12

2А

Е.

21

2 7

2) Множество ЛА является подгруппой группы О.

3) Множество ЛА замкнуто относительно операции умножения.

4) ^2, ^3 е 2Г21 и й2l, йзl е 2Г12.

,'1

5) Инволюция А сопряжена в группе О с инволюцией 3 =

0 - Е,

Доказательство. Импликации 1) ^ 2) ^ 3) очевидны.

(

Запишем А =

1

А.

21

А12 - Е-

, где А12 = (^2, йlз) и А21 =

2 7

^317

3) ^ 4). Для произвольных и е и (Гп), и22 е ОЬ2(Г22) и двух матриц и12 е А21 и

и21 е А12, таких что и12 = 0 или и21 = 0, рассмотрим матрицы

и =

! и-ии

12

(

и W =

- и-Хих2и22Л

ч-и -'и22и21

и

22

(1)

Легко видеть, что UW = WU = Е3 и, следовательно, Ж = и 1. Тогда

и-Аи = W • Аи = W

иА21 и 21

и12 + А12и 22 и

0

а

21

1

и

и

1

U21(u421 — 2U 2i)

uA12U 22 + 2U^

-E,

^ 22(мл21 2и 21/ ^2 (мы воспользовались тем, что А12 = и12 = 0 или А21 = и21 = 0).

Если ЗА е ЛА, то найдется матрица иеО со свойством илАи = 3. Считая, что и имеет вид (1), можем записать А12и22 + 2и12 = 0 и иА21 - 2и21 = 0. Следовательно, А12 = -2и12и221 е 2А21 и А21 = 2и 1и21 е 2А12, т.е. условие 4) выполнено.

Предположим теперь, что ЗА г ЛА. Рассмотрим матрицы

Г1 о ^ Г1 0 ^

T = v 0 T22 У , U = v 0 U 22 У , где T22 =

П -1 1 о

U 22 =

0 1 -1 1

заметим, что Т22 + и22 = Т22и22 = и22Т22 = Е2. С учетом проделанных ранее вычислений имеем

1

T-AT • A-U ~lAU = T-AT • A

1 A12T22

T22A21 E2 /V(E2 U2 2 ) A21

A12U 22 U 2 2 A21 — E2 A12(U 22 — E2)

E,

1

(T2 2 + U 2 2 — E2 ) A21

A12 (T22 + U22 E2) — En

1

0

0 —En

= J.

-2 У V0 ^2,

Следовательно, ЗА есть произведение матриц ТЛАТА и и-АШ, принадлежащих множеству ЛА. Ввиду условия 3) отсюда сразу вытекает ЗА е ЛА, что невозможно. Полученное противоречие завершает доказательство импликации.

4) ^ 5). Матрица и вида (1) удовлетворяет соотношению и~1Аи = 3, если выполнено А12и22 + 2и12 = 0 и иА21 - 2и21 = 0. Этого можно добиться, положив и = 1, и22 = -Е2 и выбрав матрицы и12 и и21 таким образом, чтобы А12 = 2и12 и А21 = 2и21 (ясно, что тогда и12 = 0 или и21 = 0).

5) ^ 1). Найдем сначала множество Лз = {и Л3Ш| иеО}. Пусть и - произвольная матрица из О, заданная условием (1). С учетом выкладок в доказательстве импликации 3) ^ 4) имеем соотношения

U lJUJ =

1

v— 2U 22U2!

2u

— E

J =

2 У

1

v— 2U 22U 21

2u 1U12 E

e H;

таким образом, Лз с Н. Обратно, полагая и = -1 и и22 = -Е2, мы видим, что всякая матрица из Н принадлежит множеству Л3. Тем самым доказано, что Л3 совпадает с группой Н.

Ввиду условия 5) можно записать А = Е Ч3Е, где Е е О. Тогда

Ла = {Т -1Е ~13ЕТЕ-ЗЕ | ТеО} = {(ЕТ)-13(ЕТ)3 • ЗЕ Ч3Е | ТеО} = = { и-13Ш | и е О} • ЗЕ-13Е = Лз • ЗЕЧ3Е. Поскольку матрица ЗЕ -13Е = 3 _1Е ~13Е33 = (ЕЗ)-13(Е3)3 принадлежит группе Лз, то Ла = Лз, что завершает доказательство. ■

Замечание. Если инволюция А еО удовлетворяет эквивалентным условиям леммы 8, то легко видеть, что (ЛА, •) - абелева группа, изоморфная той из аддитивных групп А12 и А21, которая отлична от 0. Итак, мультипликативная группа

1

А =

42 0 А

22 7

ЛА изоморфна Г12 © Г12 (соответственно Г21 © Г21), если группа В относится к типу III (соответственно к типу IV).

Нетрудно найти централизатор инволюции 3 еО, т.е. множество всех матриц из О, перестановочных с 3:

(и (Гц) 0 ^

Лемма 9. Централизатор матрицы 3 в группе О равен ^ (Г ) . ■

Для подкольца Я поля Q обозначим через ЫЬ2(К) подгруппу группы ОЬ2(К), состоящую из всех матриц с определителем + 1. Из евклидовости кольца Я можно вывести (см., напр.: [11]), что ЫЬ2(К) является вторым слоем группы ОЬ2(К), т.е. порождается множеством всех инволюций из ОЬ2(К). Справедлив такой факт:

Теорема 10 [2]. Для подколец Я и поля Q эквивалентны условия:

1) ОЬ2(Я) = ОЬ2(5).

2) ЫЬ2(Я) = МТ2(5).

3) Я = 5. ■

Предположим теперь, что в дополнение к группе В е X имеется группа В' е X типа IV, такая что существует изоморфизм ф: Ли! В ^ Ли! В'. Можно считать, что В' = У3 © У4 © У4, где ОД3) > ОД4). Обозначим через А ту инволюцию группы Ли! В', в которую 3 переходит при отображении ф. Запишем

Ли! В = (и(Г33) А43 ^ . (а А Л

здесь А43 = (Г43, Г43), А12 е А43 и А22 е ОТ2(Г44). Ясно, что А22 - инволюция и

а = + 1.

Так как 3 есть квадрат элемента группы О = Ли! В, то инволюция А должна быть квадратом некоторого элемента из Ли! В'. Отсюда вытекает, что а = 1 и что А22 является квадратом некоторой матрицы (в частности, |А22| не может быть отрицательным числом). Из приведенного в [1] описания инволюций группы ОЬ2(К) для колец Я с Q можно сделать вывод, что из всех инволюций группы ОТ2(Г44) только Е2 и -Е2 имеют определитель, отличный от -1.

Если А22 = Е2, то А может быть инволюцией лишь при условии А12 = 0. Но тогда ф(3) = А = Е3 = ф(Е3), что невозможно, так как ф - биекция. Значит, А22 = -Е2.

В силу леммы 8 множество Л3 = {и~13и3| и еО} является группой. Отсюда следует, что множество ф(Л3) = {Т -АТА | Те Ли! В'} есть группа, изоморфная Л3. С учетом замечания после леммы 8 получаем, что группа Г43 © Г43 изоморфна той из групп Г12 © Г12 и Г21 © Г21, которая не равна 0. Из этого можно заключить, что Г43 = Г12 (Г43 = Г21), если группа В относится к типу III (соответственно к типу IV).

Далее, применяя лемму 8 к инволюции А е Ли! В', получаем, что А и 3 сопряжены в Ли! В', т.е. найдется внутренний автоморфизм группы Ли! В', переводящий матрицу А в 3. Следовательно, существует изоморфизм О ^ Ли! В', при котором 3 переходит в 3. В связи с этим будем с самого начала считать, что ф(3) = 3.

Заметим, что -Е3 - это единственная отличная от Е3 центральная инволюция как в О, так и в Ли! В', а следовательно, ф(-Е3) = -Е3. Отсюда вытекают равенства ф(-3) = ф(-Е3)ф(3) = -Е3 = -3. Далее, ф отображает централизатор матрицы 3 в группе О на ее же централизатор в группе Ли! В'. Ввиду леммы 9 это означает, что ф индуцирует изоморфизм и (Гц) х О^2(Г22) ^ и (Г33) х О^2(Г44).

Ясно, что вторые слои групп U(Гц) х GL2(T22) и U(Г33) х GL2^44) равны соответственно {-1, 1} х ML2(r22) и {-1, 1} х ML2(r44). Таким образом, ф индуцирует изоморфизм у: {-1, 1} х М^(Г22) ^ {-1, 1} х ML2(^4). Так как ф(-J) = -J, то у отображает двухэлементную циклическую группу, порожденную парой (-1, E2), на себя. Факторизуя по этой циклической группе, получаем, что у индуцирует изоморфизм МЬ2(Г22) ^ М12(Г44). В силу теоремы 10 отсюда следует Г22 = Г44.

Если слагаемое Y4 не является почти делимым, то в силу следствия 3 группа B' не определяется своей группой автоморфизмов в классе X. Поэтому далее рассматриваем случай, когда группа Y4 почти делима. Ввиду неравенства t(Y3) > t(Y4) группа Y3 тоже почти делима, а значит, ОД43) = t(Y3) : t(Y4) = t(Y3). Далее, так как Г44 = E(Y4), то аддитивная группа кольца Г44 изоморфна Y4; следовательно, аддитивная группа кольца Г22 также изоморфна Y4. Последнее возможно только при условии, что Y2 = Y4 (в частности, Y2 - почти делимая группа).

Предположим, что группа B относится к типу III. Тогда имеем t(Yi) < t(Y2) и t(Гl2) = t(Y2) : t(Y1) = t(Y2). С другой стороны, из соотношений Г43 = Г12 и Y4 = Y2 следует t(Гl2) = t(Г4з) = t(Y3) > t(Y4) = t(Y2) - получаем противоречие.

Предположим теперь, что группа B относится к типу IV. Тогда t(Y1) > t(Y2) и t(r21) = t(Y1) : t(Y2) = t(Y1). Так как t(r43) = ОД), то Y1 = Г21 = Г43 = Y3. Отсюда уже следует B = B'.

Мы показали, что группа B' определяется своей группой автоморфизмов в X, если слагаемое Y4 почти делимо. Объединяя этот факт со следствием 7, приходим к основному результату:

Теорема 11. Группа B е X ранга 3 определяется своей группой автоморфизмов в классе X тогда и только тогда, когда выполняется B = Y1 © Y2 © Y2, где Y2 -почти делимая группа ранга 1 и ОД1) > ОД2). ■

Список источников

1. Гайдак В.А., Тимошенко Е.А. Инволюции полной линейной группы GL2 над подкольцом

поля Q // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2019. № 62. С. 19-26. doi: 10.17223/19988621/62/2

2. Вильданов В.К., Гайдак В.А., Тимошенко Е.А. Об определяемости вполне разложимой

группы ранга 2 ее группой автоморфизмов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. № 68. С. 23-32. doi: 10.17223/19988621/68/2

3. Вильданов В.К. Определяемость вполне разложимой абелевой группы без кручения

ранга 2 своей группой автоморфизмов // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 3 (1). С. 174-177.

4. Vildanov V.K. Determinability of a completely decomposable block-rigid torsion-free Abelian

group by its automorphism group // J. Math. Sci. (New York). 2014. V. 197, No. 5. P. 590594. doi: 10.1007/s10958-014-1739-9

5. Vildanov V.K. On determinability of a completely decomposable torsion-free Abelian group

by its automorphism group // J. Math. Sci. (New York). 2018. V. 230, No. 3. P. 372-376. doi: 10.1007/s10958-018-3742-z

6. Вильданов В.К. Определяемость абелевой группы ее группой автоморфизмов и центром

кольца эндоморфизмов : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Н. Новгород, 2014.

7. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. М. : Мир, 1977. Т. 2.

8. Себельдин А.М. Условия изоморфизма вполне разложимых абелевых групп без круче-

ния с изоморфными кольцами эндоморфизмов // Математические заметки. 1972. Т. 11, № 4. С. 403-408.

9. Третьяков И.В., Тимошенко Е.А. Инволюции в группе автоморфизмов вполне разложи-

мой группы // Всероссийская молодёжная научная конференция студентов «Все грани математики и механики» : сб. ст. Томск : НТЛ, 2021. С. 139-154.

10. О'Мира О. Лекции о линейных группах // Автоморфизмы классических групп. М. : Мир, 1976. С. 57-167.

11. Елфимова А.М., Тимошенко Е.А. О линейных группах над кольцами // Всероссийская молодежная научная конференция «Все грани математики и механики» : сб. ст. Томск : НТЛ, 2020. С. 13-20.

References

1. Gaidak V.A., Timoshenko E.A. (2019) Involyutsii polnoy lineynoy gruppy GL2 nad podkol'tsom

polya Q [Involutions of the general linear group GL2 over a subring of the field Q]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal ofMathematics and Mechanics. 62. pp. 19-26. doi: 10.17223/19988621/62/2

2. Vildanov V.K., Gaidak V.A., Timoshenko E.A. (2020) Ob opredelyaemosti vpolne razlozhimoy

gruppy ranga 2 ee gruppoy avtomorfizmov [On determinability of a completely decomposable rank 2 group by its automorphism group]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 68. pp. 23-32. doi: 10.17223/19988621/68/2

3. Vildanov V.K. (2011) Opredelyaemost' vpolne razlozhimoy abelevoy gruppy bez krucheniya

ranga 2 svoey gruppoy avtomorfizmov [Determinability of completely decomposable torsion-free Abelian group of rank 2 by its automorphism group]. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo - Vestnik of Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod. 3(1). pp. 174-177.

4. Vildanov V.K. (2014) Determinability of a completely decomposable block-rigid torsion-free

Abelian group by its automorphism group. Journal of Mathematical Sciences (New York). 197(5). pp. 590-594. doi: 10.1007/s10958-014-1739-9

5. Vildanov V.K. (2018) On determinability of a completely decomposable torsion-free Abelian

group by its automorphism group. Journal of Mathematical Sciences (New York). 230(3). pp. 372-376. doi: 10.1007/s10958-018-3742-z

6. Vildanov V.K. (2014) Opredelyaemost' abelevoy gruppy ee gruppoy avtomorfizmov i tsentrom

kol'tsa endomorfizmov [Determinability of an Abelian group by its automorphism group and the center of its endomorphism ring]. Dissertation. Tomsk State University.

7. Fuchs L. (1973) Infinite Abelian groups. Vol. 2. New York; London: Academic Press.

8. Sebeldin A.M. (1972) Isomorphism conditions for completely decomposable torsion-free

Abelian groups with isomorphic rings of endomorphisms. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR. 11(4). pp. 248-250. doi: 10.1007/BF01367498

9. Tretyakov I.V., Timoshenko E.A. (2021) Involyutsii v gruppe avtomorfizmov vpolne

razlozhimoy gruppy [Involutions in the automorphism group of a completely decomposable group]. All-Russia Youth Scientific Student Conference "Vse grani matematiki i mekhaniki" (sbornik statey). Tomsk: NTL. pp. 139-154.

10. O'Meara O.T. (1974) Lectures on linear groups. Providence: American Mathematical Society.

11. Elfimova A.M., Timoshenko E.A. (2020) O lineynykh gruppakh nad kol'tsami [On linear groups over rings]. All-Russia Youth Scientific Conference "Vse grani matematiki i mekhaniki" (sbornik statey). Tomsk: NTL. pp. 13-20.

Сведения об авторах:

Тимошенко Егор Александрович - доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра Томского государственного университета, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: tea471@mail.tsu.ru

Третьяков Иван Владиславович - магистрант механико-математического факультета Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: ivantretyakov00@gmail.com

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Timoshenko Egor A. (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tea471@mail.tsu.ru

Tretyakov Ivan V. (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: ivantretya-kov00@gmail.com

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Статья поступила в редакцию 20.12.2021; принята к публикации 22.03.2022

The article was submitted 20.12.2021; accepted for publication 22.03.2022