ИНТЕРВАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В АЛГОРИТМАХ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ КАТОДНОЙ ЗАЩИТЫ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИНТЕРВАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В АЛГОРИТМАХ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ КАТОДНОЙ ЗАЩИТЫ

1 2 © Болотнов А.М. , Хисаметдинов Ф.З.

Башкирский государственный университет, г. Уфа

Одной из проблем компьютерного моделирования катодной защиты трубопроводов является интервальная неопределенность входных параметров. В работе предложен алгоритм расчета электрического поля катодной защиты подземного трубопровода вертикальным глубинным анодом с интервальными входными параметрами. Разработан программный комплекс на основе интервальных операций. Приведены примеры численных расчетов с реальными исходными данными.

Ключевые слова: электрическое поле, катодная защита, трубопровод, метод фиктивных источников, интервальные операции.

Введение. В настоящее время для защиты магистральных трубопроводов от коррозии широко применяется катодная защита (КЗ), основанная на смещении электрического потенциала защищаемого сооружения в отрицательную область относительно потенциала грунта. Потенциал металла должен находиться в заданном интервале. При сдвиге потенциала в положительном направлении относительно требуемого интервала эффективность КЗ снижается; при смещении в отрицательном направлении возникает «эффект перезащиты», следствием чего является повышенный расход электроэнергии, интенсивное газообразование на поверхности металла с последующей деградацией защитного покрытия [10, 11, 14].

Электрическое поле в цепи «анод - грунт - защищаемое сооружение» создается станцией КЗ с помощью анодных заземлителей: горизонтально-протяженных, прокладываемых вдоль трубопроводов; вертикально-глубинных, соединенные в «гирлянду» из отдельных блоков, и других [5].

Сложности компьютерного моделирования КЗ связаны как с широким разбросом значений геометрических параметров, так и с неопределенностью в исходных данных. Основные электрохимические параметры, - электрическое сопротивление грунта, сопротивление изоляции трубопровода, сопротивление на границах анодов, - по сути являются интервальными величинами. При замене этих параметров константами математическая модель идеализируется, при этом адекватность полученных результатов нуждается в дополнительных обоснованиях [2, 3, 6, 13].

1 Профессор кафедры Информационных технологий и компьютерной математики БашГУ, доктор физико-математических наук, доцент.

2 Старший преподаватель кафедры Прикладной математики и информационных технологий, Сибайского института (филиала) БашГУ.

Для корректного анализа подобных задач необходимы математические модели, учитывающие: а) неопределенности в исходных данных, полученных в результате измерений; б) погрешности аппроксимации непрерывных зависимостей их дискретными аналогами; в) ошибки компьютерных округлений действительных чисел. В конкретных задачах соотношения вкладов отдельных типов ошибок в общую погрешность решения могут быть различными. На практике, как правило, определяется наиболее весомый вклад одного из типов ошибок, после чего производится оценка погрешности результата с учетом ошибок только данного вида.

Одним из средств учета всех видов погрешности (одновременно или выборочно) являются интервальные методы, которые дают возможность получения интервального решения, включающего неопределенности входных параметров, погрешности дискретизации и компьютерных округлений. Известно, что в некоторых случаях применение интервальных операций дает неудовлетворительные результаты из-за чрезмерной ширины получаемых интервалов [1, 4, 8].

Целью данной работы является использование интервальных методов в программной реализации алгоритма расчета электрического поля КЗ трубопровода глубинным анодом с учетом неопределенностей в исходных данных.

Математическая модель электрического поля КЗ. Рассмотрим участок горизонтального подземного трубопровода длиной 2Lt, защищаемый одним вертикальным глубинным анодом длиной La, расположенным на расстоянии Lat от трубы (рис. 1).

У / У / / VI [У ПОВЕРХНОСТЬ ГРУНТА / / / / /

i

/ 1 / ()

У z_ / 2

Рис. 1. Схема катодной защиты трубопровода:

1 - труба; 2 - глубинный анод; 3 - станция катодной защиты

Предполагая, что участок трубы, защищаемый одним анодом, симметричен относительно плоскости Y0Z, дальнейшие расчеты проводим для одной половины этого участка (0 < х < £).

Известно, что потенциал и(р) постоянного электрического поля в области {РI Р = (х, У,2),х е[0, Ц ], у е (—да, да), г е[0, да)} удовлетворяет уравнению эллиптического типа [12]:

div (a(p) grad u(p)) = 0; p eQ, (1)

где c(p) - удельная электропроводность среды, См/м.

К изолированным границам (S) отнесем поверхность грунта (z = 0), плоскости симметрии в грунте (x = 0 и x = Lt) и нижнюю границу анода (z = La), для которых потребуем выполнения краевых условий:

ды дп

= 0 (2)

Si

где п - вектор нормали к границе Б,-.

На боковых границах анод-грунт (Ба) и труба-грунт (Б) поставим краевые условия:

ды

ы ± ce а— дп

= ыте;e = a, t,

(3)

где и, ита, ит - потенциалы в грунте, в металле анода и в металле трубы, В; са, с - поверхностные сопротивления оболочки анода и изоляции трубы, Ом*м2; о - электропроводность грунта.

В формуле (3) и далее индекс «а» и знак «+» соответствуют границе анода, индекс <Ф> и знак «-» - границе трубопровода; направление электрического тока принято положительным от анода в грунт, и из грунта к трубе.

Если на границах Ба и Бг зависимости плотности тока от разности потенциалов линейны, и при этом параметры анода и трубопровода не зависят от продольной координаты, то са и с1 - константы.

Учитывая, что длины анода и трубы на несколько порядков превышают их диаметры, потенциалы в металле будем предполагать постоянными в сечениях, и зависящими только от продольной координаты: ита = ита(г), иш = ит(х).

Так как точка подключения анода к станции КЗ находится в сечении г = 0, а точка подключения трубы - в сечении х = 0, краевые условия в указанных сечениях будут иметь вид:

du

dz

du

z=0 а aSma dx

2atSm,

(4)

где оа, - удельные электропроводности металлов анода и трубы; Бта, Бт -соответственно площади сечений металла; 10 - ток станции КЗ. Условием

(М " Ыт, )|^ = итп (5)

обеспечивается минимально допустимое значение потенциала (итт) в точке трубопровода (х = Ь), наиболее удаленной от анода.

Алгоритм решения задачи. На первом этапе решения задачи (1)-(5) использован метод фиктивных источников без учета неопределенности в исходных данных. Аналогичный подход ранее применялся в расчетах электрических полей КЗ трубопроводов протяженными анодами [4, 7, 9]. Для перехода от непрерывной модели к дискретной представим анод в виде Na элементов длиной La / Na, а защищаемый участок трубопровода разобьем на Nt элементов длиной Lt / Nt. Центр каждого элемента будем ассоциировать с точечным фиктивным источником для анода и стоком для трубы. Для каждого элемента будем оперировать средними значениями неизвестных параметров:

Uma, Umt - потенциалы в металле анода, трубы;

Uga, Ugt - потенциалы в грунте, граничащим с анодом, трубой;

Ipa, Ipt - продольные токи между соседними элементами;

Iga, Igt - токи, протекающие через боковую поверхность элементов.

Записывая 1 -й закон Кирхгофа для каждого фиктивного источника, сформируем первый блок Na + Nt уравнений:

Ipej - Ipe.M - Ige,M = = 1.-. Ne -1;

!pafi = I0; Ip,,0 = I0 /2; IpeN =0;e = a.-

Удовлетворяя граничным условиям (3) на каждом элементе анода и трубы, сформируем второй блок Na + Nt уравнений:

U ±C = U ;i = 1,...,N ;e = a,t, (7)

ge.i e,i ^ me,i' ??e? ?? у j

Se ,i

где Sei, и Ce i, - площади и сопротивления боковых поверхностей элементов.

Третий блок Na + Nt - 2 уравнений формируется для разности потенциалов между соседними фиктивными источниками:

±Ume,i + Ume,i+1 = Ре1pe,i; i = Ne -1; e = a, t, (8)

где pe - продольные сопротивления элементов.

Следующий блок Na + Nt уравнений связывает потенциалы в грунте на границах элементов с интенсивностями фиктивных источников и стоков:

N I N I

4myU . =У-—--У-1—;k = 1,...,N + N, (9)

g,k j=R(pk, p) iR(pk, p); , , a -, ()

где R(pk, p,) - расстояние от точки pk, в которой определяется потенциал, до точки p,, в которой находится фиктивный источник или сток; Ugk - потенциал в грунте на границе с анодом (при k = 1, ..., Na) или на границе с трубой (при k = Na + 1, ..., Na + Nt).

Применение формул (9) обосновано принципом электростатической аналогии для пространственных задач распределения электрического поля. Для корректного применения (9) в алгоритме используется метод зеркальных отражений [12]: при вычислении (9) суммируются слагаемые не только от реальных анода и трубы, но и от их зеркально -симметричных отражений относительно поверхностей-изоляторов. Отметим, что данное дополнение не увеличивает размерности системы уравнений.

Из условия (5) имеем последнее уравнение:

- = Цтп- (10)

Сформирована система линейных алгебраических уравнений (6)-(10), где число уравнений и неизвестных равно 4х(Аа + А) - 1.

На первом этапе алгоритма система (6)-(10) решается на множестве действительных чисел, без применения интервальных операций. На втором этапе вместо числовых значений с, са и с1 в граничные условия (3) подставляются соответствующие им интервалы [сть ст2], [са1, са2], [са, сй], включающие погрешности измерений [1, 8].

Интервальные арифметические операции. Интервальный тип данных реализуется двумя действительными числами для концов интервала: А = [аь а2] = {х| а! < х < а2; аь а2 е Я}, а множество всех интервалов обозначают 1(Я). Арифметические операции над интервалами определяются правилом:

А*В = {а*Ь | а е А, Ь е В}, (11)

где символу * соответствует любая из операций: +, -, х, / [1, 6, 8].

Возникающая при вычислении интервальных границ погрешность включается в результирующий интервал с помощью направленных округлений: левая граница интервала округляется вниз, правая - вверх. Режим округления процессора устанавливается с помощью стандартных функций.

Вычислительный эксперимент. Рассмотрим работу алгоритма (6)-(10) при следующих значениях основных параметров (табл. 1).

Таблица 1

Значения основных параметров

Параметр Значение

Длина защищаемого участка трубы, км 32

Глубина от уровня земли до трубы, м 1

Внешний диаметр трубы, м 1.22

Толщина стенки трубы, мм 22

Удельн. сопротивление стали, Омхм 2.45х10"7

Сопротивление изоляции трубы, Омхм2 120000

Расстояние между анодом и трубой, м 300

Окончание табл. 1

Параметр Значение

Длина анода, м 16

Диаметр стального сердечника анода, мм 25

Внешний диаметр анода, мм 240

Уд. сопротивление анодного композита, Омхм 0.00035

Уд. сопротивление грунта, Омхм 1000

Результатом первого этапа работы алгоритма являются точечные функции потенциала и плотности тока по границам трубопровода и анода. На втором этапе, после подстановки в условия (3) интервальных исходных данных (в приведенном примере: с, Са, С) и применения операций (11), будем иметь интервальные функции решения (потенциала и плотности тока). При этом нижняя ветвь интервальной функции будет проходить ниже «базовой» точечной кривой, а верхняя - выше, тем самым нарушится условие (10).

Для того чтобы обеспечить минимальное значение защитного потенциала Птт в точке х = Ьь предложен итерационный процесс:

1. Решение задачи (6)-(10) на множестве действительных чисел.

2. Построение интервального решения из граничных условий (3) на основе интервальных операций (11).

3. Итерационное уточнение интервального решения:

ДЦ = и^ - шш(Ц* ); Ц^ = Ц^ + ДЦ

4. Пока Ди > £, повторять 1-3. Здесь £ - заданная точность.

Глубина от уровня земли, м Расстояние от точки подключения СКЗ, км

(а) (б)

Рис. 2. Интервальные распределения плотности тока на аноде (а) и потенциала трубопровода (б) при с, Са и С, с относительными радиусами интервалов, равными, %: 1 - 2; 2 - 4; 3 - 6

Результатом второго этапа являются интервальные функции распределения потенциала и плотности тока по границам трубопровода и анода. При этом минимальное значение интервальной функции защитного потенциала в точке x = Ьг совпадает с Umm с точностью е.

На рис. 2 представлены интервальные распределения плотности тока вдоль анода и защитного потенциала вдоль трубопровода для трех вариантов интервальных значений проводимости грунта (с), уд. сопротивления анода ^а) и уд. сопротивления изоляции трубопровода

В приведенном примере для требуемого минимального потенциала, равного 0.3 вольта, нижние ветви интервальных функций совпадают в трех представленных вариантах, значение в точке (х = 16 км) равно 0.3 В.

Заключение. Разработана математическая модель электрического поля в системе катодной защиты трубопроводов глубинными анодами с учетом неопределенностей в исходных данных. Построен алгоритм решения трехмерной задачи на основе метода фиктивных источников и интервальных операций. Данный подход позволяет получать интервальные решения, содержащие неопределенности входных параметров.

Список литературы:

1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления: пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 356 с.

2. Болотнов А.М., Иванов В.Т. Численное моделирование электрических полей анодной защиты некоторых электрохимических систем // Электрохимия. - 1996. - Т. 32, № 6. - С. 694-697.

3. Болотнов А.М., Лобастов С.А., Суюндуков А.Р. Расчет электрического поля в электролите на основе уравнений электрохимической и диффузионной кинетики // Системы управления и информационные технологии. -2012. - Т. 49, № 3. - С. 77-81.

4. Болотнов А.М., Хисаметдинов Ф.З. Применение компьютерного моделирования для интерпретации данных контрольных измерений в системах катодной защиты трубопроводов // Вестник Башкирского университета. -2015. - Т. 20, № 3. - С. 786-789.

5. Глазов Н.П. Подземная коррозия трубопроводов, ее прогнозирование и диагностика. - М.: Газпром, 1994. - 92 с.

6. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние численные методы. -Новосибирск: Наука, 1990. - 208 с.

7. Иванов В.Т., Болотнов А.М., Гадилова Ф.Г., Кильдибекова Г.Я., Криз-ский В.Н., Надергулов И.У, Карабельская И.В. Комплекс программно-алгоритмического обеспечения численных исследований электрических полей в некоторых сложных системах // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. - 1987. - № 11. - С. 21-26.

8. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд., 1986. - 224 с.

9. Ткаченко В.Н. Анализ поля токов катодной защиты трубопроводной сети // Защита металлов. - 2006. - Т. 42, № 5. - C. 132-135.

10. Томашов Н.Д. Теория коррозии и защиты металлов. - М.: АН СССР, 1959. - 592 с.

11. Улиг Г.Г., Реви Р.У Коррозия и борьба с ней. Введение в коррозионную науку и технику: пер. с англ. - Л.: Химия, 1989. - 445 с.

12. Шимони К. Теоретическая электротехника. - М.: Мир, 1964. - 773 с.

13. Bolotnov A.M., Ivanov VT. Numerical Simulation of the Anodic Protection Starting Conditions // Физикохимия поверхности и защита материалов. -2001. - Т. 37, № 2. - С. 197-200.

14. Ivanov VT., Makarov VA., Bolotnov A.M. Electric field numerical models for anodic protection systems in heat-exchange equipment // Физикохимия поверхности и защита материалов. - 1992. - Т. 28, № 6. - С. 955-960.

ОСОБЕННОСТИ РЕФРАКЦИИ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕЙ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ ТРАНСЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ

© Брутян М.А.1, Еремин А.М.2, Потапчик А.В.3

Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского, г. Жуковский

На основании проведенных численных расчетов уравнений Навье-Стокса дано объяснение двум физическим эффектам, наблюдаемым при исследованиях трансзвукового пограничного слоя на профилях с помощью прямотеневых оптических приборов.

Ключевые слова аэродинамический профиль, трансзвуковые течения, пограничный слой, оптические методы, численное моделирование.

Явление рефракции (отклонения) световых лучей в средах с переменным коэффициентом преломления широко используется при оптических исследованиях течений в аэродинамических трубах [1-3]. Ход светового луча в оптически неоднородной среде описывается известным соотношением: S2y / Sx2 ~ Sn / Sy, где y - величина отклонения светового луча в перпендикулярном направлении от направления x его распространения, n - показатель преломления среды; n = 1 + Kp, где р - плотность, а K - константа Гладстона-Дейла. Отсюда следует, что на рефракцию света влияет только составляющая градиента коэффициента преломления, которая перпендику-

1 Главный научный сотрудник ЦАГИ, доктор физико-математических наук, профессор.

2 Студент Московского физико-технического института (МФТИ).

3 Ведущий инженер ЦАГИ.