CC BY
28
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ КАТОДНОЙ ЗАЩИТЫ ОТ КОРРОЗИИ ТРУБОПРОВОДА С НЕОДНОРОДНОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ
© Болотнов А.М.* *, Галиахметова Р.Р.*
Башкирский государственный университет, г. Уфа
На основе метода фиктивных источников разработан алгоритм решения краевой задачи для потенциала электрического поля катодной защиты подземного трубопровода с неоднородной изоляцией. Представлены результаты расчетов, подтверждающие эффективность предложенного подхода.
Ключевые слова: электрическое поле, катодная защита, трубопровод, поврежденная изоляция, метод фиктивных источников.
Введение. Катодная защита (КЗ) является важнейшим средством продления срока службы подземных металлических конструкций, в том числе нефте- и газопроводов. КЗ основана на смещении электрического потенциала защищаемого объекта в отрицательную область относительно потенциала грунта. Электрическое поле в системе «анод - грунт - защищаемое сооружение» создается катодной станцией с помощью анодных заземлителей, погруженных в грунт. Для обеспечения эффективной защиты от коррозии необходимо, чтобы потенциал металла трубы находился в заданном интервале: при его сдвиге в положительную сторону эффективность КЗ снижается; при смещении в отрицательную сторону возникает «эффект перезащи-ты», что приводит к повышенному расходу электроэнергии, усиленному газообразованию, отслоению и преждевременному износу изоляции трубопровода [1]. Локальные повреждения (дефекты) в изоляции трубопровода возникают от механических повреждений при первичной укладке трубы, а также при осадке, промерзании и оттаивании грунта.
Целью данной работы является разработка математической модели, алгоритма и программы для компьютерного исследования электрических полей в системах КЗ трубопроводов с поврежденной изоляцией.
Математическая модель электрического поля. Пусть участок длины 2Lt горизонтального трубопровода защищен вертикальным глубинным анодом длины La, расположенным на расстоянии Lat от средней точки (х = 0) защищаемого участка трубы. Тогда потенциал u(p) постоянного электрического поля в области
* Профессор, заведующий кафедрой Информационных технологий, доктор физико-математических наук, доцент.
* Магистрант.
Физико-математические науки
143
Q = {p | p = (x, y, z), x e[0, Lt ], y e (-да, да), z e[0, да)},
удовлетворяет уравнению эллиптического типа [2]:
div(ст(p) grad u(p)) = 0; p eQ, (1)
где o(p) - удельная электропроводность среды (См/м).
К границам-изоляторам (St) отнесем поверхность грунта (z = 0), вертикальные плоскости симметрии в грунте (х = 0, x = Lt) и нижнюю границу анод-грунт (z = La), для которых потребуем выполнения краевых условий:
ди
дп
= 0,
(2)
где n - вектор нормали к границе.
На границах анод-грунт (Sa) и грунт-труба (St) должны выполняться краевые условия третьего рода:
и + c а-
ди
дп
= Uem , e a, t,
(3)
где u - потенциал в грунте (В); ca, ct - удельные сопротивления оболочки анода и изоляции трубы (Ом*м2); о - электропроводность грунта (См/м); uam, utm - потенциалы металлов анода и трубы (В); здесь и далее индекс «а» относится к аноду, «t» - к трубе.
Параметр ct зависит от координат точки трубы (ct = ct (х)) при наличии неоднородностей изоляции, что является необходимым условием в задаче моделирования КЗ трубопровода с дефектами в изоляции.
Так как длины анода и трубы на несколько порядков превышают их диаметры, потенциалы металлов полагаем постоянными в сечениях, т.е. зависящими только от продольной координаты: uam = uam(z), utm = um(x).
Точка подключения анода к катодной станции находится в сечении z = 0, а точка подключения трубы в сечении х = 0; в качестве краевых условий в указанных сечениях примем:
du„
dz
J0 . dUtm
„ a S dx
z=0 a am
x=0 2atStm
I
0
(4)
где oa, ot - удельные электропроводности металлов анода и трубы; Sam, Stm -площади их металлических сечений (м2); I0 - ток катодной станции (А).
Участок трубы, защищаемый анодом, симметричен относительно плоскости Y0Z; расчеты проводятся для половины этого участка (0 < х < Lt), поэтому в знаменателе второй формулы (4) стоит коэффициент «2».
144
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Условием
(U - U,m )|x=L, = U protect
(5)
обеспечивается значение защитного потенциала uprotect в сечение трубопровода, наиболее удаленном от анода.
Алгоритм решения задачи (1)-(5) состоит из двух этапов. На первом этапе решается трехмерная задача, в которой отыскивается распределение потенциала и плотности тока вдоль трубопровода с учетом имеющихся отдельных дефектов в изоляции (участков с пониженным сопротивлением). На втором этапе алгоритма решается двумерная задача в нормальном сечении к трубопроводу на участке поврежденной изоляции, в которой моделируется электрическое поле с учетом углового расположения дефекта по окружности трубы.
Алгоритм решения трехмерной задачи. Для решения задачи (1)-(5) использован метод фиктивных источников, который применялся в расчетах электрических полей параллельных протяженных электродов без учета неоднородностей [3]. Аналогичный подход ранее применялся в [4].
Для перехода от непрерывной модели к дискретной представим глубинный вертикальный анод в виде N конечных объемных элементов (КОЭ) длины La / N, а защищаемый участок горизонтального трубопровода условно разобьем на M элементов длины Lt / M. Далее для каждого КОЭ будем оперировать средними значениями неизвестных параметров:
Um - потенциал в металле КОЭ анода или трубы;
Ug - потенциал в грунте, граничащим с КОЭ;
Ip - продольный ток в металле между соседними КОЭ;
Ib - ток, протекающий через боковую поверхность КОЭ.
При построении алгоритма каждый КОЭ будем ассоциировать с фиктивным источником (или стоком), расположенным в геометрическом центре КОЭ. Применяя 1-й закон Кирхгофа к каждому КОЭ, с учетом (2), сформируем первый блок уравнений:
1 p,i 1 p,i+l
I° - Ip л - h Л = 0,
- Л,+1 = 0; i = 1,..., N+M - 2,
P,N
-1 Ib,N ~ °.
(6)
Из условий (3) сформируем второй блок уравнений:
U .+ c = U .; i = 1,...,N +M,
g,i e,i m,i> 55 5
(7)
где Se i, ce i - площадь и сопротивление боковой поверхности /-го КОЭ. Третий блок уравнений формируется на основе закона Ома:
Физико-математические науки
145
UmJ -UmJ+l = pJPi; i = 1,...,N + M-2, (8)
где pm - продольные сопротивления металла анода или трубы между соседними фиктивными источниками.
Следующий блок уравнений связывает потенциалы в грунте на границах КОЭ с интенсивностями фиктивных источников (стоков):
4 naU . = У
g,i Z_i
k=i R(pt, pk)
i = 1,..., N + M,
(9)
где R(pi, pk) - расстояние от точки p„ в которой определяется потенциал, до точкиpk, в которой находится фиктивный источник (сток).
Из условия (5) имеем последнее уравнение:
Ug,M ,т,М ,protect'
(10)
Таким образом, сформирована система линейных алгебраических уравнений (6)-(10), в которой число уравнений и число неизвестных равно 4 х (N + M).
Моделирование дефектных участков изоляции трубы. Определим несплошность изоляции трубопровода на КОЭ ("Hi*,) и коэффициент остаточного сопротивления дефектов (Kost):
4iso = Sdef ISall ; Rost = CdefjCiso , (11)
где Sdef - суммарная площадь дефектов в изоляции КОЭ; SaII = %xdtxLt / M -площадь боковой поверхности КОЭ трубы; Siso = SaII - Sdef - площадь изоляции КОЭ без дефектов; Cdef - среднее удельное сопротивление дефектов; Cio -удельное сопротивление изоляции.
Безразмерный коэффициент (0 < Kost < 1) при некоторых упрощающих предположениях можно трактовать как отношение средней толщины дефектной изоляции к толщине изоляции без дефектов.
Учитывая, что сопротивление изоляции без дефектов (R^,) и суммарное сопротивление дефектов на КОЭ (Rdf) определяются как
Riso = Ciso lSiso , Rdef = Cdef/Sdef , (12)
из соотношения для сопротивлений параллельных проводников [2] получим полное сопротивление боковой поверхности КОЭ:
Rall = 1(1 Rso + 1/Rdef ). (13)
Численные результаты решения трехмерной задачи. Приведем пример расчета электрического поля КЗ трубопровода с тремя дефектами в изо-
146
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ляции на различных расстояниях от точки подключения катодной станции. В таблице приведены значения основных параметров.
Таблица 1
Значения основных параметров
Параметр Значение
Длина защищаемого участка трубы (1/2), км 4
Внешний диаметр трубы, м 1.22
Толщина стенки трубы, мм 22
Уд. сопротивление стали, Омхм 2.45х10-7
Сопротивление изоляции трубы, Омхм2 40000
Коэффициенты Kost для трех дефектов 0.17; 0.16; 0.15
Расстояние между анодом и трубой, м 200
Длина анода, м 24
Диаметр стального сердечника анода, мм 25
На рис. 1, 2 представлены графики распределения потенциала «трубопровод-грунт» и потенциала в грунте над осью трубы при удельном сопротивлении грунта, Омхм: 1 - 50; 2 - 120; 3 - 200; и расстояниях от точки подключения до дефектов, км: 1 - 1.0, 2.0, 3.0; 2 - 1.2, 2.2, 3.2; 3 - 1.4, 2.4, 3.4.
Из рисунков видно, что при защитном потенциале 0,3 В (в точке x = 4 км) на участках трубопровода с дефектной изоляцией значения защитного потенциала значительно ниже минимального, что является причиной усиленной коррозии.
Рис. 1. Разность потенциалов Рис. 2. Потенциал в верхнем
«грунт-трубопровод» слое грунта над осью трубы
Алгоритм решения двумерной задачи. Для решения задачи в двумерном сечении, нормальном к оси трубопровода, применяется метод граничных элементов [5]. Для построения граничного интегрального уравнения
Физико-математические науки
147
применяется основная интегральная формула Грина. Интегральное уравнение решается методом конечных сумм [6-9].
На рис. 3, 4 представлены распределения потенциала при угловых расположениях дефектов 90, 180 и 270 град; коэффициенте дефектности 0.001 и удельном сопротивлении грунта, Ом»м: 1 - 500; 2 - 600; 3 - 700.
„ , _ Рис. 4. Потенциал в верхнем
Рис. 3. Разность потенциалов
слое грунта в нормальном сечении «грунт-трубопровод» _
г к оси трубы
Заключение. Предложена математическая модель электрического поля в системе катодной защиты трубопровода с повреждениями в изоляции. На основе метода фиктивных источников реализован алгоритм расчета потенциала в трехмерной постановке. Уточнение углового расположения дефекта на окружности трубы осуществлено методом граничных элементов. Приведены примеры численных результатов.
Список литературы:
1. Улиг Г.Г., Реви Р.У Коррозия и борьба с ней. Введение в коррозионную науку и технику: пер. с англ. - Л.: Химия, 1989. - 445 с.
2. Шимони К. Теоретическая электротехника. - М.: Мир, 1964. - 773 с.
3. Болотнов А.М., Глазов Н.Н., Глазов Н.П., Шамшетдинов К.Л., Киселев В.Д. Математическая модель и алгоритм расчета электрического поля катодной защиты трубопровода протяженными анодами // Физикохимия поверхности и защита материалов. - 2008. - Т. 44, № 4. - C. 438-441.
4. Ткаченко В.Н. Анализ поля токов катодной защиты трубопроводной сети // Защита металлов. - 2006. - Т. 42, № 5. - C. 132-135.
5. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984. - 490 с.
148
ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
6. Иванов В.Т., Болотнов А.М. Автоматизированная система научных исследований электрических полей в сложных электрохимических системах на основе вычислительного эксперимента // Электрохимия. - 1991. - Т 27, № 3. - С. 324-331.
7. Иванов В.Т., Болотнов А.М. Пакет прикладных программ для численного исследования электрических полей в неоднородных электрохимических системах // Известия высших учебных заведений. Электромеханика. -1991. - № 6. - С. 21-28.
8. Ivanov VT., Makarov VA., Bolotnov A.M. Electric field numerical models for anodic protection systems in heat-exchange equipment // Физикохимия поверхности и защита материалов. - 1992. - Т. 28, № 6. - С. 955-960.
9. Болотнов А.М., Зенцов В.Н., Исламов Р.Р., Мурасов Т.Т. Компьютерное моделирование электрических полей катодной защиты трубопроводов глубинными анодами [Электронный ресурс] // Современные проблемы науки и образования. - 2012. - № 6. - С. 596. - Режим доступа: www.science-education.ru/106-7548 (дата обращения: 27.11.2012).
