ИНТЕРПОЛЯЦИЯ НЕПОЛНОГО РЫНКА ПОЛНЫМ ДЛЯ ТРИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ В ЗАДАЧЕ КВАНТИЛЬНОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1

Научная статья УДК 519.2

doi: 10.18522/1026-2237-2022-4-1-21 -28

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ НЕПОЛНОГО РЫНКА ПОЛНЫМ ДЛЯ ТРИНОМИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ В ЗАДАЧЕ КВАНТИЛЬНОГО ХЕДЖИРОВАНИЯ

Ирина Александровна Землякова

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия izemlyako va @sfedu. ru

Аннотация. Рассматривается переход от неполного рынка к полному с помощью хааровской интерполирующей фильтрации. При этом в случае перехода от текущего уровня дерева к последующему происходит дробление на две части лишь одного атома, остальные атомы не подвергаются изменениям. В ходе осуществления данной интерполяции возникает полный рынок, для которого мартингальная мера уже единственна. Возникает вопрос, связанный с выбором единственной мартингальной меры для получившегося полного рынка. В качестве данной меры выбирается одна из крайних мартингальных мер, расстояние от которой до рыночной будет наименьшим. Инструментом для определения меры удалённости крайней мартингальной меры от рыночной выбирается расстояние Кульбака - Лейблера. Строится решение задачи квантильного хеджирования для полученного в ходе интерполяции полного рынка. Данное решение основано на теории двойственности линейного программирования. Продолжается исследование задачи квантильного хеджирования для триномиальной модели. Предложен вычислительный эксперимент, в ходе которого происходит переход от неполного рынка к полному и решается задача квантиль-ного хеджирования для получившегося полного рынка. Получен вывод о возможности сведения триномиальной модели к биномиальной.

Ключевые слова: хааровская интерполирующая фильтрация, хеджирование, квантильное хеджирование, неполный рынок, полный рынок, биномиальная модель, триномиальная модель, расстояние Кульбака -Лейблера

Для цитирования: Землякова И.А. Интерполяция неполного рынка полным для триномиальной модели в задаче квантильного хеджирования // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 4-1. С. 21-28.

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).

Original article

INTERPOLATION OF AN INCOMPLETE MARKET BY A COMPLETE ONE FOR A TRINOMIAL MODEL IN THE QUANTILE HEDGING PROBLEM

Irina A. Zemlyakova

Southen Federal University, Rostov-on-Don, Russia izemlyakova@sfedu. ru

© Землякова И.А., 2022

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1

Abstract. The transition from an incomplete market to a complete market is considered using Haar interpolating filtering. With Haar interpolation, in the case of a transition from the current level of the tree to the next, only one atom is split into two parts, while the remaining atoms do not change. In the course of this interpolation, a complete market arises, for which the martingale measure is already unique. The question arises related to the choice of a single martingale measure for the resulting complete market. As this measure, one of the extreme martingale measures is chosen, the distance from which to the market measure will be the smallest. The Kullback-Leibler distance is chosen as a tool for determining the measure of distance of the extreme martingale measure from the market one. A solution to the quantile hedging problem is constructed for the full market obtained in the course of interpolation. This solution is based on the duality theory of linear programming. The study of the problem of quantile hedging for the trinomial model continues. A computational experiment is proposed, during which there is a transition from an incomplete market to a complete one and the problem of quantile hedging is solved for the resulting complete market. The conclusion about the possibility of reducing the trinomial model to the binomial one is obtained.

Keywords: Haar interpolating filtering, hedging, quantile hedging, incomplete market, full market, binomial model, trinomial model, Kullback-Leibler distance

For citation: Zemlyakova I.A. Interpolation of an Incomplete Market by a Complete One for a Trinomial Model in the Quantile Hedging Problem. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(4-1):21-28. (In Russ.).

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).

Введение

Проблема ценообразования и хеджирования платёжных обязательств хорошо понимается в контексте безарбитражных моделей, которые являются полными. В данной статье показано, как неполные рынки можно расширить до полных, используя хааровскую интерполяцию финансовых рынков, и применить это при решении задачи квантильного хеджирования в рамках триномиальной модели. Техника расширения неполных рынков до полных с помощью хааровской интерполирующей фильтрации (ХИФ) использовалась в работах [1-5].

Статья построена следующим образом. Рассматривается ХИФ и описывается процесс интерполяции. Вводится понятие расстояния Кульбака - Лейблера, с помощью которого выбирается единственная мартингальная мера полного рынка. Приводится решение задачи квантильного хеджирования в случае полного рынка. Рассматривается пример, вычислительный эксперимент для триномиальной модели, для которой реализуется переход от неполного рынка к полному, выбирается единственная мартингальная мера (с использованием расстояния Кульбака - Лей-блера) и приводится решение задачи квантильного хеджирования для полученного полного рынка.

Хааровская интерполяция

Пусть (О, F) — измеримое пространство с конечной ст-алгеброй F. Рассмотрим (В, 5)-рынок, состоящий из рискового актива 5 = (5^)^=0 и детерминированного банковского счёта )2=

В = (Вк)1Ц=0. Произведём дисконтирование, т.е. перейдём к рассмотрению рынка (1,Т), где

Z = (Zk)k=0 = ) , а В = 1. Из полноты дисконтированного рынка делаем вывод о полноте

VSfc/ Ь-Г,

0

исходного.

При хааровской интерполяции в случае перехода от текущего уровня дерева к последующему происходит дробление на две части лишь одного атома, остальные атомы не подвергаются изменениям.

То есть для интерполяции неполного рынка до рынка, обладающего свойством полноты, по Хаару, следует произвести дисконтирование исходного финансового рынка, построить ХИФ Н фильтрации F и интерполяцию У процесса 2, при которых рынок (1, У) становится полным.

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1

Введём в рассмотрение хааров-скую фильтрацию Н = (Нп)п=0, где Н0 = Р0, Нь = Р. Её особенностью является следующее свойство: для любого п о-алгебра Нп порождается разбиением О точно на (п + 1) атом.

Это означает, что в фильтрации при переходе от текущего уровня дерева к следующему делится на две части лишь один атом, который был получен в результате дробления, все остальные атомы, как было отмечено ранее, остаются неизменными. Это специальная хааровская фильтрация (рис. 1).

Определение 1 [4, с. 144]. Хааров-скую фильтрацию Н назовём ХИФ фильтрации Р, если существует последовательность натуральных чисел 0 = п0 < п1 < ■■■ < пм = Ь такая, что НПк = Рк(0 < к < Ы). Процесс V = (Уп, Нп)П=0 назовём хаа-ровской интерполяцией процесса 1 = (¿к, Рк)к=о относительно хааров-ской фильтрации Н, если УПк = 1к Ук(0 < к < Ы).

Обратимся к примеру, который был рассмотрен в [1]. Изобразим графически двухшаговую триномиальную модель.

ХИФ для данной модели будет иметь вид, представленный на рис. 2.

В данном дереве п = 0,1,...,8, причем п0 = 0,п1 = 2,п2 = 8.

Определим финансовый (В,§)-

Рис. 1. Модель интерполяции исходного рынка / Fig. 1. Interpolation model of the original market

Рис. 2. ХИФ для двухшаговой триномиальной модели. Закрашены атомы совпадающих о-подалгебра / Fig. 2. Haar interpolating filtering for a two-step trinomial model. The atoms of the coinciding о-subalgebras are shaded

рынок:

B„ — Вь

_ пк<п<пк+1,

0 < к < Ы,ВЬ = Вм,Бп = ВпУп, 0 < п < Ь.

При п = пк имеем Вп = Вк, Бп = Бк, т.е. можно сделать вывод об интерполяции исходного (В, Б)-рынка (В, Б)-рынком.

Определение 2 [4, с. 144]. Будем говорить, что мартингальная мера Р е Р(1,Р) удовлетворяет свойству хааровской единственности, если для фильтрации Р можно построить такую хаа-ровскую интерполяцию Н, что для соответствующей мартингальной интерполяции V = (Уп,Нп)п=0 имеетместо соотношение 1Р(У,Н)1 = 1.

Продолжим рассмотрение примера [1]. Как было показано, для него множество мартингаль-ных мер - непустое. Можно выбрать любую мартингальную меру Р* из этого множества и построить соответствующую мартингальную интерполяцию (V,Н). Естественно, что выбранная мера будет принадлежать множеству мартингальных мер Р^,Н). Рассмотрим более подробно

фильтрацию Нп = о^по Апл.....Ап,п), Но = о(Ао,о = представленную на рис. 2. Для атомов фильтрации справедливы следующие равенства: Ап 0 = Ап+10 и Ап+11, Апл = Ап+1Л+1, г = 1,2,...,п + 1.

Для мартингальной интерполяции процесс V определяется равенствами

_ У(Ап+1,0)Р*(Ап+1,0)+У(Ап+1,1)Р*(Ап+1,1)

У(АпЛ) — У(Ап+1Л+1), i — 1,2.....п, У(Ап,0)

Р*(АП}0)

ISSN 1026-2237BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1

Эти соотношения однозначно определяют мартингальную интерполяцию. Итак, пусть задана мартингальная интерполяция.

Таким образом, выбрав любую из данных мартингальных мер, можно построить интерполирующий (1, 7)-рынок, полученный из исходного с помощью хааровской мартингальной интерполяции относительно данной меры. Выбранная мартингальная мера будет являться единственной мартингальной мерой построенного рынка.

Выбор единственной мартингальной меры

Естественным образом возникает вопрос о выборе наилучшей меры, т.е. такой мартингальной меры, для которой решение задачи квантильного хеджирования для построенного интерполирующего (1, 7)-рынка будет максимально приближено к решению данной задачи для исходного неполного рынка.

В качестве данной меры будет выступать мартингальная мера Р*, расстояние от которой до рыночной меры Q будет наименьшим. Инструментом для определения удалённости крайней мартингальной меры от рыночной выберем расстояние Кульбака - Лейблера £кх(Р*1^). Оно представляет собой неотрицательный функционал, который является несимметричной мерой удалённости друг от друга двух вероятностных распределений, определённых на общем пространстве элементарных событий. Так как распределения Р* и Q дискретны, то расхождение

Кульбака - Лейблера распределения Р* относительно Q будем определять по следующей фор*

муле [6]: ЯИ(Р*|Ю) = £Г=1р*/п^ (п = 3м).

Вернёмся к примеру [1]. Пусть исходная вероятность Q такова, что рп одинаково распределены и независимы. Вероятности Q(pn = а1) = р, Q(pn = а2) = д, Q(pn = а3) = г. В этом случае распределение вероятностей на множестве различных значений 53 - триномиальное распределение Q( =

3!

-pfclqfc2rfc3

Положим р = 0,5, д = 0,3, г = 0,2. Вероятности обхода для рыночной меры ( Q):

0,008 0,027 0,125 0,036 0,054 0,06 0,135 0,18 0,225 0,15. Крайние мартингальные меры задаём с помощью кортежей. Например, рассмотрим вероятности обхода для кортежа (1,2,2) (табл. 1).

Рассчитаем для каждой из восьми мартингальных мер расстояние Кульбака - Лейблера относительно рыночной меры Q. Расчёты приведены в табл. 2.

Таблица 1 / Table 1

Таблица 2 / Table 2

Вероятности обхода для кортежа ( 1,2,2} / Probabilities of circumvention for the tuple (1,2,2}

Расстояние Кульбака - Лейблера для крайних мартингальных мер относительно рыночной меры Q / Kullback-Leibler distance for extreme martingale measures relative to the market measure Q

Q kl k2 k3 fi(1,2,2)

A1 0 0 3 0

A2 0 3 0 0

A3 3 0 0 PiPl

A4 0 1 2

A5 0 2 1 0

A6 1 0 2 Pi^22

A7 1 2 0 0

A8 1 1 1 2^iP2^2

A9 2 1 0 9lPl

A10 2 0 1 2PiP2?2

Кортеж, Расстояние

задающий крайнюю Кульбака - Лейблера

мартингальную меру относительно рыночной меры Ç

(1,1,1) 0,6694318001

(1,1,2) 0,2531214556

(1,2,1) 0,2531214556

(1,2,2) 0,3730621789

(2,1,1) 0,2531214556

(2,1,2) 0,3730621789

(2,2,1) 0,3730621789

(2,2,2) 1,155424823

Таким образом, в качестве единственной мартингальной меры полного рынка можно выбрать одну из крайних мартингальных мер, задаваемых кортежами (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1).

То есть от решения задачи квантильного хеджирования на неполном рынке перешли к решению задачи квантильного хеджирования на полном рынке [7].

Задача квантильного хеджирования в случае полного рынка

Полнота означает, что существует совершенный хедж, т.е. предсказуемый процесс y* и существует С* такое, что Z^* = С* + K*ASj, Z^* = /.

Пусть для начального капитала выполняется неравенство У0 < аС*, 0 < а < 1.

Таким образом, получим Z^ = У0 + Yli=iYi

Задача квантильного хеджирования на полном рынке: maxP(.) при ограничении ,(.) < а, где <у) = = {<y:Zw > /} — множество успешного хеджирования.

Решение данной задачи можно попытаться найти с помощью леммы Неймана - Пирсона [8]

.* = .я*, где .я* = z(^) > Я*}; P(dto) = z(<y),(d<y); ,04я*) = а.

Однако может не существовать такого Я*, для которого выполняется последнее равенство, поэтому изменим задачу. Постараемся не штрафовать в тех случаях, когда Zw(<y) > /(<у), в результате получим упрощённую задачу:

min£p(/ — х/) при ограничениях 0 < х(<у) < 1; Я*х/ < С*.

X

То есть финансовое обязательство / заменяем на х/. Тогда (/ — х/) оценивает погрешность такой замены. В результате получаем задачу max£px/ при ограничениях 0 < х(<у) < 1,

X

£*х/ < С*.

Из ограниченности сверху целевой функции и непустоты множества допустимых решений следует наличие решения у исходной задачи, что, в свою очередь, означает наличие решения и у двойственной задачи.

Двойственная задача имеет вид

min[£ i max((r(<y i) — Я,(<^)) , 0) + Яа], где r(d<y) = я>о ^ j

Зная Я* и решение двойственной задачи, построим решение прямой задачи:

(1,r(w) — Я*д(^) > 0 х*(^) = { 0,r(w) — ¿*q(w) < 0. (5,r(w) — ¿*q(w) = 0

Значение S определяется из уравнения Ясх* = а.

Вычислительный эксперимент

Воспользуемся примером решения задачи квантильного хеджирования в случае неполного рынка, подробно рассмотренным в работе [5]. Для простоты изложения ограничимся случаем N = 2. На данном примере покажем переход от неполного рынка к полному при помощи ХИФ.

Напомним, что ai < 0 < а2 < а3. Для хааровской интерполяции (ß,S), N = 8. Рассматриваем европейский опцион call, финансовое обязательство / = (S8 — К)+, где К - контрактная цена. Число различных значений S8 равно 9. Так как построенный (б,5)-рынок полный, то мартингальная мера единственна. Как было отмечено ранее, в качестве мартингальной меры можно выбрать одну из крайних мартингальных мер, задаваемых кортежами (1,1,2), (1,2,1), (2,1,1). Выберем, например, меру, задаваемую кортежем (1,1,2) £Р7 = Zf=o/0')P*(^ =;) (табл. 3).

Естественная мера Q, определяемая рынком, была описана ранее.

Заметим, что данная модель представляет собой уже биномиальное дерево. Крайних атомов становится всего четыре в двухшаговой модели. Перепишем вероятности попадания в крайние атомы с учётом получившегося перехода к биномиальному дереву (табл. 4).

Таблица 3 / Table 3

Вероятности попадания в крайние атомы для рассматриваемой мартингальной меры с учётом двухшаговой модели для совпадающх о-подалгебр / Probabilities of hitting the outermost atoms for the martingale measure under consideration, taking into account the two-step model for coinciding o-subalgebras

Q kl k2 k3 R(1,1,2) (прип = 2)

A1 2 0 0 P2

A2 1 1 0 Vi4i

A3 1 0 1 0

A4 1 1 0 Р1Я1

A5 0 2 0 qt

A6 0 1 1 0

A7 1 0 1 0

A8 0 1 1 0

A9 0 0 2 0

Таблица 4 / Table 4

Вероятности попадания в крайние атомы для рассматриваемой мартингальной меры с учётом двухшаговой модели для совпадающх о-подалгебр (перешли к биномиальному дереву) / Probabilities of hitting the extreme atoms for the martingale measure under consideration, taking into account the two-step model for matching о-subalgebras (moved to the binomial tree)

Q k1 k2 k3 R(1,1,2) (прип = 2)

A1 2 0 0 pit

A2 1 1 0 Piqi

A3 1 1 0 Piqi

A4 0 2 0 q1

Решим двойственную задачу и перейдём к решению исходной, в итоге получим решение внутренней задачи (табл. 5).

Таблица 5 / Table 5

Решение внутренней задачи / Solution of the internal problem

Xi X2 X3 X4

1 1 0,9567 0

Стоимости акций в конечный момент времени: 2: 16,2 13,5 13,5 11,25.

Далее определяем капитал в конечный момент времени на атомах At, i = 1...4 (табл. 6).

Таблица 6 / Table 6

Капитал в конечный момент времени / Capital at the end time

A1 A2 A3 A4

11,2 8,5 8,1 0

Восстановим итерационным методом капитал портфеля для рассматриваемой мартингальной меры (табл. 7).

Таблица 7 / Table 7

Значения капитала во все моменты времени для кортежа R(1, 1,2) / Capital values at all times for the tuple R( 1,1,2)

Кортеж, определяющий мартингальную меру Момент времени Значения капитала

R{1,1,2) N = 0 [1,8]

N = 2 [4,8, 2,7]

N = 8 [11,2, 8,5, 8,1, 0]

Заключение

Таким образом, в статье рассмотрена ХИФ и описан процесс интерполяции. Для выбора единственной мартингальной меры полного рынка введено в рассмотрение понятие расстояния Куль-бака - Лейблера, с помощью которого зафиксирована единственная мартингальная мера. От решения задачи квантильного хеджирования для неполного рынка осуществлён переход к задаче квантильного хеджирования для полного рынка. Полученная задача решена для триномиальной модели. Построенный полный рынок соответствует уже не триномиальной, а биномиальной модели, аналогичный результат был получен и в случае неполного рынка [1].

Список источников

1. Данилова Н.В., Землякова И.А. Квантильное хеджирование на неполном рынке // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2019. № 2. С. 4-9.

2. Богачёва М.Н. Построение совершенных хеджей посредством приближения мартингальных мер // Науковедение. 2012. № 3 (12). С. 81.

3. Богачёва М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 3. С. 16-23.

4. Богачёва М.Н., Павлов И.В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных // Успехи мат. наук. 2002. Т. 57, вып. 3. С. 143-144.

5. Волосатова Т.А., Павлов И.В. Интерполирование финансовых рынков до полных рынков и минимизация моментов нарушения полноты // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2005. № S1. С. 916.

6. Николенко С.И., Кадурин А., Архангельская Е.В. Глубокое обучение. Погружение в мир нейронных сетей. СПб.: Питер, 2020. 480 с.

7. Follmer H., Leukert P. Quantile Hedging // Finance and Stochastics. 1999. Vol. 3, № 3. P. 251-273.

8. Rudloff B. A Generalized Neyman-Pearson Lemma for Hedge Problems in Incomplete Markets // Proceedings of the Workshop "Stochastic Analysis". 27.09.2004-29.09.2004. Chemnitz, 2005. P. 241-250.

References

1. Danilova N.V., Zemlyakova I.A. Quantile hedging on the incomplete market. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2019;(2):4-9. (In Russ.).

2. Bogacheva M.N. Building perfect hedges by approximating martingale measures. Naukovedenie = Science Studies. 2012;(3):81. (In Russ.).

3. Bogacheva M.N., Pavlov I.V. On the Haar extensions of non-arbitrage financial markets to non-arbitrage and full. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2002;(3):16-23. (In Russ.).

4. Bogacheva M.N., Pavlov I.V. On the Haar extensions of non-arbitrage financial markets to non-arbitrage and full. Uspekhi mat. nauk = Russian Mathematical Surveys. 2002;57(3):143-144. (In Russ.).

ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 4-1

5. Volosatova T.A., Pavlov I.V. Interpolation of financial markets to full markets and minimization of moments of completeness violation. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2005;(S1):9-16. (In Russ.).

6. Nikolenko S.I., Kadurin A., Arkhangelskaya E.V. Deep learning. Immersion in the world of neural networks. St. Petersburg: Piter Publ.; 2020. 480 p. (In Russ.).

7. Follmer H., Leukert P. Quantile Hedging. Finance andStochastics. 1999;3(3):251-273.

8. Rudloff B. A Generalized Neyman-Pearson Lemma for Hedge Problems in Incomplete Markets. Proceeding of the Workshop "Stochastic Analysis". 27.09.2004-29.09.2004. Chemnitz, 2005:241-250.

Информация об авторе

И.А. Землякова - кандидат физико-математических наук, ассистент, кафедра высшей математики и исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.

Information about the author

I.A. Zemlyakova - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Assistant, Department ofHigher Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.

Статья поступила в редакцию 07.07.2022; одобрена после рецензирования 24.07.2022; принята к публикации 15.11.2022. The article was submitted 07.07.2022; approved after reviewing 24.07.2022; accepted for publication 15.11.2022.