ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ФОРМЫ ЗУБА ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ БЕЗ СМЕЩЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.833.1

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ФОРМЫ ЗУБА ЗУБЧАТЫХ ПЕРЕДАЧ БЕЗ СМЕЩЕНИЯ

М. Г. Антонова Научный руководитель - П. Н. Смирнов

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

matgo26112002@gmail.com. psmirnov@list.ru

Предлагается канонический полином, интерполирующий зависимость коэффициента формы зуба от эквивалентного числа зубьев. Результат интерполяции сравнивается с графиком исходной функции и с результатами вычислений по приближенной формуле из ГОСТ 21354-87.

Ключевые слова: коэффициент формы зуба, интерполяция полиномом.

TEETH FORM COEFFICIENT FUNCTION INTERPOLATION FOR GEARS WITH NON-SHIFTED TOOTH PROFILE

M. G. Antonova Scientific supervisor - P. N. Smirnov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation matgo26112002@gmail.com, psmirnov@list.ru

The paper describes the interpolation of teeth form coefficient function with seven-degree polynomial. Interpolation result is compared with the data plot and evaluation formula given in the state standard.

Keywords: teeth form coefficient, polynomial interpolation.

Методика проектирования эвольвентных зубчатых колес в настоящее время проработана достаточно глубоко и описана в соответствующих ГОСТах. Вместе с тем, возрастающие требования к скорости и вариабельности проектирования предполагают создание разнообразного программного обеспечения, повышающего качество проектировочного процесса. При автоматизации вычислений возникает проблема подбора различных коэффициентов. Предполагается, что поправочные коэффициенты, учитывающие условия эксплуатации или отклонения формы зубчатого профиля от стандартного, определяются по соответствующим графикам и номограммам. В связи с этим возникают две проблемы. Во-первых, качество этих графиков часто очень низкое и позволяет провести только очень грубую оценку параметров. Во-вторых, при автоматизации вычислений в принципе не предполагается использование графических материалов вследствие сложности вспомогательного программного обеспечения для обработки их машиной. В данной работе предлагается оценка одного из коэффициентов, используемых при проектировании зубчатых передач, каноническим интерполяционным полиномом.

Одним из критериев работоспособности зубчатых колес является изгибная выносливость зубьев. Расчетное значение изгибных напряжений сравнивается с некоторым допускаемым

значением, зависящим от условий эксплуатации и материала передачи. Расчетные изгибные

напряжения можно определить следующим образом [1]:

ар ^^,

где Кр - коэффициент нагрузки, р - окружная сила, Ь - ширина зубчатого венца, т -модуль зацепления, Урб - коэффициент формы зуба, Ур - коэффициент наклона зубьев, УЕ -коэффициент, учитывающий перекрытие зубьев. Рассмотрим определение коэффициента формы зуба В пункте 6 таблицы 13 ГОСТ 21354-87 [2] предлагается подобрать значение коэффициента по номограмме на чертеже 10 в зависимости от эквивалентного числа зубьев и коэффициента смещения х. Или рассчитать по приближенной формуле, которая для зубчатого колеса без смещения принимает вид

Г^ = 3,47+^, (1)

¿и

где - эквивалентное число зубьев колеса. На рис. 1 показаны графики функции и её приближение по формуле (1).

По графику на рис. 1 видно, что формула (1) имеет значительное расхождения с исходной функцией. Два графика совпадают всего в двух точках - при = 18 и = 100. В данной работе для оценки исходной зависимости Урь(г^) предлагается использовать интерполяцию каноническим полиномом Рп(гу) [3].

Рп(^) = ао + а1-гу + ... + а^г" = ^(а^Д I = 0 ... п; (2)

Коэффициенты а^ можно найти из условия равенства значений интерполирующего полинома и исходной функции в узлах интерполяции. Это условие описывается системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Р„{2у,) = Гфу,\] = 0 ...п- (3)

У« V

чл

40 7.8 До

ЗЛ хг

—1

V

1 V \л }

\

ч V

— ч

п Л п 70 75 X W SO 66 SO 100 ISO ТОО 100 S00 7»

— Исходная функция---Приближенная формула

Рис. 1. График зависимости коэффициента формы зуба от эквивалентного числа зубьев Подставляя (2) в (3), получаем.

. Za = y, (4)

где Z = (zvj) - матрица коэффициентов размерности n x n, элементами которой являются узлы интерполяции в степени i, a = (аг) - вектор-столбец неизвестных коэффициентов полинома Pn(zv), y = (YFSi) - вектор-столбец значений исходной функции в узлах интерполяции. Определитель матрицы Z всегда не равен нулю, так как первый столбец состоит из одних единиц. Тогда, для нее всегда существует обратная матрица и решение СЛАУ (4) может быть найдено в виде

а = Z^y; (5)

Выберем узлы интерполяции на равномерной сетке с шагом h = 20 (табл. 1).

Таблица 1

Узлы интерполяции ___

1 0 1 2 3 4 5 6 7

18 38 58 78 98 118 138 158

Уте 4,2 3,714 3,622 3,6 3,595 3,593 3,592 3,591

Канонический интерполяционный полином седьмой степени.

Ру(1у) = а0 2 3 + а1-2у + а2-2у + а3-2у 4 + а4-2у + 5 , 6 а^-2у + а^2у 7 + аГ2у ;

Матрица коэффициентов 7.

Л 18 324 5,8 •Ю3 1,05 •Ю5 1,89 •Ю6 3,4 • 107 6,12 •Ю8 "

1 38 1,44 • 103 5,49 • 104 2,09 • 106 7,92 • 107 3,01 •Ю9 1,14 •Ю11

1 58 3,36 •Ю3 1,95 •Ю5 1,13 • 107 6,56 • 108 3,81 •Ю10 2,21 • 1012

7 = 1 78 6,08 • 103 4,75 •Ю5 3,7 • 107 2,89 •Ю9 2,25 • 1011 1,76 •Ю13

А — 1 98 9,6 •Ю3 9,41 •Ю5 9,22 •Ю7 9,04 •Ю9 8,86 •Ю11 8,68 • 1013

1 118 1,39 •Ю4 1,64 • 106 1,94 •Ю8 2,29 •1010 2,7 •Ю12 3,19 • 1014

1 138 1,9 •Ю4 2,63 • 106 3,63 •Ю8 5 •Ю10 6,91 • 1012 9,53 • 1014

V1 158 2,49 • 104 3,94 • 106 6,23 • 108 9,85 • 1010 1,56 • 1013 2,46 • 1015 ,

Вектор значений исходной функции у.

ут =(4,2 3,714 3,622 3,6 3,595 3,593 3,592 3,591); (8)

Подставляя (7) и (8) в (5), находим вектор коэффициентов интерполяционного полинома.

а = (5,95 - 0,17 5,2 -10 3 - 9,1 -10 5 9,6 • 10 7 - 6 • 10 9 2 • 10 -11 - 2,9 • 10 -14 ) (9) Подставляем (9) в (6) и получаем итоговый вид интерполяционного полинома. Р7(гу) = 5,95 - 0,17-гу + 5,2-10"3гу2 - 9,110"5гу3 + 9,6-10"7гу4 - 6- 10" V + 2- 10"игу6 - 2,9-10"14гу7; (10) На рис. 2 приведены графики исходной функции, приближенной формулы из ГОСТ и интерполянта Р7(гу).

У« чл

40

45

4 6

3,2

алгтто 25 Х<Ю50и 30 юо 160 700 Ж ¡00

— Исходная функция Приближенная формула

— Интерполянт

Рис. 2. Оценка исходной функции интерполянтом Р7(гу) и формулой (1)

По указанным графикам можно сделать вывод, что полином (10) лучше описывает исходную функцию 7^(гу), чем формула (1).

I ' —

|

V.

1 ч

\ \

\

4

!

Библиографические ссылки

1. Дунаев П. Ф., Леликов О. П. Конструирование узлов и деталей машин: Учеб. пособие. 7-е изд., исп. М.: Высш. шк., 2000. 447 с.

2. ГОСТ 21354-87. Передачи зубчатые цилиндрические эвольвентные внешнего зацепления. Расчет на прочность. - Взамен ГОСТ 21354-75; Введ. с 01.01.1989. 165 с.

3. Волков Е. А. Численные методы: Учеб. пособие. 2-е изд., исп. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 248 с.

© Антонова М. Г., 2022