CC BY
16© Автоматика и программная инженерия. 2020, №1(31) http://www.jurnal.nips.ru
Интерполяция функций с помощью кусочно-постоянных и кусочно-линейных вейвлетов Хаара
Х.Н.Зайнидинов1, Ж. У.Жураев2, М.Г.Маннапова1
1 Ташкентский университет информационных технологий, Ташкент, Узбекистан 2Самарканский государственный университет, Самарканд, Узбекистан
Аннотация. В данной статье приведены кусочно-полиномиальные вейвлеты Хаара и показаны, что они могут быть применены для интерполяции функций и сигналов. Анализ литературы показывает, что кусочно-постоянные вейвлетыХаара имеют ряд неостатки: невысокая точностью интерполяции, низкий показатель гладкости, плохая сходимость. Эти недостатки могут быть устранены в результате перехода к кусочно-линейным вейвлетам Хаара. Одноко, алгоритм вычисления коэффициентов в кусочно-линейныхбазисах не существует. В работе авторами предложен метод вычисления коэффициентов в кусочно-линейных базисах, основанный на применения параболического базисного сплайна. Метод позволяет подвергать к обработке самой функции или самого сигнала, а базис вейвлетов Хаара не измениться. Разработанытакже алгоритмы интерполяции функций в вейвлет-базисах кусочно-постоянных и кусочно-линейных функций Хаара, а также приведены результаты оценки погрешностей интерполяции. Показано, что при интерполяции функций и сигналов с помощью кусочно-постоянных вейветов Хаара резко увеличится погрешность, для уменшения погрешности рекомендуется использовать кусочно-линейные вейветы Хаара и в результате достигаеся уменшение погрешности.
Ключевые слова: Вейвлет преобразование, интерполяция, погрешности интерполяции, вейвлет Хаара, кусочно-постоянная вейвлет, кусочно-линейная вейвлет, Ортогонал вейвлет, Цифровая обработка, скальярных произведенией, Фурье-преобразований, В-сплайна, оценки абсолютной, относительная погрешность.
Введение
Состояние и перспективы развития информационных технологий в XXI веке характеризуются широким практическим использованием техники цифровой обработки сигналов - одной из самых динамичных и быстро развивающихся технологий в мире телекоммуникаций и информатизации общества. Цифровая обработка сигналов - это, по сути, информатика реального времени, призванная решать задачи приема, обработки, сокращения избыточности и передачи информации с установленной скоростью.
Базовые положения теории цифровой обработки сигналов закладывались и апробировались фактически на теории дискретных систем и унитарных преобразований. Для построения моделей сигналов, получаемых от реальных объектов, широко применяются традиционные гармонические функции. Это объясняется тем, что многие сигналы, получаемые от реальных объектов могут быть легко представлены совокупностью синусоидальных и
косинусоидальных колебаний, для чего используется аппарат анализа Фурье. Результатом этого является переход от временных к частотным функциям. Однако, представление временной функции
синусоидальными и косинусоидальными функциями является только одним из многих представлений. Любая полная система ортогональных функций может быть применена для разложения в ряды, которые соответствуют рядам Фурье. Были разработаны алгоритмы быстрых Фурье-преобразований, создана теория
двоично-ортоганальных преобразований с локальными и интегральными базисами. Задачей разработчиков алгоритмов и устройств цифровой обработки сигналов была минимизация вычислительных и аппаратных затрат при ограниченных ресурсах памяти и допустимых погрешностях вычислений.
Постановка задачи
Существуют алгоритмы быстрого преобразования Хаар-вейвлетов и они широко прменяются при решение практических задач.
Ортогоналный Хаар-вейвлет определяется по следующей формуле [4]:
hark (x) = harpj (x) = •
+1
-1
e h
x e h
pj + pj
x e h
pj
Вейвлеты Хаара привлекают внимания специалистов по двум причинам:
1.Уменьшения числа коэффициентов, необходимых для аппроксимации (с заданной точностью) по отношению к общему числу двоичных отрезков.
2. Отсутствие "длинных" операций для вычисления коэффициентов. Используются только операции сложения, вычитания и сдвига.
Недостатком прямоугольных ортогональных базисов Хаара является слабая сходимость рядов по кусочно - постоянным функциям, т.е. необходимость запоминания нескольких сотен
0
© Автоматика и программная инженерия. коэффициентов для многих функций с целью обеспечения погрешностей порядка 0,1 %.
Поиски методов сокращения объема таблиц коэффициентов, улучшения показателей "гладкости" очевидным образом приводят к системам кусочно - полиномиальных базисных функций более высокой степени. Наиболее просто получаются кусочно - линейные базисные функции в результате интегрирования с переменным верхним пределом ортогональных кусочно - постоянных функций Хаара. а) б)
har 1 1
0 -1
har 2 1
0 -1
har з
1 О
-1
har
0,5 1
hain 1 1 О -1
hain
2020, №1(31) http: //www.j urnal.nips.ru
вейвлет-функций обрашают внимание на показатель гладкости, размеры переноса и нулевых заначений величин.
Через V0 -обозначим, множества постоянных функций на отрезке [0,1], т.е. множества линейных векторов. Данном случае масштабная
функция V0 -принадлежит следующему множеству:
Г 1, о < t < 1 Ф($) = Фо,о(0 = Г ' ^ (1)
0, акс холда
при i = 0 она является масштабной функцией.
1
0,5 11 /\
LJ 1 О -1 0,5 1
п
0,5 1
1 О -1
0,5
har
har
har 1 О -1
5 1 п 0,5
0 -1 U г
1 1 п
0 -1 0,5 Li1
hain
1
0 -1
hain
1 О
-1
hain
|Д-
О,5
О,5
tx
1
0 -1
hain
1
0
-
hain
1 О
-1
А
О,5
А
О,5
О,5
-А
Рис. 1. Графики кусочно-постоянных Хаара-вейвлетов а) кусочно-постоянных, б) Хаар кусочно-линейных вейвлетов
На Рис. 1-а приведены графики кусочно-постоянных Хаара-вейвлетов Иаг(х), а на Рис. 1-б показаны графики кусочно-линейных Хаара-вейвлетов Нат(х).
Процесс вейвлет преобразования сигналов опирается на двух видах функции: функции сдвига и функции масштаба, т.е. они стороятся на основе одного материнского вейвлета у(}) -смешение во времени по сигналу Ь и строится с изменением масштаба времены а :
УаЬ (0 = —1, (а,Ь) е Я, № е Ь2 (Я)
В задачах цифровой обработки сигналов для выявления деталей и локальных свойств сигналов используются из вейвлет-функции, а для аппроксимации сигналов используется функции масштабирования. При выборе
Множество V1 на интервалах
0,
2
1,1 2
является множеством постоянных функций и она образует линейных векторов. Функции масштабирования принадлежить V1 -
множеству и относится к качеству вейвлетовых функций:
^,0(0 = ф(2) = |1, 0 - ' < 2 и [0, акс холда
1 2
10, акс холда а при I = 1 является функцией масштабирования. Это функция на интервалах [0,1]
„1(*) = ф(2 -1) = ] 1, 2 " t < 1
0,1 2
1,1 2
является постоянным. Для этого каждый
т/0
элемент множества V принадлежит множеству 1
V
т.е.
имеет соотношения V0 с V1.
г2
Множество V также определим. Множество 2
V
это множество функций на интервалах
. Точно также
1 1 1 1 3 3
0,4 , 4, 2 , 2, 4 , -,1 4
множество Vn является множеством функции масштабирования, т.е.
Фп, j (t) = ф(2nt - j), j = 0,1,...,2n -1
0 < 2nt - j < 1, j < t < iÜ 2 n 2 n
и j < t < z±l
Фп,; (t) = Г 2n < < 2n , j = 0,1,...,2n -1 (3)
0, акс холда
V0 с V1 с ... с V" с ... при I = " является функцией масштабирования,
где 0 - 2- у < 1, - (< есть интервалы
и
1
1
1
1
1
а
© Автоматика и программная инженерия. 2020, №1(31) http://www.jurnal.nips.ru
изменения функций масштабирования, функции Фп, у (г) относятся к множеству функции
масштабирования V , здесь имеется множество скалярных произведений векторов, значить оно является Эвклидовом пространством. В данном случае в качестве скальярных произведенией берем их в виде
if, g) = 1 f (t) g it) dt
(4)
С помощью этой формулой вычисляется коэффициенты функции масштабирования Сп.
Тогда фп4 (г) = 4тф2пг - ]), у = 0,1,..., 2п -1
используя формулы (3) и (4) определим коэффициенты Хаар-вейвлета: 1
сп =\фп (х)/(х) йх (5) 0
Формула определения коэффициентов Хаар-вейвлета.
от
/(х) = £ С„Фп (X) (6)
п=0
где / (х) интерполируемая функция на кусочно-постоянныхвейвлетах. Например, приведем функцию / (х) = х2 ,блок-схема алгоритма
интерполяции этой функции в базисах кусочно-постоянных вейвлетов Хаара приведена на Рис. 3.
С Конец ^
0
© Автоматика и программная инженерия.
Рис. 2. Блок-схема алгоритма интерполяции функции
f (X) = X 2 Хаара
в базисах кусочно-постоянных вейвлетов
Рис. 3. Результаты интерполяции функции /(х) = х2 в базисах кусочно-постоянных вейвлетов Хаара
При решении многих задач возможности кусочно-постоянных вейвлетов недостаточны, это объясняется их слабыми
аппроксимационными свойствами (слабая гладкость, большая погршность). Поэтому целесообразно переходить на кусочно-линейные вейвлеты. Анализ существующей литературы показывает, что метод определения коэффициентов кусочно-линейных Хаар-вейвлетов не сушествует. Из за этого вейвлеты этого типа широко не получили широкого применения.
Рассмотрим аппроксимирующий ряд по кусочно-линейным функциям Хаара:
п—1
/(х)=Х СккаЫк(х) (7)
к=0
Недостатком заданного ряда является отсутствие быстрого алгоритма вычисления коэффициентов Ск. Этот недостаток может быть устранен путём применения параболического сплайна. Если взять вторую производную от параболического сплайна , интерполирующего на [0,1] функцию /(х), то она будет
представлять собой кусочно-постоянную функцию с изменениями значений ступеней в узлах сплайна, и ряда по кусочно-постоянным ортогональным базисным функциям. Запишем, например, разложение производной от сплайна в ряд Хаара:
п—1
(х)=Х Сккагк (х)
к=0
В соответствии с теоремами об ограниченной сходимости и об интегрировании замкнутых систем в результате интегрирования обеих частей получим:
х п—1
^ (х)= 2р | ^ (и ) йи = £ СкНа1пк (х)+ ^ (0) (8)
0 к=0
2020, №1(31) http: //www.j urnal.nips.ru
откуда следует, что коэффициенты разложения в ряд по ортогональным функциям Хаара второй производной от параболического сплайна, интерполирующего функцию в двоично-рациональных узлах, являются коэффициентами разложения первой производной от сплайна по har(x) -функциям, а самого сплайна по hain(x) -
функциям. Коэффициент при линейной части разложения определится как значение первой производной от сплайна S2(x) в точке х = 0, а постоянная составляющая - как значение сплайна в этой точке.
Рис. 4. Блок схема блок-схема интерполяции функции
f (X) = X2 кусочно-линейными вейвлетами Хаара
Если взять в качестве аппроксимирующей функции параболического В-сплайна, тогда функция у = /(х) можно выразить через В-сплайны в следующем виде:
/ (х) = Ь—1Б—1 (х) + ¿0 Б0 (х) + Ь1Б1 (х)
где /(х) -интерполируемая функция, В(х)-параболический базисный сплайн, Ь1 -
коэффициенты определяются по формуле:
А! = max \f(xi) - har(xi)| = 0.130900
a< x<b
5i =
\f (xi) - har( xi )| f ( xi)
= 0.139122 (13)
© Автоматика и программная инженерия. 2020, №1(31) http://www.jurnal.nips.ru
Ь = 1 (- /-1 + 10/ - /+1) (10)
или производной первого порядка функции определяется через производной первого порядка функции В-сплайна таким образом:
/'(х) г Ь-1^-!(х) + ЬьВ>(х) + Ь,в1(х)
Например, блок-схема интерполяции функции / (х) = х2 кусочно-линейными вейвлетами Хаара приведена на Рис. 4.
Кусочно линейные вейенет
2
Рис.4. Результаты интерполяции функции f (x) = x2 кусочно-линейными вейвлетами Хаара
Приведем оценки погешностей интерполяции в базисах кусочно -постоянных и кусочно-линейных вейвлетов.
Пусть дана непрерывная функция f (x) на
отрезке [a,b]. Отрезок [a,b] разделим на точки узлов
a < x0 < xi < ... < xi < ... < xn < b .
h = xi+1 — xi = const (11)
где h - расстояние между точками узлов.
Для разной степени полиномов известно выражение для методической погрешности интерполяции. Например, для полиномов нулевой степены (кусочно -постоянных функций) формула оценки погрешности определяется:
|P(x) — f (x)| < -1 max
f (x) h
Для полиномов первой степены (кусочно-линейных функций) формула оценки погрешности:
1
\P(x) — f (x)| < -max 8
f (x) h
А1 - абсолютная погрешность кусочно-постоянных вейвлетов;
с>1 - относительная погрешность кусочно -постоянных вейвлетов.
Приведем оценки абсолютной и относительной погрешности интерполяции для кусочно-линейных вейвлетов: А2 = max \f(xi) — hain(xt)| = 0.009099
a< x <b
=
\f (xi) — hain( xi )|
f (xi)
= 0.009672 (14)
Приведем оценки абсолютной и относительной погрешности интерполяции для кусочно-постоянных вейвлетов:
Л2 - абсолютная погрешность кусочно-постоянных вейвлетов;
82 - относительная погрешность кусочно -постоянных вейвлетов.
Заключение
Таким образом, в задачах цифровой обработки широко применяются кусочно-постоянные и кусочно-линейные вейвлеты Хаара. Однако, недостатком кусочно-постоянные вейвлет-базисов Хаара является слабая сходимость рядов по кусочно -постоянным функциям, т.е. необходимость запоминания нескольких сотен коэффициентов для многих функций с целью обеспечения погрешностей порядка 0,1 %. Поиски методов сокращения объема таблиц коэффициентов, улучшения показателей "гладкости" очевидным образом приводят к системам кусочно -полиномиальных базисных функций более высокой степени. Переход к кусочно-линейным вейвлет базисам Хаара позволяет уменьшить погрешность интерполяции в 14,4 раза для функции ууу.
ЛИТЕРАТУРА
[1 ] Акимов П.А., Мозгалева М. Л. Некоторые элементы крупномасштабного вейвлет-анализа. часть 2. анализ и синтез. Вестник МГСУ, 2012, № 8, 60-65.
[2] Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: Основы теории и примеры применения. Успехи физических наук, 1996, т. 166, № 11. С. 1145-1170.
[3] Ахметханов Р.С., Дубинин Е.Ф., Куксова В.И. Применениевейвлет преобразований для анализа экспериментальных данных. Проблемы машиностроения и автоматизации, 2012, №4, 3945.
[4] Зайнидинов Х.Н. Методы и средства обработки сигналов в кусочно полиномиальных вейвлетах. «Ташкент», 2015. 70 с.
[5] Зайнидинов Х.Н. Сплайны в задачах цифровой обработки сигналов. Ташкентский университет информационных технологий-Т.: «Fanvatexnologiya», 2015, 208 с.
© Автоматика и программная инженерия.
[6] Зайнидинов Х. Н., Атаджанова М. П., Жиянбеков Х. Р. Многопроцессорная вычислительная структура для выполнения быстрых спектральных преобразований в двумерных базисах. Автоматика и программная инженерия, Новосибирск. 2016. № 4(18). С. 38-42.
[7] Куликов Г.Б., Семеновых В.Н., Методика диагностики технического состояния систем привода полиграфического оборудования с использованием вейвлет-преобразования. Известия высших учебных заведений. Проблемы полиграфии и издательского дела, 2012, № 4, 032040.
[8] Патрикеев И.А., Фрик П.Г. Вейвлет- томография в условиях шума. Мат.моделирование систем и процессов. Пермь: ПГТУ. -1997. Вып.5, с. 86-924.
[9] Прохоров С.А., Столбова А.А. Вейвлет-преобразование нерегулярных процессов без восстановления пропущенных отсчетов. Перспективные информационные технологии (ПИТ 2017): тр. Междунар. науч.-технич. конф. Самара, 2017. С. 154-156.
[10] Фрик П.Г., Вейвлет-анализ и иерархические модели турбулентности: Препринт. ИМСС УоР РАН. Пермь, 19925.
[11] Amitkumar and Rajnish Manwall. Wavelet Based Compressi - on of Biological Images. International Journal of data and network security, Volume 3-No-1, ISSN23191236, February 2011.
[12] Bakhtadze N., Sakrutina E. Applying the Multi-Scale Wavelet-Trans-form to the Identification of Nonlinear Time-varying Plants. IFAC Papersonline, 49:12 (2016), 1927-1932
[13] Perov D.V., Rinkevich A.B. Localization of Reflectors in Plates by Ultrasonic Testing with Lamb Waves. Russ. J. Nondestr. Test., 53:4 (2017), 265278.
[14] Sukharev A.L, Variability of the Extragalactic Radio Sources 3C 446- and Bl Lac in the Centimeter Wavelength Range. Astrophysics, 58:1 (2015), 1-13.
2020, №1(31) http: //www.j urnal.nips.ru
[15] TurovskyYa. A., Kurgalin S. D., Vahtin A. A., Borzunov S. V., Belobrodsky V. A. Event-related brain potential investigation using the adaptive wavelet recovery method. Biophysics, 60:3 (2015), 443.
[16] ZayniddinovHakimjon, Madhusudan Singh, Dhananjay Singh Poly-nomial Splines for Digital Signal and Systems. LAMBERT Academic publishing, Germany. 2016, 208.p.
Хакимжон Насиридинович Зайнидинов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Информационных технологий Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми. E-mail: tet2001 @rambler.ru
Жонибек Уктамович Жураев
докторант, Самаркандский государственный университет. E-mail: iurayeviu@mail.ru
Мафтуна Голибовна Манна-пова магистрант Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми.
E-mail: mannapova@mail.ru
Статья поступила 05.02.2020.
Interpolation of Functions Using Piecewise Constant and Piecewise
Linear Haar Wavelets
Kh.N. Zainidinov1, J.U. Zhuraev2, M.G. Mannapova1
1 Tashkent University of Information Technology, Tashkent, Uzbekistan 2Samarkan State University, Samarkand, Uzbekistan
Abstract. This paper presents Haar piecewise polynomial wavelets and shows that they can be used to interpolate functions and signals. An analysis of the literature shows that piecewise constant Haar wavelets have a number of disadvantages: low accuracy of interpolation, low smoothness, poor convergence. These shortcomings can be eliminated as a result of the transition to piecewise linear Haar wavelets. However, the algorithm for calculating the coefficients in piecewise linear bases does not exist. The authors propose a method for calculating coefficients in piecewise linear bases, based on the use of a parabolic basis spline. The method allows to process the function itself or the signal itself, and the basis of the Haar wavelets does not change. Algorithms for interpolating functions in wavelet bases of piecewise constant and piecewise linear Haar functions are also developed, and the results of estimating interpolation errors are also presented. It is shown that when interpolating functions and signals using piecewise constant Haar wavelets, the error will increase sharply, to reduce the error, it is recommended to use piecewise linear Haar wavelets and, as a result, an error reduction is achieved.
Key words: wavelet transform, interpolation, interpolation errors, Haar wavelet, piecewise constant wavelet, piecewise linear wavelet, Orthogonal wavelet, Digital processing, scalar product, Fourier transforms, B-spline, absolute estimates, relative error.
REFERENCES [2] Astafyeva N.M. Veyvlet-analiz: Osnovy teorii i
primery primeneniya. Uspekhi fizicheskikh nauk, [1] Akimov P.A., Mozgaleva M.L., "Nekotoryye elementy 1996, t.166, № 11. S. 1145- 1170.
kratnomasshtabnogoveyvlet-analiza. chast' 2. analiz i [3] Akhmetkhanov R.S., Dubinin Ye.F., Kuksova
sintez", Vestnik MGSU, 2012, № 8, 60-65/ VT/'Primeneniyeveyvlet preobrazovaniy dlya analiza
© Автоматика и программная инженерия.
eksperimental'nykh dannykh", Problemy mashinostroyeniya i avtomatizatsii, 2012, №4, 39-45.
[4] Zaynidinov KH.N. Metody i sredstva obrabotki signalov v kusochno polinomial'nykh veyvletakh. «Tashkent», 2015. 70 str.
[5] Zaynidinov KH.N., Splayny v zadachakh tsifrovoy obrabotki signalov. Tashkentskiy universitet informatsionnykh tekhnologiy-T.: «Fanvatexnologiya», 2015, 208 s.
[6] Zaynidinov KH. N., Atadzhanova M. P., Zhiyanbekov KH. R. Mnogoprotsessornaya vychislitel'naya struktura dlya vypolneniya bystrykh spektral'nykh preobrazovaniy v dvumernykh bazisakh. Avtomatika i programmnaya inzheneriya, Novosibirsk. 2016. № 4(18). S. 38-42.
[7] Kulikov G.B., Semenovykh V.N., "Metodika diagnostiki tekhnicheskogo sostoyaniya sistem privoda poligraficheskogo oborudovaniya s ispol'zovaniyem veyvlet-preobrazovaniya", Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Problemy poligrafii i izdatel'skogo dela, 2012, № 4, 032-040.
[8] Patrikeyev I.A., Frik P.G., Veyvlet- tomografiya v usloviyakh shuma. Mat.modelirovaniye sistem i protsessov. Perm': PGTU. -1997. Vyp.5, s. 86-924.
[9] Prokhorov S.A., Stolbova A.A. Veyvlet-preobrazovaniye neregulyarnykh protsessov bez vosstanovleniya propushchennykh otschetov. Perspektivnyye informatsionnyye tekhnologii (PIT 2017): tr. Mezhdunar. nauch.-tekhnich. konf. Samara, 2017. S. 154-156.
[10] Frik P.G., Veyvlet-analiz i iyerarkhicheskiye modeli turbulentnosti: Preprint. IMSS UoR RAN. Perm', 19925.
[11] Amitkumar and RajnishManwall, 'Wavelet Based Compressi - on of Biological Images', International Journal of data and network security, Volume 3-No-1, ISSN23191236, February 2011.
[12] Bakhtadze N., Sakrutina E., "Applying the Multi-Scale Wavelet-Trans-form to the Identification of Non-linear Time-varying Plants", IFAC PAPERSONLINE, 49:12 (2016), 1927-1932
[13] Perov D.V., Rinkevich A.B., "Localization of Reflectors in Plates by Ultrasonic Testing with Lamb Waves", Russ. J. Nondestr. Test., 53:4 (2017), 265278.
[14] Sukharev A.L., "Variability of the Extragalactic Radio Sources 3C 446- and Bl Lac in the Centimeter Wavelength Range", Astrophysics, 58:1 (2015), 1-13
2020, №1(31) http: //www.j urnal.nips.ru
[15] TurovskyYa. A., Kurgalin S. D., Vahtin A. A., Borzunov S. V., Belobrodsky V. A., "Event-related brain potential investigation using the adaptive wavelet recovery method", BIOPHYSICS, 60:3 (2015), 443.
[16] ZayniddinovHakimjon, Madhusudan Singh, Dhananjay Singh Poly- nomial Splines for Digital Signal and Systems. LAMBERT Academic publishing, Germany, 2016, 208.p.
Xakimjon Nasriddinovich Zaynidinov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Information Technology of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi. E-mail: tet2001 @rambler.ru
àià
9
« V
Jurayev Jonibek Uktamovich -
doctoral student, Samara-Kand
State University.
E-mail: jurayevju@mail.ru
Maftuna G'olibovna
Mannapova - graduate student of the Tashkent University of Information Technology named after Muhammad al-Khwarizmi. E-mail: mannapova@mail.ru
The paper has been received on 05/02/2020.
