Научная статья на тему 'Интерполяционная обработка данных для информационных систем'

Интерполяционная обработка данных для информационных систем Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

CC BY
218
38
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПОЛИНОМ / POLYNOMIAL INTERPOLATION / ДИСКРЕТНЫЕ ДАННЫЕ / DISCRETE DATA / КООРДИНАТЫ СПУТНИКОВЫХ НАБЛЮДЕНИЙ / THE COORDINATES OF SATELLITE OBSERVATIONS / ВИЗУАЛИЗАЦИЯ МАССИВОВ КООРДИНАТ / IMAGING ARRAYS OF COORDINATES

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Штинова А.А.

В статье обсуждается организация математической обработки дискретных данных на основе кусочной интерполяции по Ньютону. При этом на каждом подынтервале реализуется перевод интерполяционного полинома в форму алгебраического полинома с числовыми коэффициентами. Рассматриваются графики дискретно заданных функций, интерполируемых полиномами в алгебраической форме, которые склеиваются на границах подынтервалов равными узловыми значениями. Интерполяция в предложенной форме обеспечивает непрерывность, кроме того, непрерывную дифференцируемость всюду, кроме границ подынтервалов. На этой основе выполняется визуализация массивов спутниковых координат криволинейных контуров объектов с учетом нормалей и касательных.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The article discusses the organization of mathematical processing of digital data based on piecewise interpolation Newton. At each subinterval realized translation interpolation polynomial in the form of an algebraic polynomial with numerical coefficients. We consider the discrete graphics defined functions interpolating polynomials in algebraic form, which are glued on the borders of equal subintervals nodal values. Interpolation in the proposed form provides continuity, moreover, continuously differentiable everywhere except at the borders of subintervals. On this basis, renders sets of satellite coordinates curvilinear contours of objects based on normals and tangents.

Текст научной работы на тему «Интерполяционная обработка данных для информационных систем»

10. Кантор, И. Поиск. Строки и последовательности. Точный подстроки в строке. http://algolist. manual.ru/ search/esearch/.

11. Аграновский, А.В., Арутюнян, Р.Э. Алгоритмы поиска и рубрикации текстовых документов // Телекоммуникации. - 2003/ - № 9. - С. 2-7.

12. Захаров, Д.Е., Разработка интеллектуальной нейросетевой поисковой системы «Нейропоиск», тезисы молодежной научно-технической конференции «Наукоемкие технологии и интеллектуальные системы -

2002. С. 32-38.

13. Толстобров ,А.А., Хромых, В.Г. Полнотекстовый поиск в электронных библиотеках // Четвертая Всероссийская научная конференция «Электронные библиотеки: перспективные методы и технологии, электронные коллекции». Дубна, 15-17 октября 2002 г. Объединенный институт ядерных исследований, 2002.

14. Некрестьянов, И.С. Тематико-ориентированные методы информационного поиска: Диссертационная работа к.т.н.: 05.13.11 / Санкт-Петербургский государственный университет - СПб., 2000. - 80 с.

15. J. Zobel, A. Moffat, K. Ramamohanarao. Inverted files versus signature files for text indexing. - Collaborative Information Technology Research Institute. - Departments of Computer Science, RMIT and The University of Melbourne, Australia, feb 1995, Technical report No TR-95-5.

16. Озкарахан Э., Машины баз данных и управление базами данных. - М.: Мир, 1989. - 696 с.

17. Бондарев, В.М. Основы программирования. - Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. - 384 с.

18. Воробьев, Н.Н. Числа Фибоначчи. Популярные лекции по математике. - М.: Наука, 1969.

19. АльсведеР., Вегенер И. Задачи поиска. - М.: Мир, 1982.

20. Sunday D.M. A very fast substring search algorithm // Communications of the ACM. - 1990ю - Vol. 33. - №. 8. - P. 132-42.

21. Gonnet G.H., Baeza-Yates R. Handbook of Algorithms and Data Structures in Pascal and C . Chapter 7. Text algorithms. (2nd edition). - Wokingham UK: Addison-Wesley, 1991. - P. 251-88.

22. Аграновский, А.В., Арутюнян Р.Э., Хади Р.А. Современные аспекты проблемы поиска в текстовых базах данных // Телекоммуникации. 2003. - - № 3.С. 25-30.

23. Salton G. and McGill. M. J. Introduction to modern Information Retrieval // McGraw-Hill Computer Science Series. NewYork: McGraw-Hill, 1983.

24. Аграновский, А.В., Арутюнян, Р.Э. Способы индексации и поиска документов в интернет-порталах // Труды X Всероссийской научно-методической конференция «Телематика-2003». Санкт-Петербург. -

2003. - т. 1. - С. 204-206.

25. Salton G., Fox E., Wu H. Extended Boolean information retrieval. - Cornell University, 1982.

26. Karen Sparck Jones. A Statistical Interpretation of Term Specificity and Its Application in Retrieval // Journal of Documentation. - 1972.

27. Пилкбауэр, К. Обучение примерно похожим алгоритмам // SP, NY., 1992.

28. Ахо, А.В. Алгоритмы для поиска подобных строк. - Amsterdam: ESP, 1990.

УДК 681. 3.06

А.А. Штинова

ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ОБРАБОТКА ДАННЫХ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Аннотация. В статье обсуждается организация математической обработки дискретных данных на основе кусочной интерполяции по Ньютону. При этом на каждом подынтервале реализуется перевод интерполяционного полинома в форму алгебраического полинома с числовыми коэффициентами. Рассматриваются графики дискретно заданных функций, интерполируемых полиномами в алгебраической форме, которые склеиваются на границах подынтервалов равными узловыми значениями. Интерполяция в предложенной форме обеспечивает непрерывность, кроме того, непрерывную дифференцируемость всюду, кроме границ подынтервалов. На этой основе выполняется визуализация массивов спутниковых координат криволинейных контуров объектов с учетом нормалей и касательных.

Ключевые слова: интерполяционный полином, дискретные данные, координаты спутниковых наблюдений, визуализация массивов координат.

A.A. Shtinova

INTERPOLATION PROCESSINGDATA INFORMATION SYSTEMS

Abstract. The article discusses the organization of mathematical processing of digital data based on piecewise interpolation Newton. At each subinterval realized translation interpolation polynomial in the form of an algebraic polynomial with numerical coefficients. We consider the discrete graphics defined functions interpolating polynomials in algebraic form, which are glued on the borders of equal sub-intervals nodal values. Interpolation in the proposed form provides continuity, moreover, continuously differentiable everywhere except at the borders of subintervals. On this basis, renders sets of satellite coordinates curvilinear contours of objects based on normals and tangents.

Key words: polynomial interpolation, discrete data, the coordinates of satellite observations, imaging arrays of coordinates.

Постановка вопроса. Ставится задача показать возможность визуализации с математической обработкой дискретных данных на основе интерполяции по Ньютону и перевода интерполяционного полинома в форму алгебраического полинома с числовыми коэффициентами. Решение задачи иллюстрируется на примере обработки спутниковых данных в геоинформационных системах.

Задача интерполяции состоит в том, чтобы построить непрерывную простую функцию на всем промежутке, охватывающем узлы интерполяции (определенная, непрерывная, дифференцируемая, т.е. доступна приёмам математического анализа), причём от неё требуется, чтобы в узлах интерполяции она совпадала с заданными узловыми значениями. Более точно рассматривается

___ х £ [a, b] x

следующая задача. Пусть 1 L J, заданы узлы 1, в этих узлах заданы узловые значения

f (х) . Требуется найти функцию ф(х) , определенную на [a'b], такую, что для неё вы-

<р(х ) = f (х, ) = у, 1 = 0, п т-т полняются условия интерполяции: т 1' j ^ ^ s1, > . При этом вводится несколько

требований, согласно которым Ф во всех остальных точках, находящихся на [a'b], каким-то образом мало отличается от интерполируемой функции f (х) .

Такую задачу решает множество интерполяционных полиномов [1], из которых отметим интерполяционные полиномы Лагранжа и Ньютона. Первый из них строится в виде:

Рп (х)=f(х0)^+ +,,+

(х0 х1)(х0 х2)--(х0 Xn) (x1 х0)(х1 х2)—(х1 Xn)

„ л (х-х0)(х-х1)^(х-ху-1)(х-ху+1)^(х-хп)

+f (х,-)-----+ ■••+

(х -х0)(х- -х1)^(х,- -х,-1)(х, -х-+1)...(х- -хп) +дх ) (х-х0)(х-х1)-(х-хп-1)

(хп -х0)(хп -х1)—(хп -хп-1)

В общем случае узлы не обязательно являются равноотстоящими. Оценка погрешности, как

правило, приводится для интерполирования п +1- кратно непрерывно дифференцируемой функции и имеет вид [1]:

I I If(пх)|, ,

f (х) - Рп (х) ^ № Ь-ГТГ (х - хс)(х - х:) ■ - (х - хп )

[a ,b ] (п +1)!

Интерполяционный полином Ньютона для интерполирования вперед приведем для случая равноотстоящих узлов [1]:

А 2 \k

Рп (х) = у0 +Ay0t + t (t-1) + ■ + -У° t (t-1)(t-2)„.(t-k +1) + ■ + 2 k!

Апу

+ t (t -1)(t- 2)„.^-п +1),

п! (1)

х-х^ = t

где ^ - шаг интерполяции, ^ . Погрешность интерполирования по Ньютону с той же оговоркой оценивается из неравенства:

~ / (п+1)( х) к"+1 /(х)-Рп(х) < ттахх------^^- 1)(t-2)...^-п)\

Ь] (п +1)1 1

При равенстве узлов интерполяции полиномы Ньютона и Лагранжа формально совпадают.

Если данные в информационную систему поступают дискретно, то для математической обработки их целесообразно интерполировать.

Отметим следующее применение полинома (1) для указанной цели [2, 3]. Пусть некоторый криволинейный отрезок пути задан дискретными координатами, полученными в результате спутниковых наблюдений, например, фотосъёмки. Предлагается рассматривать криволинейный отре-

зок как график параметрически заданной функции с координатами у(гх(г) , где 0 — г — -1, при

г = 0

этом соответствует первой точке массива координат и последовательно увеличивается до

последней точки при г = Исходный массив координат точек разбивается на подмассивы - отрезки дискретно представленных линий - так, что сохраняется порядок точек исходной последовательности координатной фотосъёмки. Для дальнейшего важно, что конечная точка текущего отрезка является первой для отрезка, следующего за текущим. Интерполяционный полином строится для каждого отрезка в отдельности. Описание метода приводится на примере абсцисс точек отрезка, для ординат построение выполняется аналогично.

Для каждого отдельно взятого отрезка из (1) строится интерполяционный полином Ньютона степени п для интерполирования вперёд с равноотстоящими узлами независимой перемен-

н = 1

ной г , шаг интерполяции п + 1 , при этом абсциссы каждого отдельного отрезка рас-

сматриваются в качестве узловых значений. Степень одинакова для всех отрезков. На каждом от-

п + 1

резке число узлов интерполяции равно , в это число включается левая и правая границы отрезка. В граничных точках берутся равные значения узлов, за счет этого кусочная интерполяция спутниковых координат будет выполняться со склеиванием граничных узловых значений.

Абсциссы точек текущего отрезка могут быть интерпретированы как последовательность

узлов

х1 е [х,х+п], I = г,/' +1,...,/ + п

Далее излагается метод построения интерполяционного полинома для каждого отрезка в отдельности. Описание метода выполняется на примере абсцисс точек отрезка, для ординат построение аналогично, при этом сохраняется соответствие номеров точек номерам координат - номера точек, их абсцисс и ординат совпадают. Абсциссы каждого отдельного отрезка рассматриваются в качестве узловых значений интерполяционного полинома Ньютона для интерполирования вперёд с равноотстоящими узлами независимой переменной г с шагом интерполяции

н =

п + 1 , где п - степень полинома. Степень одинакова для всех отрезков, за исключением случая, когда в последнем отрезке содержится меньше трёх точек, тогда эти точки объединяют с предыдущим отрезком, а последний отрезок стирается.

п +1

На каждом отрезке число узлов интерполяции есть , в это число включается левая и

правая границы отрезка.

Абсциссы точек текущего отрезка могут быть интерпретированы как последовательность узловых значений. Для каждого отдельно взятого отрезка строится интерполяционный полином

Ньютона степени п , который преобразуется на г - м отрезке с приведением подобных к виду алгебраического полинома от одной переменной:

Т (г)=а0' + а1г + а2 г2 +...+а гп

п \ / 0г 1' 2г пг (2)

где г - параметр, соответствующий абсциссе Х из (1).

Для каждого отрезка набор коэффициентов записывается в память компьютера и делается хранимым. В дальнейшем, когда потребуется вычислить полином данного вида, значение номера

1 отрезка служит математическим адресом выборки коэффициентов (2), взаимно однозначно соответствующим данному номеру отрезка.

Ь-, г +] Н =

1_ г " г +т J

г + - г

г +т г

Для 1 -го отрезка г' г+т* шаг интерполяции имеет значение п .

н

Узлы интерполяции равноотстоят внутри интервала с шагом г, который остаётся равноотстоящим на всех отрезках.

В данных обозначениях полином (1) можно записать в виде:

п А3х

(г ) = х о + 1—з П (г - г к)

31 3! н к=0 , (3)

где

Ах. з г х

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 - конечная разность -го порядка в точке г , г 0 -

интерполируемое значе-

г =

г - г

г 0

ние. Пусть

н

тогда полином (3) примет вид:

Т ) = х,0 + £ 3 П - к)

3 = 1 3 ! к=0

(4)

Чтобы привести (4) к виду, аналогичному (2), предварительно вычисляются разности

Ах. 0

Ъ =_

А х„ = X^ ) - X(¿г0 ) ^ АХ,0 = А-1 Хг ! - ^ X,0 ........_______ ^ 3 !

г 0

Отсюда

затем коэффициенты

3-1

Тй,)= X,0 +1 Ъи П(~ - к)

нома

3=1 к=0 р.,)=П - к)

Каждое произведение вида к=0 представляет собой разложение поли-

р (г) =d0.г +... + ^ л'

щ\ ; 03 13 п]

по корням. При использовании обозначений

2=1, 1 = 0,1,..., п - 1

1 имеем [4]:

d0]+d13 ~ + ... + dn] ~п = - 20 Х~ - 21 - 2п-1)

где

(

Г dnn Л П

d,

(п-1)

V ^0 у

г=1

Л

1 0 0 0

2п-г 1 0 0

0 - 2п-г 0 0

0 0 • - 2п-г 1

0 0 0 - 2 п

п-г+1

(5)

Инвариантный относительно номера искомого коэффициента алгоритм получается последовательным справа налево умножением матриц (5), доказательство и программная реализация

d г, г = 0, п

даны в [5]. Полученные коэффициенты можно хранить в памяти компьютера для

любой конечной степени п, что предполагается ниже. Предполагается, помимо того, что априори

, dnt /п!, г = 0, п

вычислены факториалы и значения пг , которые также хранятся в памяти. После

данных преобразований полином (4) переводится в форму (2) по дистрибутивности с приведением подобных.

Применение данной схемы для расчета коэффициентов полинома Ньютона позволяет хранить их значения для дальнейшего использования при вычислении функций.

Поскольку интерполяционные полиномы вида (2) склеиваются равными узловыми значениями в граничных точках смежных отрезков, они образуют непрерывное представление отрезка кривой по исходным дискретным данным. Таким образом, возможна визуализация координат отрезка спутниковых данных, которая непрерывна для произвольной степени п .

Более того, такое представление отрезка кривой непрерывно дифференцируемо всюду, кроме граничных точек смежных подмассивов. Это позволяет вычислить касательные и нормали параметрически заданной кривой в точке 0 на основе соотношений:

У^) =--^ x(t)+ у(^)+ , ч

У'(tn^ У'(tn) y (tn)* 0

Ух'= ^^

Г 11 Г Г 11

У " = ()' = Уt • х - Уt • х

Ух ~ V ' ) х ~ '

х( (^ )3 .

х(0 - ап + ал +... + а ^ На основе предложенной аппроксимации 4 7 0 1 п , аналогично,

. Отсюда

х" - а1 + 2а2^.. + nаntn-1 = X(1 + 1)aг.+1tг,

У(t)- Ьп + V +... + Ь/

п—1

*1 I ^21... I '»"п1

1=0 т-1

1Ш-1

Л 1 1 "

1=0

У - Ь + 2Ь2*... + mЬmtm-1 С,- + 1)Ь,

1=0 , п-2

х"- 2а2 + 6a3t +... + п(п - 1)antn-2 = X (1 +1)(1 + 2)аг-+/

. =0 т-2

У," - 2Ь2 + 6Ь^ +... + т(т - 1)ЬтГ-2 = X (, +1)0 + 2)Ь,+/

1 =0

Следовательно,

т-1

, ' X о+1>Ь,+1'-

_ ./г ,=0 " " " " "

Ух " - п-1 "_ л' _У< ■ х - У* • х .

х,

X (.+1)а^г Ух = )х =

г

1=0 Лг

х (х)

3

X О +1)0 + 2)Ь,+/ X (1 + 1)аг+/ -X (, + 1)Ь,+^ X (1 +1)(1 + 2^

11

,=0 1=0 ,=0

Ух ~

п-1

(X (1 + 1)аг+/ )3

1=0

Задача визуализации с математической обработкой дискретных данных может решаться на основе кусочной интерполяции по Ньютону и перевода интерполяционного полинома в форму алгебраического полинома с числовыми коэффициентами. В частности, такое решение целесообразно для обработки спутниковых данных в геоинформационных системах. На основе изложенного подхода достигается непрерывность визуализируемой кривой и ее непрерывная дифференци-руемость за исключением точек склеивания кусочной интерполяции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Демидович, Б.П., Марон, И.А. Основы вычислительной математики. - СПб.: Лань. - 2011. — 672 с.

2. Ромм, Я.Е., Шаповалова, Е.Ю. Визуализация железнодорожного пути по массиву оцифрованных данных // Известия Юфу. Технические науки. - 2010. - № 12. - С. 95-102.

3. Ромм, Я.Е., Шаповалова, Е.Ю. Схемы визуализации массива координат железнодорожного пути с отображение нормалей и касательных // Известия Юфу. Технические науки. Тематический выпуск «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении». - 2012 - № 5 (130). - С.151-157.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Ромм, Я.Е., Джанунц, Г.А. Компьютерный метод варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации функций и решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Кибернетика и системный анализ. -2013. - № 3. - С. 95-112.

5. Ромм, Я.Е. Локализация и устойчивое вычисление нулей многочлена на основе сортировки. II // Кибернетика и системный анализ. - 2007. - № 2. - С. 161-174.

УДК 378.126 ББК 32.97

А.Ф. Якунин

ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И ЦИФРОВАЯ ГРАМОТНОСТЬ ПЕДАГОГА

Аннотация. По мнению автора, в 21-м веке обучение без информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) немыслимо. Важную роль играет цифровая грамотность педагога - качество, которое включает в себя: уверенное пользование персональным компьютером; наличие электронного адреса и обмен как с коллегами по работе, так и со студентами; использование в своей преподавательской деятельности технологий электронного обучения; систему заданий по каждому предмету, которые студенты выполняют в электронном виде; наличие и постоянное обновление преподавателем своего электронного ресурса по каждому предмету, который он ведёт; ведение электронного журнала учета результатов выполнения заданий, который всегда доступен для студентов; использование облачных и, по возможности, мобильных технологий.

Ключевые слова: информационно-коммуникационные технологии, цифровая грамотность, электронный ресурс, электронное обучение, система заданий, электронный журнал, облачные и мобильные технологии.

A.F. Yakunin

INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY AND DIGITAL LITERACY TEACHER

Abstract. According to the author, in the 21st century, learning without information and communication technology (ICT) is unthinkable. It plays an important role digital literacy teacher - a quality that includes: a confident use of a personal computer; availability of e-mail and exchange with both colleagues and students; use in their teaching e-learning technologies; System tasks for each subject that students perform in electronic form; availability and constant updating of its electronic resource teacher for each subject, which he leads; keeping records of the results of the electronic journal assignments, which is always available for students. Using the cloud and, if possible, of mobile technology.

Keywords: ICT, digital literacy, electronic resources, e-learning, system tasks, e-zine, cloud and mobile technologies.

Информационно-образовательная среда ТИ имени А.П. Чехова - это программно-телекоммуникационная среда, обеспечивающая едиными технологическими средствами ведение учебного процесса, его информационную поддержку и документирование в среде Интернет любому числу обучаемых, независимо от их профессиональной специализации и уровня образования. Чуть ниже перечислены основные элементы информационно-образовательной среды нашего вуза: техника и люди.

Участниками информационно-образовательной среды нашего вуза являются в первую очередь студенты, для обучения которых и создан вуз. Преподаватели наравне со студентами также являются участниками информационно-образовательной среды вуза, являясь лидерами, фасилиза-торами, дирижерами, организаторами собственно учебного процесса. Также неотъемлемой частью информационно-образовательный среды вуза является технический персонал, обеспечивающий надёжное функционирование и развитие информационно-образовательной среды вуза. И, наконец, руководство вуза (на всех уровнях), которое ставит задачи, обеспечивает и контролирует их своевременное выполнение.

В институте имеется материальная база, на основе которой ведется НИР: учебные и научные лаборатории, 19 компьютерных классов, компьютерный музыкальный класс; лаборатория программного и технического обеспечения, библиотека. В институте имеется единая вычислительная сеть. Все пользователи (в том числе студенты) имеют доступ в Интернет. В вузе имеется вузовская электронная библиотека, где помещены полные тексты книг, научных сборников, учебных пособий и статей преподавателей вуза [1].

В учебном процессе используются информационно-коммуникационные технологии (компьютерный контроль различного уровня, мультимедийное сопровождение лекций и др.). В образовательном процессе используются 420 компьютеров, в том числе 236 компьютеров можно использовать для тестирования в режиме on-line и off-line. На все учебные компьютеры установлено лицензионное или свободно распространяемое программное обеспечение [1].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.