Интенсификация режимов концевого фрезерования по критерию асимптотической устойчивости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.91.01

А.Я. Красильников, К.Ю. Кравченко

ИНТЕНСИФИКАЦИЯ РЕЖИМОВ КОНЦЕВОГО ФРЕЗЕРОВАНИЯ ПО КРИТЕРИЮ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Представлен алгоритм отыскания режимов резания по условию асимптотической устойчивости линейного дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием, описывающего модель концевого фрезерования с одной степенью подвижности. Алгоритм основан на построении кривых устойчивости на плоскости параметров резания «скорость вращения шпинделя - осевая глубина резания» и плоскости «относительное радиальное врезание - осевая глубина резания».

Устойчивость, вибрации, фрезерование, резание

A.Ya. Krasilnikov, K.Yu. Kravchenko

MAXIMIZATION OF THE CUTTING PARAMETERS IN END MILLING USING THE ASYMPTOTIC STABILITY CRITERIA

A new way to maximize the cutting parameters in the end milling is suggested. The given technique is based on asymptotic stability of the linear delay differential equation describing a single-degree-of-freedom model of the end milling. The method is proposed to estimate the combinations in the axial and radial depths of the cut and spindle speed. The method can be applied in the process engineering.

Stability, delay-differential, milling, chatter

Введение

Стратегическим направлением развития современного машиностроительного производства является интенсификация технологических процессов с целью повышения их производительности. Среди операций механической обработки одно из первых мест по применяемости и объему срезаемого с заготовок металла занимает фрезерование, в первую очередь, торцовое и концевое. Использование интенсивных режимов резания при черновом и получистовом фрезеровании сдерживается, главным образом, потерей динамической устойчивости системы. Динамика процессов резания является важным вопросом повышения эффективности механической обработки. Колебания могут быть причиной преждевременного износа режущего инструмента, низкого качества обработанной поверхности, снижения размерной точности и возникновения шума. Для предотвращения возможного брака по причине неустойчивости резания при обработке лезвийным инструментом режимы резания занижаются, тем самым снижая общую производительность. В свете этой проблемы перед инженерами встает задача определения оптимальных режимов резания для обеспечения высокоэффективной обработки.

Под устойчивостью понимается свойство системы сохранять свое состояние под воздействием внешних возмущений. Появление неустойчивого режима работы системы резания приводит к ухудшению шероховатости обрабатываемой поверхности и к размерной неточности. Впервые проблема устойчивости была сформулирована Кашириным А.И., впоследствии развита Кудиновым В.А., Эльясбергом М.Е., исследовалась в работах Соколовского А.П., Ильницкого И.И., Кедрова С.С., Ор-ликова М.Л. и др.

Относительно природы первичного источника возбуждения автоколебаний при резании единой точки зрения до настоящего времени нет. Однако наиболее популярной гипотезой является точка зрения Ташлицкого Н.И. [1] о запаздывании изменения силы резания при изменении толщины срезаемого слоя вследствие сближения и удаления инструмента и заготовки в процессе резания. Посредством обработки «по следу» (понятие введено Кудиновым В.А.) в автоколебательный контур вносится подавляющая доля энергии для поддержания автоколебаний.

Процесс обработки «по следу» среди зарубежных авторов впервые рассмотрели авторы Tobias S.A. и Fishwick W. [2], а также Tlusty J. и Polacek M. [3]. Независимо друг от друга группы ав-64

торов пришли к общему выводу. В частности, они объяснили, что модуляция толщины срезаемого слоя, вызванная автоколебаниями, продуцирует колебательное поведение силы резания. Авторы предложили использовать теорию устойчивости дифференциально-разностных уравнений для исследования динамики вторичных колебаний. Исследование устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом для анализа моделей фрезерования позволило получить уравнения для определения областей устойчивости, которые графически отображаются на диаграммах устойчивости. Такие диаграммы позволяют технологу подобрать корректные режимы обработки и обеспечить устойчивость резания.

В 2005 г. В^ак Е. и ТекеП А [4]. предложили алгоритм интенсификации режимов резания, а именно осевой глубины резания, ширины фрезерования и скорости вращения шпинделя, соответствующие устойчивому резанию. Однако согласно предложенному методу, для отыскания корректного значения ширины фрезерования требуется многократные трудоемкие вычисления пар осевая глубина резания - скорость шпинделя. В связи с этим актуальной является задача разработки нового алгоритма отыскания режимов резания по условию устойчивости обработки и реализация единого компьютеризированного решения.

Унифицированное дифференциальное уравнение. Теорема об асимптотической устойчивости

В ряде работ, среди которых [5-7], представлена и исследована на устойчивость одномерная модель фрезерования. На основе модели с одной степенью свободы продемонстрирован основной принцип возникновения автоколебаний в результате наложения первичных и вторичных осцилляций. Ниже представлена схема концевого фрезерования в ортогональной плоскости с одной степенью свободы (рис. 1).

Рис. 1. Схема фрезерования с одной степенью свободы

Представленная схема позволяет описать модель фрезерования с учетом вращения инструмента. Уравнение движения рассматриваемой системы имеет вид (1).

^ + 2^, ^ + = (1)

dt dt купр

где д - относительный коэффициент демпфирования; Юсоб - частота собственных колебаний системы, рад/с; купр - коэффициент упругости, Н/м; T - постоянный период запаздывания, с; Ft - касательная составляющая силы резания, H; F(t)- сила резания, H.

Мы рассматриваем систему с одним возможным смещением вдоль оси OX. Величина проекции силы F(t) на выбранную ось определяется (2).

Fx (t) = K^ (f + x(t - T)- x(t))sinj; sin(j; + b) (2)

j=1

где Ks - удельная сила резания, МПа; акр - осевая глубина резания, мм; f - подача на зуб, мм/зуб; фу -угловое положение j зуба относительно положительной полуоси OY; z - эффективное число зубьев, одновременно участвующих в резании; T - период запаздывания между двумя последовательными резами, Т = 60/^обЛ), где N - скорость шпинделя, об/мин; z,^ - общее количество зубьев; в = л/2-у, где Y - передний угол инструмента.

Как было показано в [7], для рассматриваемой модели допускается исследовать линейную зависимость силы резания при условии (3).

f sin jj >(xf ^ (3)

где xf - безразмерный постоянный показатель, характеризующий нелинейность силы резания.

Постоянное значение Как/^тф^т^+Р) не влияет на устойчивость системы, а определяет лишь величину амплитуды колебаний, поэтому его можно отбросить при дальнейшем анализе, исследуя лишь динамическую составляющую силы резания. В проекции на ось X получим уравнения для компонента (4).

^ (г) = -КаКр (х(г - Т) - х(г ))]Г в1пф; яп(ф; + ь)=КЛр А яА(ф) (4)

1=1

где Ах = х(г-Т) - х(г).

Параметр ^(ф) определяет направление вектора силы резания и является функцией времени, причем А е Ьг ([ф.г, фех]), где ф^ - угол входа фрезы в контакт с заготовкой, фех - угол выхода фрезы из контакта с заготовкой. Отметим, что на рис. 1 изображена векторная схема сил резания для случая попутного фрезерования. При рассмотрении встречного фрезерования вектора сил резания будут направлены в противоположную сторону. Перейти к инвариантному относительно ф виду возможно путем рассмотрения первого члена соответствующего ряда Фурье (5).

а +¥

А(ф) = -0 + 2 (аг сов(гф) + Ъг 8т(гф)) (5)

2 Г=1

где коэффициенты Фурье функции:

1 фех 1 фех 1 фех

а0 = - ГА(ф)ф, ап = - ГА(ф)соз(гф)ф, Ъп = - ГА(ф)з1п(гф)ф (6)

— J — J — J

ф. Ф. Ф.

Для перехода к инвариантному во времени виду рассмотрим только первый член ряда (5). Таким образом, получим (7).

а 1 ф ех 2

Ао = а2о = — | А(ф)ф = 4^-(2ф + 81п2ф- Кп со82ф|фех (7)

2 2- ^ 4- ф

ф л

В рассматриваемом исходном уравнении (1) произведем следующие замены, согласно (8).

& ¿Т п , К.акрА0

— Ю, = Ю, а = 2^, к = (8)

й йТ 2купр

Тогда уравнение (1) примет вид (9).

^ + а^ + х(Г) = к(х(? - Т)- х(Г)) (9)

Уравнение (9) описывает рассматриваемую систему резания с одной степенью свободы в унифицированном виде с безразмерными коэффициентами а и к. Заметим, что коэффициенты а и к являются положительными вещественными числами.

Теорема 1. При фиксированном значении параметра а уравнения (9) каждому значению параметра Т (к) соответствует такое значение параметра ккр, что для любых к < ккр решение уравнения асимптотически устойчиво при условии

(а,к)е <! (а,к) | ае (о,л/2), ке

( 2 Л

а

--+ а,+¥

V2 у

Доказательство. Определим решение соответствующего однородного уравнения как х(?) = Q ехр[/(ю? -у)]. Тогда х(? - Т)= х(?)ехр[-/0] согласно [7]. Подставим указанные выражения в уравнение (9).

1 -ю2 + ¡аю = к (е-0 -1) (10)

где 0 = юТ - 8у; еу - сдвиг между фазой у функции без запаздывания и у функции запаздывания;

ю - относительная частота осцилляций; 7 - мнимая единица.

Результатом решения уравнения (10) относительно ю является (11).

ю±=ю2 ±Л/ю4 - 2к -1 (11)

где

'о — V о

Ю0 ='.] к +1 - а2 ¡2

Уравнение (11) при рассмотрении полуоси ю±>0, а также условие положительности параметров а и к приводит к набору ограничений, которые гарантируют дальнейшую структуру области неустойчивости.

(а,к)е <! (а,к) | а е (о,л/2), к

( 2 а

2

Л]

+ а,+¥

(12)

))

Как показано в [7] и [9], исходное уравнение (1) на мнимой оси может иметь корни ±/ш+ и ±/ш_ для всех ю±>0, исходя из критерия устойчивости Найквиста, при 9 = 2рЬ , где Ь = 0,1,2,... В то же время значение фазового сдвига определяется как (13) согласно [9]. Исходя из вышеизложенного, получим (14).

е:

С1 — ш? ^

Т?(к ) =

1

ш±(к)

аш.

1 -ш2 (к)

(13)

? ) 2 (,Л^ Л + 2рЬ

аш? (к)

)

Ь е N

(14)

)

= 2р - 2агс^

V

С С,

2р- 2агс^

V ^

Зависимость (14) является уравнением кривой устойчивости. Ранее ([2, 3, 7-9]) кривая устойчивости задавалась параметрически. Очевидно, что граница устойчивости на плоскости параметров Т и к состоит из счетного числа подобных элементов (Ь - натуральное число). Каждый элемент границы будет складываться из двух несимметричных половин - Т_(к) и Т+(к). Кривые Т_(к) и Т+(к) сближаются, только если 9-(к) —9 + (к)® 0, что возможно в единственном случае, когда к ^ ко, где к0=а2/2+а. Критическое значение ккр численно равно минимальному значению к, удовлетворяющему условию (14) для фиксированного значения Т . Теорема доказана.

Одним из параметров резания является величина относительного радиального врезания Ш = Ъ/Бфр, где Ь - ширина фрезерования, мм; Бфр - диаметр фрезы, мм. Этот параметр характеризует глубину резания в ортогональной плоскости и также влияет на устойчивость обработки. При попутном фрезеровании Ш(фд) = 0,5(1-соБфд), при встречном фрезеровании Ш(фд) = 0,5(1+соБфд), где

фД = фех - ф,Л

Теорема 2. Функция акр(Ш) на отрезке Ш е (0, 1) имеет хотя бы один экстремум, причем при

к=еот1:

к к

а-(Ш )=КМш)

Доказательство. Исходя из сделанной замены (7), получим (16).

а„

купрк

КА

(15)

(16)

Очевидно, что поведение функции аКр(Ш) при постоянных прочих параметрах будет зависеть от поведения функции А0(Ш). Выразим А0 из (7) через фд, причем ф ех — п, фех > ф,й для попутного фрезерования и ф^ = п, фех < фл для встречного фрезерования (16).

А0 (Фд) = Ф соБ р — вт фд со8(фд + р)) 4р

(17)

где фд е (-п, 0) и (0, п) исходя из Ш е (0, 1). Диапазон фд е (-п, 0) соответствует встречному фрезерованию, фд е (0, п) - попутному. «-» - для случая попутного фрезерования, «+» - для случая встречного фрезерования. Знак перед выражением для А0 определяется направлением вектора силы резания, действующую на кромку - при одинаковых прочих параметрах (материал заготовки, сечение срезаемого слоя, направление и величина подачи) векторы силы резания, действующей на режущую кромку, при разном направлении вращения шпинделя будут противоположно направлены

аА0 = м

4р

(сОБ Р — СОБ(2фА + Р))

(18)

Таким образом, функция А0(фд) испытывает максимум при фд = (-п+в) для попутного фрезерования и максимум при фд = в в случае встречного направления фрезерования. Соответствующая функция акр(Ш) достигнет минимума при Ш = 0,5(1-соБв) при попутном фрезеровании и минимума при Ш = 0,5(1+соБв) при встречном фрезеровании.

е

Теорема доказана.

Сделаем замечание. В формулировке теоремы 2 нет указания на вид экстремума, поскольку вид функции Ло(фд) зависит от выбранной оси координат, в нашем случае это ось ОХ. При выборе основной оси ОУ функция Ло(фд) также будет иметь экстремумы, но не обязательно максимумы.

Интенсификация режимов резания

С помощью изложенных теорем разработан метод интенсификации режимов резания по критерию асимптотической устойчивости. Ранее метод интенсификации параметров резания был предложен в [4], однако предложенный метод является последовательным. Кратко метод, изложенный в [4], сводится к последовательности шагов:

1) для произвольного значения И построить график границы устойчивости акр(К);

2) на графике задать пару (акр, К);

3) варьируя И в пределах от 0 до 1, для выбранного на шаге два значения N определить множество значений акр;

4) на плоскости акр(Ш1) расположить пары (акр, Ш1).

Новый метод с параллельной оптимизацией параметров резания сводится к следующей последовательности вычислений:

1) задать пару (к, Т ), удовлетворяющую условию к < ккр и Т = Т(к), согласно теореме 1;

2а) вычислить N = 60юсоб/(^об Т );

2б) для диапазона Ш е (0, 1) вычислить значения акр при выбранном значении к.

3) построить график акр(Ш)/

Шаги 2а и 2б не являются зависимыми и могут быть выполнены параллельно. Таким образом, оптимизация параметров резания разделяется на оптимизацию скорости шпинделя и оптимизацию пары параметров - осевая глубина резания и относительное радиальное врезание. Также, как следует из (8), изменение жесткости системы влечет изменение параметра акр, а варьирование частоты собственных колебаний юсоб влияет на изменение величины скорости вращения шпинделя.

Разделение оптимизируемых параметров в значительной степени упрощает программное решение задачи, поскольку для реализации первого метода требуется перебирать массивы в поисках акр. В то же время новый метод позволяет работать локально, поскольку изначально задана пара (к, Т ).

На рис. 2 изображена граница устойчивости для группы системы с коэффициентом относительного демпфирования 1,65%.

Рис. 2. Граница устойчивости для а = 0,033 (серым цветом показана область неустойчивых решений)

Соответствующая граница устойчивости для системы с динамическими параметрами Юсоб = 1308,11 Гц и купр = 4,45 9-105 Н/м, К, = 1253 МПа, в = 61°, г = 1, ^б = 4, ф^ = -п/2, = -п приведена на рис. 3.

3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Скорость вращения шпинделя, об/мин

Рис. 3. Граница устойчивости для $ = 0,0165, Шсоб = 1308,11 Гц, купр = 4,459 105 Н/м, К = 1253 МПа, в = 61°, г = 1, г0б = 4, фз* = -п/2, фех = -п

Для скорости шпинделя 9000 об/мин, что соответствует Т = 13,7, на рис. 4 представлен график зависимости акр(Ж).

°'¥>.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Относительное радиальное врезание

Рис. 4. График зависимости аФ(Я/} при N = 9000 об/мин

Очевидно, что кривая на рис. 4 имеет минимум. По графику можно задать пару (акр, Ш), соответствующую устойчивому режиму автоколебаний. В результате интенсификации определены три параметра резания, соответствующие устойчивому режиму автоколебаний.

Устойчивость резания и производительность обработки

Как было отмечено выше, диаграммы устойчивости позволяют подобрать более высокие по величине параметры резания, в частности осевую глубину резания, ширину фрезерования и скорость вращения шпинделя. Тем не менее такой подход не гарантирует высокую производительность обработки. С целью обеспечить высокую производительность обработки необходимо провести оптимизацию показателя производительности - скорости снятия материала, выраженную в единице объема снятого материала в единицу времени (как правило, см3/мин). Однако разработка метода оптимизация функции скорости снятия материала не является целью представленной работы. И все же с целью придать завершенность работе и показать потенциал для будущих исследований рассмотрим вопрос о построении графика функции скорости снятия материала.

Поскольку скорость снятия материала пропорциональна произведению осевой глубины резания, ширины фрезерования и скорости вращения шпинделя, возникает задача отыскания такой комбинации допустимых значений параметров резания, при которых производительность будет наибольшей. Функция скорости снятия материала (19).

ГСм = а • Ь • N • • гоб (19)

Как было отмечено выше, влиянием подачи на устойчивость автоколебаний можно пренебречь, а диаметр фрезы и вовсе не оказывает влияние на устойчивость, поэтому рассмотрим нормальную форму функции скорости снятия материала (20).

Гсм = = а • Ш • N • г0б (20)

Л • пфр

Поставим задачу построить график функции критической скорости снятия материала (21), со-

ответствующей границе устойчивости со значениями параметров резания акр, ЯТ

Vсм,кр (акр ) = акр • Шкр • N • гоб

кр

(21)

Рассмотрим модель с одной степенью подвижности (рис. 1) с динамическими параметрами, приведенными выше (рис. 3). На рис. 2 изображена кривая устойчивости для унифицированного уравнения, на рис. 3 приведена граница устойчивости уже с учетом динамическим параметров конкретной модели при Ш = 0,5. На рис. 4 построена кривая зависимости осевой глубины резания от относительного радиального врезания, соответствующая границе устойчивости при N = 9000 об/мин. График функции (21) изображен на рис. 5 для различных вариантов направления фрезерования.

Рис. 5. График функции скорости снятия материала (21): а - для попутного фрезерования; б - для встречного фрезерования (серым цветом обозначена область нейсточивого резания)

На рис. 5а можно наблюдать максимум функции скорости снятия материала при встречном фрезеровании, в то же время на рис. 5б никаких экстремумов нет при встречном фрезеровании. Очевидно, что существование или отсутствие экстремумов функции скорости снятия материала определяется соотношением осевой глубины резания и относительного радиального врезания. Появление максимума рассматриваемой функции зависит от того, как быстро функция осевой глубины резания убывает или возрастает относительно функции относительного радиального врезания.

Заключение

В статье рассмотрена модель концевого фрезерования с одной степенью подвижности. Для представленной модели получено скалярное дифференциальное уравнение с постоянным запаздыванием в унифицированной форме, т.е. не зависящее от абсолютных динамических характеристик конкретной системы «деталь - инструмент - приспособление - станок». Для полученного уравнения сформулирована теорема об асимптотической устойчивости. На основе использования унифицированного уравнения и предложенной теоремы построены графики, отражающие положение границы устойчивости на плоскости параметров резания «осевая глубина резания - скорость вращения шпинделя» и «относительное радиальное врезание - осевая глубина резания». Разработан алгоритм интенсификации режимов резания с параллельным выполнением шагов. Также в работе показано, что функция критической скорости снятия материала не обязательно является монотонной функцией.

В статье раскрыта актуальность работы в области изучения вибраций при резании и перспективность исследований для оптимизации производительности обработки по критерию асимптотической устойчивости автоколебаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ташлицкий Н.И. Первичный источник автоколебаний при резании металлов / Н.И. Ташлицкий // Вестник машиностроения. 1960. № 2. С. 45-50.

2. Tobias S.A. The chatter of lathe tools under orthogonal cutting conditions / S.A. Tobias, W. Fishwick // Transactions of ASME. 1958. Vol. 80. Iss. 1. P. 1079-1088.

3. Tlusty J. The stability of the machine tools against self-excited vibrations in machining / J. Tlusty, M. Polacek // International Research in Production Engineering. 1963. Vol. 1. Iss. 1. - P. 465-474.

4. Budak E. Maximizing Chatter Free Material Removal Rate in Milling through Optimal Selection of Axial and Radial Depth of Cut Pairs / E. Budak, A. Tekeli // CIRP Annals - Manufacturing Technology. 2005. Vol. 54. Iss. 1. P. 353-356.

5. Budak E. Analytical prediction of chatter stability in milling - Part I: general formulation / E. Budak, Y. Altintas // Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, Transactions of the ASME. 1998. Vol. 120. P. 22-30.

6. Stepan G. Modelling nonlinear regenerative effects in metal cutting / G. Stepan // Philosophical transaction of the Royal Society of London, Series A. 2001. Vol. 359. Iss. 1781. P. 739-757.

7. Красильников А.Я. Исследование устойчивости систем с запаздыванием, описывающих процесс фрезерования, в случае с одной степенью свободы / А.Я. Красильников, К.Ю. Кравченко // Вестник машиностроения. 2013. № 9. С. 67-75.

8. Insperger T. State-dependent delay in regenerative turning processes / T. Insperger, G. Stepan, J. Turi // Nonlinear Dynamics. 2007. Vol. 47. P. 275-283.

9. Красильников А.Я. Аналитические методы исследования устойчивости систем с запаздыванием, описывающие процесс фрезерования / А.Я. Красильников, К.Ю. Кравченко // Справочник. Инженерный журнал с приложением. 2013. № 9. С. 23-31.

Красильников Александр Яковлевич - Aleksandr Ya. Krasilnikov -

доктор технических наук, профессор кафедры Dr. Sc., Professor, «Технологии машиностроения» Уральского Department of Mechanical Engineering

федерального университета Institute of Mechanical Engineering Technology,

им. первого Президента России Б.Н. Ельцина B.N. Yeltsin Ural Federal University

Кравченко Константин Юрьевич - Konstantin Yu. Kravchenko -

аспирант кафедры Технологии машиностроения Postgraduate,

Механико-машиностроительного института Department of Mechanical Engineering

Уральского федерального университета of Mechanical Engineering Technology,

им. первого Президента России Б.Н. Ельцина B.N. Yeltsin Ural Federal University

Статья поступила в редакцию 11.10.14, принята к опубликованию 11.05.15