ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ С ДИССИПАЦИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 517.01+531.01

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ С ДИССИПАЦИЕЙ

М. В. Шамолин1

В работе показана интегрируемость некоторых классов динамических систем на касательном расслоении к многомерному многообразию. При этом силовые поля, обладающие переменной диссипацией, обобщают ранее рассмотренные.

Ключевые слова: динамические уравнения, интегрируемость, трансцендентный первый интеграл.

In this study, we show the integrability of certain classes of dynamic systems on the tangent bundle to a multi-dimensional manifold. In this case, the force fields have variable dissipation and generalize the cases considered previously.

Key words: dynamic equations, integrability, transcendental first integral.

В задачах динамики исследуются механические системы со многими степенями свободы с диссипацией (с пространством положений — многомерным многообразием). Их фазовыми пространствами

n

обобщенного сферического маятника в неконсервативном поле сил приводит к динамической си-

(n - 1)

ней индуцирована дополнительной группой симметрий [1, 2]. В данном случае динамические системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакопеременной диссипацией и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных (в смысле комплексного анализа) функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.

Выделим также класс задач о движении точки по многомерной поверхности, при этом метрика на ней индуцирована евклидовой метрикой всеобъемлющего пространства. В ряде случаев в системах с диссипацией также удается найти полный список первых интегралов, состоящий из трансцендентных функций. Полученные результаты особенно важны в плане присутствия в системе именно неконсервативного поля сил.

В настоящей работе показана интегрируемость некоторых классов динамических систем на касательном расслоении к многомерному многообразию (об аналогичных исследованиях на касательных расслоениях к многообразиям размерностей 2, 3 и 4 см. [3-5]). При этом силовые поля, обладающие так называемой переменной диссипацией, обобщают ранее рассмотренные.

1. Уравнения геодезических при замене координат и их первые интегралы. Как известно, в случае n-мерного гладкого риманова многообразия Mn с координатами (а, в) в = (1l,..., |п—l) и аффинной связностью Гjk(x) уравнения геодезических линий на касательном расслоении

T*Mn [сё ,ßl,...,ßn-v, а, в l, ...,|п- l}, а = x1, |i = x2, ... , |п-i = xn, x = (xl,...,xn ) имеют следующий вид (дифференцирование берется по натуральному параметру):

n

xi + rjk(x)xjxk = 0, i = 1,..., n. (1)

j,k=l

Изучим структуру уравнений (1) при изменении координат на касательном расслоении T*Mn.

x

n

x = £ Rij (x)zj, (2)

j=l

1 Шамолин Максим Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф., вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: shamolinQrambler.ru, shamolin® imec. msu .ru.

Shamolin Maxim Vladimirovich— Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Leading Scientist, Lomonosov Moscow State University Institute of Mechanics.

которую почти всюду можно обратить: = Т/г(х)Хг, при этом Кг], Т], г, ] = 1,...,п, — функции от ж1,..., хп, а также КТ = Е, где К = (Кг]), Т = (Т]г). Назовем уравнения (2) новыми кинематическим,и соотношениями, т.е. соотношениями на касательном расслоении Т*Мп. Справедливы тождества

х

^ ^ Тзгх' + ^ ^ Т^'гх'; Т]г — ^ ^ Т]г,кх , (3)

г=1 г=1 к=1

где Т]г,к = дТ^г/дх\ г, к = 1,..., п. Подставляя в (3) уравнения (1), имеем

¿г — ^У ^ Тг],кх^х ^ ^ Тг] ГрРд^, (4)

при этом в системе (4) вместо Хг, г = 1,... ,п, следует подставить формулы (2). Другими словами, равенство (4) можно переписать в виде

п п

¿г + ^ ^Х]Хк|(2) = 0, Яг]к(х) = ^ ТгДх)](х) - ](х). ],к=1 «=1

Предложение 1. Система (1) в той области, где det К(х) = 0, эквивалентна, составной системе (2), (4).

Таким образом, результат перехода от уравнений геодезических (1) к эквивалентной системе уравнений (2), (4) зависит как от замены переменных (2) касательного пространства (т.е. вводимых новых кинематических соотношений), так и от аффинной связности Г]к(ж).

2. Важный частный случай. Рассмотрим далее достаточно общий случай задания кинематических соотношений в следующем виде:

а — ¿п ,

/?1 = ¿п-1/1(а),

/?2 = ¿п-2/2(^)^1 (А),

• (5)

вз = ¿п-з/з(а)д2 (Л )МА),

/Зп-1 = ¿1/п-1(а)дп-2(А )^п-з(^2) ■ ... ■ г1(вп-2),

где /к(а) к = 1,...,п - 1 д(Д), I = 1,...,п - 2 Л™(£2), т = 1,...,п - 3 ...; ¿1(^-2) — гладкие функции на своей области определения. Такие координаты ¿1,...,хп в касательном пространстве вводятся тогда, когда рассматриваются следующие классы уравнений геодезических [6, 7] (в част-

п( п - 1)

а + Г?1(а, в )в2 + ... + Га-1,п-1(а, в ^-1 = 0,

+ 2Г^1(а, вМ + ^(а, в)42 + ... + Г^п-Л«, в ^-1 = 0, /52 + 2Га2(а, + 2Г22(а, + ^(а, в)&2 + ... + Г^-Л«, в)в2-1 = 0, /9з + 2Газ(а, /5з + 2Г?з(а, твз + 2Г2з(а, ^ вз + +^4 (а, в)42 + ... ... + гп_1>п-1(а,в)/32-1 =0, (6)

вп-2 + 2Га_2-2(а, в)аа/вп-2 + 2Гl>__2(а, в)А/вп-2 + ...

... + 2гп-з,п-2(а, в)/вп-з /вп-2 + гп-?;п-1(а, в)в2-1 = 0, вп-1 + 2Гa_1-l(a,в)aвn-l + 2Гl_-l(a,в)вlвn-l + ... + 2Гп-2,п-1(а, в)вп-2 вп-1 = 0,

т.е. остальные коэффициенты связности равны нулю.

В случае (5) уравнения (4) примут вид

21 =

2ГаГ„1_1(а,в) + Я/га_1(а)

|2Г?;_1 (а,в) + 2(в1 Л /1(а)^1 2ГП^;_1(а,в) + ^га_з(в2)] /2(а)^1(в1)212„_2 - ...

_2Л /га_

222 =

2Га"„2_2(а,в)+ /_2(а)

2ГП_2,„_2(а,в) + ^п(в„_з) /га_з(а)^га_4 С01)^_5(в2)

-ГП_1,„_1(а,в)

/П_1(а) ^П_2(в1) ^П_з(^2) Г2(вп_з) .2

2(а) 5га_з(в1) ^га_4(в2)

2Г1~1_2(а, в) + ^5га_з(в1) /1(а)*2*п_1 - . •

81(вп_4)222з-г1(вп_2)^2,

(7)

Г1(вп_з)

... — Гга_1,га_1(а, в)

/п-

^а <-2

_2(в1)^П_з(в2) ■ ... ■ г2(в„_2)22,

= Г/1 (а)2П_1 + Г/(ам(в1)^2 + ... + 1,п_ 1 /П_ 1 (а)^П_2(в1 )^П_з(в2) • ... • ¿1(вп_2К,

здесь ^^(д) = й 1п |ф(д)|/йд, и уравнения (6) почти всюду эквивалентны составной системе (5), (7) на касательном расслоении Т*Мга,..., а, в1,..., вп_1}-

Для полного интегрирования системы (5), (7) необходимо знать, вообще говоря, 2п — 1 независимых первых интегралов. В нашем случае их нужно знать меньше, что будет показано ниже.

Предложение 2. Если всюду на своей области определения справедлива система п(п — 1)/2 равенств

2Га1(а,в) + ^/1(а) +Га1(а,в)/2(а) = 0,

2Га"1_1(а,в)+ /_1(а)+Га_1;га_1(а,в)/2_1(а)£2_2(в^з№) ...¿2(вп_2) = 0, [2Г22(а,в) + ^51(в1)] /2(а) +Г22(а,в)/22(а)^2(в1) = 0,

(8)

2Г?"_1(а,в) + ^^„_2(в1) /2(а) +ГП_1,га_1(а,в)/2_1(а)^2_2(в1)^П_з(в2) • ... • ¿1(вп_2) = 0

2ГП_1>га_1(а, в) + Яп(вп_2)] /2_2(а)^2_з(вО^Ш •... • г2(вп_з) + + ГП_2;„_1(а,в)/2_1(а)£2_2(в1)^П_з(в2) ■ ... ■ ¿1(вп_2) = 0, то система (5), (7) имеет аналитический первый интеграл вида

Ф1(2П,..., 21) = + ... + г2 = С^ = const.

(9)

На первый взгляд вопрос наличия первого интеграла достаточно простого вида (9) не "заслуживает" решения такой достаточно сложной системы квазилинейных уравнений (8) (которая содержит, вообще говоря, уравнения в частных производных, вырождающиеся в обыкновенные). Можно даже доказывать отдельную теорему существования решения /(а), к = 1,..., п — 1, ^г(в1) I = 1,..., п — 2, Лто(в2)) т = 1,..., п — 3 ...) ¿1(вп_2) системы (8) квазилинейных уравнений с целью выявления наличия аналитического первого интеграла (9) для системы (5), (7) уравнений геодезических (6). Но в дальнейшем при изучении динамических систем с диссипацией полная группа условий (8) нам не потребуется. Тем не менее в дальнейшем будем предполагать в уравнениях (5) выполнение условий

/1(а) = ... = /п_ 1(а) = / (а),

(10)

при этом функции l = 1,..., n—2, m = 1,..., n—3, .. ., ii(вп—2) должны удовлетворять

преобразованным уравнениям из (8):

2Г22 (а, в) + Dgi(ei) + ^(а, в)д2 (в1) = 0,

2ГП--i(a, в) + Dgra-2(ei) +ГП-1>га-1(а,в)дП-2(в1 )^П-э(в2) • ... • г?(^_2) = 0, (11)

2ГП-2,п-1(а,в) + Dii(e„_2)gn_3(ei)hn_4(e2) ■ ... ■ г2(вп_з) + + rn_2,„_i(a, в )дП_2 (в1)^П_з(в2) ■... ■ i2 (вп_2) = о.

Таким образом, функции gi(в1), l = 1,..., n — 2, hm(в2) m = 1,..., n — 3 .. ^ ii(вп_2) зависят от коэффициентов связности через систему (11), а ограничения на функцию f (а) будут даны ниже. Предложение 3. Если выполнены условия (10), (11) и при этом справедливы равенства

ГУа,в) = ... =га__1(а,в) =Г1(а), (12)

то система (5), (7) имеет гладкий первый интеграл следующего вида:

Ф2(гп-1, ...,zi]a) = \jz\ + ... + Фо(а) = С2 = const, (13)

Фо(а) = f (а) exp I 2 J Г(Ь) db.

ao

Предложение 4. Если выполнены условия предложения 3, а также

gi(A) = ... = дга_2(в1)= д(в1) (14)

и при этом справедливы, равенства

Г?2 (а, в) = ... = rn__i(a, в) = Г2(в1), (15)

то система (5), (7) имеет гладкий, первый, интеграл следующего вида:

$3(-Zn-2,...,-Zi;a,/?i) = yjz\ + ... + 4_2Ф0(а)Ф1(/?1) = С3 = const, (16)

{в!

2 J Г2(Ь) db

в!0

Далее применяем по индукции вышеизложенные рассуждения и приходим к следующему утверждению.

...

равенство

ГП_2;„-1(а,в)=Г„_1(вп-2), (17)

то система (5), (7) имеет гладкий, первый, интеграл следующего вида:

$ra(zi;а,в1 ,...,вп_2) = ^1Фо(а)Ф1(в1) • ... • Ф„_2(вп—2) = Cra = const, (18)

Ф„_2(вп_2) = i(вта—2) exp hf Гз(Ь) db l , ^—2) = ¿1(вп-2>.

I в20 I

Предложение 6. Если выполнены условия предложений 3, 4, а, также предложения 5, то система (5), (7) имеет первый интеграл следующего вида:

вп-2

/С i(b)

, db = Сп+1 = const. (19)

...

висимых первых интегралов системы (5), (7) при вышеперечисленных условиях (то, что полный набор состоит из n + 1, а не из 2n — 1 первых интегралов, будет показано ниже).

Вопрос о гладкости первого интеграла (18) не так прост. В принципе, он может выражаться через конечную комбинацию элементарных функций и даже являться функцией рациональной. Но поскольку в рассматриваемой динамической системе отсутствуют асимптотические предельные множества, то функция (19) не может быть трансцендентной с точки зрения комплексного анализа. Действительно, у нее отсутствуют существенно особые точки. Но с точки зрения теории элементарных функций она может быть трансцендентной (см. также [8]).

3. Уравнения движения в потенциальном силовом поле и их первые интегралы. Те...

получим систему консервативную. А именно наличие силового поля характеризуется достаточно гладким коэффициентом F(а) во втором уравнении системы (20). Рассматриваемая система на касательном расслоении T*M„{z„,..., zi; а, /i,..., вга-i} примет вид

а — zraj

z„ — F (а) +Г«(а,в )/2 (a)z£_i + Г^ (а, в)/2(a)g2 (/i )z22 + ...

... + ГП_1>га-1(а, в)/2(а)£2(в1 )h2(/2) •... • ^(в„-2>2, ¿„-i — [2Г1(а) + D/(а)] z„-iz„ — Г^(а, в)/(а)£2(в1 )z„-2 — ... ... — Г„-1 1(а, в)/(а)^2(/i)h2(в2) ■ ... ■ i2(в„-2)z2,

¿2 — [2Г1(а) + D/(а)] z2z„ — [2Г2(в1) + )] /(а)z2z„-i — ...

... — [2Г„-2(в„-3) + ^г(вп-э)] /(аЖв1 )ВД) ■ ... ■ ®(вга-4)z2z3 — (20)

— Г„-2>га-1(а, в)/(а)5(в1 )Ь(в2) ■ ... ■ Г(в„-3)i2(в„-2)z2,

¿1 — [2Г1(а) + D/(а)] ziz„ — [2Г2(в1) + )] /l(а)zlz„-i —

— [2Гз(в2) + Dh(/2)] /(а)£(в1 )ziz„-2 — ...

... — [2Г„-1 (в„-2) + -Щв„-2)] /(а)5(в1 )ВД) ■ ... ■ г(в„-з>1 z2, /?1 — z„-i/(а), /?2 — z„-2/ (а)#(в1), /?з — z„-3/(а)#(в1 )h(/2),

/3„-i — zi/(а)#(/1 )h(/2) ■ ... ■ i(в„—2),

и она почти всюду эквивалентна следующей системе:

а + F(а) + ГЦ (а, в)&2 + ... + ^„^(а, в)^-! — 0, 3 + 2Г1(а)са ft + Г^(а, в)/3| + ... + ^„^(а, в)/3„-1 — 0, /З2 + 2Г1(а)а/?2 + 2Г2(в1)/?1 /?2 + Г3з(а, в)/5| + ... + Г„-1>га-1(а, в)/?2-1 — 0, 3 + 2Г1(а)са/?3 + 2Г2(в1)/31 £з + 2Г3(в2 ) ftft + + Г34(а, в)/?42 + ... + Г„-1>га-1(а, в)/3„-1 — 0,

/3„-2 + 2Г1(а)са/?„-2 + 2Г2(в1)/31/3„-2 + ...

... + 2Г„-2(в„-з)/3„-з /3„-2 + Г„-?>га-1(а, в)/3„-1 — 0, /3„-i + 2Г1(а)са/3„-1 + 2Г2(в i)/3i /3„-i + ... + 2Г„-1(в„-2)/3„-2 /3„-i — 0.

17 ВМУ, математика, механика, №6

Предложение 7. Если выполнены условия предложения 2, то система (20) имеет гладкий первый интеграл следующего вида: а

Предложение 8. Если выполнены условия предложений 3, 4, ..., а, также предложения 5,

...

Предложение 9. Если выполнены условия предложения 6, то система (20) имеет первый интеграл вида (19).

...

независимых первых интегралов системы (20) при вышеперечисленных условиях (то, что полный набор состоит из п + 1, а не из 2п — 1 первых интегралов, будет показано ниже).

Вопрос о гладкости первого интеграла (19) по-прежнему не так прост. Поскольку в рассматриваемой динамической системе даже при наличии гладкого консервативного силового поля отсутствуют асимптотические предельные множества, то функция (19) не может быть трансцендентной с точки зрения комплексного анализа (у нее отсутствуют существенно особые точки). Но с точки зрения теории элементарных функций она может быть трансцендентной (см. также [8]).

4. Уравнения движения в силовом поле с диссипацией и их первые интегралы. Теперь усложним систему (20) и получим систему с диссипацией. А именно наличие диссипации (вообще говоря, знакопеременной) характеризуется достаточно гладким коэффициентом Ьй(а) в первом уравнении следующей системы:

¿„ = ^ (а) +Г?!(а,в)/2 (004-1 + Г^2 (а, в)/2(а)£2 (А + • • •

... + Га_1>га_1(а,в)/2(а)д2(в!)^2(в2) • • • • • ¿2(в„_2>2, ¿„-1 = [2Г1(а) + Я/(а)] — Г^а, в)/(а)д2(в1>„_2 — - - -

... — ГП_1>га_1(а, в)/(а)д2(в!)^2(в2) ■... ■ ¿2(в„_2>2,

¿2 = [2Г1(а) + Я/(а)] ¿2*п — [2ВД1) + ^(/1)] /(а)*2¿„_1 — ...

... — [2Г„_2(в„_з) + Яг(в„_з)] /(а)5(в1 )ВД) ■ ... ■ 5(в„_4^з — (22)

— Г„_2;га_1(а, в)/(а)5(в1 Жв2) '... ' г(в„_з)г2(в„_2>2,

¿1 = [2Г1(а) + Я/(а)] — [2Г2(в1) + ^(/1)] /1(а>^„_1 —

— [2Гз(в2) + ЯВД)] /(а)5(в1 ^¿„_2 — ...

... — [2Г„_1(в„_2) + Яг(в„_2)] /(а)5(в1 )ВД) • ... • г(в„_з>^2,

в1 = ¿„_1/(а), в2 = ¿„_2/(а)^(в1), вз = ¿„_з/(а)^(в1 Ж/2),

в„_1 = ¿1/(а)^(в1 Ж/2) ■ ... ■ «(в„_2),

а — бай'(а) + ^(а) + (а, в)в? + ... + Га_1,„_1(а, в)в„_1 = 0, /51 — Ьв1Й(а)Ж(а) + 2Г1(а)а/1 + Г22(а, в)в2 + ... + Г„_1>га_1(а, в)в„_1 = 0, /52 — Ьв2й(а)^ (а) + 2Г1(а)ав2 + 2Г2(в1)в1в2 + + Г2з(а, в)в2 + ... + Г„_1>га_1(а, в)в„_1 = 0, вз — Ьвзй(а)^ (а) + 2Г1(а)авз + 2Г2(в1)в1вз + 2Гз(в2)в2вз + + Гз4(а,в)в42 + ... + Г„_1;га_1(а,в)вП_1 = 0,

в5™—2 — Ьв„_2й(а)^(а) + 2Г1(а)ав„_2 + 2Г2(в0в1 в„_2 + ...

Ф^п,..., ¿1; а) = ¿2 + ... + ¿„ + ^\(а) = С1 = сопst,

(21)

а

¿„ + Ьй(а)

которая почти всюду эквивалентна системе

... +2Г„_2(вп_з)/?п_з /?п_2 +ГП_1>га_1(а, в)ДП_1 = 0, /3„_1 — ^к^Ж (а) + 2Г1(а)а,0га_1 + 2Г2( вОА /?п_1 + ...

... + 2Гп_1( вга_ 2 ) 2 /?п_1 = °

здесь Ж (а) = 2Г1(а) + Д/ (а).

2п

Г?1(а, в) = Г^2(а, в)^2(в 1) = ... = Га_1,п_1(а, в)£2(в 1 )^2№)... = Гга(а). (23)

/(а)

образованному первому равенству из (8):

2Г1(«) + + Гга(«)/2(«) ее 0. (24)

Для полного интегрирования системы (22) необходимо знать, вообще говоря, 2п—1 независимых первых интегралов. Однако после замены переменных

wn = zn, wn-i = + ... + zl_l, Wn-2 = J^, Z3 Zn-1

wn-з = , 0 • • •, wi =

Zï + Zt yJzî + ... + z2~2

система (22) распадается следующим образом:

a = —wn + W„ = F (a) +rra(a)/2(a)wn-i, d ln |f (a)|

W n-1 =

2ri(a) +

da

(25)

w„-iw„;

w

i>s = VÏT^I/(a)... [2rs+i(ft) + ДЯ&)] ,

^ , I.....„ 2: (26>

V1 + w2

W 1

/5^-1 = ± , ra_1 fiaMPiMlh) ■■■■ i(Pn-2), (27)

где в системе (26) символом "..." показаны одинаковые члены, а функция j(в) — одна из функций g, h,..., зависящая от соответствующего угла /5«-

Видно, что для полной интегрируемости системы (25)-(27) достаточно указать два независимых первых интеграла системы (25) — по одному для систем (26) (меняя в них независимые переменные; их n — 2 штуки) и дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (27) (т.е. всего n + 1).

Теорема. Пусть для некоторых к, А € R выполняются равенства

Гга(а)/2(а) = « ^ ln\S(a)\, F (а) = (28)

n+1

мых, вообще говоря, трансцендентных первых интегралов.

Для начала сопоставим системе третьего порядка (25) неавтономную систему второго порядка:

dwn = F{a)+Tn{a)f2{a)wl_l dwn-1 = [2ri(a) + Df(a)]wn-iwn da —wn + bô(a) ' da —wn + bô(a)

18 ВМУ, математика, механика, № 6

Далее, введя однородные переменные по формулам -шга = ига£(а), = ига-1^(а), представим

систему (29) в следующему виде:

, dun ^э(а) +Г„(а)/2(a)^(a)u?-1 + ¿'(а)«П - (а)« о (ск)

¿(а)

da —un + b

dun-i —Гп(а)/2(a)5(a)u„-i + ¿'(a)«n-i«n — bi'(a)u„

(30)

da —un + b

¿(a) "

А с учетом условий (28) система (30) приводится к уравнению первого порядка

dun А + км2_1 + -и2 - Ьип dun-1 (1 - /i)-ura_i-ura - bun '

(31)

Уравнение (31) имеет вид уравнения Абеля [9]. В частности, при к = —1 оно имеет следующий первый интеграл:

и2п + — Ьип + Л

-= Gi = const, (32)

Un-1

который в прежних переменных выглядит так:

п , \ п ( Wn wn-i\ wn + w2n-i~ bwn5(a) + A£2(a)

=Gi (ад» ад-J =-^да-= Ci = const. (33)

Далее, найдем явный вид дополнительного первого интеграла системы третьего порядка (25) при к = —1. Для этого преобразуем инвариантное соотношение (32) при un-i = 0 следующим образом:

= (34)

Видно, что параметры данного инвариантного соотношения удовлетворяют условию

b2 + C2 — 4А ^ 0, (35)

тогда фазовое пространство системы (21) расслаивается на семейство поверхностей, задаваемых равенством (34).

к = —1

5(a) dun 2(\-bun + ul)-CiUi(Ci,un) 1 Г~2 ~

т=-^ть-' = 2{Ci±vc*~-bUn+Л)}'

при этом постоянная интегрирования Ci выбирается из условия (35).

Тогда дополнительный первый интеграл для системы (25) будет иметь следующий структурный

вид:

@2(wn,wn-i]a) = G2 -^щ, = С2 = const (36)

к = —1

f (b — un) du„ w>

n

2(A - bun + ul) - C\{C\ ± yjC\ - 4(u2n - bun + A)}/2' n ¿(a)'

При этом после взятия этого интеграла вместо Ci можно подставить равенство (33). Правая часть данного равенства выражается через конечную комбинацию элементарных функций, а левая — в

¿(а)

комбинацию элементарных функций зависит не только от квадратур, но и от явного вида функции ¿(а)

Первые интегралы для систем (26) запишутся следующим образом:

л/l + "W2

@s+2(ws]í3s) = т ,0 / = Cs+2 = const, s = 1,..., п - 2 (37)

(о функциях ФДД), s = 1,..., n — 2, см. (16), ..., а также (18)). А дополнительный первый интеграл, "привязывающий" уравнение (27), находится по аналогии с (19):

вп-2

/С i(b)

! db = Сп+1 = const,

при этом после взятия последнего интеграла вместо постоянных Cn-i, Cn можно подставить соответствующие левые части равенства (37).

5. Замечания о структуре первых интегралов систем с диссипацией. Если а — периодическая координата периода 2п, то система (25) становится динамической системой, обладающей переменной диссипацией с нулевым средним [1-5]. При b = 0 она превращается в систему консервативную, которая обладает двумя гладкими первыми интегралами вида (21), (13). В силу (28)

а

$i(zn,..., zi; а) = z2 + ... + Zn + 2 J F(b) db = wП + + Лй2(а), (38)

ао

=

имеем

<¡>2(zn-1, ...,zr,a) = ^Jz\ + ••• + z2n_x fia) exp < 2 J Ti(6) db > = wn-i5(a) = C2 = const, (39)

ао

=

Очевидно, что отношение двух первых интегралов (38), (39) (или (21), (13)) также является

b = 0 b = 0

wn + wn -1 — bwná(a) + Лй2(а) (40)

и (39) по отдельности не является первым интегралом системы (25). Однако отношение функций (40), (39) является первым интегралом системы (25) (при к = — 1) при люб ом b.

Вообще же для систем с диссипацией трансцендентность функций (в смысле наличия существенно особых точек) как первых интегралов обусловлена имеющимися в системе притягивающими или отталкивающими предельными множествами [10].

6. Некоторые приложения. По аналогии с маломерными случаями выделим два существенных случая для функции f (а), определяющей метрику на сфере:

а \ cosа

fia = --, 41

sin а

/(а) =--• (42)

cos а sin а

Случай (41) формирует класс систем, соответствующих движению динамически симметрич-(n + 1)

в неконсервативном поле сил [11]. Случай (42) формирует класс систем, соответствующих движе-

n

В частности, при ¿(а) = F(а) = 0 рассматриваемая система описывает геодезический поток на n-мерной сфере. В случае (41) если ¿(а) = F(а)/cos а, то система описывает движение (n + 1)-мерного твердого тела в силовом поле F(а) под действием следящей силы [11]. В частности, если F(а) = sin а cos а ¿(а) = sin а т0 система описывает также обобщенный (n + 1)-мерный сферический маятник в неконсервативном поле сил и обладает полным набором трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций [2].

Если функция ¿(а) не периодическая, то рассматриваемая диссипативная система является системой, обладающей переменной диссипацией с ненулевым средним (т.е. она является собственно диссипативной, или системой с разгоняющими силами). Тем не менее и в этом случае можно получить явный вид трансцендентных первых интегралов, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Последнее также представляет собой новый нетривиальный случай интегрируемости диссипативных систем в явном виде.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шамолин М.В. Маломерные и многомерные маятники в неконсервативном поле. Ч. 1 // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. 134. 6-128.

2. Шамолин М.В. Маломерные и многомерные маятники в неконсервативном поле. Ч. 2 // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. 135. 3-93.

3. Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении двумерного многообразия // Докл. РАН. 2017. 475, № 5. 519-523.

4. Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении трехмерного многообразия // Докл. РАН. 2017. 477, № 2. 168-172.

5. Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении четырехмерного многообразия // Докл. РАН. 2018. 479, № 3. 270-276.

6. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

7. Дубровин Б.А., Новиков С.П. О скобках Пуассона гидродинамического типа // Докл. АН СССР. 1984. 219, № 2. 228-237.

8. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1987.

9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

10. Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. 53, вып. 3. 209-210.

11. Шамолин М.В. Интегрируемые системы с переменной диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере и приложения // Фунд. и прикл. матем. 2015. 20, вып. 4. 3-231.

Поступила в редакцию 24.04.2018

УДК 511

ВЫТЕСНЕНИЕ НЕФТИ СМЕСЬЮ ГАЗОВ И ВОДЫ С ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ

Д. И. Романова1, В. Р. Душин2, В. Ф. Никитин3

В статье приводятся результаты численного моделирования термогазового вытеснения нефти из пористого коллектора. Вытеснение производится посредством нагретой смеси газа и воды. Закачиваемый газ — двухкомпонентный, состоит из азота и кислорода. В процессе реакции выделяются тепло, углекислый газ и водяной пар. В результате тепловыделения вязкость нефти снижается и процесс вытеснения ускоряется.

Ключевые слова: термогазовый метод, вытеснение нефти, пористая среда, трехфазный поток.

The paper presents the results of numerical modeling of thermogas displacement of oil from a porous reservoir. In this method, displacement is performed by means of a heated mixture

1 Романова Дарья Игоревна — асп. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: romanovadiQgmail.com.

2 Душин Владислав Роальдович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladdushQrambler.ru.

3 Никитин Валерий Федорович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vfniksterQgmail.com.

Romanova Daria Igorevna — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Hydromechanics.

Dushin Vladislav Roaldovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.

Nikitin Valeriy Fedorovich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Gas and Wave Dynamics.