Интегрируемые комбинации в системах линейных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.926

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ КОМБИНАЦИИ В СИСТЕМАХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В.В. Ивлев, д-р техн. наук,

Московский государственный гуманитарный университет

им. МА. Шолохова

E-mail: [email protected]

Е.М. Архипова,

канд пед. наук,

Московский финансово-юридический университет МФЮА E-mail: А[email protected]

Аннотация. В статье предлагается общий метод построения полной системы интегрируемых комбинаций для систем линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрена задача Коши в терминах интегральных комбинаций. Выделены классы систем уравнений, разрешимых в интегрируемых комбинациях.

Ключевые слова: интегрируемая комбинация, первый интеграл, собственный вектор, собственное значение, сопряженный оператор, коммутирующие нормальные операторы.

Abstract. So, there are general methods of building complete systems of integral combinations for systems of linear differential equations. This time, we have Koshi theory in integral combinations terminus. System classes of equations, soluble in integrable combinations are chosen.

Keywords: integrable combination, first integral, eigenvector, eigenvalue, adjoint operator, commuting normal operators.

Среди известных методов решения систем линейных дифференциальных уравнений (матричный, операционный, Эйлера ...) скромное место занимает метод интегрируемых комбинаций. Дело в том, что отсутствует общий метод построения таких комбинаций. Напомним, что с помощью простейших алгебраических операций подбором система уравнений «свертывается» в одно дифференциальное уравнение относительно некоторой функции (интегрируемой комбинации) от искомых

решений, причем это уравнение легко интегрируется. При получении полной системы интегрируемых комбинаций (первых интегралов) задача считается решенной. Ниже предлагается общий метод построения интегрируемых комбинаций.

Рассмотрим нормальную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

= ^ааук + /(х),

ЫХ к=1

(1)

или в матричной форм е

1 = 1, п , ук = ук (х), к = 1, п

т=Ау+ г ,

ах

(1 )

у1( х) " /1( х)"

где у = , / = , А = [аа ] =

_ уп (х). _ /п (х) .

а.

а„

а

а

Пусть а =

а

а„

- постоянный вектор-столбец.

Умножим (1') скалярно на а

(а, у') = (а, Ау) + (а, /) (2)

Так как (а, Ау) = (Ата, у), то (2) принимает вид:

(а,у') = (а,у)' = (Ата, у) + (а, /) (2')

Ат - транспонированная матрица, то есть Ат = [ак ]. Применительно к произвольному вектору а выполненные операции ничего не дают, пусть теперь

а - собственный вектор линейного оператора Ат, тогда по определению Ата = А,а;

X - собственное значение для Ат и, следовательно (2') переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

(а, 7)' = А (а, 7) + (а, /).

(3)

Обозначим искомую линейную комбинацию (а, у) = J =

=а1 у +а272 +••• +ВД; получим

J' = и + (а,/). (3')

Общее решение для (3') имеет вид

J = сеА х + еА х | (а, / )е Хс1х.

(4)

Для получения полной системы п интегрируемых комбинаций необходимо рассмотреть характеристическое уравнение для оператора Ат

|Ат -А Е\ =

*1п

а

пп-А

= 0

(5)

где Е =

0

1

единичный оператор.

В общем случае действительных коэффициентов аы корни уравнения (5) могут быть вещественными простыми или кратными и комплексно-сопряженными, также простыми или кратными. Детально эти случаи рассмотрены в [1]. В частности, в случае простых вещественных корней приходим к системе алгебраических уравнений (/ = 0 ),

а1171 +а 2172 + к +а п1 Уп = С1^

(6)

а1п71 +а 2 п7 2 + к +а пп7п = спе

-Хпх

При наличии вещественного корня кратности т имеет т интегрируемых комбинаций

з. = ^ (С,. + С^х + к + С1х'"1), I = 1, т.

(7)

Принимается в (7), что кратному корню X соответствует один собственный вектор и т-1 присоединяемых. Пример:

Найти интегрируемые комбинации для системы уравнений.

У = 5 У - У 2 - 4 Уз

у2 =-12 У1+5 у 2+12 Уз

уз = 10 У! - 3 у2 - 9 Уз

Решение: Строим матрицу Л1

" 5 -12 10

Л1 = -1 5 -3

- 4 12 - 9

Решаем характеристическое уравнение:

5-X -12 10 -1 5-X -3 -4 12 -9-X

= 0 или -X3 +Х2 +Х-1 = 0.

Имеем X =-1, X23 =1. Здесь X - простой корень, X23 = 1 - корень кратности 2.

Находим собственный вектор для X = -1:

6а11 - 12а 21 + 10а 31 = 0 < -ап + 6а21 - За31 = 0 (*) -4ап + 12а 21 - 8а 31 = 0

Решая (*), получим а1 =

1

Первая интегрируемая комбинация ^ = —1 + — у2 + у3 =с1е х.

Для кратного корня у2 3 = 1, находим собственный вектор из уравнения А а2 = Ха2 и присоединенный - из уравнения Ата3 =Ха3 + а2.

Г

Отсюда: а 2 = комбинации:

-1

2 1

3

4 1

имеем две следующие интегрируемые

32 = -У У 2 +У3 = С 2еХ 1 3

32 =^2 У1 + 4 У2 +У3 =(С3 +С2еХ)еХ

ЗАДАЧА КОШИ

Рассмотрим задачу Коши для однородной системы уравнений. Пусть дан вектор-столбец начальных значений У1... Уп при х = 0.

Уо

У1

Уп

и пусть собственные значения оператора А - вещественны и попарно различны, тогда (6) принимает вид [х = 0]

(а^ Уо) = С1

(а п , Уо) = Сп

а система интегрируемых комбинаций задачи Коши есть

3 = (<*!, у0)е^

Л = (а й, Уо)е

В случае вещественного А корня кратности т собственный вектор а1 и присоединенные Аг,..., Ап определяются из соотношений

Ата1 = Ха1

Ата 2 = Аа 2 +а1

Атат = Аат +ат 1

т т т-1

а интегрируемые комбинации имеют вид (7),

где С = (аl, С = (а2 , Уо),к , Ст = (ат , Уо)-

КЛАССЫ РАЗРЕШИМЫХ СИСТЕМ

Определение 1. Будем говорить, что система линейных дифференциальных уравнений (не только первого порядка) разрешима в интегрируемых комбинациях, если она «свертывается» в одно линейное дифференциальное уравнение соответствующего порядка относительно неизвестной интегрируемой комбинации.

Из выше изложенных результатов следует, что нормальная система уравнений (1) всегда разрешима в интегрируемых комбинациях. Система уравнений:

йк

:Х акУк+/,(х) к >1

к=1

аналогичной процедурой «свертывается» в одно уравнение

3(к) =А 3 + (а, /),

которая так же разрешима в интегрируемых комбинациях.

Определение 2. Линейные операторы Ат,Вт,...,Ст называются допустимыми, если они имеют единый набор собственных векторов при различных собственных значениях.

Рассмотрим общий вид нормальной системы дифференциальных уравнений т-го порядка в матричной форме.

у :

У\

Уп

У

(ш) _ Ау(ш-1) + Ву(ш-2) + . + Су:

(8)

причем операторы Ат,Вт,...,Ст удовлетворяют определению (2). Умножим (8) скалярно на а - общий собственный вектор для

Ат, Вт,..., Ст

(а,у)ш _(а,Ау(ш-1)) + (а,Ву(ш-2)) + ... + (а,Су).

или переходя к транспонированным операторам (*)

(9)

(а,у)ш _(а,Ату(ш-1)) + (а,Вту(ш-2)) + ... + (а,Сту). (9') Пусть теперь

Ата _ХАа,Вта _ХВа,...,Ста _ХСа, тогда (9') принимает вид

J (Ш) _ (Ш-1) + (Ш-2) + к +

(9)

Уравнение (10) есть свертка системы (8)

J _ (а , у) _а1 у +а2 у 2 + •■■ +апуп .

В заключение приведем теорему [2], определяющую множество допустимых операторов. Если дано конечное или бесконечное множество попарно коммутирующих нормальных операторов, А,В,...,С,... в уни-

тарном пространстве R, то все эти операторы имеют полную систему общих собственных векторов.

Другими словами все эти вещественные операторы должны попарно коммутировать между собой и каждый коммутировать со своим сопряженным, т. е. транспонированным. В частности, если операторы А,В,...,С являются степенями некоторого оператора А, т.е. А = А01, В = А2, к, С = А3, то все операторы имеют общую систему собственных векторов, и их собственных значениях есть степени собственных значений оператора Ад

ЛИТЕРАТУРА

1. Ивлев В.В. Системы линейных дифференциальных уравнений // Математическое образование. 2006. №1; 2007. №1.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М., 2004.