Интегрируемость систем полиномов нескольких переменных первой и второй степени над простыми полями Галуа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.622

DOI 10.18522/0321-3005-2016-2-41-46

ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СИСТЕМ ПОЛИНОМОВ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ НАД ПРОСТЫМИ ПОЛЯМИ ГАЛУА

© 2016 г. В.М. Деундяк, А.В. Кнутова

Деундяк Владимир Михайлович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; старший научный сотрудник, ФГНУ НИИ «Спецвузавтоматика», пер. Газетный, 51, г. Ростов н/Д, 344002, e-mail: vlade@math.sfedu.ru

Кнутова Анастасия Владимировна - студент, кафедра алгебры и дискретной математики, Институт математики, механики и компьютерных наук И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: bubuzel@yandex.ru

Deundyak Vladimir Mikhailovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Senior Researche, NII «Spec-vuzavtomatika», Gazetnyi Lane, 51, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: vlade@math.sfedu.ru

Knutova Anastasiya Vladimirovna - Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: bubuzel@yandex.ru

Изучаются свойства производных по направлению от полиномов нескольких переменных над простыми полями Галуа. Рассмотрены системы полиномов первой и второй степени и найдены необходимые и достаточные условия интегрируемости для них. Полиномы нескольких переменных над полями Галуа лежат в основе определения кодов Рида - Мал-лера, для которых в последние годы активно разрабатываются новые списочные и мягкие декодеры. Полученные результаты могут быть применены для оптимизации работы мягких декодеров типа декодера Сидельникова - Перша-кова для кодов Рида - Маллера второго и третьего порядка.

Ключевые слова: поля Галуа, производные полиномов, интегрируемость систем полиномов, коды Рида - Маллера, мягкое декодирование.

The properties of the derivatives in the direction of polynomials of several variables on simple Galois fields are studied. Necessary and sufficient conditions for integrability of the systems of the first and second degree polynomials are founded. The polynomials of several variables over Galois fields form the basis of the definition of the Reed-Muller codes, for which the new scheduled and soft-decision decoders are being actively developed in recent years. The results may be used to optimize the soft-decision decoders Sidelnikov-Pershakov type decoder for Reed-Muller second and third order codes.

Keywords: Galois fields, derivatives of polynomials, integrability of systems of polynomials, Reed-Muller codes, soft-decision decoding.

Полиномы нескольких булевых переменных и их производные в последние годы интенсивно изучаются в связи с задачами криптоанализа [1]. Систематическое изложение дифференциального исчисления для булевых полиномов содержится в [2]. В настоящее время в различных областях защиты информации применяются полиномы нескольких переменных над полями Галуа и их производные [3-6]. В настоящей работе изучаются свойства производных по направлению от полиномов нескольких переменных над простыми полями Галуа, найдены необходимые и достаточные условия интегрируемости систем полиномов первой и второй степени. Эти результаты частично представлены в [7].

Полученные результаты могут быть применены для оптимизации работы мягких декодеров для кодов Рида - Маллера второго и третьего порядка [5, 6].

Производная по направлению

Пусть р - простое число; Fp - поле Галуа; Ерт -

линейное пространство векторов длины m над полем Fp. В случаях, когда значение / -й координаты

некоторого вектора из Ерт равно /и(<е Ер), будем

иногда вместо л писать Единичные векторы е = (0,...,0,1г-,0,...,0), I = 1,...т, составляют базис в

Ет р '

Пусть Ер [хъ...,хт ] - алгебра полиномов от m переменных над полем Fv, Е(г)[х1,...,хт] (сЕр [х1;...,Хт]) -подпространство полиномов степени не выше г. Каждый полином из Ер(г)[х1,...,хт] можно записать в каноническом виде:

f(x) = Tpia)^aa= ö0x° + Zp(a)=1 aa+ + - + Zp(a)=r-1 aaXa + Zp(a)=röa x" ,

(1)

Приведём полином f к виду, принятому в теории квадратичных форм:

-p(a)=r—1 ax ^ ^p(a)=r 1

гДе x = (xi,...,xm); a = (ai,...,am) (e Fm);

f(x) = f° + < x,(/i00...0,...,/ö0...0i) > +x4x

(3)

где

а а а ,

х = х1 1 х2 2 • • • хт т ; р(а) - сумма координат муль-тииндекса а как натуральных чисел. Степень deg(/) полинома /, записанного в каноническом виде, определяется как максимальная степень составляющих его ненулевых мономов. Полиномы, в мономы которых каждая переменная входит в степени не выше первой, образуют линейное подпространство пространства ^^[х^..., хт ]. Это подпространство связано с конструкцией тензорного произведения, и мы его будем обозначать

¥(р1)[х1,...,хт]. Для полиномов от одной переменной с вещественными коэффициентами производная определяется через производные от мономов: (хп)' = пхп-1; таким же образом можно ввести производную полинома для любого поля. Аналогично определяются частные производные полиномов нескольких переменных для любого поля. Такие производные будем называть аналитическими.

В [1, с. 87] другим способом введено понятие производной по направлению от булевых полиномов. По аналогии определим производную по направлению для полинома из ¥р[х1,...,хт]: производной полинома /(е ¥р[х1,...,хт ]) по направлению и(е ¥рт) называется полином вида

(А/)(х) = /(х + и) - /(х).

Лемма 1. Соответствие / ^ Аи /, где / е ¥р)[х1,...,хт], и е ¥рт, задаёт линейный оператор Аи : ¥рГ)[х1,..., хт ] ^ ¥рг-1)[х1,..., хт ].

Отметим, что производная (Ае /) от полинома

/ е ¥(')9[х1,..,хт] совпадает с частной производной по переменной х1.

Критерий интегрируемости набора линейных функций

Будем рассматривать полиномы степени не выше двух и предполагать, что р > 2. Если

/ е F(¡■:)[xl,..., хт ] то в сИлу (1)

/(х) = /0 + /ю...0 х1 + /010...0 х2 + .../0...01 хт + +/110...0 х1х2 + /1010...0 х1х3 + ... + У0...011 хт-1хт + + /20...0х1 + /020...0х2 + ... + /0...02хт . (2)

A =

f20...0 f110...0

/11

f10

Л

2

f1

100...01

2

f02...0

f010...10 2

f010...01

f0

010...10

2

f010...01

2

f00

(4)

2 2

Лемма 2. Пусть / - полином вида (3), Ь е . Тогда (Аь/)(х) = 2хЛЬТ + /(Ь) - /.

Доказательство. Из (3) вытекает

Г г \ ./10...0

/01...0

f (x + b) = f° + (x + b)

f

+ (x + b)A(x + b)' .

V f 0...01 у

Тогда из определения производной и симметричности матрицы А получаем

ff Л j10...0

(Dbf )(x) = f (x + b) - f (x) = b

f01

f0...0

+ ЬЛх Т + хЛЬТ + ЬЛЬ т = 2хЛЬТ + /(Ь) - /0 . Рассмотрим задачу об условиях интегрируемости набора линейных функций. Пусть {р1,...,рт} -упорядоченный набор линейных функций. Найдём условия, при которых он является градиентом некоторого полинома / второго порядка, т.е.

V/ е{1;...;т}: А^/ = рр . (5)

Теорема 1. Пусть {р1,...,рт} - упорядоченный набор функций вида

р =р0 + РШ...0х1 + Р0 10...0х2 + ... + р0...01 хт . (6)

1. Если

, (7)

то можно построить полином / е ¥р(2)[х1,...,хт], для которого выполняется (5). Если /, g из

¥р;2)[х1,..., хт ] удовлетворяют условию (5), то / - g е ¥р.

2. Если для набора {р1,..., рт} можно найти такой полином / е ¥р2)[х1,...,хт], что выполняются

условия (5), то для этого набора выполняются условия (7).

V/, j е {1;...;m}: ф0...01.0...0 = К..0

2

+

Доказательство. 1. Проверим справедливость первого утверждения. Полином / будем искать в

виде (2). Пусть f0 - произвольное число из Ер .

Остальные коэффициенты, воспользовавшись (7), определим равенствами

(De, f )(Х) = f

0...01Д..0 + /С...С2 Д..0 + 2f0...02 .0...0xj +

+ Z xkfc

kJ 0...01.0...0U0...0

+ x1f0

iJ 0...010...01,0...0

k *i,k * j

f0...01i0...01.0...0 ...01.0...0 _ ^0...01j0...0

f -1 1 1 J0...02Д..0 ^0...01j0...0 ,

(8)

1

_ 1^1

J0...010...0

Проверим выполнение условия (5). Рассмотрим производную по базисному вектору е1 от полино-

ма J (е

f (е Fp2^,..., xm ]) вида (3) и преобразуе

м ее с

помощью леммы 2

(Ае / )(х) = 2х4егг + < е, А/т..^...- /00...01) > +е,Ае,Т =

= 2/0 ...02,0...0х, + /10...01,0...0 х1 + ... + /0...01,-11,0...0 хг-1 +

+/0.. . 01Дг+10...0 хг-1 + ■■■ + /0...01,0...0тхт + /0...01Д..0 + /0...02Д..0 =

= /0. . . 01,0. . . 0 + /0.. . 02,0 . . . 0 + 2/0.. . 02,0. . . 0х, +2 х //0. . . 01,0 . . . 01 /0 . . . 0 .

/

В соответствии с (8) подставим в полученное выражение коэффициенты функции ф . Тогда

(Ае /)(х) = Фо +Ф0...010...0х, + 2 х/Ф0...01/0...0 = ф.

Таким образом, условие (5) выполняется.

Далее покажем, что свойство (7) следует из полученного вида производных по двум различным базисным векторам. Из условия (5) вытекает, что

V/ е {1;...;т}: Ащ/ = ф.

Коэффициенты при х, в (А /)(х) и х/ в (Ае/)(х) равны коэффициенту /а..01,0...01,0...0 исходного полинома / , следовательно, они равны между собой. Поэтому, в силу условия (5), соответствующие коэффициенты будут совпадать и в функциях из набора {ф1,...,фт }, т.е. для любой пары ,,/ выполняется равенство ф0.т.0. 0 =ф/..т.0.. 0 .

Таким образом, функции из набора {ф1,..., фт} попарно удовлетворяют условиям (7).

Замечание 1. Рассмотрим интегрируемый набор {ф1,..., фт} и вычисленный по нему интеграл f(x) вида (2) из доказательства теоремы 1 , пункт 1. Тогда Ф (х) = (Ащ /)(х) = 2/0.Щ0...0 х, +

+/0...01Д..0 + 2/о...02,0...0х, + 2хк/0...01,0...01;(:0...0 .

к ф,

Используя найденные по формулам (8) коэффи-

циенты f0

.02 f 0...0 :

f

0...010...0 :

f

0...010...0U0...0

можно

Пусть f, g из Fp2)[xj,...,xm] удовлетворяют ус- восстановить матрицу

ловию (5). Покажем, что в этом случае эти функции одинаковы с точностью до постоянного слагаемого. Рассмотрим производную по направлению е{ от функции И = / - g

А И)(х) = (Ае (/ - g ))(х) =

= (Ае /)(х) - (Ае g)(x) = ф - ф = 0 .

Это равенство выполняется для всех г. Нетрудно проверить, что это возможно лишь в том и только том случае, когда функция А является константой.

2. Рассмотрим набор {ф1,..., фт} линейных функций вида (6) и такую функцию / е Ер2)[х^,...,хт], что выполняются условия (5).

Проверим выполнение условия (7). Зафиксируем пару ,, / , где для определённости , < / . Вычислим производные по базисным направлениям е,, в/ и рассмотрим коэффициенты в них

(Ае, /)(х) = ./0...01.0...0 + /0...02,0...0 + 2f))..Я2fi...))х, +

f 1 1 Ф10...0 Ф010...0

А =

2

2

Ф010...0 Ф10...0

2

v 2

2

2

Р0...01

2

1

Ф0...01

2

2

Ф0...01 2

Ф10...0 2

(9)

и вектор коэффициентов при первой степени

(

ff \ j10...0

f01...0

V f0...01)

1

P10...0

2

Ф010...0

P0...01.

2

(10)

+ Z ^tA..

kf С...С0¡С...С0kС...С _ СЛьт^..^ + /С...С2iС...С

k *i

+2/0...С2iС...Сxi) + Z XkfС

kf 0...01Д..01ка..0 + Xj■fС...С1iС...С1 Д..0

k *i,k * j

из формул (3), (4).

Замечание 2. Пусть {ф'1 ,...,ф'г}- упорядоченный набор функций вида (6), где 1 < гх < г2 <... < ,г ^ т . Чтобы его можно было дополнить до интегрируемого набора {ф1,...,фт}, необходимо и достаточно, чтобы он не противоречил свойству (7). В этом случае можно описать алго-

01 0... 0

2

2

+

ритм восстановления интегрируемой системы {р1,...,рт} по набору {р'1 ,...,р'г} : вначале заполняем симметричную матрицу А вида (4) известными коэффициентами в соответствии с (9); затем остальные элементы матрицы — произвольными числами, сохраняя симметричность. И наконец, вектор коэффициентов при первой степени (10) сначала заполняем известными коэффициентами, а после этого дополняем произвольными элементами. Ясно, что набор {р'1 ,...,р'г} дополняется до полного интегрируемого набора неоднозначно.

Критерий интегрируемости систем полиномов второй степени

Далее будем рассматривать полиномы g из

¥Р3®[ x1,..., хт ] вида

Т

g(x1,x2,...,хт) = go +< х8(1) >+х^(2)х +

+5^1110...0 х1х2 х3 + 5^11010...0 х1х2 х3 +

+^1010 х1х2х4 + ... + ,?0...0111 хт-2хт-1хт , (11)

где 8(1) е , С(2) - матрица вида (4); свободный

член g0 и коэффициенты при мономах третьей степени - элементы поля ¥р . Под вектором вида

(0...01' 0...01 у 0...01к 0...0) в индексе будем понимать

вектор веса три, у которого элементы под несовпадающими номерами ', у,к равны единице, а остальные - нулю.

Найдём производные g по базисным направлениям. Пусть g * - сумма мономов, степень которых

меньше трёх. Из леммы 1 вытекает, что * >!< (Ае ,)(х) = (Ае g )(х) + (Ащ ^ - g ))(х) =

= g0...01Д..0 + 2 ^0...01г0...01 у0...0 + +,110...01Д...0х1 х2 + ... + g0...01Д..011 хт-1хт .

Пусть {р1,...,рт } - упорядоченный набор полиномов из ¥(2)[х1,..., хт ]. Найдём условия, при которых он является градиентом некоторого полинома

g из FJ(3®[x1,..., хт ] , т.е.

и для произвольных попарно неравных номеров /, j, к е {1;...; m} выполняются условия

V/ е{1;...;m}:(D^g) = Р. Теорема 2.

1. Пусть {p1,...,(pm} - упорядоченный набор полиномов из Fj(2|)[ x1,..., xm ] вида

p° + p0...0 x1 + p010...0 x2 + p/0...01i-1.0..0X i—1 + (13)

+ p10...01i+1.0..0 xi+1 + p0 ...01 xm + X p0 ...01j0...01k0...0 xjxk

j,k*i,j*k

p0...01 ¡0...0 = p0...0l0...0 ,

(14)

р0 ...0^0...0^0...0 = р0...01д..01;д..0 = р0...0^0...0^0...0. (15)

Тогда можно построить такой полином g из

¥^3)[х1,..., хт ], что выполняется условие (12). Если

полиномы /,g из ¥(3)[х1,...,хт] удовлетворяют

условию (12), то / - g е ¥р .

2. Если для набора {р1,..., рт} полиномов вида (13) можно найти такой полином g из

¥(3®[х1,...,хт], что выполняются условия (12), то

справедливы равенства (14), (15).

Доказательство. 1. Полином g будем искать в

виде (11). Пусть g0 - произвольное число из ¥р .

Остальные коэффициенты определим равенствами

_ г _ у

0...01Д..01^0...0 = р0...01/1...0 = р0...01.Д..0 '

-1 / -П

02Д..0 = „ p0...010...0 = 0

2

1

0...010...0 =p° 2 p0...010...0 =p° ,

_ i _

..01Д..0Ь0...0и0...0 = p0...01 Д..0К0...0 =

(16)

= P0

= P0..

Проверим выполнение условия (12). Рассмотрим линейные части полиномов из набора

{p1,...,pm} : p' = p° + p0...0 x1 + p010...0 x2 + p0...01,-_1.0..0 xi—1 + + р0...01м.0..0xi+1 + p0...01 xm .

Тогда из теоремы 1 вытекает Vi е {1;...;m} : (D6jg*) = p*' .

Для кубической части g — g * построим производную по произвольному направлению e i

(Dei (g — g ))(x) = g110...01i0..0x1x2 + ... + g0...01i0...011xm—1xm .

По построению полинома g

g110...010..0 = p5.10...0 ,. ., g0...010..011 =p0...011 .

(12) Следовательно,

(Ае ^ -g ))(х) = р10...0х1х2 +... + р0...011 хт-1 хт = р - р '' .

Тогда (Ае ,)(х) = р*-' + (р - р*-') = р . Аналогично доказательству теоремы 1 проверяется, что если для /,g из ¥^3()[х1,...,хт] выполняются условия (12), то / - g е ¥р.

к

2. Покажем, что набор производных удовлетворяет условиям (14), (15). Из второй части теоремы 1, применённой к полиному g * и набору его про-

( * 1 * т ^

изводных {р ,...,р }, вытекает справедливость условия (14).

Рассмотрим теперь две производные полинома g - g * по различным базисным направлениям. Зафиксируем пару ', 1, где для определённости г < у. Тогда

р' = (ае (ш -,*))(х) =

= ,110...01Д..0х1 х2 ... + ,Ю...010...01 Д..0х1 х1 +

I I 1 ■>

+g 010...01'0...01 Д..0 х2 х 1 + ... + g 0...01М1Д..01 Д..0 х'-1 х1 + ...

+g

0...01i1i+10...01 j0...0

xL+1x, + ... + g 0.

01i0...01j0...01x jxm

p ,j = (Dei (g — g ))(x) =

= g110...01Д..0x1 x2 ... + £10...01Д..01Д..0x1 xj +

к ,L _ к, j _ L,k _

P0...01 /1...0 = P0...01l0...0 = P0...01 ;0...0 = _ l, j _ j,k _ j ,L

= P0...01i0...0 = Р0...01Д..0 = Р0...0140...0 . ~k,L „L,k

Po.,.0 =Po...0

(18)

2. Если для набора {р',у }'-,1=1,...,т полиномов вида (17) можно построить такой полином

g е FP;3^[x1,...,хт ], что

V',у е {1;...;т}: Ае, (Ащg) = р',], (22)

то выполняются равенства (18), (19).

Доказательство. 1. Для каждого к е{1,...,т} набор {рг''/}/J=1,...т удовлетворяет условиям интегрируемости из теоремы 1 и является набором производных некоторого полинома второго порядка /к, т.е выполняется (20). Используя (8), (18), (19), вычисляем для полиномов / к коэффициенты

гк _ к' _ к,'' _ ',к _

/ 0...01Д..01Д..0 = р0...0^0...0 = р0...0^0...0 = р0...0^0...0 =

_ у,к _ ',у _ у,''

= р0...01'0...0 = р0...01к0...0 = р0...01к0...0 ,

_ i,k _1„ i,k = p0...0 2 р0...01.0...0,

+g 010...01Д..01/1...0 х2 х1 + ... + g 0...01Д..011-11/>...0 х'х1-1 + ... + g0...01;0...01у11+10...0х'х1+1 + ... + g0...01Д..01у0...01хухт .

Из полученных равенств вытекает справедливость (15).

Теорема 3.

1. Пусть {р'^}, 1=1 т - набор из линейных функций вида

р''] = р^'1 + р10..0 х1 + р^'/0...0 х2 + ... + р0';.01 хт (17)

и выполняются следующие условия:

1) для произвольных попарно неравных ',1,к е {1;...;т}

rk _ k ,i__1 k ,i

f 0...01Д..0 = p0...0 2 p0...010...0

rk _ 1 k,i _ 1 i,k _ /л

f 0...02Д..0 = 2 Р0...01Д..0 = 2 Р0...01Д..0 = 0 .

Отсюда вытекает

fk _ w _ w

f 0...01Д..01Д..0 = f 0...0^0...0^0...0 = f 0...10...0Ц0...0 '

2) для произвольных неравных

1,1 е {1;...;т}

р0:!010...0 = р<0^.010...0 =0; р" =0. (19) Тогда можно построить такой набор полиномов

{/к}к=1,..т из FP2¿[xl,..., хт] , что

V',к е{1;...;т}:(Ае/к) = р', (20)

и такой полином g е ¥р;3|[х1,...,хт], что

V' е{1;...;т} : Аеg = /'. (21)

./0...010...0 = •/0...01*0...0 .

Заметим, что построенный набор {/к }к=1.. т удовлетворяет условиям из теоремы 2. Поэтому, используя (16), можно построить такой полином g

из [х1,..., хт ], что выполняется условие (21).

2. Из теорем 1, 2 вытекает (18). Докажем справедливость утверждения (19). Рассмотрим Ае. (А g). Покажем, что в Ае, (А g) невозможно

содержание ненулевых мономов. В полиноме g каждый моном содержит переменную х' в первой или нулевой степени. Так как производная (Ае /)

от полинома / е ¥Рг) [х1,..., хт ] совпадает с частной

производной по переменной х1, полином Ае (Ае. g)

тождественно равен нулю. Рассмотрим Ае (Ае g) и

покажем, что в нём не может содержаться ненулевого коэффициента перед переменной х' . Если

р^'ш-о о ненулевой, значит, в исходной функции присутствует моном третьей степени, содержащий множители х'2 и х 1 . Но по определению

¥р;3)[х1,...,хт] мы получаем противоречие, так как ни в один моном полинома g не входит переменная в степени выше первой.

В теоремах 1, 2 полиномы по наборам производных восстанавливаются неоднозначно. Аналогично полином g в первой части теоремы 3 по набору ф-Кт = тоже определяется неоднозначно. Линейная часть ^ +< х, ^^ > этого полинома (11)

определяется произвольным образом.

В [6] на основе модификации декодера Сидель-никова - Першакова разработан декодер мягких решений для кодов Рида - Маллера второго порядка над полем Е3, где применяются производные по

направлению для полиномов над Е3. Полученные в настоящей работе результаты предполагается применить для оптимизации этого декодера.

Литература

1. Логачёв О.А., Сальников А.А., Ященко В.В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М., 2004. 469 с.

2. Бохманн Д., Постхоф X Двоичные динамические системы. М., 1986. 400 с.

3. Абросимов А.С. Свойства бент-функций д-знач-ной логики над конечными полями // Дискретная математика. 1994. Т. 6, вып. 3. С. 50 - 60.

4. Логачёв О.А., Сальников А.А., Ященко В.В. Бент-функции на конечной абелевой группе // Дискретная математика. 1994. Т. 9, вып. 4. С. 3 - 20.

5. Сидельников В.М., Першаков А.С. Декодирование кодов Рида - Маллера при большом числе ошибок // Проблемы передачи информации. 1992. Т. 28, № 3. С. 80 - 94.

6. Деундяк В.М., Могилевская Н.С. Модель троичного канала передачи данных с использованием декодера мягких решений кодов Рида - Маллера второго порядка // Изв. вузов. Сев.-кавк. регион. Техн. науки. 2015. № 1. С. 3 - 10.

7. Кнутова А.В. Об интегрируемости систем полиномов над полями Галуа // Молодёжный форум:

технические и математические науки : сб. науч. тр. по материалам междунар. молодёжной науч.-практ. конф., 9-12 ноября 2015. Воронеж, 2015. С. 289 -292.

References

1. Logachev O.A., Sal'nikov A.A., Yashchenko V.V.

Bulevy funktsii v teorii kodirovaniya i kriptologii [Boolean functions in coding theory and cryptology]. Moscow, 2004, 469 p.

2. Bokhmann D., Postkhof Kh. Dvoichnye dinamicheskie sistemy [Binary dynamic systems]. Moscow, 1986, 400 p.

3. Abrosimov A.S. Svoistva bent-funktsii q-znachnoi logiki nad konechnymi polyami [Properties of bent functions q-valued logic over finite fields]. Diskretnaya matematika, 1994, vol. 6, no 3, pp. 50-60.

4. Logachev O.A., Sal'nikov A.A., Yashchenko V.V. Bent-funktsii na konechnoi abelevoi gruppe [Bent functions on a finite Abelian group]. Diskretnaya matematika, 1994, vol. 9, no. 4, pp. 3-20.

5. Sidel'nikov V.M., Pershakov A.S. Dekodirovanie kodov Rida - Mallera pri bol'shom chisle oshibok [Decoding of Reed - Muller codes with a large number of errors]. Problemy peredachi informatsii, 1992, vol. 28, no 3, pp. 80-94.

6. Deundyak V.M., Mogilevskaya N.S. Model' troichnogo kanala peredachi dannykh s ispol'zovaniem dekodera myagkikh reshenii kodov Rida - Mallera vtorogo poryadka [Model ternary data channel using the decoder soft decision Reed - Muller second order]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki, 2015, no 1, pp. 310.

7. Knutova A.V. [On the integrability of systems of polynomials over Galois fields]. Molodezhnyi forum: tekhnicheskie i matematicheskie nauki [Youth Forum: technical and mathematical sciences]. Sat. scientific. tr. Materials Intern. youth scient.-pract. conf., November 912, 2015. Voronezh, 2015, pp. 289-292.

Поступила в редакцию_25 марта 2016 г.