CC BY
41
Ясно, что 11 = 1, 12 = —2kn/\п. В силу леммы 2.3 имеем
2 „4
1з < 1 +
2^2 S2N n 1 — n4
Тогда
(1 — x)a(1+ x)e{<;N(x)}2 dx <
-1
C(a,e)SNn3 n4 , .24 /О OA
—7—дЛ2 3 + i-о N2 4 <c(a,e,a,b, ^2)Snn. (3.3)
1+ c(a,f3)SN n3 1 — 2ш2 S2n n4
Из неравенства (3.3), используя теорему 7.71.1 работы [5], легко получить утверждение теоремы 3.1. □
Сопоставляя (3.1), (3.2) с (1.2), приходим к следующему утверждению.
(1-ь
Теорема 3.2. Пусть а и в — целые неотрицательные числа, Ь > 0, 0 < а < (Т- ] ,
— 1
1 < п < а5м2, —1 < х < 1. Тогда существует постоянная с(а, в, а,Ь) > 0 такая, что
(x) | < с(а, в, a, b) (Snn5/2 + 1)
V1 — x +
-a-1/2
V1 + x +
-0-1/2
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00143-а).
В заключение выражаю благодарность моему научному руководителю И. И. Шарапудинову за поставленную задачу, а также за ряд полезных замечаний.
Библиографический список
1. Шарапудинов, И. И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам / И.И. Шарапудинов. - Махачкала: ДНЦ, 2004. - 276 с.
2. Даугавет, И. К. О некоторых неравенствах для алгебраических многочленов / И. К. Даугавет, С. З. Ра-фальсон // Вестн. Ленинград. ун-та. - 1974. - № 19. -С. 18-24.
3. Нурмагомедов, А. А. Об асимптотике многочленов,
ортогональных на произвольных сетках / А. А. Нурмагомедов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. - 2008. - Т. 8,
вып. 1. Сер. Математика. Механика. Информатика. -С. 25-31.
4. Нурмагомедов, А. А. Асимптотика многочленов
ортогональных на произвольных сетках / А. А. Нурмагомедов // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию: Сб. докл. VI Междунар. конф. «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования». - Владикавказ, 2008. - С. 200-211.
5. Сеге, Г. Ортогональные многочлены / Г. Сеге. - М.: Физматгиз, 1962. - 500 с.
УДК 517.54
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ЧАСТНОГО ВИДА УРАВНЕНИЯ ЛЕВНЕРА
Д.В. Прохоров, А.М. Захаров
Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]
Приводится решение в квадратурах частного случая уравнения Левнера для полуплоскости.
Ключевые слова: уравнение Левнера, интегрируемость, сингулярное решение.
Integrability of a Partial Case of the Lowner Equation
D.V. Prokhorov, A.M. Zakharov
Saratov State University, Chair of Mathematical Analysis E-mail: [email protected]
We give a quadrature solution to the partial case of the Lowner equation for the upper half-plane.
Key words: the Lowner equation, integrability, singular solution.
1
1
1
n
n
© Д.В.Прохоров, А.М. Захаров, 2010
19
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2
ВВЕДЕНИЕ
Обыкновенное дифференциальное уравнение Левнера задает однопараметрическое семейство конформных отображений канонических областей в себя и служит мощным инструментом исследования свойств однолистных функций. Впервые оно появилось в работе [1] Карла Левнера и относилось к функциям, определенным в единичном круге О. Уравнение содержит произвольную измеримую функцию, которая играет роль управления. В общем случае уравнение Левнера не интегрируется в квадратурах, однако при выборе частных видов управления оно допускает выделение семейств интегралов. Примеры частных случаев интегрирования уравнения Левнера можно найти в монографии И. А. Александрова [2, с.43-49].
Позднее в новых версиях уравнения Левнера рассматривались другие канонические области: полуплоскость, полоса, кольцо. Наибольшее внимание в последние годы уделяется «радиальному» уравнению для О и «хордовому» уравнению для верхней полуплоскости Н, которое станет центральной темой в настоящей статье.
Предположим, что все точки простой кривой 7 = 7(£), £ > 0, расположены в верхней полуплоскости Н = {г : 1т г > 0}, за исключением начальной точки 7(0), находящейся на вещественной оси К = дН. Существует единственное конформное отображение т = /(г, £), которое отображает область Н \ 7[0, £] на Н так, что в окрестности бесконечно удаленной точки /(г, £) имеет место разложение
/ (г,£)= г + *> + 0(±)
Поскольку с(£) непрерывно возрастает с ростом £, параметризацию кривой 7(£) можно выбрать так, что с(£) = 2£. Таким образом, будем считать, что в окрестности бесконечно удаленной точки
/(*,*)= г + 2£ + ■ (!)
Конформные отображения /(г, £) удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению Левнера:
/(г,£) 2
^ /(г, £) - А(£)'
/(г, 0)= г. (2)
Непрерывная вещественная функция А(£) служит управлением в уравнении Левнера и является образом точки 7(£) при отображении /(г,£).
Обратно, дифференциальное уравнение Левнера (2) имеет решение при произвольном выборе непрерывной вещественной функции А(£). Для каждого значения £ > 0 решение т = /(г, £) отображает связное подмножество верхней полуплоскости Н на Н.
Кагер, Ниенуис и Каданов [3] нашли точные решения уравнения (2) в нескольких случаях выбора управления: А(£) = С£в и А(£) = С(1 — £)в, где в = 0,1/2,1. Заметим, что случай А(£) = соответствует примеру Куфарева [4], который в авторской версии относился к уравнению Левнера для О и долгое время оставался уникальным примером отображения О не на круг с разрезом, а на круг без круговой луночки с ортогональным пересечением граничных окружностей.
В настоящей статье предлагается еще один случай выделения точных решений уравнения (2) в квадратурах для управляющих функций вида А(£) = Сек* + Ь. Интегрируемость уравнения (2) инвариантна относительно некоторых преобразований, в которых замена параметров в управлении означает простые геометрические изменения кривой 7(£). Так, переход от А(£) к А(£) + Ь компенсируется переходом от решения /(г, £) к решению /(г — Ь, £) + Ь, что ведет к сдвигу кривой 7(£) на вектор Ь. Если зафиксировать значение 7(0), положив, например, 7(0) = 0, то управление А(£) должно быть нормировано условием А(0) = 0. Замена времени £ ^ а2£ компенсируется изменением масштаба и функций А(£) ^ (1/а)А(а2£), /(г,£) ^ (1/а)/(аг,а2£), удовлетворяющих уравнению (2). Таким образом, не умаляя общности, будем рассматривать управляющую функцию в виде
А(£) = С (е* — 1). (3)
Для формулировки основного результата введем обозначения. Положим
г С ( х2 \ ^ ^2п+1
) = / ехр ^ Их = V —2---, С е С,
^ I, / ^4п(2п + 1)п!
' п=0 4 '
'0
и для C е R
^(ш, г, *) = С № + С) - + С)) + ехр - ехр +С^ - ^ . (4)
Уравнение
^ (ш,г,*) = 0 (5)
порождает неявную функцию
ш = / (г,*), / (г, 0) = г. (6)
Основной результат статьи содержится в следующей теореме.
Теорема 1. Неявная функция (6), порождаемая уравнением (5), является решением дифференциального уравнения Левнера (2) с управляющей функцией (3).
1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Запишем уравнение (2) с управляющей функцией (3)
(/ - С (в* - 1)) / = 2
Положим т = в-* и придем к линейному дифференциальному уравнению:
(С - т(/ + С)) / = 2 ¿т. (7)
В оригинальном истолковании уравнения Левнера (2) временной параметр * принимает вещественные значения, тогда как /(г,*) е С. Поскольку правая часть уравнения (2) локально аналитична относительно / и * вдоль траектории * ^ /(г,*), интеграл /(г,*) уравнения (2) аналитически зависит от * и поэтому может быть аналитически продолжен в окрестность отрезка [0, Т] с К существования решения.
Интеграл линейного дифференциального уравнения (7) имеет вид
С [' „ ((/ + С)2\ .., „Л / (/ + С)
т = 1 _ ; ехр ((/ + S1) f + С exp (-, C е R,
или
в- = С(/ + С)+ С') ехр (-Ш^) .
Начальное условие /(г, 0) = 0 дает значение
( (г + С )2 \ С ^
С' = ехр ^ ) - -+ С).
Подставляя значение С' в (8), получим решение уравнения (2) в неявном виде (/ + С )2 Л . ((г + С )2
(8)
exp у - Л = - (Gf + C) - G(z + C)) + exp
4 2 4
что эквивалентно уравнению (5) с ш = / и функцией ^ из (4). Условие невырожденности
^ (ш,г,*)=0 (9)
равносильно невырожденности правой части уравнения (2) с управляющей функцией (3). Следовательно, условие (9) выполняется вдоль всякого регулярного решения уравнения (2) на отрезке [0, Т] его существования. Это условие вместе с условием ^(г, г, 0) = 0 гарантирует локальное существование неявной функции (6), порожденной уравнением (5), которое продолжимо вдоль всего отрезка [0, Т], что заканчивает доказательство теоремы 1.
__Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 2
2. СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЛЕВНЕРА
Известно (см., например, [2, с. 59]), что если управляющая функция в классическом уравнении Левнера непрерывно дифференцируема, то решение этого уравнения является отображением круга О на круг с разрезом по непрерывно дифференцируемой кривой. Маршалл и Роде [5] значительно усилили этот результат. Именно, они показали, что если управляющая функция А(*) принадлежит классу Липшица Ыр1/2 с показателем 1/2 и ЦАЦ1/2 < Со с некоторым Со, то решение уравнения Левнера отображает О на О с разрезом по квазиконформной кривой. Обратно, если решение уравнения Левнера отображает О на О с разрезом по квазиконформной кривой, то управляющая функция А(*) принадлежит классу Ыр1/2.
Подобные результаты очевидным образом переносятся на случай отображения полуплоскости Н на полуплоскость с разрезом. Ограничение Маршалла и Роде на норму сохраняется в виде ЦАЦ^ < Си. Линд [6] нашла неулучшаемое значение Си = 4. Прохоров и Васильев [7] доказали совпадение неулучшаемых значений Си = Со = 4. Обратим внимание на то, что различие в достаточном и необходимом условиях Маршалла и Роде состоит в присутствии или отсутствии ограничения на липшицеву норму управления. Существенность такого различия можно усмотреть, например, в выборе управления СлД, в [3], с произвольным С. Решение уравнения (2) с такими управлениями отображает Н с разрезом по прямой I на Н. Наклон прямой I к вещественной оси зависит от С, он равен п/2 для С = 0 и монотонно стремится к 0 при |С| ^ го. Маршалл и Роде [5] дополнительно заметили, что в их достаточном условии ограничение на липшицеву норму управления можно заменить на более слабое условие
|А(*) - А(*)| _ 1п£ Бир < Со.
£>° |^|<е VI* - 5|
Таким образом, согласно [2] и [5] функция ш = /(г,*) в теореме 1 осуществляет конформное отображение Н \7(*) на Н, где 7(*) — гладкая кривая, которая не касается вещественной оси. Функция / непрерывно продолжается на границу д(Н \ 7(*)) = 7(*) и К.
Решение /(г,*) уравнения (2) существует в окрестности всякой точки *, для которой знаменатель в правой части уравнения не обращается в нуль. Вырождение знаменателя может произойти, если точка г е Н принадлежит кривой 7. Если, например, г = 7(Т), Т > 0, то решение /(г, *) продолжается на интервал (0, Т), вплоть до сингулярной точки Т. Для * > Т существуют два сингулярных решения: возрастающее /*) и убывающее /-(г,*), которые принимают вещественные значения.
Опишем подробнее свойства кривой 7(*). Связь между кривой и управлением в уравнении Левнера выражается соотношениями
А(*) = / (7 (*),*), 7 (*) = /-1 (А(*),*), (10)
которые в [3] называются линией сингулярности, поскольку обращают в тождественный нуль знаменатель дроби в правой части уравнения (2). Подставим соотношения (10) с управлением А из (3) в уравнение (5) и получим равенство
ехр (^^ - Л = С(£(Се*) - С(7 + С)) + ехр(^7 + СИ . (11)
4 2 4
Уравнение (11), записанное в виде Н(7,*) = 0, Н(0, 0) = 0, удовлетворяет условию
Н7 (7,*)= 7 ехр((7 +4С^ =0, *> 0,
и поэтому определяет неявную функцию 7 = 7(*).
Функцию 7(*) можно выразить и другим способом. Продифференцируем уравнение (11) по *, считая 7 = 7(*), * > 0, и получим дифференциальное уравнение:
ехр (<1^) 7У = -2ехр (^ - (12)
с разделяющимися переменными. Его интегрирование не представляет труда. Для формулировки результата введем обозначения
) = IZ exp(iZ+C2) CdC,
о С ( C2e2t V ^(t) = -2 J exp í —--t) dt.
Заметим, что функции ^ и ф выражаются через элементарные функции только при C = О. Мы доказали следующую теорему.
Теорема 2. Решение w = f (z, t) уравнения (2) с управлением (3) отображает H \ y (t) на H, где
Y (t) = о ф^), t> О.
При C = О теорема 2 выражает тривиальный факт об отображении верхней полуплоскости с разрезом по отрезку на мнимой оси на верхнюю полуплоскость.
Следующее утверждение мгновенно следует как из теоремы 2, так и из уравнения (11). Следствие 3. Кривая y (t) теоремы 2 является аналитической во всех точках, кроме начальной точки y (О) = О.
Уравнение (12) позволяет показать, что кривая Y(t) ортогональна к вещественной оси. Действительно, подставим в уравнение (12) t = О, y (О) = О и получим, что
(Y2)' = -4.
Следовательно, кривая Y2(t) касается вещественной оси в точке z = О, причем касательный вектор равен (-4). Значит, касательный вектор к кривой y (t) в точке z = О является чисто мнимым. Следствие 4. Кривая y (t) теоремы 2 ортогональна к вещественной оси.
В заключение опишем возможность дальнейшего продолжения функции f (z, t), которая отображает кривую y (t) на отрезок I (t) вещественной оси. По принципу симметрии f (z, t) продолжается в нижнюю полуплоскость, разрезанную по отражению Y (t) кривой y (t) относительно вещественной оси. Такая функция отображает C \ (Y(t) U Y (t)) на C \ I (t). Кривые y (t) и Y (t) аналитичны, за исключением точки z = О, в которой обе кривые имеют общий касательный вектор. Таким образом, функция f(z, t) аналитически продолжается на обе кривые и является аналитической во всей комплексной плоскости, за исключением трех точек z = y (t), z = Y (t) и z = О. Более того, в окрестностях точек z = y (t) и z = Y (t) функция f (z, t) разлагается в ряд по степеням (z — y (t))1/2 и (z — Y(t))1/2.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00120) гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-4383.2010.1).
Библиографический список
1. Lowner, K. Untersuchungen über schlichte konforme Б. Marshall, D. The Lowner differential equation and slit Abbildungen des Einheitskreises. I I K. Lowner II Math. mappings I D. Marshall, S. Rohde II J. Amer. Math. Soc. Ann. - 1923. - V. 89, № 1-2. - P. 103-121. - 200Б. - V. 18, № 4. - P. 763-778.
2. Александров, И. А. Параметрические продолжения в
, 6. Lina, J. A sharp condition for the Lowner equation to
теории однолистных функций I И. А. Александров. M.: , , т т. , ,, » » . 0 . „ ..
generate slits I J. Lind II Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. -
Наука, 1976. 2005. - V. 30, № 1. - P. 143-158.
3. Kager, W. Exact solutions for Loewner evolutions I
W. Kager, B. Nienhuis, L.P. Kadanoff II J. Statist. Phys. 7. Prokhorov, D. Singular and tangent slit solutions to the
- 2004. V. 115, № 3-4. - P. 805-822. Lowner equation I D. Prokhorov, A. Vasil'ev II Analysis
4. Куфарев, П.П. Одно замечание об уравнении and Mathematical Physics. Trends in Mathematics I Ed. Левнера I П.П. Куфарев II Докл. АН СССР. - 1947. - B. Gustafsson, A. Vasil'ev. - Basel: Birkhauser, 2009. -V. 57. - P. 751-754. P. 451-459.
