Левнеровские семейства отображений полуплоскости на области с симметрией переноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

№ 284

УДК 547.54

Декабрь

МАТЕМАТИКА

2004

И.А. Александров, Л. С. Копанева

ЛЕВНЕРОВСКИЕ СЕМЕЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ НА ОБЛАСТИ С СИММЕТРИЕЙ ПЕРЕНОСА

Дано интегральное представление семейства отображений верхней полуплоскости на области с симметрией переноса и указаны семейства областей Левнера, сходящиеся к рассмотренным

Дано интегральное представление семейства отображений верхней полуплоскости на области с симметрией переноса и указаны семейства областей Левнера, сходящиеся к рассмотренным областям.

В [1] показано, что конформное однолистное отображение ю: П+ ^ C верхней полуплоскости П+ комплексной z-плоскости на область Dt, представляющую собой верхнюю полуплоскость с исключенными идущими из бесконечности конгруэнтными попарно непе-ресекающимися простыми дугами переменной длины и с симметрией переноса на 2л, удовлетворяет дифференциальному уравнению

ёю к(т)- ю „ 0

--- = Ctg------ П

ёт

= ctg"v~l ~~,0 < т < т <да

2

(1)

номерно сходится внутри П+ к однолистной относительно e'z функции.

Отображение ю(т, z) = — ' ln Z (т, e'z) однолистно относительно e", z еИ+, и обладает симметрией переноса вдоль вещественной оси на 2п: ю (т, z + 2п) = ю (т, z) + 2п .

Пусть f (т,z)= ю(т,z)-'т. Переходя в формуле f (т,z) = = —' ln(e хЦт, e')) к пределу при т^да, получим lim f (т, z) =

т^да

= f(z) = —' ln q(e'z), где функция q(o) = lim eТ^(т, ю),

Т^да

Ю < 1, однолистна в единичном круге. Теорема доказана.

Решение уравнения (2) при рассматриваемом начальном условии удовлетворяет условию (см., напри-

с начальным условием ю (0,z) = z, z єП+ . Здесь к(т) - мер, [4]) lim e lz(t,e,z)= e \ z = x + iy, в силу которого

прообраз конца разреза, определенным образом пара- I - \ < < \ \

limln(e ize“)=- т или, что то же самое, lim((z)-z) = 0.

метризованного; Іт і(т) = 0 и со (т, г + 2п) = со (т, г) + 2п .

Следующую теорему можно рассматривать как обратную к указанному предложению. Она сформулирована в [2] (теорема 13), но не была сопровождена доказательством.

Теорема 1. Пусть отображение 1: [0, да)^- Я, 1 = 1 (т),

у^да у^да

Теперь легко находим, что lim (f (z) — z) = 0.

у^да ^ '

Множество функций fz), полученных согласно теореме 1, плотно в классе Х2п, т.е. в классе всех голоморфных однолистных в верхней полуплоскости отобра-

непрерывно. Тогда со(х, z), где со(х z) есть решение жений /: П+ ^ С, удовлетворяющих условиям /П+),

дифференциального уравнения (1) с начальным условием со(0, z) = z, z = х + 1у е П+, конформно и однолистно в П+ и, кроме того, таковым же является отображение / () = Иш(ю (т, z) - iz).

Доказательство. Проведем в уравнении (1) замены

Л i—\ ik (tL ію

k (т)-ю .e f + e 2 =l =

Q=em, д(т)=еЛ(т). Поскольку ctg =Ц (т) + С

eiX (т)- e‘°

есть односвязная область с симметрией переноса вдоль вещественной оси типа полуплоскости, f (z + 2kn) =

= f (z)+ 2kn, k e Z, и lim (f (z) — z) = 0.

Im\ '

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) при ^(т) = ат . С помощью замены ат — ю = 2и оно сводится

z

du a - ctg и

к уравнению — =----------------, и

dT 2

(о)= - — . Решение этого

= i

то уравнение (1) примет вид

dZ=- z ^(т)+z

dT ц(т)- Z ,

(2)

дифференциального уравнения неявно определяется

ctz ( . z

— - ln І - sin—

2 І 2

равенством

аи + ln (а sin и - cos и) + )--ln | - sin-^- -

где | ^(т) | = 1, 0 < т < да . Начальное условие запишется в виде ^(0, z)= в‘г, z еП+, показывающем, что точка ^(0, z) = е'уе'х принадлежит единичному кругу. В [3]

(теорема 5) к исследованию разрешимости этой задачи Коши применен метод последовательных приближений, аналогичный методу Пикара, и установлено существование на 0 < т < да единственного решения задачи. Оно голоморфно в П+, однолистно отображает каждую вертикальную полосу шириной 2п, лежащую в П+, в единичный круг, а семейство функций еТ^(т, е,г) рав-

. z z

- | - а sin— - cos „ 2 2

zY) =(l + а2 )т

2

. Выполняя предель-

ный переход при т^да, получим отображение f (z) =

az 1 , • \ 2,1 - ia

=---------ln(1 + sinz)+----ln—-—. При a = 1 отсю-

a + i a + i v ’ a + i 2

1

да получаем отображение /(z) = -^= е 4 [ - 1п(1 + sinz)] -

■V 2

--^= е 4^ 1п2 +1у) верхней полуплоскости на пло-

кость с разрезами по параллельным лучам под углом -(п/4) к вещественной оси (рис. 1).

Применим теорему 1 к задаче об интегральном представлении подклассов класса Х2п. С этой целью проинтегрируем уравнение (1) для некоторого семейства функций Х(т).

i'(o)= г . Так как ctg

ние можно представить в виде

dw dx

5 - ßx'+ і

= (s-ßx')-

то уравне-

(3)

Гпе е‘ф = -___lv- 1 * eiax х' = —

ГДе e 5 - Рх' - ie ’ Х dT •

Подчиним функцию х(т) условию: е'ф = у = const . Найдем х(т), х(0) = 0, проинтегрировав уравнение

Вх' — 8 — i

—-—е“х = у. Сделаем в нем замену е“х = п, п(0) = 1.

Рх — 8+i

Получим П' + 2ОТГ| =у,п'= dn, где m = 5(1 + i8), 5 =^т• П — 2mn dx 2р

2п /

Рх ' - 8 + / =—-—. Заменим в нем переменную w на £

по формуле С = ^ Получим (^l1-Zy)^-Z)),

£ (0) = е'г. Перейдем от переменной т к П, воспользо-

п - У

вавшись формулой dт = - ^ 1 ( +—) dr . Получим урав-

нение

df

Заменим в

В уравнении (1) управляющую функцию Х(х) зададим в виде Х(т) = — 5т + (а + ß) х(т), 0 < т < да, где 5 -вещественная постоянная, а и ß - положительные числа, х(т) - вещественная функция, обращающаяся в нуль при т = 0, которая будет выбрана далее. Перейдем в уравнении (1) от переменной ю к w по формуле ю = — 5т+

dw , ах — w

+ ßх(т)+w. Получим уравнение —— 5 + ßx = ctg—-—,

dт 2

С(у-С) . |

dr _ (п + еу) ("Г - С) п = нем г на V по формуле V = 1/(п + еу) и поменяем ролями переменные ^ и V. В результате получим линейное относительно V уравнение

dv = _ (еу + <^) _ | = 1

^с=- (у-ОС v + ССГС) v 1 с=е* = Т+еу.

Решим его. Соответствующее однородное уравне-

dv _ (еу + <^)

^ = '

ние

■(-С)

■ = с

-V имеет общее решение v =

= с (y-Z)(1+s) * = с (y-Zf

содержащее произволь-

с е_ С _

ную постоянную С. Заменяя ее функцией С (0, получим для этой функции методом вариации уравнение

(у - ^)2^ dC = _

С * dZ

. Его общее решение имеет вид

с = * j

_Z u* - 1

(у- и у

-du + D, D = const, а общим решением

рассматриваемого неоднородного уравнения будет

(у-сГ

Z m

■j

(- u )2

-du + D

Постоянную D находим из условия v (e‘z) = j-1—:

D =-

(1 + ey)(y- e‘2 )2s Таким образом, для co(x, г) имеем уравнение

Уравнение преобразуется к виду —-А—-—^п = -2mdт,

Г (Г + еУ)

Г(0) = 1, где е = _ = 1 +^. Исключим из рассмотре-

_ 1 -/5

ния случай, когда еу = - 1.

В результате интегрирования уравнения имеем (1 + е)1п(п + еу) - е 1п г + 2_т =

= (1 + е)1п(1 + еу), 1п1 = 0. (4)

Это уравнение неявно задает функцию х(т) = —~ 1п Г (т).

Т л + _ л + _ 25 2 _ 1 -/5

Так как 1 + е = 1 +-= — = -—- е = -—- то после

_ _ 1 + /5 1 + /5

умножения левой и правой частей уравнения (4) на

1+/ 5 получим формулу 21п (п + еу) - (1 - / 5) 1п п +

+ 25 (1 + 52)т = 21п (1 + еу), показывающую, что ее левая часть имеет предел при т ^ да равный 21п(1+еу) и что п(т) ^ - еу при т ^ да.

При сделанном выборе функции х(т) уравнение (3)

dw 2п / (у- е') (0)

примет вид —— = - 1---------'г, ' (0)= z , поскольку

л (п - У)т1- е" )

1 Z * —f um-1

V + еу (у-u)2

■=* j

(У- u )2

-du +

(5)

(+еу)(у- е )2

в котором ^ = е', ' = ю + 5т - Рх(т), 5 = ^2р, _ = =(1+/5), е = (1+/5) / (1 - /5), у = е1ф.

Преобразуем правую часть уравнения (5). Воспользовавшись легко проверяемым равенством /_/(у-/)2 =

_'гм_-1(еу + и) ,

= _ \—— Ч2д+1 du , получаем

(у - u )2

j

1 (єу + u )

du .

(у-е*) "*5х+у^ 0 (у-и)2

При нахождении нижнего предела интеграла учте-

л i_z /5(1 + /5) (х + /у) -5(5х + у) /5(х - 5у)

но, что е = е = е е и, следова-

тельно, етz^ 0 при 5х+у ^ да. Правая часть уравнения (5) представляется в виде суммы интегралов

1-1 (еу + u )

u*-1 j / \2;

giz (У- u )

*

-du +

*

1 + єу

j

5*+

(У- u )2

-du ,

іах iw

Є к - e

e ' - Є

Є

Є

Є

*

Є

u

которая после предельного перехода при Z ^ 0 прини-

мает значение m

1

и щ

-du .

5х+у^да (1 + еу)('у- и )

Обратимся к левой части уравнения (5), обозначив через и ее логарифм. Имеем

С _

U = ln

( )( г) =imw -ln (v + ^)-25ln (y-Z) =

(v + ^)(-У

= - im ( + 5x) - imPx - ln (v + єу) - 2s ln (y - Z) =

= m\i (cd - іт) - 25ln(Y - Z)- (1 - i'5)r - mln (v + ^ - }

В соответствии с теоремой 1 существует функция f (z) є Х2я такая, что

lim

т^ад

i(co - іт) - — ln(Y - С)

= if (z)- —lnY .

m

Найдем lim

(l - i 5)t + -1- ln (v + єY) + i Px

= H. Из (4)

следует, что (і -і5)т + —— 1п (у + ЄY) + ф% = — 1п V +

+ — 1п (у + ЄY) и поэтому Н = —1п (-єY) + — 1п (і + ЄY). т т т

Теперь имеем

1іт^ = т І і/(г)-—1п Y | - 1п (-єY)- 1п (і + ЄY) =

т^го І т І

= ті/ (г)- (2^ + і)1п Y - 1п (-1) - 1п (і + ЄY)- 1п т + 1п т.

В результате выполненных предельных переходов в уравнении (5) при т^да получаем

і і те-іп (-і)= т 1 ит-1 (і - и),

[ef Yz)]”

Y2s+1 1+ ЄY m

1

и окончательно

[eif Yz >]”

u

= m 1 / _ V

5x+у^ад (1 Уи )

5x+ у^ад (l Уи )

m-1 (1 - и )

-du

2s+1

dи .

функция f (z )= -i ln

и

1 (1 - и )

m 1 / - V

5x+у^ад Y - yu )

du

одноли-

стно и конформно отображает верхнюю полуплоскость {z: Im z > 0} на область с симметрией переноса вдоль

вещественной оси на 2п.

В частности, при 5 = 0, s = 1, y = 1 получаем отображение f (z) = -2 + iln sin -2 + -2 + iln 2 полуплоскости П+

на плоскость с исключенными замкнутыми областями

Dk = D + 2кп, к є Z, где

dD = {w є С :2w = t + iln (1 - cos t) + n + iln 2, - 2n < t < 0} (рис. 2).

Рис. 2

В работе [1] в случае, если Х(х) = Х0 = const, из дифференциального уравнения (1) получено отображение

f (z) = Х0 + 2 i ln | 2 cos 2——

2

полуплоскости П+ на пло

скость с разрезами lk = l + 2kn, к є Z , l = {w є С: -ад < < Im w < 2 ln 2, Re w = X0} (рис. 3).

Сформулируем полученный результат в виде теоремы. Теорема 2. Пусть а и р - положительные числа, 5 - вещественная постоянная, 5 = а / 2р, т = 5(і+і5), у, | Y I = і, -комплексная постоянная, Y ^ (і- і5) / (і+ і5). Тогда

Рис. 3

Это отображение связанно с известным отображением Лобачевского [5].

ЛИТЕРАТУРА.

1. Копанева Л.С. Параметрические представления отображений с симметрией переноса // Исследования по математическому анализу и алгебры. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. С. 135-144.

2. Копанева Л.С. Геометрические и экстремальные задачи для отображений с симметрией переноса // Кандидатская диссертация, Томск, 2003. 85 с.

3. Сыркашев А.Н. О вариационном и параметрическом методах в теории однолистных функций // Вестник ТГУ, № 280, 2003. С. 86-96.

4. АлександровИ.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

5. Лобачевский Н.И. Полн. собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1951. Т. 3.

Статья представлена кафедрой математического анализа и лабораторией математического анализа научно-исследовательской части Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 28 октября 2004 г.

m