CC BY
4
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 2 (2021). С. 104-111.
УДК 517.925
ИНТЕГРИРУЕМОЕ УРАВНЕНИЕ АБЕЛЯ И АСИМПТОТИКИ СИММЕТРИЙНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ВРИЗА
Б.И. СУЛЕЙМАТТОВ. A.M. ШАВЛУКОВ
Аннотация. Представлено общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с рациональной правой частью, возникающего при построении асимптотик при больших значениях времени совместных решений уравнения Кортевега-де Вриза и стационарной части его высшей неавтономной симметрии. Эта симметрия определяется линейной комбинацией первой высшей автономной симметрии уравнения Кортевега-де Вриза и его классической симметрии Галилея. Данное общее решение зависит от произвольного параметра. По теореме о неявной функции оно локально находится из первого интеграла, явно выписанного в терминах гипергеометрических функций. Частный случай этого общего решения определяет автомодельные решения уравнений Уизема, найденные ранее Г.В. Потеминым в 1988 г. (В известных работах А.В. Гуревича и Л.П. Питаевского начала 70-х годов было установлено, что эти решения уравнений Уизема в главном порядке описывают возникновение незатухающих осциллирующих волн в широком ряде задач с малой дисперсией.) Результат статьи вновь подтверждает эмпирическое правило: из интегрируемых уравнений в результате различных предельных переходов могут получаться лишь в том или ином смысле интегрируемые уравнения. Выдвигается общая гипотеза: интегрируемые обыкновенные дифференциальные уравнения, подобные рассматриваемому в статье, должны возникать и при описании асимптотик при больших временах других симметрийных решений эволюционных уравнений, допускающих применение метода обратной задачи рассеяния.
Ключевые слова: интегрируемость, уравнение Абеля, уравнение Кортевега-де Вриза, асимптотика.
Mathematics Subject Classification: 34М55, 35Q53
1 ^р^д^лЬэЦНЩ рщр^хоДЫ р рщ^^ррр^ру!^/!УРАВНЕНИЯХ
Согласно хорошо известному эмпирическому закону, при описании асимптотик решений интегрируемых дифференциальных уравнений, в результате разумных предельных переходов, могут фигурировать решения только тоже интегрируемых уравнений (но часто в ином смысле, отличном от смысла интегрируемости допредельных уравнений).
Например, всевозможными континуальными пределами таких интегрируемых дифференциально - разностных уравнений, как цепочки Вольтерра
(Сга)^ = Сп(Сп+1 Сп-\)
и Тоды
(гп)и = -
могут быть лишь в том или ином смысле интегрируемые дифференциальные уравнения. То же касается континуальных пределов интегрируемых цепочек, дискретным по двум независимым переменным. Часть из этих предельных переходов в настоящее время обоснована математически строго [1].
B.I. Suleimanov, A.M. Shavlukov, Integrable Abel equation and asymptotics of symmetry solutions
of korteweg-de vries equation.
© Сулейманов В.И, Шавлуков A.M. 2021. Поступила 1 апреля 2021 г.
Замечание 1.1. В первую очередь известность научным достижениям Р.И. Ямилова принесли работы, посвященные различным аспектам интегрируемости такого вида цепочек уравнений. В его статьях [2] -[5] приводятся, в частности, и конкретные примеры переходов от, интегрируемых цепочек к их континуальным пределам.
Один из простейших примеров предельного перехода от одного интегрируемого уравнения к другому представляет переход от интегрируемого методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ) с малой дисперсией (е ^ 0)
I I £ иххх — 0,
к уравнению Хопфа
+ ии'х — 0,
общее решение которого локально задается формулой
х — Ы — Р (и).
Это же уравнение Хопфа является бездиссипативным пределом при е ^ 0 уравнения Бюргерса
и*
которое линеаризующей заменой Коула-Хопфа и — — 2е2Л'х/Л сводится к уравнению теплопроводности — е2Лхх.
Квазиклассическое приближение к решениям интегрируемого МОЗР нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с малой дисперсией
—гед[ — е2^х + 25\д\2д — 0 (е « 1) (1.1)
дает несколько более сложный пример подобного перехода: подстановка
д — //к ехр ^ г—^1
сводит (1.1) к системе двух вещественных эволюционных уравнений
I \2 пхи ,-2 хх
К + 2(к—'х )'х — 0, — + — )2 — 25 к — е
у/к '
бездисперсионный предел которой есть система
к[ + 2(к—'х)'х — 0, — + Ш2 — 25 к —0. (1.2)
После дифференцирования второго уравнения системы (1.2) по переменной х и замены V — 2—'х этот бездисперсионный предел принимает вид классической гидродинамической системы
к[ + (кь )'х — 0, 1/ + V у'х — 4 5 к'х — 0 рой преобразованием годографа
у(1, х),к(1, х) ^ 1(к, у),х(к, у) выражаются через решения линейной системы уравнений
х'н — у А + 45 ^, х[и — V ^ —
И весьма любопытная трансформация смысла интегрируемости происходит [6]-[9] при переходе к бездисперсионным пределам пространственно многомерных интегрируемых МОЗР уравнений типа, например, уравнения Кадомцева-Петвиашвили
д 112 т н
— (щ + иих + £ иххх) — иуу.
Интегрируемость [10] обобщенным методом годографа С.П. Царева [11], [12] гидродинамических уравнений Уизема, получающихся в результате усреднения интегрируемых МОЗР уравнений типа КдВ, НУШ и синус-Гордона, также является одним из подтверждений эмпирического закона, сформулированного в начале статьи.
Например, с помощью именно этого метода в сочетании с алгебро-геометрическим методом U.M. Кричевера [13] Г.В. Потеминым [14] были найдены в явном виде автомодельные решения уравнений Уизема, которые согласно известным результатам A.B. Гуревича и Л.П. Питаевского [15], [16] задают в главном порядке поведение при t ^ те универсального специального решения уравнения КдВ
u't + uu'x + uxxx = 0, (1.3)
i
с асимптотиками и = —х з + о(1) при х ± те.
Замечание 1.2. A.B. Гуревич и Л.П. Питаевский в [16] высказывали мнение, что система ОДУ, определяющая эти автомодельные решения уравнений Уизема, не может быть решена явно.
Интегрируемые методом изомонодромных деформаций [17] обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) типа Пенлеве, часто фигурирующие при описании асимптотик при больших временах интегрируемых МОЗР уравнений, также являются примерами подобных предельных уравнений.
Замечание 1.3. Среди многочисленных важных научных результатов A.B. Шабату принадлежит и следующий: при описании асимптотики при больших временах начальной задачи общего положения для уравнения КдВ (1.3) в [18] и в разделе 8.3 его докторской диссертации [19] им приведен первый пример подобного перехода.
Наряду с самими уравнениями Пенлеве в нелинейных задачах с малым параметром (в том числе тех, что описываются решениями интегрируемых уравнений) при описании различных резких переходных режимов универсальную роль играют и их высшие изомонодромные аналоги. Как сами уравнения Пенлеве, так и их высшие аналоги можно рассматривать в качестве своего рода нелинейных специальных функций волновых катастроф.
Общая теория таких нелинейных специальных функций, основы которой были заложены в работе A.B. Китаева [20] (одновременно и независимо один частный случай - высший аналог второго уравнения Пенлеве - рассматривался первым из авторов данной работы в [21]), на сегодняшний день активно развивается и находит многочисленные применения [22]—[50].
В частности, при описании в окрестности точки сборки решений бездисперсионных уравнений в главном по малому параметру е порядке используется универсальное специальное решение Гуревича-Питаевского уравнения КдВ (1.3), о котором шла речь в абзаце над Замечанием 1.2. А как было установлено в [24], [26], это специальное решение одновременно удовлетворяет ОДУ
tut 5иихх 5(их) 5(и tu + х) , ,
UXXXX + 3 ' g ' 18 = 0, (Д'4)
являющимся первым высшим представителем иерархии изомонодромных аналогов первого уравнения Пенлеве из упомянутой статьи A.B. Китаева [20].
Замечание 1.4. Это же [26], [37] решение ОДУ (1-4) возникает при описании континуальных пределов изомонодромных цепочек, которые в связи с задачам,и квантовой теории гравитации рассматривались в [51], [52].
В.Р. Кудашев в [28] отметил следующее: после дифференцирования (1.4) по х получается стационарная часть неавтономной высшей симметрии уравнения КдВ (1.3), определяемая линейной комбинацией стационарных частей его классической симметрии Галилея u'TG =1 — tu'x и его первой высшей автономной симметрии
/ = I //// , 5UXXU , 5(.Ux) , 5U 1 ("1 г\
= ^ ахххх + 3 + g + 18 I ■ v1-0/
^ X
Из симметрийного характера ОДУ (1.4) и результатов статьи [53] вид упомянутых выше решений Г.В. Потемина автомодельных решений уравнений Уизема выводится очень просто [24], [26], [28]. Вообще, в последнюю четверть века различные свойства решений ОДУ (1.4) (и главным образом, конечно, специального решения Гуревича-Питаевкого) с самых разных точек зрения рассматривались во множестве работ - см., например, [30], [32]—[35], [37], [39]—[42], [54].
2. Интегрируемое уравнение Кудашева
Асимптотика при £ ^ те универсального решения Гуревича-Питаевского вне зоны быстрых колебаний задается двумя корнями кубического уравнения сборки
и3 - Ы + х = 0, (2.1)
_ 3
а в области незатухающих колебаний зависит от медленной переменной г = х1 2, быстрой фазы
7
Ф = Г* ¡(г) + Ш (2.2)
и имеет вид
и = лД (уо(г, Ф) + г ы(г, Ф) + £ "2 У2(г, Ф) + ...). (2.3)
Это почти очевидным образом следует из вида
и = лДу(г) (2.4)
решений уравнений сборки (2.1) и вида линеаризаций на фоне (2.4) уравнения КдВ (1.3) и ОДУ (1.4).
В.Р. Кудашев в конце прошлого века попробовал, не обращаясь к методу усреднения Уизема, просто искать совместное асимптотическое решение вида (2.3) уравнений (1.3) и (1.4). При этом он обнаружил, что функция /(г), определяющая главный член быстрой фазы (2.2) формулой
7/(г) 3г
R(z) =
4 fz 2 '
связана с решением довольно простого ОДУ первого порядка
' _ 486R4 - 171R2 + 9 zR + 5 R = 9(54R3 - 9R + z)(2R + 3z)' ( }
которое, очевидно, эквивалентно уравнению Абеля второго рода
(486R4 - 171R2 + 5 + 9 Rz)z'R = 972R4 - 162R2 + (1458R3 - 225R) z + 27z2. (2.6)
Замечание 2.1. В терминах решений уравнения (2.5) нетрудно описать и решение более общего ОДУ
' = 486г4 - 171tг2 + 9хг + 5t2
Гх = 9(54г3 - 9tг + x)(2tr + 3х)' ^ ' '
В сам,ом, деле, при t = 0 ОДУ (2.7) сводится к ОДУ г'х = г/(3х) с общим решением г = с on s t-x 1. А при t = 0 решения ОДУ (2.5) и (2.7) связаны друг с другом растяжениями
1 _3
r(t,х)= tiR(z), z = xt 2.
В [37] выписаны формулы, по которым в случае специального решения Гуревича-Питаевского R( )
Г.В. Потемина [14]. (Сам В.Р. Кудашев эти формулы знал, но при жизни так и не опубликовал.)
Однако после вывода В.Р. Кудашевым уравнения (2.6) сразу же возник естественный вопрос: согласно изложенному в разделе 1 данной статьи эвристическому закону это уравнение, несомненно, должно быть интегрируемым. Но каким образом?
Ниже приводится ответ на этот вопрос, найденный в прошлом году с помощью системы компьютерной алгебры Maple.
Оказывается, уравнение Кудашева (2.6) обладает первым интегралом, который явно записывается в терминах гипергеометрических функций 2Fi(a, ft]J',y) = F(a, /3;j;y). Этот интеграл
т = 997920гVI5(F(-6, -1; f; Cl)(aib6 + b8) + 12789F(-^j;5;Cl)aiC2) * = i , C13(F(-6, 6; 4; C1)b7 + 77711400F(1, 6; f; ci)ai(b5 + b9))
где функции ai, bi, а задаются формулами:
а!(Д) = Я2 - 3, а*(Я) = Я4 - ^ + ^'йз(Е'г) = К3 - 2я + '
,6 55 о4 , 19 2 1 об 503 ы , 25 . 1
а4(Я) = Я - — Я + —Я - 6264(Я) = Я - +6396Я - 115128'
аб(Д) = Я2(3Я2 - 1), а7(Я) = -2665К6 + ^Я4 - -^Я2 + 5
1421 8526 17052 306936' ав(Я) = л/зК4 - К2, ад (Я) = Я2 - ^, аю(Я) = 660Я4 - 76Я2 + 1, ац(Я) = 1980Я6 - 888Я4 + 79Я2 - 1, &1(Я, г) = 2гл/Гбав( Я)(3 Я2 - 1) + 126 Я4 + 92 Я - 36 Я2,
&2(Я) = /21(31968Я6 - 8532Я4 + 324Я2 - 1) + ав(Я)(-83160Я4 + 9576Я2 - 126),
, ( Я) = 148У^а2(Я)аз(Я)ад(Я) + о _ ^4 6 + 79Я4 - Я2 3( ) 1155 + 165 + 1980 ,
533 */^421Я)а5(Я) + 5 а4(я)Я2, 6б(Я) = а1(Я)Я2 (3,/^а5(Я) + ^^
1 Л ^ , 2~20
67 (Я,г) = 15120 г/Т5а6( Я)3ап(Я) - 124338240Я(гVГ5аl(Я)Я(V2Гаl(Я)аБ(Я)
^ я) = - 533* /^41(1Я)аБ(Я) + 5 а4( Я)Я2, 6Б( Я) = ЫЯ)Я2 ( 3, /35аБ(Я) + 42^Я))
&6( Я) = ^ (г/35а6( Я)2аю(Я) + ^ШЛ^^Я^(Я)Я - 7308г/Т5а1(Я)а4(Я)Я2) ,
1036а2(Я)ав(Я)ад(Я), 29841аз( Я, г) а4(Я)Я2
-™-)--™--+ 7У21аз( Я)аБ( Я)а8( Я)),
533 533
МЯ,,) = (3./35,1(Я)2а2(Я)ад(Я) - 29841аз(^«(Ц^ ,
Ы Я) = ав(Я) (-/ТМЯЫЯ) - 142"/5334(Я)Я2) •
2993760г /15а1( Я) &з( Я) С1( Я г) = ,
С2(Я) = ав(Я)64(Я) + а1(Я)Я2 (/^^(Я) + г/Т5а4(Я)) . решениям пяти различных начальных задач для ОДУ (2.6).
Начальное условие Приближенное значение I Промежуток счета по Я
,г(0) = 0 0.0960605 + 0.1663816г Я е [-10,10]
*(1) = 0 0.0194046 + 0.0336097« Я е [-11,11]
г(5) = 7 0.0308202 + 0.0533821« Я е [-1,15]
г(50) = 75 0.03177193 + 0.05503056« Я е [-1,60]
,г(-0.57735) = 0.3849 0.000591 + 0.0010237« Я е [-10,0]
3. Заключение
По мнению авторов статьи ее результат потенциально имеет не только частное значение. Возникает, например, предположение о том, что системы двух неавтономных ОДУ
, _ (2 А - 1)(-288А3 + 192 А2 + 24 в А - 27 А - 4в + 4 В)
5 = ^127+9),
. , „ „2 9\ „ 108 А3 - 108 А2 - 6вА + 6 В + 27 А + 4 §
В^ = ( 36А + 38 - 54А2 - - ) А'я +
А =
(3.1)
2 J s 2 А +4 s
(2 А - 1)(288А3 - 192 А2 + 24sА + 27 А - 4s - 4В)
(А - 2s)(-576А3 + 504А2 - 126А - 48 sА + 8В + 12s + 9)'
2 9S „ 108 А3 - 108 А2 + 6sА + 6 В + 27 А - 4s
(3.2)
B's = (36А - 3s - 54А2 - -)А'3 -
2' 3 2А - 4,9
рассматривавшиеся в публикациях Р.Н. Гарифуллина [44], [46], тоже должны иметь по два первых интеграла, которые можно явно выписать в терминах гипергеометрических функций. (Посредством решений систем ОДУ (3.1) и (3.2) описываются асимптотики при Ь ^ те вида
5 5 5 / х \
и = г(уо(г, Ф) + Г4 ы(г, Ф) + Г 2 У2(г, Ф) + ...), Ф = ^ ¡(8)+п(в) [в = совместных решений уравнения КдВ (1.3) и ОДУ пятого порядка
' //// + 5иххи + 5(их)2 + 5U3\ 2и + хи'х Ш(иххх + ии'х) = 0
Uxxxx + 3 + 6 +18 J х ± 6 =0'
определяемых двумя линейными комбинациями стационарных частей первой вышей неавтономной симметрии (1.5) и классической симметрии растяжения иТг = 2и + хи'х - 31(иххх + ии'х).)
Гипотеза: подобного вида асимптотики при больших временах совместных решений различных нелинейных интегрируемых МОЗР эволюционных уравнений с ОДУ типа высших Пенлеве, определяемых неавтономными симметриями и, более общо, инвариантными многообразиями этих эволюционных уравнений, также должны описываться интегрируемыми в схожем смысле ОДУ.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Л.А. Калякин. Об асимптотических переходах от дискретных моделей к непрерывным // Теор. ма-тем. физ. 76:3, 323-327 (1988).
2. Р.И. Ямилов. О классификации дискретных эволюционных уравнений // Успехи мат. наук. 38:6(234), 155-156 (1983).
3. D. Levi, P. Winternitz, R.I. Yamilov. Symmetries of the continuous and discrete Krichever-Novikov equation // SIGMA. 7, 097 (2011).
4. R.N. Garifullin, R.I. Yamilov. On integrability of a discrete analogue of Kaup-Kupershmidt equation // Уфимск. матем. журнал. 9:3, 158-164 (2017).
5. Р.Н. Гарифуллин, Р.И. Ямилов. Об интегрируемости решеточных уравнений с двумя континуальными пределами // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. ВИНИТИ РАН, М. 152, 159-164 (2018).
6. V.E. Zakharov. Dispersionless limit of integrable systems in 2 + 1 dimensions // In: Singular Limits of Dispersive Waves, Ercolani, N.M. et al. (eds.), NY: Plenum Press, 1994, P. 165 171.
7. E.V. Ferapontov, K.R. Khusnutdinova. Hydrodynamic reductions of multi- dimensional dispersionless PDEs: the test for integra,bility //J. Math. Phys. 45:6, 2365-2377 (2004).
8. E.V. Ferapontov, K.R. Khusnutdinova. On integra,bility of (2+1)-dimensional quasilinear systems // Comm. Math. Phys. 48, 187-206 (2004).
9. E.V. Ferapontov, B. Kruglikov. Dispersionless integrable systems in 3D and Einstein- Weyl geometry // J. Diff. Geom. 97, 215-254 (2014).
10. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков. Гидродинамика слабо деформированнных солитоннных решеток. Дифференциальная геометрия и гамилътонова теория // Успехи мат. наук. 44:6(270), 29-98 (1989).
11. С.П. Царев. О скобках Пуассона и одномерных гамильтоновых системах гидродинамического типа // Докл. АН СССР. 282:3, 534-537 (1985).
12. С.П. Царев. Геометрия гамильтоновых систем гидродинамического типа. Обобщенный метод годографа И Изв. АН СССР. Сер. матем. 54:5, 1048-1068.
13. II.М. Кричевер. Метод усреднения для двумерных «интегрируемых» уравнений // Функц. анализ и его прил. 22:3, 37-52 (1988).
14. Г.В. Потемин. Алгебро-геометрическое построение автомодельных решений уравнений Уизема // Успехи мат. наук. 43:5(263), 211-212 (1988).
15. А.В. Гуревич, Л.П. Питаевский. Опрокидывание простой волны в кинетике разреженной плазмы // Журн. Экс. и Теор. Физ. 60:6, 2155-2174 (1971).
16. А.В. Гуревич, Л.П. Питаевский. Нестационарная структура бесстолкновительной ударной волны // Журн. Экс. и Теор. Физ. 65:2, 590-604 (1973).
17. А.Р. Итс, А. А. Капаев, В.Ю. Новокшенов, А.С. Фокас. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Рима на Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005.
18. А.Б. Шабат. Об уравнении Коргпевега де Фриса // Докл. АН СССР. 211:6, 1310-1313 (1973).
19. А.Б. Шабат. Операторы преобразования и нелинейные уравнения //Диссертация ... д. ф. -м. п. Уфа: БГУ. 1974 г.
20. А.В. Китаев. Точки поворота линейных систем и двойные асимптотики трансцендентов Пенлеве // Записки ЛОМИ. 187, 53-74 (1991).
21. Б.И. Сулейманов. Второе уравнение Пенлеве в одной задаче о нелинейных эффектах вблизи каустики И Записки ЛОМИ. 187, 110-128 (1991).
22. Б.И. Сулейманов. О «нелинейном» обобщении специальных функций волновых катастроф, описываемых двукратными интегралами // Мат. заметки. 52:5, 102-106 (1992).
23. Б.И. Сулейманов, И.Т. Хабибуллин. Сим,м,ет,рии уравнения Кадомцева Петвиашвили, изомонодром-ные деформации и «нелинейные» обобщения специальных функций волновых катастроф // Теор. ма-тем. физ. 97:2, 213-216 (1993).
24. Б.И. Сулейманов. О решении уравнения Кортевега—де Вриза, возникающего вблизи точки опрокидывания в задачах с малой дисперсией // Письма в ЖЭТФ. 58:11, 606-610 (1993).
25. Б.И. Сулейманов. О влиянии малой нелинейности на высокочастотные асимптотики при перестройках каустик// Теор. матем. физ. 98:2, 198-206 (1994).
26. Б.И. Сулейманов. Возникновение бездиссипативных ударных волн и «непертурбативная» квантовая теория гравитации //Журн. Экс. и Теор. Физ. 105:5, 1089-1099 (1994).
27. A.V. Kitaev. Caustics in 1 + 1 integrable systems //J. Math. Phys. 35:2, 2934-2954 (1994).
28. V.R. Kudashev. KdV shock-like waves as invariant solutions of KdV equaton symmetry // arXiv preprint putt-soil 9404002. (1994)-arxiv.org.
29. B.P Кудашев, Б.И. Сулейманов. Особенности некоторых типичных процессов самопроизвольного падения интенсивности в неустойчивых средах // Письма в ЖЭТФ. 62:4, 358-362 (1993).
30. V. Kudashev, В. Suleimanov. A soft mechanism for yeneration the dissipationless shock waves // Phys. Letters A. 221:3, 4, 204-208 (1996). 1996.
31. B.P. Кудашев, Б.И. Сулейманов. Малоамплитудные дисперсионные колебания на фоне приближения нелинейной геометрической оптики // Теор. матем. физ. 118:3, 413-422 (1999).
32. В.Р. Кудашев, Б.И. Сулейманов. Влияние малой диссипации на процессы зарождения одномерных ударных волн // Прикл. мат. мех. 65:3, 456-466 (2001).
33. В. Dubrovin. On Hamiltonian perturbations of hyperbolic systems of conservation laws, II: Universality of critical behaviour // Comm. Math. Phys. 267, 117-139 (2006).
34. T. Claeys, M. Vanlessen. The existence of a real pole-free solution of the fourth order analogue of the Painleve I equation // Nonlinearity. 20:5, 1163-1184 (2007).
35. T. Grava, C. Klein. Numerical study of a multiscale expansion of the Korteweg-de Vries equation and Painleve-II equation // Proc. of the Royal Society A. 464:2091, 733-757 (2008).
36. B. Dubrovin, T. Grava, C. Klein. On Universality of Critical Behavior in the Focusing Nonlinear Schrodinger Equation, Elliptic Umbilic Catastrophe and the Tritronquee Solution to the Painleve-I Equation //J- Nonl. Science. 19:1, 57-94 (2009).
37. R. Garifullin, B. Suleimanov, N. Tarkhanov. Phase Shift in the Whitham Zone for the Gurevich-Pitaevskii Special Solution of the Korteweg-de Vries Equation // Phys. Lett. A. 374:13, 14, 1420-1424 (2010). 2010.
38. P.H. Гарифуллин, Б.И. Сулейманов. От, слабых разрывов к бездиееипативным ударным волнам // Журн. Экс. и Теор. Физ. 137:1, 149-165 (2010).
39. Т. Claeys. Asymptotics for a special solutions to the second member of the Painleve I hierarhy //J. Phys. A. 43:43, 434012. 18 pp. (2010).
40. T. Claeys, T. Grava. Solitonic asymptotics for the Korteweg-de Vries equation in the small dispersion limit // SIAM J. Math. Anal. 42:5, 2132-2154 (2010).
41. Т. Claeys. Pole-free solutions of the first Painleve Hierarchy and non-generic critical behavior for the KdV equation // Physica D: Nonlinear Phenomena. 241:23, 2226-2236 (2011).
42. T. Grava, A. Kapaev, C. Klein. On the Tritronquee Solutions of Pj // Constr. Approx. 41:3, 425-466 (2015).
43. B. Dubrovin, M. Elaeva. On the critical behavior in nonlinear evolutionary PDEs with small viscosity // Russian J. Math. Phys. 19:4, 449-460 (2012).
44. Р.Н. Гарифуллин. Сдвиг фазы для совместного решения уравнения КДВ и дифференциального уравнения пятого порядка // Уфимск. матем. журн. 4:2, 80-86 (2012). 4:2, 52-61 (2012).]
45. М. Bertola, A. Tovbis. Universality for the Focusing Nonlinear Schrodinger Equation at the Gradient Catastrophe Point: Rational Breathers and Poles of the Tritronquee Solution to Painleve I // Comm. Pure and Appl. Math. 66, 678-752 (2013).
46. Р.Н. Гарифуллин. О совместном решении уравнения КДВ и дифференциального уравнения пятого порядка // Уфимск. матем. журн. 8:4, 53-62 (2016).
47. Б.И. Сулейманов. Влияние малой дисперсии на самофокусировку в пространственно одномерном случае И Письма в ЖЭТФ. 106:6, 375-380 (2017).
48. Б.И. Сулейманов. Об аналогах функций волновых катастроф, являющихся решениями нелинейных интегрируемых уравнений // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. ВИНИТИ РАН, М. 163, 81-95 (2019).
49. D. Bilman, L. Ling, P.D. Miller. Extreme superposition: rogue waves of infinite order and the Painleve-III hierarchy // Duke Math. J. 169, 671-760 (2020).
50. V.E. Adler. Nonautonomous symmetries of the KdV equation and step-like solutions I / J. of Nonlinear Math. Phys. 27:3, 478-493 (2020).
51. E. Bresin, E. Marinari, G. Parisi. A nonperturbative ambiguty free solution of a string model // Phys. Lett. B. 242:1, 35-38 (1990).
52. M. Douglas, N. Seiberg, S. Shenker. Flow and unstability in quantum gravity // Phys. Lett. B. 244:3,4, 381-386 (1990).
53. B.P. Кудашев, C.E. Шарапов. Наследование симметрий при усреднении уравнения КдФ по Уизему и гидродинамические симметрии уравнений Уизема // Теор. матем. физ. 87:1, 40-47 (1991).
54. Б.И. Сулейманов. «Квантования» высших гамильтоновых аналогов уравнений Ненлеве I и II с двумя степенями свободы // Функц. анализ и его прил. 48:3, 520-62 (2014).
Булат Ирекович Сулейманов, Институт математики с ВЦ УФ 11II РАН, ул.Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: bisulSmail .ru
Азамат Мавлетович Шавлуков, Институт математики с ВЦ УФИЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия
Башкирский государственный университет, ул. Заки Валили. 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: aza3727Syandex.ru
