О совместном решении уравнения КдВ и дифференциального уравнения пятого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 53-62.

УДК 511.515, 511.54, 512.752

О СОВМЕСТНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ КДВ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЯТОГО

ПОРЯДКА

Р.Н. ГАРИФУЛЛИН

Аннотация. Рассматривается универсальное решение уравнения КдВ. Это решение также удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению пятого порядка. Ставится задача о исследовании его поведения при £ ^ то. При больших временах асимптотическое решение имеет разную структуру в зависимости от медленной переменной в = ж2Д. Построено асимптотическое решение в областях в < -3/4, -3/4 < < 5/24 и в окрестности точки = -3/4. Показано, что медленная модуляция параметров решения в окрестности точки = -3/4 описывается решением уравнения Пенлеве IV.

Ключевые слова: асимптотика, согласование асимптотических разложений, уравнение Кортевега-де Вриза, недиссипативные ударные волны.

Mathematics Subject Classification: 35Q53, 35N10

1. Введение

В работах А.М. Ильина и С.В. Захарова [1-3] начато исследование вопроса о влиянии малой диссипации на процессы трансформации слабых разрывов в сильные. В этих работах показано, что этот процесс в главном описывается специальным решением уравнения Бюргерса. В работе [4] показано, что в задачах с малой дисперсией аналогичную роль играют два специальных решения уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ)

Ut + иих + иххх = 0. (1.1)

В этой работе будет исследоваться одно из них с заданными асимптотиками:

и\ =0, и\ =(t + Vt2 - 4х)/2. (1.2)

Решение u(x,t) играет универсальную роль [4] в задачах о возникновении бездиссипа-тивных ударных волн [4,5]. В работе [4] для решения задачи (1.1, 1.2) в асимптотическое решение при х2 + t2 ^ <х было построено в некоторых направлениях, которое в области незатухающих осцилляций задается квазипростыми решениями уравнений Уизема. В данной работе асимптотика этого решение при t ^ <х исследуется более детально. А именно, предлагается анзатц для зоны, в которой возникают быстрые осцилляции, определяется уравнение для сдвига фазы в зоне Уиземовских колебаний, строится асимптотика решения перед зоной этих колебаний. Показано, что уравнение Пенлеве IV описывает главный член асимптотики в окрестности зоны возникновения Уиземовских колебаний.

R.N. Garifullin, On simultaneous solution of the KdV equation and a fifth-order

DIFFERENTIAL EQUATION.

© Гарифуллин Р.Н. 2016.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00078). Поступила 30 июня 2016 г.

В [4] показано, что решение и(х,Ь) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению пятого порядка по переменной х :

Ъиххи Ъи2 Ъиг\' 2и + хих — 31(иххх + иих) „ ,„

ихххх + + — +- +---^^-— = 0. (1.3)

хххх 3 6 18 ) 6

/ X

Уравнение (1.3) представляет собой комбинацию стационарных частей симметрий уравнения КдВ. Одна из них — высшая (обобщенная) симметрия пятого порядка:

Ъиххи Ъих Ъи \ , ,

ихххх + г + ~ г I , (1.4)

3 6 18 / X

вторая - классическая симметрия растяжения:

иТг = 2и + хих — 3Ц(иххх + иих). (1.5)

Уравнения (1.3) можно назвать первым высшим аналогом уравнения Пенлеве I, см.6.2 [4].

Асимптотическое решение задачи (1.1, 1.2, 1.3) при £ ^ то имеет разную структуру в зависимости от направления [4]. Эти направления определяются значениями переменной

х

8 = -. (1.6)

Зоне Уиземовских осцилляций соответствует — 4 < 8 < 5, некоторая окрестность точки 5 = — 4 соответствует зоне возникновения Уиземовских колебаний, 5 < — 4 - зона перед Уиземовскими колебаниями.

Работа посвящена исследованию асимптотических решений в этих областях и их согласованию. Следует отметить, что для решения этой задачи наряду с обычными методами усреднения [6] используется условие, что искомое решение удовлетворяет одновременно двум уравнениям. Это условие позволяет получать уравнения в медленной переменной, см. [7,8].

2. Асимптотикл при ^ < —3/4 Сделаем замену переменных

и = ьи (1,8), 8 = —.

После нее уравнения (1.1,1.3) примут вид:

Г5иааа + ОД — 2ОД + ии8 + и = 0, (2.1)

Г10иззззз + - Г5(20^ изз + (10^ — 3)и888) + \(Ъи2 + в — 3и)из + 1 и = 0. (2.2) 6 6 3

В уравнении (2.2) все производные по переменной х третьего и более высокого порядка можно заменить в силу уравнения (2.1):

1 Г5(из + 9)иаа — Г4изз1 + \(и2 — 4ОД + 24^2 — Ъ8)из— 3 1 6 1 (2.3)

— (4^ — 3 + 12з)ОД — -(4и + 12в — Ъ)и = 0. 66

Главный член асимптотики зависит только от медленной переменной з:

3

и = У0(з) + ...,Ь ^ то, з< —-. Подстановка этой формулы в уравнения (2.1) и (2.3) приводит к двум уравнениям на ^(з):

-(У02 — 4^0 — Ъз + 2482)У0 — - Уо(4Уо — Ъ + 12з) = 0, (Ц> — 28)У. + И. = 0. (2.4) 66

Из этой системы следует алгебраическое уравнение:

К2 — И + ^ = 0

решения которого удовлетворяют системе (2.4). Из (1.2) следует, что нужно выбрать один из корней этого уравнения:

Ус = (1 + уг-40/2. (2.5)

Из результатов статьи [4] следует, что в поправках возникают быстрые осцилляции, поэтому асимптотика решения строится в виде отрезка ряда:

и = Ус+У (р, Ус)Г5/2+У2(р, Ус)Г5+Уз(р, Ус)Г15/2+У4(р, Ус)Г1с+У(р, Ус)Г25/2 + .... (2.6) Для быстрой переменной р строится свой ряд:

р = 15/2р-г(Ус)+ры Ш+рс(Ус)+Рх(Ус)Г5/2 +Р2(Ус)Г5 +р3(Ус)Г15/2 +р4(Ус)Г1с +.... (2.7)

На коэффициенты У^(р, в) накладывается требование 2ж периодичности по переменной р. Вместо медленной переменной 8 в коэффициентах асимптотического разложения ставится зависимость от Ус для удобства вычислений.

Подставив ряды (2.6) и (2.7) в (2.1) и (2.3) на У1, получим 2 уравнения:

(р-1)3 д3У + 1 )дУ1 0

+ ~(5р-1 - 2р_1Ус)^~ = О

(2Ус - 1)3 др3 2 *-1 *-1 с др

5 Р-1(Р-1)2 СТУ1 + Г(Р-1(12У2 - 16Ус + 3) - 2Ус(2Ус - 1)(6Ус - 5)^)^ = О.

2(2У0 - 1)2 др3 ^ —с др

Исключая из этой системы ^Дт, получаем соотношение:

ар3 ' ^

от г

(2 У0(6 У0 - 5)р-1 + 15(2 У - 1)р-^ ((2У - 1)р-1 - 5р-1) = О,

поскольку У1 должно зависить от р, из последнего соотношения можно найти р-1. Ограниченные поправки существуют лишь при одном выборе р-1, а именно:

Р-1(У0) = -Щ^^бУ* - 5). (2.8)

Здесь константы интегрирования определены из требования 2ж периодичности У1. Уравнение на У1 принимает вид:

д3Ух дУ1

-1 +--1 = О,

др3 др

его решение запишем в виде:

У = 01(Ус) + А1(Ус) ООБр, (2.9)

где И1(Ус), А1(Ус) - функции медленной переменной, подлежащие определению из требования существования и ограничености следующих поправок. Здесь и ниже третьей константе интегрирования соответствуют сдфиги фазы р^ ( Ус).

На функцию У2 получаем 2 неоднородных уравнения по переменной вида:

д 3У дУ

+ -У- = Р21(Р ,Ус,А1,Б1,А'1,^1, p'с),

ир ир (2 10) д3У2 . дУ2 (2.10)

+ ^ = Р22(Р ,Ус, А1, Б1, А[, В!1, р'с)

др3 др

Требования существования и ограниченности решений имеют вид равенства правых частей друг другу и их ортогональности решениям однородного уравнения, т.е.:

Р2!(р ,Уо,А1,В1,А'1,0'1, р'о) = Р22(р ,Уо ,А1,01,А'1,В'1, р.),

п 2ж

/ Р21(р ,Уо,А1,В1,А[,В'1, р'о)(!р = 0, 1о

г2* (2.11)

/ F2i(p ,Vo,A1,D1,A'1,D[, p'0)cospdp = 0, Jo

п 2ж

/ F2i(p,Vo,Ai,Di, AI, Di,p0) sinpdp = 0.

o

Решения системы (2.11) имеют вид:

Ci

Ai

Di = -

VVo(2Vo - 3):

2p inV6

b^Vo(2Vo - 1)

(2.12)

p0 = ^ ln((2V0 - 3)2V03)+p°, 5

где C\, p° - произвольные константы. Уравнение на V2 принимает вид:

d3v2 + ov2 3C2 . 2 (91„.

W + Ж = 4(2V0 - 3)2V2 Sm2p> (2.13)

его решение:

V2 = D2(V0) + A2(V0) cosp + — cos 2p. (2.14)

На следующие поправки получаем системы вида (2.10) с условием разрешимости вида (2.11). Доказать для всех поправок разрешимость этих систем не удалось, непосредственно проверено, что до V5 все строится однозначно, никаких новых констант не возникает. Приведем явные формулы для D2, A2, р\:

D = C2 12(4V0 - 1)р2п + 4

D2 = — ^-TVTT^TT-— ^ ^-+

A2 = -

(2.15)

24V02(2Va - 1)(2Fq - 3) 25 V2(2V, - 1)3 (2И, - 1)4 3^(14 V0 + 1b)Cip\n 20(2V0 - 3)3V2

= _ У6 ((2V + 9)C2 +

Pl V03/2(2V0 - 3)2 V 50(2Vo - 1) 288

(2 Vq + 1)(212V2 - 204V0 + 45)

+ 24(2V - 1)2

Эти формулы полностью определяют V2.

В рядах (2.6) и (2.7) остались произвольными коэффициенты p\n,p°, C1. Их можно определить, сравнивая ряды с формулой [4, (5.3)] и формулой сразу за ней. Находим:

5\n2 3V6ln2 ln2ln24 п (i ln2 \ , N

Ио = —, C1 = - -Т-, --I+^U")' (2Л6)

Используя выражения (2.9, 2.12, 2.14, 2.15) для V1 и V2, определим область пригодности асимптотического разложения из требовани V1 ^ t-5/2V2. Находим |V - 3/21 ^ t-5/4, в переменной область имеет вид | + 3/41 > t-5/4. Поэтому медленная переменная внутреннего разложения имеет вид:

у=( s + 3/4) t5/4. (2.17)

Заменяя переменную s в силу формулы (2.17) в рядах (2.6) и (2.7) получим: 3 (у (6ln2 108 ln2 2 4321п2(5ж2 - 9ln2 2) \ \ -5/А

(3.2)

U « - -----' + ... c°sp П-5/4 + ...

2 \ 2 \ жУ к2у3 n3y5 J J (2 18)

р « -4t5/2 + yt5/4 - 5ln2lnt - у! - ln2ln(-y) - 3ln2ln(3/2) + + '

5 4ж 12 ж 2ж

Эти формулы определяют асимптотику коэффициентов внутреннего разложения при у ^ -m.

3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ S = -3/4

Для построения асимптотического решения в окрестности точки s = -3/4 сделаем замену

3

U =2 + t-5/4W(у, t), y=(s + 3/4)t5/4, (3.1)

уравнения (2.1) и (2.3) примут вид:

3 1 3

t-9/4Wyyy + t-l(WWy - -yWy --W) + t1/4(3Wy + -) + Wt = 0

t-5/2Wtyy - t-7/2W-(4Wy - 21) + t-124(Wy(68y - 12W) + 22W + 27y)-

- t-9/4^(Wy(8W2 - 12yW - 27y2) + W(8W + 9y)) + 48

+ t-5/4W(8W + 9y) -Wt + tl/42(2Wy + 1) = 0. Асимптотическое решение W строится в виде:

W = Wo (ф, у) + t-5/4Wi(*p, у) + t-5/2W2(ф, у) + t-15/4W3(ip, у) + ..., t^m, (3.3)

с быстрой переменной

4 5 ln 2

ф = -4t5/2 + yt5/4 - 5^lnt + фо(у) + t-5/4Mv) + t-5/2Mv) + ■ ■ t^m. (3.4)

5 4ж

После подстановки (3.3) и (3.4) в (3.2) получаем уравнения на коэффициенты ряда (3.3). Уравнения на главный член W0 совпадают и имеют вид:

dlW0 + d^W0 = 0. (3.5)

Его решение запишем в виде

Wo = Ho(y) + Ro(y)cos*P, (3.6)

где H0(у), R0(y) - неизвестные функции медленной переменной, слагаемое с втф учтено в сдвиге фазы ф0(у). Уравнения на W\ имеют вид:

R 3 R2

d^W- + d^Wi = R0(у + 2Ho) ыпф - ^(1 + 2H0) + R вт2ф,

5 R 1 R2

d^W-i + d^W-i = (у + 2H0) зтф + ^(1 + 2H0) + R вт2ф.

Требование существования и ограниченности решений этой системы дает:

H0(y) = - 2.

При таком выборе H0 решение системы (3.7) существует и ограничено при ф ^ m. Функция W- имеет вид:

R2

W- = H-i(y) + R\(y) cos 2ф + R cos 2ф. (3.8)

(3.7)

На поправки получаем уравнения вида (2.10), условия разрешимости и ограниченности решений имеют вид (2.11). Из требования существования и ограниченности W2 получаем:

H = - Щ - I - 1, (3.9)

1 12 8 к У '

5 1 it2 1

R0 = Щ0(ф'0)2 + —уЩ0ф'0 + -Щ + ^ - (3.10а)

51

R0ф0 = -2Щ'0ф'0 - -^уЩ - 4ro. (3.10б)

Решение W2 (р, у) принимает вид:

r3 r2 r r

W2 = R2 cos ф + H2(у) + —0 cos 2ф - щ0ф'о cos 2ф + r0ri cos 2ф - r0r'o sin 2ф. (3.11)

192 odd

Далее проверено, что поправки до V5 находятся в классе ограниченных, периодических

по переменой р функций. Функции R1,R2, Щ3,ф1,ф2,ф3, H3, H4 определяются однозначно,

без дополнительных произволов.

Покажем, что система (3.10) эквивалентна уравнению Пенлеве IV. Заметим, что у этой

системы есть первый интеграл, квадратичный по производным:

I = (R0)2 + Щ0(ф'0)2 + + R0 - ¿Щ. (3.12)

Систему (3.10а) и (3.12) можно рассматривать как одно дифференциальное уравнение второго порядка на Ro(y) с параметром ф'0. Сделаем в этой системе замену:

ф'0 = iR0/R0 + Р(у) - у/4, (3.13)

где г - мнимая единица. Исключая из (3.10а) и (3.12) функцию Ro(y) на новую неизвестную Р( ), получим уравнение Пенлеве IV:

2 Р(у)Р'(у) = (Р(у))2 - 3 Р4(у) + \уР3(у) + (-£■ + Ь - ^/тгЛ Р2(у). (3.14)

3 -44 6

(функция = (2 + 2г)у/3Р((—2 + 2г)у/3г) удовлетворяет обычному уравнению Пенлеве IV.) В (3.14) подставлено значение I найденное с помощью формул (2.18), которые дают асимптотику функций фо,Ко при у ^ —то, и, следовательно, позволяют найти значение I и асимптотику Р(у) при у ^ —то:

1п2 2

4тт2

,, У 1, л ,, 6 (6Ип2 31п2 2 \ ,

Р (У) = -2 + -(г — Ы2/л) + ----— + 4)+ ... (3.15)

12 у у6 \ л л2

Непосредственной проверкой можно убедиться, что у уравнения (3.14) существует решение с асимптотикой (3.15). Однако, на данный момент не определено, какая асимптотика этого решения при у ^ то, подобная задача может быть решена с помощью методов статьи [9].

4. АсимтотичЕскоЕ решение в зоне УизЕмовских колебаний

В зоне Уиземовских колебаний асимптотическое решение и системы (2.1, 2.3) строится в виде ряда по обратным степеням

и = ио(<р, з)+ Г5/4и1(<р, з)+ Г5/2и2(<р, з) + ..., г^то. (4.1)

Здесь ио, и1 и и2 - 2л периодические функции быстрой переменной (р. Эта переменная имеет вид

^ = 15/21 (з) + п(з),

где /(в ),п(в) — неизвестные функции.

Для функции и0 получаем следующую нелинейную систему уравнений по быстрой переменной (р:

V) ^г + (Ио-а(8)) ^ = 0,

(4.2)

{Л{гП2д3и0 1( ,.2диод2ио 1 ,2, ,Л(\ТТ 1(\\ди0 „

аШ ) ^ - -Зи) -^20 + -6(и0 + * + 4а(*)и°- Мв» = 0-

Здесь обозначено:

а(5 ) = 2в - ^.

Исключив из (4.2) выражение д3И0, получим уравнение второго порядка для функции

(П2+ 1и2 - а(Фо + -а(8)2 + = 0. (4.3)

Уравнение (4.3) может быть один раз проинтегрировано:

2

/'^ -а(з)и2 + (-а2 - -а + з)Ио + Ь(з) = 0. (4.4)

Здесь Ь(в ) - произвольная функция (константа интегрирования).

Явную формулу для и0 выпишем позднее, а пока будем требовать, что это некая 2ж периодическая функция, удовлетворяющая уравнению (4.4). В силу этого уравнения мы можем все производные от выписать как рационально-дробные выражения в терминах:

Щ, д^Ио, дзио, д2ио,----

Используя это условие, можно найти условия ограниченности следующих поправок - уравнения для медленно меняющихся функций ( ) , п( ) , ( ) .

Уравнения на И имеют вид:

, пт ЛЯ ТТ , я тттт (Uо,дifUо, дaUо,а,а',п', 8)

(Г)2д%их + (Ио - а) д^и-1 + д^ИоИг

а(з)(Г)2д3^и1 - 1(Г)2(др^Ио + д^од^Л) + -д^и + з + 4аИо - -а)+ (4.5) , 1я ттгтт , о \тт р2(и0,дipUо,дsUо,а,Ъ,a!,Ъ',п', з)

+ -д^ио(ио + 2а)И\ =---——-.

Здесь Р\,Р2 — полиномиальные функции своих аргументов. Исключая из системы (4.5) последовательно старшие производные по переменной р, придем к соотношению, не содержащему функцию И - условию совместности этой системы:

(/(-60 а - -0 5 - 45 - 540а2)а' - 10 ¡Ь' + 2¡'(108а3 - 108а2 + 6ав + 6Ь + 27а - 2в)) И0+

+ 15 ¡(54а2 - 72а3 - 12а в + 4Ь - 9а + - в) а' + 15 / (4а - 1)Ь'+

+ 6/'(72а4 - 66а3 + 12а2 в - 16аЬ + 15 а2 + 5ав - 5Ь) = 0.

(4.6)

Поскольку равенство (4.6) должно выполняться тождественно, то равны 0 коэффициенты при разных степенях И0, следовательно, получаем замкнутую систему уравнения для а(в), Ь(в) :

(2а - 1)(288а3 - 192 а2 + 24 в а + 27а - 4 в - 4 Ь) (а - 2в)(-576а3 + 504а2 - 126а - 48 5а + 8 Ь + 12в + 9), (4 7)

а =

2 0/0ч ' 108 а3 - 108а2 + 6аз + 6Ъ + 27а - 4з

Ь = (-6а — - в — 54а — 9/2)а----

1 ' ' 2а- 4 в

Система (4.5) совместна тогда и только тогда, когда а(в) и Ъ(в) определены из уравнений (4.7). Если это условие выполнено, то все производные по р от и1 старше второго порядка можно выразить через младшие производные, например:

( ¡')2д1и1 = (а — ИоЩ + (П + дзио/д^о^ио, а, з)/з + 02^, а, Ь, 8)///д^о,

где 01,02 — некоторые функции. Уравнения на и2 имеют вид:

( ¡')2д3и1 + (Щ — а) д^1 + д^оЩ = у -

а(з)(?)2д*и1 — з(Г)2( др^ио + дро д^) + ^ дМиЩ + з + 4а1Л — 3а)+ (4.8)

+ -д^о(ио + 2а)и1 = . 3 1д^Уо

Здесь Р6, Р4 — функции, зависящие от предыдущих поправок.

Исключая последовательно производные функции и2 из этих уравнений, получим соотношение вида:

Ъ2тт /Я 2

дх д^одзУ1 Ч (д,ио)2 + (/с%ио)2(2ио + 3 — -2а))

(д^ЦоМо С4(Цо,а, Ь) \ п 0 (г , „ (.)

— /о тт Л2 ^ ^-ТГТТ 1и1 = °5(ио,а,Ь,п ,п ).

V (дсрЩ)2 (¡д^ио)2(2ио + 3 — -2а))

Дифференцируя это уравнение по р, получаем соотношение такого же вида, исключая из этих двух уравнений д(рзи1, получаем:

Я ТТ д1иотт , п"°б(8 ,а,Ъ, Я +п'G7(Uо,S,а,Ъ, Я о 2ТТ атт ТТ и * \

д= т^г^А +------+ 0%(даио,даио,д8ио,ио,а,ъ,/, в).

д^ио д^ио

Подставив (4.10) в уравнение (4.9), получим соотношение вида:

(4.10)

(4.11)

д^ио(п'" + Ащ" + А2п') + дбЩ + В^ЩдМ + В2д23Ио +

+В3(дзио)6 + В4(дзио)2 + В5даИо + В6 = 0, где

А, = А,^, ¡, а, Ь), Вг = Вг(Ио, 8, а, Ь)

некоторые функции.

Без ограничения общности можно считать функию ио четной по р. Тогда в (4.11) первая часть нечетна, вторая четна по р. Следовательно, из (4.11) немедленно получаем два уравнения:

п'" + А1п" + А2п' = 0. (4.12)

дбЩ + В1д2зиодзио + В2д2зио + Вз(дзио)6 + В4(д3Ио)2 + В5д3Щ + В6 = 0. (4.13)

Теперь определим главный член асимптотического решения (4.1). Решение уравнения (4.4) будем искать в виде

ио = А(з)сЫ2[^-Ц р;к(з))+С (з). (4.14)

Где А, В, к, С - функции медленных переменных, ёп - элиптическая функция Якоби. Они определяются после подстановки (4.14) в (4.3) и приравнивания коэффициентов при разных степенях ёп нулю и требования равенства периода колебаний 2л. Из этой системы

находим:

А =6В2, Г = а = -4к2В2 + 8В2 + С,

К (к)

_2ж В (4 В2 к2 - 8 В2 -С + 2в)

5Кк) , (415)

Ь =4608(2к2 - -)(4к4 - 17к2 + 19) В6 - -84(к2 - 2)(7к2 - 1-)(10 С - -)В4+ ( . )

+8(4 С(41 к2 - 79)(5С - -) + 12(2 к2 - -)з + 6-(к2 - 2))В2-

-^(10 С - -)(-2С(5С - -) + 12в + 9). -

Здесь и ниже К (к), Е (к) - полные элиптические интегралы. Кроме того остается еще одно алгебраическое соотношение:

45(2 к4 - 7 к2 + 7) В4 - 4( к2 - 2)(10 С - -)В2 + 5 С2 - - С + 5 = 0. (4.16)

На данном этапе все функции медленных переменых выражены через В, к, С, и у нас есть одно алгебраическое уравнение (4.16) и 3 дифференциальных - (4.7) и следствие тождества ( /)' = /', где /,/' определены независимо в (4.15). Диффенцируя (4.16), получаем дифференциальное следствие. Исключая из 4 дифференциальных соотношений 3 производные В , к , С , получим дополнительное алгебраическое соотношение в терминах В, к,С,д = Е(к)/К(к). Его также можно продифференцировать по в и опять подставить найденные производные, получив дополнительное алгебраическое уравнение.

Используя эти соотношения, функции В( ), ( ), С( ) находятся в неявном виде:

В2 = 5(к2<1 + к2 + 4 - ^ С = 6В2(12- П

12(-к3д + к4 + 2к2д + 2к2 + Ц - -), ( )

1 (-(к2 + 1)2 _ 1 Л 2 + 1+ 5к2(к2 - 1)2

- к4 + 2 2 + - 4 - - 4 + 4 + 2 2 + 2 2 + - - -

>1

Зависимость от медленной переменной в функциях А, В, С, , , а определена.

В этой статье не дается ответа на вопрос о том, какое решение уравнения (4.12) отвечает нашему исследуемому решению. Однако, из соображений согласования с разложением в окрестности точки в = --/4 мы можем найти асимптотику функции п(в) при в ^ --/4. Для этого найдем асимптотику решения (4.1) при в ^ --/4 :

И =- + Г5/4 (-2 + (- + ...) оо*р) + ...,у = (з + -/4)^2,

V = - 5 ^2 + 15/4у + (-у9 + ...) +...

Эти формулы позволяют найти главный член асимптотики функции Р(у) при у ^ то, из формулы (3.13) определяем:

р (у) = Ьл - + ...,у -6

С помощью уравнения (3.14) можно найти следующие члены асимптотики этого решения: „ у 1п2/ж -г 6(-1п2 2/ж2 - 4 - 6 Пп2/ж)

Р ={Б + —"-+ --"-3-— + ...,у

-6 3

Возвращаясь в переменную для функции п( ), находим

, N 1п2, , ( -\п2Ы-/2)\ п(з) = — 1п(5 + -/4) + (Ро--^ ' ' ) + ...,8 ^ --/4.

ж

Видим, что в данном случае функция n(s) не является константой, в отличие от похожих задач [7,8].

5. Заключение

В работе исследовано решение введеное в статье [4]. Основной результат - описание асимптотики переднего фронта. Показано, что главный член описывается уравнением Пе-нлеве IV. В работе также найдено уравнение для сдвига фазы в зоне Уиземовских колебаний, показано, что в этом случае функция n(s) не является константой в отличие от похожих случаев [7,8].

В дальнейшем планируется показать, что у уравнения (3.14) существует решение с заданными асимптотиками (3.15) и (4) при у ^ Определить функцию n(s).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. A.M. Il'in, S.V. Zakharov On the influence of small dissipation on the evolution of weak discontinuities // International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Moscow, 1999). Funct. Differ. Equ. 8 (2001), no. 3-4. P. 257-271.

2. Захаров С.В., Ильин А.М. От слабого разрыва к градиентной катастрофе // Матем. сб. 2001. Т. 192. Вып.10. C. 3-18.

3. Захаров С.В. Зарождение ударной волны в одной задаче Коши для уравнения Бюргерса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т.44. Вып.3. C. 536-542.

4. Гарифуллин Р.Н., Сулейманов Б.И. От слабых разрывов к бездиссипативным ударным волнам // ЖЭТФ. 2010. Т.137. вып. 1. C. 149-164.

5. Камчатнов А.М., Корнеев С.В. Течение Бозе-Эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня // ЖЭТФ. 2010. Т. 137. Вып. 1. C. 191-204.

6. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

7. Гарифуллин Р.Н. Сдвиг фазы для совместного решения уравнения КДВ и дифференциального уравнения пятого порядка// Уфимск. матем. журн. 2012. Т.4 №2. С. 80-86.

8. R. Garifullin, B. Suleimanov, N. Tarkhanov Phase Shift in the Whitham Zone for the Gurevich-Pitaevskii Special Solution of the Korteweg-de Vries Equation // Ph. Let. A. 2010. V. 374 P. 14201424, D0I:10.1016/j.physleta.2010.01.057.

9. Итс А.Р., Капаев А.А. Метод изомонодромных деформаций и формулы связи для второго трансцендента Пенлеве // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1987. Т.51. Вып.4. С.878-892.

Рустем Наилевич Гарифуллин, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: rustem@matem .anrb.ru