Интегрирование неавтономных квазилинейных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1992-6502 (P ri nt)_

2014. Т. 18, № 2 (63). С. 181-184

Ъыьмт QjrAQnQj

ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru

УДК 517.9

Интегрирование неавтономных квазилинейных

дифференциальных уравнений Р. Р. Исламов, Р. Р. Исламов (мл.)1

1 [email protected]

ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (УГАТУ)

Поступила в редакцию 22.12.2013

Аннотация. Рассматривается неавтономная динамическая система, которая описывается квазилинейными дифференциальными уравнениями. Для интегрирования уравнений движения таких систем в резонансных случаях используются интегральные многообразия в специальной форме.

Ключевые слова: квазилинейная система; интегральное многообразие; полиномиальные интегралы.

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается неавтономная динамическая система, которая описывается квазилинейными дифференциальными уравнениями. Предполагается, что между частотами собственных колебаний системы и частотами возмущающих сил имеет место соотношение с рациональными коэффициентами. Для интегрирования таких систем используются интегральные многообразия в специальной форме [1].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть движение динамической системы описывается неавтономными квазилинейными дифференциальными уравнениями, приведенными к виду

dX dt

— JX + sF1(t,X) + s2F2(t,X) +... , (1)

где X = {х15... хп } - п -мерный вектор, в > 0 -малый параметр, J - диагональная матрица с собственными числами Аь..., Ап; проекции вектор-функции ^ (А X) являются полиномами

относительно проекций вектора X с коэффициентами, квазипериодически зависящими от ?:

Fj (t,X) = XZj (X)expfavht);

s h

(Fj (t,°)-

Здесь суммы являются конечными, векторы (X) - полиномами; >0 (к = 1,2,.,ст) -

несоизмеримыми между собой числами.

Собственные числа А1,..., Ап матрицы J допускают представление

Аs — А/+а_1 - °,

Х/+а — /ЮаXv+c —_'Юс

Re Aß — Re Аm+ß < °;

(i — V_ 1

(3)

'Р = I + 2р +1,.,I + 2р + т; 5 = 1,.,I;л

ча = 1,., р; V = I + р /

т. е. считается, что характеристическое уравнение порождающей системы

dX dt

— JX

(4)

имеет I нулевых, 2р чисто мнимых корней и 2т комплексных корней с отрицательными вещественными частями, так что п = I + 2р + 2т . Пусть числа ю1,., ю р и

v1,..., ^ удовлетворяют условию

¿1®! + . + кр&р + кр+^ +... + kp+ava = 0, (5) где к - целые числа.

Нашей задачей является нахождение решения X () уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию X(¿о ) = Xo .

2. ПОСТРОЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ И ИНТЕГРАЛОВ ПОРОЖДАЮЩЕЙ СИСТЕМЫ

Наряду с системой (1) рассмотрим вспомогательную систему порядка N

йг

= £а1(с)+8 2о2 (г)+....

(6)

Ищем уравнение интегральных многообразий системы (1) и (6) в форме

Г = V(г, X)+еФ1 (г, X)+82Ф2 (г, X) + .. (7)

Вектор-функции V(г,X), Ок (Г), Фк(г,X) определяются из уравнений в частных производных

дV DV

-+-Ж = 0,

дг DX

(8)

^ + = ик (г, X) + О^), (9)

дг DX кУ ' kW

где

DV DФ

к

DX DX

- матрицы Якоби, а

ик (г, х)=и

(¥к,..., Оь..., Ок _1, V, ^ Ф1,., ф к _1

- из-

вестная вектор-функция при известных О1(г, X),..., Ок _1(г, X), V (г, X), Ф1(г, X),..., Фк _1(г, X) (^1,...,^ - известные векторы (1)).

Уравнения (6) и (7) строятся одновременно. Для этого при известной вектор-функции и к (г, х) вектор Ок (V), полиномиальный относительно проекций У1,...,УМ вектора У(/,X). следует выбирать так, чтобы уравнение (9) имело решение Фк (г, X), полиномиальное относительно х1,...,хи с коэффициентами, квазиперио-дически зависящими от г (аналогично свойствам векторов ^ (г, X) (2)).

При этом порядок вспомогательной системы (6) зависит от числа полиномиально независимых интегралов системы (4). Число последних зависит от свойств характеристических чисел X,..., Xп матрицы 3 и соотношений вида (5).

Укажем способы выбора этих полиномиально независимых интегралов системы (4). Функции вида

У1 = х1,...^/ = х, У+а = х1+ахУ+а (V = / + р; а = 1,р) (10) являются полиномиально независимыми интегралами системы (4). Пусть имеются г линейно независимых соотношений вида (5)

ку1®1 +... + кур ш р + кур+1V1 +... + + к

(11)

>+0^ = 0, (* = 1,...,г).

Введем в рассмотрение 2р + с - мерные

*

векторы М* и М* соответственно с проекция* *

ми myl,...,т*2р+а и myl,.,т*2р+0, составленными из проекций ку1,...,к* р+а вектора К*

согласно правилу, а именно:

* *

1)т*] = т*р+] = т*] = т*р+] = 0 (к*] = 0); 2)т* 1 = к* 1 = т*р+у;т*Р+1 = 0 (к*у > 0);

(к * 1 < 0;)

(12)

3) т* у т* р + у 0; т* р + у т* у |к* у |

*

4)т*2р + х = к*р+х ; т*2р+х = _к*р+х

(^ =1,...ст; у =1,.р).

Из равенств (11) и (12) следует, что функции

V - г* 1 %+* - х/+1 х/+2р

хехр/{т* 2p+lVl + . + т* 2К

••• х,

"* 2 р

V =хт* 1 . У v+r+* х/+1

• Гт* 2р У х/+2 р х

(13)

I * * I

+ ... + т* 2р+а^г

х ехр/^ту 2р+^1

соответствующие векторам М* и М* являются

интегралами порождающей системы (4). Принимая во внимание соотношения (10), (12), (13), находим, что существуют зависимости

Vv+*Vv+r+* =^1 (* = 1,.,г), (14)

где к*1,...,к*р - коэффициенты в равенстве (11).

Переменные Гт,--,Г/+р+2г связаны соотношениями

Г Г =Г Г*1! .Г Г* р|

^+*^+г+* Г/+1 •"Г/+р

(V =/ + р, * = 1,...,Г),

(15)

вытекающими из тождеств (14).

Итак, исследование исходной системы порядка п = / + 2 р + 2т сводится с помощью уравнений интегрального многообразия (7) к исследованию вспомогательной системы (6) порядка N = / + р + 2г. Учитывая г тождеств (15) порядок вспомогательной системы можно понизить на г, т.е. окончательно получим порядок системы N = / + р + г .

*

*

Р. Р. Исламов, Р. Р. Исламов (мл.) • Интегрирование неавтономных квазилинейных .,

183

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ

Задача построения решений системы (1) сводится к интегрированию системы (6). Переменная х. (- = 1,2,..., п ) ищется в виде

у- = Xj + вФ 1 j (X, г) + в2ф2 j (X, г) +..., (16)

где у. удовлетворяет дифференциальному уравнению

йг

■■ A }у} + Bq j (Z )у, + в 2q2 j (Z )у, +... (17)

Функции q^. (Z), ф/j (X, t) находятся из уравнений в частных производных

дФк] ВФк} JV . l+—LJX -A j ф^ =

dt

DX

= qkj (V (x))xj + (X, t). (18)

Здесь О^ (X, г) - известная функция, полиномиальная относительно Х1,...хп и квазипериодиче-ски зависящая от г. Всегда можно подобрать функции qкj (V(х)) так, чтобы уравнение (18)

имело решение ф^- (X, г), полиномиальное относительно Х1,...хп и квазипериодически зависящее от г [1]. Так как уравнение (17) линейное относительно у. и при известном ^ (С -

решение системы (6)) отыскание у приводит к

квадратуре, то из (16) находится интеграл системы (1). После разрешения системы (16) относительно х. (- = 1,2,. ., п) определяется полное решение системы (1) в виде

X = Н (у1,..., уп, г, в),

( г \

yj = Уоj exP

A jt + sj qj (Z, в) dt

(19)

где qj (в, Z) = q^- й + Щ2- (С) +..., Уо - - постоянная интегрирования; Z - решение системы (6).

Частному решению системы (6) соответствует интегральное многообразие системы (1), которое определяется уравнением (7). При этом выражение (19) определяет интегральные кривые на интегральном многообразии. Таким образом, поставленная задача решена.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной статье на идеях работы [1] предлагается приближенный метод интегрирования квазилинейных неавтономных систем дифференциальных уравнения в сложных резонансных случаях. При этом используется интегральное многообразие специального вида. Интегрирование исходной неавтономной системы порядка n = l + 2p + 2m сводится к интегрированию вспомогательной автономной системы порядка N с медленно изменяющимися переменными.

При этом порядок вспомогательной системы зависит от свойств собственных чисел порождающей системы и числа резонансных соотношений. Приведен алгоритм выбора полиномиально независимых интегралов порождающей системы. Число таких интегралов и определяет порядок вспомогательной системы.

Многочисленные асимптотические методы исследования, в частности одночастотный метод Крылова-Боголюбова [2], являются частными случаями приведенного метода исследования.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Валеев К. Г. Об одной теореме Ляпунова // Математическая физика: сб. науч. тр. К.: Наук. думка, 1971. Вып. 9. С. 17-23. [ K. G. Valeev, "About Lyapunov's one theorem," (in Russian), in Matematicheskaya Fizika, iss. 9, pp. 17-23, Kiev, 1971. ]

2. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гос-техиздат, 1958. [ N. N. Dogolyubov and Yu. A. Mitropolskiy, Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Fluctuations. Moscow: Gostekhizdat, 1958. ]

ОБ АВТОРАХ

ИСЛАМОВ Роберт Рахимович, доц. каф. математики. Дипл. инж.-мех. (УАИ, 1966). Канд. физ.-мат. наук по диф. и интегр. уравнениям. (защ. в Ин-те мат. АН УССР, 1973). Иссл. в обл. устойчивости решений обык. диф. уравнений.

ИСЛАМОВ Ринат Робертович. Дипл. инж. по выч. машинам, комплексам, системам и сетям (УГАТУ, 2004). Канд. физ.-мат. наук (УГАТУ, 2007). Иссл. в обл. диф. уравнений, мат. моделирования дин. систем.

о

METADATA

Title: Non-autonomous quasilinear differential equations integration.

Authors: R. R. Islamov and R. R. Islamov (jr.).

Affiliation: Ufa State Aviation Technical University (UGATU), Russia.

Email: [email protected]

Language: Russian.

Source: Vestnik UGATU (scientific journal of Ufa State Aviation Technical University), vol. 18, no. 2 (63), pp. 181-184, 2014. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print).

Abstract: Non-autonomous dynamic system which described by quasilinear differential equations is researched. Integral manifolds are used to integration equation of motion of such system.

Key words: Non-autonomous dynamic system; quasilinear differential equations; integral manifold.

About authors:

ISLAMOV, Robert Rahimovich, Assistant Professor, Dept. of Mathematics. Dipl. Mechanist (Ufa Aviation Inst., 1966). Cand. of Phis.-Math. Sci. (KIIGA Kiev Institute Engineers of Civil Aviation, 1973).

ISLAMOV, Rinat Robertovich. Dipl. IT Engineer (UGATU, 2004). Cand. of Tech. Sci. (UGATU, 2007).