CC BY
11
ISSN 1992-6502 (Print) 2017. Т. 21, № 4 (78). С. 32-40
Вестник УГАТУ
ISSN 2225-2789 (Online) http://journal.ugatu.ac.ru
УДК 621.9.047
Моделирование автомодельного процесса электрохимического
осесимметричного формообразования
1 2 3
о. р. Зиннатуллина , н. м. Шерыхалина , н. и. Житникова
1 [email protected], 2 n_sher @mail.ru, 3 [email protected] ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (УГАТУ)
Поступила в редакцию 10.10.2017
Аннотация. Задача моделирования автомодельного формообразования и краевые условия формулируются согласно закону Фарадея. Задача сводится к решению краевой задачи для определения аналитической функции комплексного переменного. В отличие от плоской задачи для определения потенциала, функции тока и напряженности используются интегральные преобразования аналитической функции. Производится интерполяция сплайн-функциями, описывается метод решения автомодельной осесимметричной задачи, отличающийся от известных своей точностью. Представлены результаты численного решения.
Ключевые слова: осесимметричная задача; комплексные переменные; интегральные преобразования; автомодельное решение.
ВВЕДЕНИЕ
Среди решений нестационарных задач электрохимического формообразования особый интерес представляют решения, которые сохраняют геометрическое подобие межэлектродного пространства (МЭП) [1] относительно некоторой точки ХЕ (называемые автомодельными). Автомодельные решения позволяют более простыми средствами (в ряде случаев - аналитически) исследовать нестационарные процессы, в частности, получить оценки изменения радиуса кривизны при скруглении острых кромок. При этом иногда процесс, приближенный к автомодельному, возникает в начальный момент времени, а затем переходит в нестационарный. Чаще автомодельный процесс устанавливается асимптотически.
В связи с этим целью данной работы является разработка численно-аналитического метода и исследование характеристик автомодельных процессов.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА
Рассматривается задача по решению уравнения Лапласа для потенциала Ф внутри некоторой осесимметричной области, на границах которой выполняется условие постоянства Ф, причем форма свободной границы должна удовлетворять условию авто-модельности, т.е. сохранения геометрического подобия МЭП.
Рассмотрим автомодельную задачу обработки точечным электродом-инструментом (ЭИ). Меридиональное сечение МЭП показано на рис. 1. Здесь ЛВВ - граница растворяемого материала, точка С -неподвижный точечный ЭИ.
Работа поддержана грантом РФФИ 17-07-00356.
Рис. 1. Схема МЭП при автомодельном процессе
С помощью интегральных преобразований Г. Н. Положего [2] потенциал Ф и функция тока ¥ осесимметричного поля выражается через функцию комплексного переменного аналитическую (т.е. удовлетворяющую условиям Коши-Римана) в области 1=Х+1У, форма границ которой совпадает с формой границ межэлектродного пространства в меридиональном сечении осесимметричного поля
1 2 0 И7
ф(х 0Л ) = -—1т ¡/ (г) *£ ,(1)
я » 4(2-го)(г - го)
)= —1шг|0 /(2) (г -X0, , (2) я „ 4(2 - 20\2 -20)
где Z0 = X0 + iY0, Z о = X0 - iY0 .
Таким образом, решение осесиммет-ричной задачи сводится к решению некоторой плоской задачи для определения аналитической функции W(Z), представляющей комплексный потенциал некоторого вспомогательного плоского поля. Потенциал и функция тока осесимметричного поля получаются путем интегральных преобразований (1), (2), примененных к функции f(Z) = dW/dZ [1].
Краевые условия вспомогательной плоской задачи записываются в виде интегральных уравнений, которые получаются приравниванием к константе правых частей (1) для эквипотенциальных границ или (2) для непроницаемых. Равенство нулю мнимой или действительной части f(Z) в общем случае не приводит к равенству нулю или константе соответствующих интегралов.
Из (1) и (2) определяются значения продольной и радиальной составляющей напряженности Ex = дФ/дX, Ey = ЭФ/fíY
i Хо +iYo л/
Ex =-11m f f
x f d7
dZ
к
X o +iYo
Ey = Im f
kY
l(Z - Zo )(z - Z 0 )
df (Z - X0 )dZ
dZ
l(Z - Zo )(z - z 0)
(3)
(4)
где Xj + i0 - некоторая точка на оси симметрии X.
Отобразим конформно область, соответствующую МЭП на плоскости Z, на полосу X = о + /и (рис. 2, а). Тогда задачу определения функции Ж(Т^), аналитической в области МЭП, можно решать в параметрическом виде: найти функции Щ%) и
а б
Рис. 2. Образы МЭП на плоскостях:
а - параметрического переменного б - комплексного потенциала
КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
Краевым условием для определения функции Ж(х) является условие эквипотенциаль-ности анода. При этом на плоскости Ж образом области МЭП является криволинейная полуполоса (рис. 2, б).
Краевым условием для определения функции Z(x) является условие автомодель-ности. Для вывода этого условия в осесим-метричном случае используем закон Фара-дея в форме уравнения Полубариновой-Галина [1, 3, 4]
Im
fdZ д7Л dt дь
= -k
1 д^
Y ~до
(5)
где к - электрохимическая постоянная.
В автомодельном решении, если выбрать некоторое характерное расстояние I (^), то отношение
z(X) =
Z (х, t)- Zt l (t)
является безразмерной аналитической функцией, не зависящей от времени I (поскольку форма области на плоскости параметрического переменного также не зависит от времени). Тогда частная производная
где «(¿) - относительная скорость изменения характерного размера (масштабного
X1+i0
фактора). При этом равенство (5) примет вид
а
(г )/ 2 (г) 1т
(«О
да
= -к
1
У 5а
или в безразмерном виде при у=УН, у=^к/1
1т
да
к 1 I ёу а/2 /у к ёа
1 ёу Ху ёа
(6)
Х =
/ 3ка /2 а
^Г ~ ки
Это равенство представляет собой краевое условие автомодельности. Производная функции тока ёу/ёа определяется с помощью интегральных преобразований (3), (4) аналитической функции.
Значение безразмерной константы X в (6) определяется при решении задачи. При этом все составляющие ее величины могут быть функциями времени.
В частности, при постоянном и величина а(^) должна удовлетворять условию
г
2 |а(т)Л
а(г)/2 (0> 0 = а(о)/2 (о).
Отсюда можно определить зависимость
а1
(г)
а
(г ) =
1
2г + а-1 (0)
, / (г ) = / (о)Л/1 + 2а(о)г.
1 /2 (о)
Время гп = - —^ = - —можно расо 2а(о) 2ких
сматривать как время начала процесса растворения некоторой начальной формы с особенностями. Принимая во внимание факт, что автомодельное решение является некоторым аттрактором, к которому, по-видимому, сходятся решения нестационарных задач, имеется возможность избежать трудностей при начале расчета растворения поверхностей, имевших в начальное время изломы или точки соприкосновения проводника с изолятором.
При постоянном токе I величина а(^) должна удовлетворять условию
3|а(т)ёт;
а(г)/3(о)е о
= а(о)/3 (о).
Отсюда
а
(г ) =
3г + а 1 (о)
/ (г) = / (о)Л/1 + 3а(о)г
гп = -
1 _ к/3 (о)
3а(о) 3кц1Х
При постоянной плотности тока ( ~ I¡/ )
г
|а(т)ёт;
а(г)/(о)ео = а(о)/(о).
Тогда
а(г) =-^^, /(г) = /(о)Л/1 + а(о)г,
г + а 1 (о)
го =-
1
/2 (о)_ к/3 (о) (о) клих кп1Х '
В (6) сделаем замену 2 = ес Ю = ^ + 7 V = 1п 2 ,
1т
Ю Ю
е е
5Ю да
= -е
5v да
1 5у Ху 5а
Тогда получим соотношение
е2ц ёУ
5а Ху ёа '
которое также может быть использовано в качестве краевого условия.
Метод решения осесимметричных задач по определению форм, не зависящих от времени, включает два основных этапа: нахождения конформного отображения области параметрического переменного на физическую плоскость и определения потенциала и функции тока с помощью инте-тральных преобразований аналитической функции.
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Задача конформного отображения решается следующим образом.
Функция
2 о (х) = щ ^х
(7)
1
при g>0 конформно отображает полосу плоскости х на левую полуплоскость с разрезом. При этом граница х=а отображается на поверхность ЛDB, граница х=а+/'/2 - на разрез Л СВ'. Положение точечного источника 2о (г/2) = -щ.
Функция, отображающая плоскость х на физическую, ищется в виде суммы
2(х) = 2о (х) + 2д(х). (8)
При х ^ го величина Яе гд (х) ^ о.
Функция 2д(х) получается следующим образом. Будем искать решение на границе Х=а в узловых точках ат (т=0,...,п). Искомыми будут значения Яегд(ат) = хт . При
а=ап примем Яе гд(ап ) = о, поскольку Яе 2д(а) как экспонента убывает при а^-го. Значения Яе 2д(а) в промежуточных между узловыми точках найдем, аналогично [5, 6], с помощью кубического сплайна Р(а), имеющего две непрерывные производные.
Для восстановления функции гд(х) используем формулу Шварца [7] с учетом того, что £д(х) аналитическая функция, имеющая, как и го (х), чисто действительные значения на прямой 1тх=1/2. Аналитически продолжим функцию 2д(х) на полосу единичной ширины. В силу принципа симметрии [7] Яе гд (а + г) = Яе гд (а). Так как в силу симметрии МЭП Яе 2д(а) - четная по а функция, то
2д(х)=-г 2бЬ ях! Р(а) ^ (9)
о еЬ яа - еЬ ях
ёа
Производная
ё2д(х) определяется диф-
ёх
ференцированием (9)
ё2 д(х) = -г 2 еЬ ях| ^ (а) ёа
бЬ яа
о
2 2 еЬ яа - еЬ ях
ёа .
ёх
Так как в автомодельной задаче точечный источник располагается в начале координат, зададим условие Яе[го (г/2) + + 2д(г/2)]= о и найдем из этого условия параметр g
г 1 = -щ + 2/= о.
2
о
еЬ яа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА И ФУНКЦИИ ТОКА
Способ решения заключается в представлении комплексного потенциала ^(х) вспомогательной плоской задачи и его производной в виде сумм
°х
(х) = (х) + (х),
(х) = /о (х) + /1 (х),
где функция источника /^ (х) = —г— опре-
еЬ ях
деляется из решения плоской задачи.
Будем искать решение в виде функции
/1 (х).
Эта функция должна обладать следующими свойствами: при х=а+Ю ее действительная часть должна быть нечетной функцией а, при х=а+/'/2 /1 (а + г/2) должна быть чисто действительной. Тогда ее можно аналитически продолжить на полосу единичной ширины. При этом в соответствии с принципом симметрии справедливо равенство Яе /1 (а + г) = Яе /1 (а + го).
Искомыми параметрами будут значения действительной части функции
Яе /1 (ат ) = /т в узловых точках ат, (т = 1,...,п). При а=ао=0 Яе/1 (ао) = о, поскольку действительная часть /1 - нечетная функция а. При а=ап примем Яе /1 (а п ) = о, поскольку /1 (а) как экспонента убывает при а^-го. Значения Яе/1 (а) = о в точках, промежуточных между узловыми, найдем с помощью кубического сплайна £(а).
Для восстановления функции /1 (х) используем формулу Шварца [7]. Так как Яе /1 (а) нечетная по а функция, то
/1 (х)=-,2еЬ ях] 5 (а) ^ ^ .
о еЬ яа - еЬ ях
го
В связи с наличием особенности функции /(о) в точке С при применении преобразований Положего интегрирование необходимо проводить от бесконечности. Выражения (1), (2) примут вид
— оп
ф(от ) = - —1т \{/0 (о)+ А (о)]х
к
ёо
X2 - г(°т )% - г(°т ))
(10)
дЕ
т д/,
= -—1т | Е,(о)-2/у.р.{Е,(р)
К
еЬ ко бЬ крёр
2 2 еЬ кр - еЬ ко
ёо
X2 - 2(о т ))(2 - 2(о т ))
Таким образом, система уравнений (12) примет вид
N дЕ
= Вт , т = 0,„.,N,
— оп
^(от) = 1т ¡[/0(о)+/(о)] к у
(2 - х(от))/о л/(2 - 2(от ))(2 - 2(от ))
(11)
Условие эквипотенциальности обрабатываемой поверхности при решении методом коллокаций приводит к системе уравнений
Ет =ф(от )-Ф(оп ) = 0, т = п - 1 . (12)
Подставив в (10) выражение /— (о) через сплайн и формулу Щварца, а полученные выражения в (12), и используя формулу Сохоцкого [7], получим систему линейных (относительно переменных £т) уравнений:
1 оп (
Бт =- —1т | /0(о) + 5(о)-2/у.р.{Б(р)х
к
еЬ ко бЬ крёр
2 2 еЬ кр - еЬ ко
ёо
!(2 - 2(от ))(2 - 2(от ))
= 0.
Для формирования указанной системы линейных уравнений необходимо найти
де
частные производные —т. При этом необ-
д/,
ходимо дифференцировать сплайн £(о) по £ под знаком интеграла. Дифференцируя сплайн £(о) по получим единичный сплайн Е(о). Тогда
1 п
Вт = —1т | /0 (о)
ёо
\
X2 - 2(от ))(2 - 2(от ))
. (13)
Для численного интегрирования применяется метод, предложенный в [8].
Форма обрабатываемой поверхности заранее не известна, а определяется краевым условием автомодельности (6), которое запишем в виде
1т
д2 до
= g бЬ ко - к,§хД еЬ ко +
до
+ 1т
д2Д
до
1 ёу X ёо
(14)
Это уравнение представляет собой нелинейное граничное условие при решении краевой задачи для определения неизвестной функции ¿д(о).
Задача решается методом коллокаций. Для этого используем представление этой функции в виде (7)-(8). Искомыми являются значения Яе 2д(от ) = хт в узловых точках от (т=1,..., п-1) и параметр X (как было указано выше, хп=0). Подставляя 2д(от) и д2
—Мот) при о=от (т=0,..., п-1) в (14) и до
определив —,— по формулам (3), (4), со-дх ду
ставим систему нелинейных уравнений. Также определим масштаб, задав х0=1.
Искомыми также являются значения Яе /1 (от) = /т в узловых точках от
х
0
о
т
X
о
т
X
X
о
т
X
2
д
0
о
т
X
(т=1,..., п-1). (Как было указано выше, /0=/п=0). Для определения этих параметров составим систему линейных уравнений, потребовав выполнение уравнений (13) при о=от (т=1,..., п-1). Максимальное значение оп равно 10.
Тем самым, получим систему 2п-1 нелинейных уравнений, которая решается методом Ньютона с регулированием шага.
ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Результаты решения осесимметричной автомодельной задачи приведены на рис. 3-5 (кривые 1) в сравнении с аналогичным решением плоской задачи (кривые 2). Асимптотический характер зависимости х~у—2 у плоской формы, у осесимметричной х~у-3. На рис. 3 представлена форма автомодельной поверхности (повернутая на 90° по часовой стрелке). При этом форма плоской автомодельной поверхности получена по формуле [1]
)= 1 (г + 21) —. 2К г+I
]—-
У 2
Рис. 3. Формы автомодельных поверхностей:
1 - осесимметричной, 2 - плоской
Видно, что форма осесимметричной автомодельной поверхности близка к соответствующей плоской. При этом абсолютные значения максимальной и минимальной кривизны осесимметричной автомодельной формы несколько выше (рис. 4).
2 /У
1
0 1 2 3 >"
Рис. 4. Кривизна автомодельных поверхностей:
1 - осесимметричной, 2 - плоской
На рис. 5 приведена зависимость модуля напряженности на поверхности от ординаты.
Е 0.2
0.15
0.1
0.05
0 1 2 3 4 У Рис. 5. Напряженность на автомодельных поверхностях: 1 - осесимметричной, 2 - плоской
В табл. 1 даны значения параметров решения (1А,, Ко, Ео - кривизна и безразмерная напряженность в точке О, Ктп - минимальное значение кривизны поверхности, оп, хп, уп - координаты точки перегиба обрабатываемой поверхности) с оценками погрешности и относительной размытости, соответствующие иллюстрации оценок и фильтрации на рис. 6-9.
Таблица 1
Результаты решения осесимметричной задачи
Пара Оценка Размы-
ра- Значение погреш- мы-
метр ности тость
1/Х 10,884951335035 +1-10-11 0,1
Ео 0,09186995598055 +1-10-13 0,1
Ко 0,948474795 +1-10-8 0,1
Ктт -2,0426225 +2-10-6 0,1
СТд 0,289716912 +3-10-9 0,2
хп 0,4031529 +4-10-7 0,1
Уп 0,9990055 +1-10-7 0,1
Следует отметить, что в плоском случае безразмерная напряженность Ех = дф/дх на расстоянии 1 от одиночного источника равна 1/(2л); на плоской эквипотенциальной поверхности, расположенной на том же расстоянии от источника, удваивается: Ех=1/л. В автомодельном решении за счет перераспределения тока от центра к периферии напряженность имеет промежуточное значение 1/(1,5л). Аналогично, в осесиммет-ричном случае напряженность от изолированного источника на расстоянии 1 равна 1/(4 л), на плоской поверхности 1/(2 л), в ав-
томодельном решении имеет промежуточное значение (приблизительно в 2,31 раза меньшее, чем в плоском случае (табл. 1)).
Это видно и из рис. 5. При этом 1 Ех (1,0) = 1,
X
так как в силу краевого условия (14) гёг/^ (1,0) = IX (поскольку 7(1,0) = 1, а
да
(1,0) имеет чисто мнимое значение).
Оценка погрешности численного решения проводилась методом фильтрации результатов вычислений [9-12]. На рис. 6-9 результаты фильтрации представлены в логарифмическом масштабе. По оси ординат отмечены десятичные логарифмы абсолютных величин полученных оценок погрешностей - ^ А (точность результатов). По оси абсцисс отложены десятичные логарифмы числа отрезков разбиения п (которое изменялось от 64 до 1339).
Рис. 6. Оценка относительной погрешности вычисления величины 1/ X
Рис. 7. Оценка относительной погрешности вычисления кривизны в точке Б
В качестве оцениваемых параметров на рис. 6, 7 рассмотрены значения 1/Х и кривизны поверхности К0 в центральной точке Б. Цифрой 0 отмечены оценки точности вычисленных данных, цифрами 1, 2, ... результаты первой, второй и т.д. фильтрации Разность ординат между двумя кривыми
представляет собой логарифм отношения оценок для разных фильтраций. Это отношение называется размытостью оценки. На рис. 8, 9 рассмотрены значения минимальной кривизны и ординаты точки перегиба.
Как видно, в результате фильтрации точность повышается на 3-5 порядков. Результаты численного анализа (рис. 8, 9) показывают, что нерегулярная составляющая погрешности, связанная с переменой положения точек относительно узлов сетки несколько затрудняет проведение фильтрации минимального значения кривизны и координат точки перегиба.
Рис. 8. Оценка относительной погрешности вычисления минимальной кривизны
Рис. 9. Оценка относительной погрешности вычисления ординаты точки перегиба
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, в данной работе на основе закона Фарадея и геометрического условия сохранения подобия найден вид краевого условия автомодельности, удобный для аналитического и численного решения осесимметричных задач.
Предложен метод численного решения задачи автомодельной электрохимической обработки точечным электродом-инструментом в осесимметричной постановке, основанный на интегральных преобразованиях аналитической функции. Численное ре-
шение подтвердило высокую эффективность предложенного метода.
Получены численные значения (с оценкой погрешности) геометрических и физических параметров. Например, значения кривизны границы вычислены с точностью около 7 значащих цифр.
Авторы выражают благодарность д-ру физ.-мат. наук, проф. В. П. Житникову за высказанные замечания и пожелания по улучшению статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Житников В. П., Зиннатуллина О. Р., Федорова Г. И.
Аналитическое решение задачи Римана-Гильберта с условиями, имеющими место в плоских и осесимметричных задачах Хеле-Шоу // Вестник УГАТУ. 2006. Т. 7, № 2 (15). С. 149-154. [ V. P. Zhitnikov, O. R. Zinnatullina and G. I. Fedo-rova, "Analytic solution of Riemann-Gilbert problem for plane and axisymmetric Hele-Shaw problems" (in Russian), in Vest-nik UGATU, vol. 7, no. 2 (15), pp. 149-154, 2006. ]
2. Положий, Г. Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного. Киев: Киев. ун-т, 1965. 442 с. [ G. N. Polozhiy, Generalization of the theory of complex variable analytical functions, (in Russian). Kiev: Kiev. University, 1965. ]
3. Полубаринова-Кочина П. Я. Нестационарное движение в теории фильтрации. // ПММ. 1945. Т. 9. С. 79-90. [ P. Ya. Polubariniva-Kochina, "Nonstationary moving in filtration theory" (in Russian), in PMM, vol. 9, pp. 79-90, 1945. ]
4. Галин Л. А. Нестационарная фильтрация со свободными границами // ДАН СССР. Т. 47, 1945. С. 246-249. [ L. A. Galin, "Nonstationary filtration with free boundaries" (in Russian), in DANSSSR, vol. 47, pp. 246-249, 1945. ]
5. Zhitnikov V. P., Fedorova G. I., Sherykhalina N. M., Urakov A. R. Numerical investigation of non-stationary electrochemical shaping based on an analytical solution of the Hele-Shaw problem // Journ. Eng. Math., Vol. 55, 2006. P. 255-276. [ V. P. Zhitnikov, G. I. Fedorova, N. M. Sherykha-lina and A. R. Urakov, "Numerical investigation of non-stationary electrochemical shaping based on an analytical solution of the Hele-Shaw problem," in Journ. Eng. Math., vol. 55, pp. 255-276, 2006. ]
6. Житников В. П., Зиннатуллина О. Р., Поречный С. С., Шерыхалина Н. М. Особенности установления предельных решений нестационарных осесимметричных задач Хеле-Шоу // ПМТФ. 2009. Т. 50, №4. С. 87-99. [ V. P. Zhitnikov, O. R. Zinnatullina, S. S. Porechniy, N. M. Sheryhalina, "Features of relaxation of limit solutions of Hele-Shaw axisymmetric problems" (in Russian), in PMTF, vol. 50, no. 4, pp. 87-99, 2009. ]
7. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с. [ M. A. Lavrentiev, B. V. Shabat, Methods of the theory of functions of a complex variable, (in Russian). M.: Nauka, 1973. ]
8. Житников В. П., Зиннатуллина О. Р., Житникова Н. И. Модификация методов численного интегрирования для решения осесимметричных задач // Вестник УГАТУ. 2015.
Т. 19, № 2 (68). С. 179-182. [ V. P. Zhitnikov, O. R. Zinnatulli-na, and N. I. Zhitnikova, "Modification of integration methods for axisymmetric problems solution" (in Russian), in Vestnik UGATU, vol. 19, no. 2 (68), pp. 179-182, 2015. ]
9. Житников В. П., Шерыхалина Н. М. Методы верификации математических моделей в условиях неопределенности // Вестник УГАТУ. 2000. № 2. С. 53-60. [ V. P. Zhitnikov, N. M. Sheryhalina, "Verification methods of mathematical models in uncertainty conditions" (in Russian), in Vestnik UGATU, no. 2, pp. 53-60, 2000. ]
10. Житников В. П., Шерыхалина Н. М. Обоснование методов фильтрации результатов численного эксперимента // Вестник УГАТУ, 2007. Т. 9, № 3 (21). С. 71-79. [ V. P. Zhitnikov, N. M. Sheryhalina, "Arguments of filtration methods of numerical experiment results" (in Russian), in Vestnik UGATU, vol. 9, no. 3 (21), pp. 71-79, 2007. ]
11. Житников В. П., Шерыхалина Н. М., Поречный С. С. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2009. №3 (80), С. 105-110. [ V. P. Zhitnikov, N. M. Sheryhalina, and S. S. Porechniy, "One approach to practical error estimation of numerical results" (in Russian), in Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU, no. 3(80), pp. 105-110, 2009. ]
12. Zhitnikov V. P., Sherykhalina N. M., Sokolova A. A. Problem of Reliability Justification of Computation Error Estimates // Mediterranean Journal of Social Sciences, 2015, Vol. 6, No. 2. P. 65-78. [ V. P. Zhitnikov, N. M. Sherykhalina and A. A. Sokolova, "Numerical investigation of non-stationary electrochemical shaping based on an analytical solution of the Hele-Shaw problem," in Mediterranean Journal of Social Sciences, vol. 6, no. 2, pp. 65-78, 2015. ]
ОБ АВТОРАХ
ЗИННАТУЛЛИНА Ольга Рифовна, доц. каф. ВМиК. Дипл. инж.-системотехн. (УГАТУ, 2002). Канд. физ.-мат. наук по механ. жидкости, газа и плазмы (УГАТУ 2006). Иссл. в обл. электрохимического формообразования, разработки числ.-аналит. методов.
ШЕРЫХАЛИНА Наталия Михайловна, проф. каф. ВМиК. Дипл. инж.-системотехн. (УГАТУ, 1993). Д-р техн. наук по мат. моделированию, числ. методам и комплексам программ (УГАТУ 2012). Иссл. в обл. волновых течений жидкости, разработки числ.-аналит. методов, методов оценки погрешности и достоверности числ. результатов.
ЖИТНИКОВА Наталья Ивановна, доц. каф. ВМиК. Дипл. инж.-мех (УАИ, 1972). Канд. техн. наук по динамике и прочности машин, приборов и аппаратуры (УГАТУ, 1994). Иссл. в обл. механики оболочек, числ. методов.
METADATA
Title: Self-similar axisymmetric electrochemical machining simulation
Authors: O. R. Zinnatullina1, N. M. Sherykhalina1, N. I. Zhitnikova3
Affiliation:
Ufa State Aviation Technical University (UGATU), Russia.
Email: [email protected], [email protected], [email protected]
Language: Russian.
Source: Vestnik UGATU (scientific journal of Ufa State Aviation Technical University), vol. 21, no. 4 (78), pp. 32-40, 2017. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print).
Abstract: The problem of self-similar shaping simulation and boundary conditions are formulated accordingly Faraday's low. The problem is reducing to the solution of a boundary problem for determination of analytical function of a complex variable. Unlike a plane problem for determination of potential, stream function and intensity, the integral transformations of analytical function are used. Interpolation by a spline functions is made, the method of the solution of self-similar axisymmetric problem differing from known by the accuracy is described. Results of the numerical solution are presented.
Key words: axisymmetric problem; complex variables; integral transformations; self-similar solution.
About authors:
ZINNATULLINA, Olga Rifovna, Doc., Dept. of computer science and robotics. Dipl. Engineer-system master (UGATU, 2002). Cand. of Phys.-Math. Sci. (BGU, 2006).
SHERYKHALINA, Nataliya Mikhailovna, Prof., Dept. of computer science and robotics. Dipl. Engineer-system master (UGATU, 1993). Cand. of Phys.-Math. Sci. (BGU, 1996), Dr. of Tech. Sci. (UGATU, 2012).
ZHITNIKOVA, Natalya Ivanovna, Doc., Dept. of computer science and robotics. Dipl. Engineer-mech. (UAI, 1972). Cand. of Techn. Sci. (UGATU, 1994).
