Построение приближенных моделей формообразования для задач со свободной границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.85

ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

В.П.Житников, Р.Р.Муксимова*, Я.М.Далингер*

CONSTRUCTING APPROXIMATE FORMATION MODELS FOR FREE BOUNDARY PROBLEMS

V.P.Zhitnikov, R.R.Muksimova*, Ia.M.Dalinger*

Уфимский государственный авиационный технический университет, zhitnik@mail.ru *Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации, rose.r.mux@gmail.com

Рассмотрено моделирование процессов размерной электрохимической обработки, которое при допущении об однородности электролита сводится к решению задач Хеле—Шоу со свободной границей. Получены наборы данных и приближенные численные модели процессов формообразования в виде интерполяционных зависимостей, которые позволяют при произвольных значениях геометрических параметров при незначительных затратах ресурсов с достаточной точностью вычислять параметры формообразования.

Ключевые слова: задача Хеле—Шоу, свободные границы, интерполяционная модель, неполнота исходных данных

The modeling of the processes of electrochemical dimension machining is considered. This modeling, under the assumption of uniformity of electrolyte properties, comes down to solution of the Hele-Shaw free boundary problems. The data sets and approximate numerical models are obtained as interpolation dependences. The models allow calculating of formation parameters for arbitrary values of geometrical sizes with sufficient accuracy and insignificant resource consumption. Keywords: Hele-Shaw problem, free boundaries, interpolation model, incompleteness of basic data

Введение

Необходимость построения математических моделей, основанных на анализе и обработке данных, полученных путем численного решения сложных задач, объясняется, во-первых, получением возможности практического использования результатов, во-вторых, позволяет разработать базу данных для решения более общих задач моделирования. Одним из методов построения таких моделей является интерполяция. Однако эта задача часто является некорректной, и в ряде случаев необходима разработка специальных методов и приемов построения и верификации интерполяционных моделей.

В качестве примера в работе рассмотрено моделирование процессов размерной электрохимической обработки (ЭХО), которое при допущении об однородности электролита сводятся к решению задач

Хеле—Шоу. Решения задач Хеле—Шоу также могут интерпретироваться как течения вязкой жидкости, потоки в пористых средах (полагая, что они описываются законом Дарси), движение границы фазового перехода (с приложением в металлургии), процессы напыления металлов и т.д.

При исследовании формообразования анодной поверхности в процессе электрохимического растворения необходимо учитывать неравномерность зазоров в межэлектродном пространстве, что требует применения сложных численных методов и алгоритмов. Разработанные ранее методы [1,2] позволяют достаточно просто исследовать процессы ЭХО электродами-инструментами (ЭИ) в виде точки, прямолинейной пластины, угла. Решение задач обработки, например, круглым ЭИ требует разработки существенно более сложных численных методов и алгоритмов [3,4].

Для возможности практического применения результатов необходимо исследование процессов в широком диапазоне изменения геометрических параметров в условиях жестких ограничений затрат вычислительных ресурсов.

Асимптотические приближения

Рассмотрим в качестве примера простейшую задачу ЭХО с плоскопараллельным межэлектродным пространством (МЭП) с плоским ЭИ, движущимся вертикально вниз со скоростью Vet. Угол между нормалью к ЭИ и направлением движения ЭИ равен S (рис.1а). Текущее расстояние между электродами равно S(t,S), (t — время).

Допустим, к электродам подключено напряжение U(t) в виде прямоугольных импульсов с амплитудным значением U. Тогда напряженность во время

импульса равна E = En = U (S — величина зазора).

При достаточно коротких импульсах можно пренебречь изменением зазора за время импульса. Тогда согласно закону Фарадея средняя за период скорость движения границы анода равна

V =^ E

у ecm Q^n

(1)

где Еп — нормальная к анодной поверхности составляющая напряженности, ^ — анодный выход по току (доля тока, участвующая в реакции растворения металла), Q — скважность импульса. Величина k далее называется электрохимической постоянной.

Для ЭХО локализация процесса растворения

определяется коэффициентом ^ос =77— [5].

E dq

Из (1) следует, что kloc = 1н—, т.е. чем больше

q dE'

dq

значение производной -р- в рабочей зоне, тем вы-

-E ) =

(2)

ше степень локализации. Поэтому наименьшая локализация (kloc =1) имеет место при постоянном выходе по току, а наибольшей локализации можно добиться при ступенчатой функции выхода по току [6,7]

(-0, E >Ei, I 0, E < Eh

если при этом на всей обрабатываемой поверхности

E = E1.

Скорость изменения расстояния между электродами определяется разностью между скоростью электрохимического растворения и нормальной к аноду скоростью движения ЭИ (рис. 1а)

df = kUU -0 -Vet cos & (3)

В случае стационарного процесса (dS/dt = 0) расстояние между электродами будет определяться при решении уравнения

U 1 _ Sst

S» = k-0

Vet cos S cos S'

(4)

где Sst — величина стационарного зазора при S = 0.

Это соотношение в литературе принято называть «косинусным приближением» при решении задач формообразования криволинейным ЭИ.

При решении задач в точной нелинейной постановке краевое условие стационарности (dS/dt = 0) решения (3) при q = const приобретает вид

E = E0cos S, E0 = Q

0 k-0

(5)

где Е — напряженность в точках обрабатываемой поверхности; Е0 — напряженность в точках, где 9 = 0.

Краевое условие предельного режима растворения имеет вид: Е = Е1, где Е — напряженность в точках обрабатываемой поверхности.

Для определения величины зазора при обработке круглым ЭИ радиуса R воспользуемся моделью «цилиндрического конденсатора» (рис.1б)

U

E0(R + S )ln|1 +

=cos &

U

Вводя некоторый характерный размер I =— и

Ео

Я Б

перейдя к безразмерным величинам г = -у, 5 = у,

получим уравнение

1+s)inii+S| = r

1

. Q или |1+"]ln|1 + "] = i, (6)

r ) rcos& I r ) \ r ) r

где r' = r cos s' = s cos &

Решая это трансцендентное уравнение численно, можно получить функции s'(r') и s(&,r) = s'(rcos&)/cosпозволяющие приближенно найти значения зазора, которые могут быть использованы на практике для определения формы ЭИ по заданной форме детали. Однако следует найти область, где возможно использовать их с приемлемой погрешностью, сравнив с решением нелинейной задачи и дополнив результатами этих решений.

Для приближенного решения задачи в предельной постановке получим уравнение

1+s | Ф+s ]=I.

r ) \ r ) r

(7)

Таким образом, в предельном решении величина зазора не зависит от

Нелинейные задачи стационарного и предельно-стационарного формообразования плоским ЭИ с полукруглым выступом были решены с использованием методов ТФКП [8].

1. Стационарное формообразование плоским ЭИ с полукруглым выступом

Рассмотрим задачу ЭХО с помощью плоского ЭИ с полукруглым выступом, движущимся вертикально вниз со скоростью Vet (рис.2).

Рис.2. Образец детали и схема МЭП

Согласно численным данным, полученным в [8], при построении модели стационарного формообразования в качестве базовой приближенной модели целесообразно использовать модель «косинусного» приближения (5), (6). На рис.3 представлены зависи-

мости _/!(&, r) = s(& r) cos&-1.

5о(г )

Значения разностей /¡(9, г), как видно из рисунка, с увеличением г уменьшаются по абсолютной величине (за исключением области значений 9, близких к 90°). Для приближенной оценки предельной (при г^х) зависимости применим метод фильтрации результатов вычислительного эксперимента [9] (на рис.2 приведены оценки для 9 = 50° и 9 = 60°, погрешности даны в абсолютных единицах). Как показали результаты этих оценок, проведенных для каждого значения угла, величина разности /¡(9, г) приближается к нулю

при возрастании г при каждом фиксированном 9 (так как в результате оценок не обнаруживаются значения, превышающие погрешность вычисления).

so а

а 5э

Рис.3. Зависимость )

б

а

Тем самым примем, что при увеличении г зависимости /¡(9, г) приближаются к скачкообразной функции (см. рис.3)

'0, 9< 90°

/1(9, ») =

-1, 9 = 90°.

Тогда отсутствующие данные для г > 32 и промежуточных значений г можно получить с помощью интерполяции. В связи со сложностью интерполируемой зависимости оценка погрешности представляет особую важность.

Для оценки погрешности интерполяции используется увеличение степени интерполяционного алгебраического многочлена, вариация набора исходных данных (через одно или несколько значений г), интерполяция «по наклонной» вдоль луча 9 / — /

— =-7-° (рис.5а), использование разных парамет-

90 — /0

ров интерполяции (1/г, 1/л/г ). Значения /, 9 для каждого значения г получаются с помощью интерполяции зависимостей по дискретным наборам /, 9. для соответствующего г и численного поиска точки пере-

сечения между лучом и кривой, задаваемой интерполяционным многочленом.

На рис.5б показаны результаты интерполяции

по параметру 1/л/г для 90=80°. Правее пунктирной

прямой расположены заданные точки, левее (кроме нуля) — полученные с помощью интерполяции. На рисунке совмещены графики, полученные по полной базе данных и по разреженной (через одну точку). Разница не превышает 10-3.

На рис.6 показаны интерполированные зависимости для г = 100 и г = 1000 вместе с оценками погрешностей интерполяции, полученной путем сравнения полиномов с возрастающей степенью. На рис.6а совмещены графики, полученные по полной и разреженной базе, на рис.6б — для интерполяции при /0 = -10 и да. Применяя интерполяцию «по наклонной», необходимо учитывать, что интерполируемая функция имеет особенность по

переменной 9 при 9^ 90°. Это ограничивает возможность вариации параметром наклона /0 значениями / <—10, так как иначе возникает дополнительная погрешность.

Рис.6. Сравнение результатов интерполяции для г = 100 и г = 1000, полученных: а — по полной и разреженной базе; б — при ^ = -10 и да

Тем самым, согласно оценкам, разработанная модель позволяет определить зависимость ¿(9, г) с

погрешностью около 1% для 0 <9< 85°.

2. Предельное формообразование плоским ЭИ с полукруглым выступом

Зависимости зазора от угла в этом случае удобно

представить в виде разности (рис.7).

/2(9,' К ЦТТ1)'05 9

Рис.7. Зависимости ^(9,г)

Как видно из рисунка, вид кривых качественно совпадает с тем, что мы имели при расчете стационарного формообразования.

Поскольку при предельном формообразовании разность 5т(г)—¿0(г) приближенно представляется экспоненциальной функцией, в качестве параметра (аргумента) интерполяции следует выбрать е^ (рис.8).

Приведенные кривые показывают, что при разрежении базы данных отличие результатов более значительно, чем на рис.5б, однако проявляется при углах, больших 80°.

0.15

0.10

0.05

0.00

г ........®=80°

0.0

0.5

1.0

1.5

-кг

2.0

Рис.8. Результаты интерполяции при разных г

На рис.9 показаны интерполированные зависимости для г = 12 и г = 15 вместе с оценками погрешностей интерполяции, полученной путем сравнения полиномов с возрастающей степенью.

На рис.9а совмещены графики, полученные по полной и разреженной базе, на рис.9б — для интерполяции при /0 = —10 и да.

Тем самым разработанная модель позволяет определить зависимость ¿(9, г) для предельного формообразования для 0<9<84° с погрешностью около 1%.

Отметим, что данная задача являлась тестовой (в отличие от стационарной) в том смысле, что ограничение значений радиуса, использованных для проведения интерполяции, числом 10 не является существенным. Тем самым полученные приближенные расчеты и оценки могут быть проверены сравнением с результатами прямого численного решения задачи. Из сравнения (рис.10) следует, что при г = 12 результаты интерполяции и численного решения совпадают с точностью до 10-3, при г = 15 — до 10-2. При увеличении г значения /2(9) становятся малыми и входят в диапазон 1%.

б

а

Рис.9. Сравнение результатов интерполяции для г = 12 и г = 15, полученных: а — по полной и разреженной базе; б — при ^ = 10 и х

На рис. 9,а совмещены графики, полученные по полной и разреженной базе, на рис. 9,б - для интерполяции при/0=-10 и х.

Тем самым, разработанная модель позволяет определить зависимость 5 (9,г) для предельного

формообразования для 0 < 9 < 84° с погрешностью около 1%.

Отметим, что данная задача являлась тестовой (в отличие от стационарной), в том смысле, что ограничение значений радиуса, использованных для проведения интерполяции, числом 10 не является существенным. Тем самым, полученные приближенные расчеты и оценки могут быть проверены сравнением с результатами прямого численного решения задачи. Из сравнения (рис. 10) следует, что при г=12 результаты интерполяции и численного решения совпадают с точностью до 10-3, для г=15 до 10-2. При увеличении г значения /2(9) становятся малыми и входят в диапазон 1%.

/ / /1 1т

/ / / /у

// / /У^ / г = 15

у /У/У

75 80 85 Э 90

Рис.10. Сравнение результатов интерполяции с результатами прямого численного решения («т» — точные значения, «п» — получены по полной базе, «р» — по разреженной)

Выводы

Результаты решения задач Хеле—Шоу и построенные интерполяционные модели процессов формообразования позволили создать базу данных для расчета зависимостей зазора от угла наклона участка ЭИ и его кривизны с погрешностью около 1%. Эти зависимости могут быть использованы для практических целей.

Следует отметить, что предложенный подход дает возможность вычислять искомые параметры в условиях неполноты исходных данных и контролировать их погрешность двумя способами для проверки непротиворечивости оценок.

1. Клоков В.В. Электрохимическое формообразование. Казань: КГУ, 1984. С.22-25.

2. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Sherykhalina N.M., Urakov A.R. Numerical investigation of non-stationary electrochemical shaping based on an analytical solution of the Hele-Shaw problem // Journ. Eng. Math. 2006. Vol.55. №14. Р.257-273.

3. Котляр Л.М., Миназетдинов Н.М. Эволюция формы анодной границы при электрохимической размерной обработке металлов // ПМТФ. 2004. Т.45. №4. С.8-10.

4. Житников В.П., Зайцев А.Н. Импульсная электрохимическая размерная обработка. М.: Машиностроение, 2007. С.134-144.

5. Там же. С.281.

6. Житников В.П., Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Использование разрывных функций для моделирования растворения при стационарном электрохимическом формообразовании // Изв. вузов. Математика. 2010. №10. С.78.

7. Житников В.П., Ошмарина Е.М., Зиннатуллина О.Р. Моделирование прецизионной электрохимической обработки секционированным катодом // ПМТФ. 2011. Т.52. №6. С.187.

8. Житников В.П., Муксимова Р.Р. Решение задачи нестационарной электрохимической обработки плоским электрод-инструментом с ограниченной неровностью // Вестник УГАТУ. 2011. Т.15. №1(41). С.113-118.

9. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Поречный С.С. Об одном подходе к практической оценке погрешностей численных результатов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2009. №3(80). С.105-110.

References

1. Klokov V.V. Elektrokhimicheskoe formoobrazovanie [Electrochemical shaping]. Kazan, KFU Publ., 1984. 80 p.

2. Zhitnikov V.P., Fedorova G.I., Sherykhalina N.M., Urakov A.R. Numerical investigation of non-stationary electrochemical shaping based on an analytical solution of the Hele-Shaw problem. Journal of Engineering Mathematics, 2006, vol. 55, no. 1-4, pp. 255-276.

3. Kotliar L.M., Minazetdinov N.M. Evoliutsiia formy anodnoi granitsy pri elektrokhimicheskoi razmernoi obrabotke met-allov [Evolution of the shape of the anode boundary under electrochemical dimensional machining of metals], Priklad-naia mekhanika i tekhnicheskaia fizika - Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2004, vol. 45, no. 4, pp. 461-465.

4. Zhitnikov V.P., Zaitsev A.N. Impul'snaia elek-trokhimicheskaia razmernaia obrabotka [Pulse electrochemical dimensional machining], Moscow, "Mashinostroenie" Publ., 2007. 407 p.

5. Ibid. p. 281.

6. Zhitnikov V.P., Oshmarina E.M., Fedorova G.I. Ispol'zovanie razryvnykh funktsii dlia modelirovaniia rastvoreniia pri statsionarnom elektrokhimicheskom formoobrazovanii [The use of discontinuous functions for modeling the dissolution

process of steady-state electrochemical shaping]. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika - Russian Mathematics, 2010, vol. 54, no. 10, pp. 67-70.

7. Zhitnikov V.P., Oshmarina E.M., Zinnatullina O.R. Modeli-rovanie pretsizionnoi elektrokhimicheskoi obrabotki sektsionirovannym katodom [Simulation of precision electrochemical machining of metals by a segmented cathode]. Prik-ladnaia mekhanika i tekhnicheskaia fizika - Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2011, vol. 52, no. 6, pp. 1004-1010.

8. Zhitnikov V.P., Muksimova R.R. Reshenie zadachi nes-tatsionarnoi elektrokhimicheskoi obrabotki ploskim elektrod-instrumentom s ogranichennoi nerovnost'iu [Solution for the problem of nonstationary electrochemical machining using a flat electrode-tool with terminated roughness], Vestnik UGATU, 2011, vol. 15, no. 1(41), pp. 113-118.

9. Zhitnikov V.P., Sherykhalina N.M., Porechnyi S.S. Ob od-nom podkhode k prakticheskoi otsenke pogreshnostei chislennykh rezul'tatov [On some approach to error estimation of numerical results]. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU. Informatika. Telekommunikatsii. Upravlenie - St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Computer Science. Telecommunication and Control Systems, 2009, no. 3(80), pp. 105-110.