Интегрирование на начальном участке обыкновенных дифференциальных уравнений по экстраполяционной формуле трапеции с квадратичной экстраполяцией значений подынтегральной функции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.325.5 - 181.48(075.8)

О.Н.Пьявченко ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА НАЧАЛЬНОМ УЧАСТКЕ

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО ЭКСТРАПОЛЯЦИОННОЙ ФОРМУЛЕ ТРАПЕЦИИ С КВАДРАТИЧНОЙ ЭКСТРАПОЛЯЦИЕЙ ЗНАЧЕНИЙ ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Среди прикладных задач наблюдения за состояниями динамических объектов (транспортных средств, производственного и бытового оборудования, технологических процессов и т.п.) и управления этими состояниями важное место занимает решение обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом на технические и экономические характеристики микрокомпьютерных устройств и систем существенное влияние оказывает выбор численных методов, способных обеспечить требуемую точность при минимальных затратах на вычисления в реальном масштабе времени. В качестве таких методов могут найти широкое применение конечно-разностные экстраполяционно-

интерполяционные методы, обеспечивающие более высокую точность вычислений, чем экстраполяционные методы, при близкой к ним трудоемкости [1]. Однако для этого необходимо устранить проблему обеспечения вычислений необходимой информацией на начальном участке решения задач наблюдения и управления.

В данной работе предлагается и исследуется схема организации решения при интегрировании по интерполяционной формуле трапеции с квадратичной экстраполяцией значений подынтегральной функции, обеспечивающая на начальном участке сохранение точности и сложности вычислений. Для простоты изложения оценки выполняются при решении обыкновенного дифференциального уравнения

У’=«(х,у), (1)

с начальным условием

Уо=У(ХоХ (2)

поскольку, как известно [2], полученные результаты могут быть легко распространены на систему дифференциальных уравнений. В процессе анализа используются формулы численного интегрирования по прямоугольникам (п=0) и интерполяционная формула трапеции (п=1) (табл.1), а также линейная (г=1) и квадратичная (г=2) формулы экстраполяции значений подынтегральной функции (табл.2).

Таблица 1

к п Формулы интегрирования Погрешность метода на шаге

1 0 у(1+1)=у1+Ь£ * и2 Уц (1+1)= — Г (£)

2 0 у (1+1) =у1+ЬГ(1+1) и2 Уц (1 +1) =- ча

3 1 и у(1+1)= у1+ -2 (%+1) +Г0 и3 уЦ(| +1) =- ^" (а)

Таблица 2

г Формулы экстраполяции значений переменных Погрешности формул

1 ^ (і+1)=2Ґі-Ґ(і-1) є*(і+1)=Ь2Г’(^), ^є[Хі_1,Хі]

2 ^ (і+1)=3(Ґі-Ґ(і-1))+ Ґ(і-2) е*а+1)=Ь3Г (£), ^є[Хі_2,Хі]

Для начала решения дифференциального уравнения (1) рассматриваемым экстраполяционно-интерполяционным методом должны быть известны значения функции ук(х) не только в точке хо (2), но и в точках Х| (|=-1, -2). Для организации вычислений предлагается аппроксимировать функцию у(х) на интервале [х-2, х0] горизонтальной прямой. Реализация этого способа сводится к загрузке в память микрокомпьютера до начала вычислений значения переменной у0 вместо у| (|=-1, -2).

Вычисления строятся по схеме

ЗД - ^1 -1}) + ^(| - 2)-

£ *

Т (І+1)

и

У(і+1) - У і + т: (Т(І +1) + ТІ),

(3)

с начальными значениями у0=у(х0), у-2=у-1=у0.

Так как в начале каждого шага решения рассчитывается значение ^Дх^ у!), то, строя схемы вычислений, для простоты будем полагать, что в 1-том шаге Г! известно.

1 шаг (1=1)

Известны: х0, у0, у-2=у-1=у0, Г-2=Г-1=Г0=Г(х0,у0). Определим значение

< =з(ъ-й)+й=ь,

подставим его в формулу численного интегрирования

и *

у1=у0+ — (^1 + У

и получим формулу интегрирования по прямоугольнику (таб.1, п=0, к=1)

У1 = Уо + ИГс- (4)

(6)

Таким образом интегрирование на первом шаге производится с погрешностью

2 3

Х1 = Уц<0) + Уц<1) = - у ГЙ1) - 'Г'(^1). (5)

2 шаг (1=1)

Известны: х1,у1, Г1=Г(х1,у1), Г0=Г-1. После подстановки этих значений, преобразуем (3) в схему интегрирования по прямоугольнику (таб.1, п=0, к=2) с линейной экстраполяцией значения подынтегральной функции (таб.2, г=1)

^2 = 21 - ^о >

у 2 = у1 + ^2 имеющую погрешность

х2 = Х1 + У1 + у2 + Уц20) + Уц21), (7) где у1 - трансформированная (5) в формулу интегрирования (6) при использо-

*

вании в вычислениях Г погрешность х1, V 2 - трансформированная погрешность экстраполяции 82, (Уц 20) + Уц 21)) - представленная с повышенной точностью погрешность метода интегрирования (табл. 1, п=0, к=1; п=1, к=3). Так как

и2 и2 и3

Уц10) + Уц20) = '(51) - '(52) = - "(52), (8)

то преобразуем выражение (7) к виду

х2 = У1 + у2 ''(52) + 2 Уц(1) = ^уШ + и82 ''(52) + 2Уц] (9)

2 ]=1 2 ]=1

* (1)

После подстановки в это выражение х1 (5), 82 (таб.2, г=1) и Уц (таб.1,

п=1), а затем упрощения за счет отбрасывания членов более высокого порядка малости, чем И3, найдем

х2 = ^'(51) + - ич''(52) -^ и32f''(5]). (10)

2 12 ]=1

Из этого выражения следует, что при задании перед началом вычислений у-2=у-1=у0 экстраполяционно-интерполяционный метод первой степени уже на втором шаге имеет вычислительную погрешность х2 порядка И3.

3 шаг (1=2)

Известны: х2,у2, Г2=Г(х2,у2), Г1, Г0. Вычисления строятся по схеме

^ = 3(^2 - ^) + ^0-

у3 = у2 + 2 (^3 + ^2)

-.—ж- *

Погрешность вычисления fз описывается выражением

* * * *

X 3 = ^ - VI + 8 3, (12)

* „ * , в котором V 2 е V1 - погрешности, вызванные трансформированием соответст-

*

венно погрешностей х2 (10), х1 (5), а 8 3 - погрешность экстраполяции значения

* * * *

fз (табл. 2, г=2). Раскрывая V2 , V1, 8 3, получим

X 3 = 3и3

fy2fy1f' (51) + 2fУ1f ''(51)

3 1 1

(51).

-'(51) + -3f'''(52) *

2 (13)

Значение интеграла у3 (11) рассчитывается с погрешностью

X 3 = X 2 + V 3 + V 2 + Уц 31), (14)

*

где V3, V2 - погрешности трансформирования соответственно погрешностей X 3 (13), XI (10), а Уц 31) - методическая погрешность численного интегрирования

по интерполяционной формуле трапеции (п=1) на этом шаге. Раскрывая

и з и з з

Vз= 2 X3 и V2= ^2X2, подставляя Xз (13), X2 (10), Уц3 (табл.1, п=1, 1=2) и отбрасывая члены порядка малости И4, найдем выражение погрешности вычисления у3 на 3-м шаге

X3 = - -3fy1f (51) + - и3^ (52) - и32г (5¡). (15)

4 2 12 ]=1

Сравнивая погрешность х3 (15) с XI (10), заметим, что внесенные на втором шаге погрешности, представленные первым и вторым слагаемыми, почти не изменились, в то время как методическая погрешность возросла на Уц3.

Для того, чтобы убедиться, что выявленная схема формирования погрешности сохраняется, оценим погрешность вычисления у4 на 4-м шаге.

4 шаг (1=3)

Известны: х3, у3, Г3=Г(х3,у3), £2, Гъ Вычисления строятся по схеме

^4 = 3(^Э - f2) +

у 4 = у3 + "2 (^4 +

(16)

*

При этом погрешность f4 составляет

х*4 = ^3 - ^2 + ^ + 8 4, (17)

* * *

где V3, V2, V1 - погрешности, вызванные трансформированием х1 (5), х2 (10), X3

*

(15), а 84 - погрешность метода экстраполирования (табл. 2, г=2). Так как трансформируемая погрешность х1 имеет порядок И2, а остальные погрешности

*3

х2, х3 и 8 4 - порядок И , то последними можно пренебречь и погрешность (17) представить в виде

X *4 =^ =- ^у/^). (18)

Погрешность у4 описывается выражением

X4 =х3 +V4 +V3 +Уц41), (19)

з

в котором v4 и v3 - погрешности трансформирования соответственно х 4 (18) и х3 (15), а Уц41) - погрешность интегрирования на четвертом шаге. После подстановки значений слагаемых получим

х4 = ^у/'(51) + ^''(52) - т^3 2/''(5)) (20)

2 2 12 ) =1

Констатируем, что начиная с 4-го шага, схема формирования погрешности окончательно стабилизируется. Поэтому погрешность вычисления значения интеграла у(1+1) на (1+1)-м шаге (1 > 2) составит

хI +1 = ^ру/^) -f''(52)] - т^3/)

2 12 )=1

или

XI +1 = ^у/^) - Р''(52)] - ^/Йт) - ^1)]. (21)

Из формулы (21) следует, что внесенная на начальном участке погрешность не превышает суммарную методическую погрешность при выборе шага

и < р (5+1) - р '(51)1 (22)

б| /у/'(51) - / ''(52)1

Очевидно, что с уменьшением И вычислительная погрешность х(1+1) будет полностью определяться методической погрешностью.

Из проведенных оценок следует, что благодаря взаимной компенсации методических погрешностей интегрирования по прямоугольникам, полученных на первом и втором шагах вычислений, конечно-разностная схема (5.31) может практически обеспечить точность, определенную интерполяционной формулой трапеции. Поэтому экстраполяционно-интерполяционный метод, реализованный по схеме (3), может быть рекомендован для практического применения при решении на микрокомпьютерах задач управления и наблюдения в реальном масштабе времени.

Литература

1. Пьявченко О.Н. Алгоритмические основы выполнения математических операций в микрокомпьютерах: Учебное пособие. Таганрог: ТРТУ, 1998-190с.: ил.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. Т1 - М.: Наука, 1973 - 632 с.: ил.