CC BY
33
(6)
УДК 517.958
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
НА ПОЛУОСИ
МАЗУР Е.Н.
Предлагаются вычислительные схемы для получения двусторонних приближений к монотонным решениям некоторого класса нелинейных краевых задач на полуоси. Затрагиваются вопросы зависимости погрешности от способа разбиения отрезка интегрирования. Приводится численный результат, полученный для прикладной задачи.
Рассмотрим следующую нелинейную краевую задачу:
l-b IV О (1)
limx(t) = a (a < b). t (2)
Под решением задачи (1),(2) будем понимать непрерывную вместе со своей первой производной
монотонную функцию x(t) , почти всюду удовлетворяющую уравнению (1) и удовлетворяющую условиям (2).
Перейдем от задачи (1), (2) к эквивалентному ей интегральному уравнению, применив метод двойного отображения, разработанный А. И. Колосовым [1].
Используем замену ф( х) = Иx)f . Учитывая t '(х) = -ф~1/2(х) и t(b) = 0, получаем
b
t(x) = j ф~1/2(ю)йш . (3)
X
Далее, из уравнения (1) и условия ф(а) = 0 имеем
х b
ф(х) = 2jf( _^1/2(o)do,s, ф1/2^) )ds (4)
a s
или ф(х) = (Лф)(х) .
Теоретическое исследование задачи (1),(2) может быть эффективно проведено применением к интегральному уравнению (4) результатов теорем М.А. Красносельского и В.А.Опойцева, доказанных для операторов в полуупорядоченных пространствах [2,3]. Если оператор Л обладает свойствами гетеротонно -сти, псевдовогнутости и имеет сильно инвариантный конусный отрезок, то задача (1),(2) может быть численно решена методом последовательных двусторонних приближений.
Далее, для определенности, будем полагать, что f (t, s, ф) возрастает по ф и убывает по t и s .
Пусть для оператора Л получен инвариантный конусный отрезок < v0, w0 >, тогда двусторонний итерационный процесс построим по схеме:
b
!п(х) = j wn1/2(o)d ю, (5)
х
b
tn (х) = j Vn1/2(®)d ю,
х
Wn+1(х) = 2j^tn(s),s,wn/2(s) )ds, (7)
а
х
Vn+1^) = 2jf(tn(s),s,vjn2(s) )ds, (8)
а
где v0, w0 — начальные приближения.
По формулам (5)-(8) целесообразны только приближенные вычисления. Так как основной интерес представляют двусторонние приближения, то интегралы (6),(7) следует брать с избытком, а (5),(8) — с недостатком.
Введем разбиение отрезка м точками х^ на m
частей (х0 = а, хт = b).
Используем обозначения:
Vni = vn(xi), tni = tn(xi),
Ini = (wni)Tm = (vm)_1/2,
fni = f( t^,xi,(wni)1/2 ),
fni = f{ tni,xi,(vni)1/2 )
fa = lim f(t,a,0).
t^W
Применив к интегралам (5)-(8) метод прямоугольников, получим вычислительную схему 1:
t = 0, t = 0 ,
— nm ’ nm 7
tni _ tni+1 ni+^xi+1 _ xi)’
tni = tni+1 +X ni(xi+1 - xJ i = m - U ,
vn+10 = 0, wn+10 = 0,
wn +11 = min( wn1,2fa(x1 - x0) )
wn +1i+1 = wn+1i + 2(xi+1 - xi)ma^fni,fni+^, i = 1,m -1,
vn+11 = max( vn1,2fn1(x1 - x0) \
vn +11+1 = vn+1i + 2(xi+1 - xi) min(fnH V+1), i = 1, m -1.
Если для всех i от 1 до m - 2 выполнены условия
(Tni+1 - Хni)(xi - xi-1) > (Хni - Хni-1)(xi+1 - xiX
(fni+1 - fni)(xi - xi-1) > (fni - fni-1)(xi+1 - xiX то возможно использование метода трапеций для приближенного вычисления интегралов (6),(7) и модифицированного метода трапеций для формул (5), (8). В результате имеем вычислительную схему 2:
4nm 0, tnm 0'
tni - tni+1 + 2(xni + Xni+1)Ai+1 , i = m -1,1,
tnm-1 = 2( 2Хm-1 + (Vn “VV)Am
Am -1
124
РИ, 1999, № 1
tni -C;+1 + + 4лі )(xni _ Xi) +
+ Tni+1 + Tni )(xi+1 _ XniX
где i = m-2,2, a. = x. - xi_1, Ini =V + kni-1(xni - Х;Л
bni+1 _ bni-1 ,t Tni+1 _Xni
X; =-
kn. =;
*ni kt _ kt ’ ni
Kni-1 Kni+1
bn. = xni - kn.xi,
X
vn(x) = vni + 2 J (kn-1is + bs_1i)ds,
xi
wn (x) = wni + 2 J (k,_1is + bn_1i ^s .
xi
Если для любого i от 1 до m - 2 доказаны соотношения
6vni+1kn-1i _ 5(kn-1ixi +1 + bn-1i) — 0 ,
6wni+1kn_1i - 5(kn _1іхі+1 + ьП-1.)2 ^0 >
1
tn1 = tn2 + 2 |2Xn2
— — 2 V — x3 - x2
Wn+10 = 0 vn+10 = 0 ,
wn +11 =mini ( wn1,(fa + fn1)(x1 - X0) )
vn +11 =maxi ( vn1,(fn1 + fa*)(x1 - X0) ),
fn1 - fn2 . .
= fn1 Я' 1 * о
X2 - X1
wn+1І + ( fni + fni+1 )(x;+1 - XiX i = 1,
(x2 - x1) I(x2 - x1), то для вычисления tni+1 и tni+1 можно применить
интерполирование подынтегральной функции многочленом второго порядка. Получим вычислительную схему 3:
tnm _ 0, tnm _ 0 ’
Xi+1__ ______ ______
j (anix2 + bnix + Cni)dx,
tni tni+1
tni tni+1
Xl+1, v
j (a^x2 + ^x + c^jdx,
Vn+1i+1 = Vn+1i + ( fi + fl )(ХПі _ Xi) +
+ ( W + C )(xi+1 - ХПіХ
где і = 1,m - 2, Сі = Сі + kni(xni - X;X ЬПі+1 _ bni—1
где
an. —
V Xi+1 - xi
-- v-3/2f 1.
vni n-1i
*
Xn. =-
f uf f _ f
- xn;+1 xni
bni vni fn-1i 2a niXІ 5
/ Лі+1 , (11)
(12)
kf - kf
kni-1 kn
kf -■
f ’ Kni+1 _
i+1
bf - f _ kf x uni xni KniAi’
(9)
cni _ 1 ni aniXi bniXi 5
a ni = (wn -Tni+t1 ~Tni )A i+1,
A.
i+1
f - f
t nm-1 nm-2 \
-1 + ( 2fnm-1 +----д--------Am )A m >
Д m -1
4 = Xi - Xi -1 •
Схему 2 можно улучшить, изменив kn. и kn. :
kn. = W n3/2fn-1i,
k-n. = 2fn2i + 2(f1i -f,1fn-ц)vn1/2, (10)
f (t,s, ф)
bni Wni+1fni+1 2aniXi+1 5
cni Чл aniXi bniXi,
(13)
(14)
здесь f,1. = -
f. =
dt
d f(t,s, ф)
(tm,xi,vm2)
d s
f1. =
f (t,s, Ф)
--- 1 /9
(tni,xi,vni )
5ф
(tm,xi,vm )
В этом случае вычисление интегралов (5),(8) основывается на приближенном представлении подынтегральной функции в виде отрезков, касаю-
здесь А;+1 = X+1 - х. , Wn_1i (i = 0, m), v,+ю , vn+11 -как в улучшенной схеме 2.
Очевидно, что аппроксимация подынтегральной
функции для vn(x) на одном участке [x;,xi+1] ломаной из двух звеньев, а не единым отрезком, в данном случае недопустима, поэтому вычисления ведем следующим образом:
vn+1І+1 = vn +1І + (fi + fn*i)(xi +1 - XiX
где fn*i = kn;X;+1 + Ь,і (kn. и ьП; - по формулам (10) и (9) соответственно).
При n = 0 в формулах (11)-(14) вместо fn _1;
1
1
щихся ее в точках x; (i = 1m -1).
Пусть на каждом из отрезков [x;,x;+1]vn(x) и wn(x) представлены в виде
следует взять ^v0 (x;), а fn_1;+1 заменить на ^ w0(xi+1) .
Численное решение задачи (1),(2) существенно затрудняется тем, что аргумент t изменяется на полупрямой [0,+<х>) , в то время как интегральное
РИ, 1999, № 1
125
уравнение (4) решается на конечном интервале [a, b]. Однако при вычислении возникают трудности, связанные с тем, что интеграл (3) при x = а является несобственным. Следует предварительно оценивать значение интеграла (4) при x = a + s (s — достаточно малая величина).
Кроме того, для приближенного вычисления интегралов (5),(6) в окрестности точки x = а классические оценки погрешности неприемлемы.
Можно предложить для повышения точности вычислений узловые точки в окрестности x = а выбирать по правилу
x; = а + (1 + a)(xi_1 - а). (15)
Аналогичным образом следует разбивать отрезок интегрирования и в окрестности точки x = b , если в этой точке подынтегральные функции или их производные бесконечны.
Можно доказать, что при таком шаге и достаточно малом а метод прямоугольников в окрестности особой точки дает относительную погрешность по-
„ 2
рядка a , метод касательных или трапеций — a , метод, основанный на построении интерполяцион-
3
ных многочленов второго порядка, — a .
Рассмотрим конкретный пример. При теоретическом исследовании некоторых физических процессов [4,5]возникает следующая нелинейная краевая задача:
x" = ,0 < t < t* (0 < v < 1) ,
rx
x(0) = а, x(t*) = x'(t*) = 0, (16)
x'(t) < 0 0 < t < t* ,
которая относится к задачам со свободной границей t* и под ее решением будем понимать пару (x(t),t*), где
x(t) є C[0,t*] n C^(0, t*),t* є (0,+то). Применив метод двойного отображения, приведем задачу (16) к эквивалентному ей интегральному уравнению
Z / 1
^Z)=тЛЬт
dro
V р
^ 0 IS ф1/2(®).
ds
sv'
t(z) = j
dro
Ф
1/2
(®)’
где z(t) = 1x(t),^ = a1+v. a
При
1 2
v = -, p = -, a = 2
2 3
инвариантный конусный отрезок имеет вид
v _ A2z1/2 w _ B2z1/2
v0 _ A z ,w0 — B z ,
1/4 f \3/4
где AsJ B - mu/3?,
В таблице приведены результаты, полученные по численной схеме 3 на десятой итерации.
z w10(z) w10(z) t10(z) t10(z)
0,0 0,0 0,0 0,99938 0,99980
0,001 0,044726 0,044928 0,99309 0,99350
0,010 0,145596 0,145849 0,96299 0,96336
0,100 0,473531 0,473939 0,80287 0,80315
0,200 0,700363 0,700916 0,67226 0,67249
0,300 0,896732 0,897357 0,56027 0,56046
0,400 1,084646 1,085328 0,45973 0,45989
0,500 1,275122 1,275863 0,36760 0,36773
0,600 1,477601 1,478407 0,28229 0,28239
0,700 1,704285 1,705179 0,20291 0,20299
0,800 1,977257 1,978299 0,12906 0,12913
0,900 2,355493 2,356968 0,06086 0,06090
0,990 3,135440 3,137824 0,00544 0,00545
0,999 3,502619 3,507458 0,00052 0,00053
1 3,958221 3,983256 0,0 0,0
Отрезок [0,1]был разбит на 270 частей, причем на участках [10-3; 0,1 ] и [0,9;0,999] для получения точек z; использовался подход (15).
Литература. 1. Колосов А.И. Об одном классе уравнений с вогнутыми операторами, зависящими от параметра // Математические заметки. 1991. Т.49, №4. C.74-80. 2. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 165 с. 3. Опойцев В.А. Обобщение теории монотонных и вогнутых операторов // Тр. Московского математического общества. 1978. Т.36. C. 237-273. 4. Демидов М.А, Клоков Ю.А., Михайлов А.И. Безударное сжатие сред с произвольным распределением энтропии // Докл. АН СССР. 1987. Т.297, № 4. C. 816-819. 5. Демидов М.А, Клоков Ю.А., Михайлов АИ. О некоторых сингулярных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23, №7. C. 1278-1282.
Поступила в редколлегию 17.03.99
Рецензент: д-р техн. наук Тевяшев А.Д.
Мазур Елена Николаевна, ассистент кафедры высшей математики Харьковской государственной академии городского хозяйства. Научные интересы: нелинейные краевые задачи, численное интегрирование. Увлечения: цветоводство, работа в саду и на огороде. Адрес: Украина, 310002, Харьков, ул. Революции, 12, тел. 45-90-30.
126
РИ, 1999, № 1
