CC BY
4
УДК 531.011
И. П. Попов
Курганский государственный университет, г. Курган, Россия E-mail: ip.popow@yandex.ru
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ВЕКТОР УМОВА, ОБРАТНЫЙ ИМПУЛЬС И АНАЛОГИ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
Формально уравнение Шредингера порождает величину механического движения нулевого порядка 0p = mv0 (в том смысле, что она в уравнении Шредингера содержится). Из сопоставления волновой функции ¥ и её градиента вытекает формальный аналог уравнения Шредингера, который порождает величину механического движения первого порядка lp = mv1. Из сопоставления волновой функции и её производной по времени вытекает формальный аналог уравнения Шредингера, который порождает величину механического движения второго порядка 2p = mv2/2!. Величины механического движения нулевого, первого и второго порядков известны. Очевидно, что другие формальные аналоги уравнения Шредингера могут порождать величины механического движения других порядков. Величина механического движения третьего порядка — 3p = mv3/3!. Эта величина — интегральный вектор Умова для кинетической энергии. Величина механического движения минус первого порядка ~lp = mv- — обратный импульс.
Ключевые слова: интегральный вектор Умова, обратный импульс, движение, величина, порядок.
Для цитирования: Попов И. П. Интегральный вектор Умова, обратный импульс и аналоги уравнения Шредингера // Вестник Псковского государственного университета. Серия: Естественные и физико-математические науки. 2022. Т. 15. № 1. С. 103-109.
I. P. Popov
Kurgan State University, Kurgan, Russia E-mail: ip.popow@yandex.ru
UMOV'S INTEGRAL VECTOR, REVERSE IMPULSE AND ANALOGUES OF THE SCHRÖDINGER EQUATION
Formally, the Schrödinger equation generates the magnitude of mechanical motion of the zero order 0p = mv0 (in the sense that it is contained in the Schrödinger equation). Comparison of the wave function ¥ and its gradient implies a formal analogue of the Schrödinger equation, which generates the magnitude of mechanical motion of the first order 1p = mv1. The comparison of the wave function and its time derivative yields a formal analogue of the Schrödinger equation, which generates the magnitude of mechanical motion of the second order 2p = mv2/2!. The values of mechanical motion of the zero, first, and second orders are known. It is obvious that other formal analogues of the Schrödinger equation can generate quantities of mechanical motion of other orders. Magnitude of mechanical motion of the third order — 3p = mv3/3!. This value is Umov's integral vector
-
-1
p = mv is a
for kinetic energy. Magnitude of mechanical motion minus first order reverse impulse.
Keywords: integral vector of Umov, back impulse, motion, magnitude, order.
For citation: Popov I. P. (2022), Umov's integral vector, reverse impulse and analogues of the Schrödinger equation, VestnikPskovskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Estestvennye i fiziko-matematicheskie nauki [Bulletin of the Pskov State University. Series "Natural and physical and mathematical sciences"], 2022, vol. 15, no. 1, pp. 103— 109. (In Russ.).
Введение. Волновая функция
i .mv / . —(-t-m\r)
4> = Ce h 2
удовлетворяет уравнению Шредингера (УШ) для свободной частицы [2; 5; 8]
h2 дш
ih— =--A^F ,
dt 2т
А1? = -—
h
... .0 Л
mv ~Ö\
dt
Формально УШ порождает величину механического движения нулевого порядка (в том смысле, что она в УШ содержится) [3; 4; 9]
0 p = mv
0! •
(1)
Примечательно, что квантово-механическая конструкция порождает макромеханическую величину. В дальнейшем используется преимущественно этот же принцип.
Аналоги УШ и порождаемые ими величины движения. Градиент волновой функции равен
/, ту2
/ —( 1-т\г)
УЧ> = -тхСен 2 П
Обе части волновой функции можно умножить на одну и ту же величину
i mv —(-t-m\г)
Ч = Се h 2
х—mv h
Из сопоставления этих двух уравнений вытекает следующий формальный аналог УШ (ФАУШ) —
который порождает величину механического движения первого порядка [6; 7; 10]
1
ШУ 1!
mv 1! •
(2)
Производная волновой функции равна
: .....2
д1
1 ПП'~
1 ту „
--Се '' 2
П 2
;, ту
- (-¡-туг)
У = СеЬ 2
/ т\>~
П 2
Из сопоставления этих двух уравнений вытекает следующий ФАУШ —
¿'Т _ г ту2 ^
~аГ
( 2 ^ ту
2!
/
который порождает величину механического движения второго порядка
2 шу1
Р=1Т (3)
Величины механического движения (1), (2), (3) известны.
Очевидно, что другие ФАУШ могут порождать величины механического движения других порядков.
Целью работы является установление таких величин и связанных с ними закономерностей, которые могут представлять интерес, что обусловливает актуальность исследования.
Интегральный вектор Умова для кинетической энергии. Далее система координат выбирается таким образом, чтобы одна из осей совпадала с направлением движения. Тогда пространственные производные будут одномерными.
д2Ч>
I 2 4
1 т V
(4)
ФАУШ —
4/Й
а2т дг2
№
д2х¥ д12
= -3! —
Он порождает величину механического движения третьего порядка
3
з.
Р
ШУ
2
ШУ У
3! 3! 105
(5)
Коэффициент 1/3! выбран для сохранения преемственности выражений (1), (2), (3). Для установления смысла величины (5) можно обратиться к дифференциальному вектору Умова [1]
dU = wdv
Здесь w — плотность энергии. Для кинетической энергии
du = m^dv
2У , 2
Ш=т- у 3! ,
где V — объём.
Таким образом, величина (5) — это интегральный вектор Умова для кинетической энергии.
Обратный импульс. Сравнение выражения
2
. 1 ту
8 У 7 3 2
дг3 ь3
т у у Се п 2
с формулой (4) приводит к следующему ФАУШ —
Э3Ч> , / т —г = 4---^
дг3 П V дг
?
который порождает величину механического движения минус первого порядка (обратный импульс)
-1 р=о! т=о! ту
V V
Смысл этой величины и ее актуальность устанавливает
-1
Теорема. В водородоподобном атоме величина теУ квантуется.
Фиксированным (неизменным) квантом является величина теУо , соответствующая основному энергетическому уровню.
Доказательство. В водородоподобном атоме полная, потенциальная и кинетическая энергии электрона связаны следующим образом:
и = 2Е„
При этом
ЕКп = - Еп (6)
Е =-_ 1 г2 т/
п2 8h2в2
Для основного энергетического уровня по аналогии с боровским радиусом
скорость электрона можно обозначить Vо . Из(6)следует
а
о
Теорема доказана.
Следствие
Е
К1
тУ0 _ _ ^2 т/
2
8И1 е02
те_ = ± Шо т
7е2
Е
т V2
е п
Кп
■■_ Е,„
1 Z2 т/ п2 8h2е2
т = ±п 2кг о те
т
2е
т т т„
п+1
Порядки величин движения. Определение. Величина движения порядка
это
пр = , к =
—, п > 0 п!
чп+1
(_1)п+1(п +1)!, п < 0
Величина движения любого порядка порождается соответствующим ФАУШ. Нетрудно заметить, что
1 р=спр, п ф о
сСу
п_1
Порядки величин движения и соответствующие им ФАУШ сведены в таблицу.
Порядки величин движения и соответствующие им ФАУШ
Таблица
V
о
2
п
V
V
о
п
Vn V0
п
Величины движения ФАУШ
п пр = т п! при п > 2
2 3 3 ту V ту 3 Р =-=- 3! 3!
2 2 ту 2 Р =- 2!
1 ! mv ту Р = 1! = 1!
0 0 ту Р = 0!
-1 р = 0! Щ- = 0!шу~1 V
-2 р = -1!шу~2 т8^-Тт^
-3 р = 2! = 2! шv~3 И V4
- пр = (-1)и-1(и -1)! п
Заключение. Почти все полученные результаты явились следствием использования квантово-механических дифференциальных уравнений, однако, сами по себе результаты являются преимущественно макромеханическими.
Величины механического движения различных порядков порождаются формальными аналогами уравнения Шредингера. К таким величинам относятся как известные (масса, импульс, кинетическая энергия), так и неизвестные (интегральный вектор Умова для кинетической энергии, обратный импульс и др.).
Во всех ФАУШ порядки частных производных отличаются на единицу. Для величин движения с положительной степенью скорости порядок временных производных выше, чем пространственных. Для величин с отрицательной степенью — выше порядок пространственных производных.
Интегральный вектор Умова характеризует движение энергии тела.
Обратный импульс квантуется в водородоподобном атоме.
Литература
1. Блинов С. В. Плотность потока электромагнитной энергии Умова при равномерном движении протяжённого электрона // Краткие сообщения по физике ФИАН. 2020. Т. 47. № 2. С. 45-55.
2. Лакаев С. Н., Алладустов Ш. У. Положительность собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 2014. Том 178. № 3. С. 390-402.
3. Манаенков С. И. Модель классического электрона с конечными массой и действием // Письма в ЭЧАЯ. 2019. Т. 16. № 3 (222). С. 203.
4. Маркеев А. П. О динамике спутника, несущего подвижную относительно него точечную массу // Изв. РАН. МТТ. 2015. № 6. С. 3-16.
5. Мищарина Е. Ю., Либин Э. Е., Бубенчиков М. О решении нестационарного уравнения Шредингера // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2016. № 5 (43). С. 28-34. DOI: 10.17223/19988621/43/3.
6. Павлов В. Д. Математические модели резонансных и антирезонансных процессов // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. 2021. № 1(49). С. 17-27. DOI: 10.20291/2079-0392-2021-1-17-27.
7. Шарафутдинов Г. З. Соотношение между законами сохранения энергии и импульса // Тенденции развития науки и образования. 2019. № 48-5. С. 95-100. DOI: 10.18411/lj-03-2019-113.
8. Юдина Н. В., Садыков Н. Р. Метод поиска собственных значений и собственных функций для уравнения Шрёдингера: Моделирование процессов на основе уравнения Шрёдингера // Вестник Национального исследовательского ядерного университета МИФИ. 2017. Т. 6. № 6. С. 519-527. DOI: 10.1134/S2304487X17060098.
9. Popov I. P. Theory of a Multi-Inert Oscillator // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2020. Vol. 49. No. 8. Р. 667-671. DOI: 10.3103/S1052618820080105.
10. Popov I. P. Train Starting Equation // Mechanics of Solids. 2021. Vol. 56. No. 2. Р. 211-219. DOI: 10.3103/S0025654421020102.
Об авторе
Попов Игорь Павлович — старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты», Курганский государственный университет, г. Курган, Россия.
E-mail: ip.popow@yandex.ru
About the author
Igor' Popov, Senior Lecturer, Department "Technology of mechanical engineering, metal-cutting machines and tools", Kurgan State University, Kurgan, Russia.
E-mail: ip.popow@yandex.ru
Поступила в редакцию 02.11.2021 г.
Поступила после доработки 10.12.2022 г.
Статья принята к публикации 28.04.2022 г.
