Интегральные представления в линейно выпуклых полиэдрах и некоторые комбинаторные тождества Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.55+519.1

Интегральные представления в линейно выпуклых полиэдрах и некоторые комбинаторные тождества

Вячеслав П.Кривоколеско*

Сибирский государственный технологический университет,

Мира 82, Красноярск, 660049,

Россия

Получена 18.02.2009, окончательный вариант 11.04.2009, принята к печати 30.04.2009 Интегральное представление для функций, голоморфных в линейно выпуклых полиэдрах, детализируется для п-круговых полиэдров.

Как следствие, получены некоторые комбинаторные тождества относительно метрических параметров этих полиэдров.

Ключевые слова: интегральное представление, вычеты, комбинаторные тождества.

Введение

Известны многочисленные приложения теории аналитических функций в перечислительной комбинаторике при вычислении и оценке комбинаторных сумм различного типа. Эти приложения основаны на классическом методе производящих функций и идее интегрального представления сумм [1, 2, 3] либо на идее алгебраической геометрии [7].

В статье [5] было получено новое интегральное представление для функций, голоморфных в линейно выпуклых полиэдрах. В настоящей статье иллюстрируется возможность получения некоторых комбинаторных тождеств на основе указанного интегрального представления.

Одним из таких тождеств является следующее:

! + (р + д +1)! ^ (-1)т ( д ^ ((1 - в)р+т+1 - ар+т+1) =

р!д! р + т +1\т)

т=0 4 у

=(1 - £ (д тту+(1 - в)р+1 е (р +тту, (1)

т=0 ^ ' т=0 ^ '

где 0 < а < 1, 0 < в < 1. Здесь параметры а и в определяются по полиэдру

С = {(^2): |*11 > 1, Ы > 1, < 1} С С2, (2)

а Ь

формулами

ь в = а

ab + b + a ab + b + a

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

1. Геометрия линейно выпуклых полиэдров

Для формулировки интегрального представления из [5] приведем некоторые определения.

Область О С С” называется линейно выпуклой [1, §8], если для каждой точки го её границы дО существует комплексно (п - 1)-мерная аналитическая плоскость, проходящая через ^о и не пересекающая О.

Для точек пространства С” обозначим |г| = (|^11,..., |гп|), и пусть п : г —^ |^| проекция С” на диаграмму Рейнхарта.

В [4] (предложение 4.3) дано описание проекции комплексной гиперплоскости а^ +... + ап г” + с = 0 в С” на диаграмму Рейнхарта при п ^ 2. Например, проекция комплексной прямой а1^1 + а2 ^2 + с = 0 в С2 на диаграмму Рейнхарта задается системой неравенств

Г — Iа 11|г 11 - |а2||г2| + |с| < 0,

< -|а11|^11 + |а211^21 - |с| < 0, (3)

[ |а 1 ||г11 - |а2||^2| - |с| < 0.

На рис. 1 эта проекция изображается заштрихованной полосой. В точках соприкосновения полосы с координатными осями угол падения равен углу отражения. При равенстве нулю

одного из коэффициентов а1 или а2 аналитической прямой а^ + а2^2 + с = 0 "касательная

полоса" вырождается в вертикальный или горизонтальный луч.

ы

Рис. 1. Проекция комплексной прямой

Отсюда следует, что двоякокруговая область О в (2) является линейно выпуклой, так как для каждой граничной точки |£| € д|О| изображения |О| на диаграмме Рейнхарта существует касательная полоса, проходящая через эту точку и не содержащая точек области

|О|.

Пусть в пространстве С” задан линейно выпуклый полиэдр, т.е. ограниченная линейно выпуклая область

О = { г : 5г(г,г) < 0, 1 = 1,...,Ж},

где функции $г(г, г) дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности замыкания этой области. Граница дО области О состоит из граней

Б1 = { г € О : 5г(г,г)=0}, 1 = 1,..., N.

Будем говорить, что О имеет кусочно-регулярную границу, если на всяком непустом ребре

Й.Л-Л = п ... П 3 = { С е дО : д31 (С,С) = 0,..., 3 (С, С) = 0}

выполняется неравенство дд31 Л ... Л дд3к = 0 или, что то же,

rank

/ dSjl dZl ' d£l\ " dCn

dgjfc V dZl • dojk • dZn У

k.

N

Ориентация граней й1,..., индуцирована ориентацией границы дО, и дО = У й®. В

®=1

свою очередь, ориентация каждой грани , * = 1,..., N индуцирует ориентацию (2п — 2)-мерного ребра й®3, дй® = У 5®3, и с учетом ориентации мы имеем 5®3 = —й3®. Индуктивным

3

образом определяется ориентация ребра б31"3, которая фактически задается порядком следования граней £31,..., £3к.

2. Формулировка интегрального представления

Для мультииндекса J = (^1,...,^’й) определим следующее отношение двух дифференциальных форм:

л

:= =т

дд31 Л ... Л дд3к

сужение которого на ребро йJ = й31 П... П £3к представляет собой корректно определенную форму со свойством

дд31 Л ... Л дд3к Л ^ Л ^С.

Обозначим

і = ^ = jV_ г_ = ау

g- де- ’ g- ас- ’ gsm scsdc,,

(4)

(VgI; С — z) = g—(Z— — Z—)j

В точках ребра , где

—= 1

APl---Pfc Д31 •••jk

gP1

gPl

7Jfc

gPl

форма определяется формулой

= £ At

t=1

gt----

£>S—

(Vgt, Z - z)'

gP1

gPk

= О,

(-І)

fe(fe + 1)

(-1)р1+-+:ркdZ[p1, • • • ,Pk] Л dZ

APl---Pfc

(5)

(б)

(T)

где ^[Р1, .. . ,Р&] — внешнее произведение дифференциалов ^ 1,. .., ^п, среди которых отсутствуют Л£Р1,..., ^ ^ л ... л ЛСп.

В статье [5] введено понятие смешанного левиана, являющегося обобщением понятия определителя Леви. Для семейства функций д1^,^),... , дй(г, г) при 1 ^ к ^ п смешанный

k

П

С

2

- 1TS -

левиан Ь/(д1,..., дк) = (д1,..., дк) порядка I = (іі,..., ік), где 0 ^ ^ п, і = 1,..., к

и іі + ... + ік = п — к в обозначениях (4) и (5) находится по формуле (8):

Д(д1,...,дк )= ]Г

|/|=п —к

А*1 ...Акк

где

- — г}і1 . < ?Г — г}гк г1"'

0 ... 0 д1 ... д1

0 ... 0 дк ... дП • • • Уп

д11 .. . . дк С11 . . . с1п

дп1 . . . дпк Сп1 . . . спп

;(д*,...,дк),

Д(д*,...,дк ) = —

При к = 1 смешанный левиан есть определитель Леви функции д(г, г), равный

Ь(д) = —

0 дт

дп

а при к = п смешанный левиан

п—1

Ьо...о(д1,...,дп) = ( —1)

Смешанные левианы при к = п — 1 имеют вид

дц . . . д1 п ,

дп1 . . . дпп

1 1 1 1

д1 •. . дп д1 . . дп

дп .. . дп Уп дп . . дп п

0. .. 0 д1 • . д1

0. .. 0 дЩ—1 . . дп-1

д11 . п—1 . . д1 д^ •

дп1 . д. п. 1. ^ . . д4- Упп

Ь(о,...,о,14,о,...,о)(д > ...>дп ) = —

Теорема 1 ([5]). Пусть О = {г : д1(г,г) < 0, 1 = 1,...,Ж} — ограниченная кусочно-

регулярная линейно выпуклая область в Сп. Тогда всякая функция /(г), голоморфная в области О и непрерывная на О, представима в О-виде

(8)

(9)

(10)

I! /•/ (С )Ь/ (дл,..., дік)

к=1

(2пі)п / к

#/=к 11 |=п—к я-7 П ^д^4,С — г}®‘+1

4=1

(11)

где ^ означает суммирование по упорядоченным мультииндексам J длины к : 1 ^ ^1 <

1^ = к

.. . < ^’к ^ ^ — суммирование по мультииндексам I = (*1, ... , *к) со свойством

|/|=п-к

|11 := *1 + ... + *к = п — к; Ь/ — смешанный левиан порядка I и введено обозначение I! =

*х! •... • *к!.

п

3. Детализация интегрального представления для п-круговых полиэдров

В случае п-круговых полиэдров функции д1 зависят только от модулей | г^ |, т. е . такие полиэдры имеют вид

С = { г : дг(|г|) < 0, 1 = 1,. .., N}.

В этом случае в (11) интегрирование по ребрам $J можно свести к повторному интегрированию по |£^|-проекциям ребер на диаграмму Рейнхарта и интегрированию по

Ш = 1} := {|Сх| = 1,..., |Сп| = 1}.

Множители в знаменателях в (11) имеют вид

__ __ дд1

(^д , С — г) ^ ^ дт (Ст — гт) ^ ^ дТ (^т — 2т)

д^т

т=1

Е

ддг Сп

д |Ст| 2|Сш|

(Ст гт) = 2 ^ у

т= 1

п

где

Ст : =

|Ст|

дд1

2 т=х д|Ст|

т = 1,. .., п.

( | Ст | — Ст гт)

Поскольку для функции дг(|С|)

I _ дд1 _ Ст дд1 г дд1 1 дд1

дт =

дСт 2 д|Ст| ; дт дСт 2Ст д|СтГ

г д2 д1 С« д2дг

д8т = ^ „- = 77“ • 01^101^ I > в = т>

дСЖт 4Ст д |С,|д|Ст|

д2д1 1 д2д1

+

1 дд1

дсжя 4 д|с,|д|с,| 4|С,| д|с,Г

то введем следующие обозначения:

д|

дд1

д|Ст| '

д|я||т|

д 2д1

д|Ся|д|СтГ

(^д1^|, К| — Сг) = Е д1т|(|Ст| — Стгт)

т=1

Е(дгуд1«11т|, ^ = т; г- = ЕТпГ\ (дмм + ттгт),

*=1

*=1

(д‘,)

К»

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

пп

д|1|

пп

дм

0 дш

п3к

д1

„Л

д1 "I

д3к

д|1|

С11

Сп1

д/1

& П

дЛ

|п|

г1п

(19)

1

С

т

к

к

0

0

0

ДР1-.. Рк Л-.. Зк

д|р1| • |д Р 13 ?г

... 3к Р1 .д |д їк.

Пусть

(—1)п(—1)^ • (-1)Р1+---+Рк^|С|[Р1,... ]

ДР1---Рк

З'ї-.-З'к

(20)

(21)

есть дифференциальная форма, где по условию ДР1' ' 'ркк = 0 и й|£|[рх,...,рк] — внешнее произведение дифференциалов <^|^11, . . . , ^|Сп|, среди которых отсутствуют Й|СР1 |, . . . , ^|Срк | • При 1 ^ к ^ п смешанный левиан Ь/ (д31,... , д3к) находится из равенства

Д31-- - 3к

Е

А11 ...Акк

ї і (д31 , ...,д3к).

При к = 1 левиан равен

(22)

ї(д(К 1)) = -

о

дії

д|і| д|і||і| + тел дїії

д|2|

д|2||і|

д|п| д|п

а при к = п смешанный левиан

д|2| д|і||2| д|2||2| + ^ д|2|

д|п||2|

д|п|

д|і||п|

д|2||п|

д|п||п1 + шд|п1

ї (о,''',о)(д31,... ,д3п) = (-1)п+і(Аі1;;”„ )2 = (-1)

Для к = п — 1 смешанные левианы:

\п+і

31

дг31

|п|

о" сТ о" ' ' ,0 )(д31,... ,д3пг1) =

0 . .. 0 д31 д|і| д32| • . д31 |п|

0 . .. 0 д3п-1 д|і| ^32|-1 . . д3пг1 |п|

д31 . д|і| . . д3Г| 1 д3* + д|і||і| + |С1І д3* д|і . д3^1||с2| . .

д31 . д|2| . •. д32І-1 „3* д|2||і| д|21121 + Щд|2| • . д|2||п|

д31 . дМ . .. 3-1 „3* д|п||і| д3П||2| . . д3П||п| + шд3П|

(23)

(24)

Формулы (17)-(22) позволяют сформулировать следующее следствие из теоремы в [5].

Следствие 1. Пусть О = {г : дг(|г|) < 0, I = 1,...,Ж} — ограниченная кусочнорегулярная линейно выпуклая область в Сп. Тогда всякая функция /(г), голоморфная в области О и непрерывная на О, представима в О-виде

2

3

3

д

д

п

- V- ' V- (—1)к-і/!

гІ= > ^ ~ЩТХ

/ (г) = 1212' 12

к=і 7=к |І|=п—к

х / |С1Ь ... •ЫЬКд31 ,...,д3к )^ [ к /('ч1' ,..., '^:') • ^ Л ... Л ^

|/^| км П №|, |С|- е^1 41 и

4=1 141

Здесь ^ означает суммирование по упорядоченным мультииндексам J длины к : 1 ^

1^=к

^1 < . .. < ^’к ^ — суммирование по мультииндексам I = (*1, .. .,*к) со свой-

|/1 =П — к

ством |11 := *1 + ... + *к = п — к; Ь/ — смешанный левиан порядка I и введено обозначение

I! = *1! • ... • *к!-

Если для краткости обозначить через

I! С С /(1 ^11 1^п1)

= (27Г*)^ / |^11 •. ■ ■ • К-М^1 ...■.?’>)^ / , ^ 'Т' (25)

( ' |/^| |£1=1 П <^а>:|, |<| — «*)>.+1 4

4=1 11

где ^ Л ... Л , то следствие запишется в виде простой формулы

4 Ц1 ЦП

/(*) = £( — 1)к-^ ' Е ^31"'3к. (26)

к = і 7=к 11| =п— к

4. Вспомогательные леммы

Лемма 1. Если комплексная гиперплоскость 1 — аі£і —.. . — ап£п = 0 не пересекает и(р, 0), то при (ві,.. ., вп) Є И+

(2п*)п У ••• У ^1+1 ...4Пп+1(1 — «1^1 — ... — ап4п)к+1

|41 | = Р1 \Цп\=Рп

= (^1 + ... + вп + к)! а81 .

51!... в„!к! ^

Доказательство получается прямым вычислением интеграла (вычета) через производные функции (1 — «1^1 — ... — а„£„)—(к+1). □

Лемма 2. Если |адо| < р, а |ад>1| > р, то при в ^ 0, к > 0

1 С 1ад (в + т — 1

2пі 7 'Шя+і('Ш — ад0)(ад — аді)к в / (ад0 — аді)к+і—тад^+т

М=р т=

Доказательство. Так как

1 Л 1 1

4 +

(ад — ад0)(ад — аді)к (ад0 — аді)к+і т(ад — аді)т (ад0 — аді)к(ад — ад0)’

то вычислением интегралов (вычетов) получаем доказательство леммы 2.

п

5. Иллюстративный пример

Рассмотрим в С2 ограниченную область

О = {г = (гі,^) Є С2 : ді(|г|) = —|гі| + а < 0, д2(|г|) = —|г21 + Ь < 0,

д3(|г|) = |гі|2 + |г212 — г2 < 0, г > а, г > Ь}. (27)

Область является двоякокруговой, и |О| — проекция О на диаграмму Рейнхарта есть область, ограниченная прямыми |гі| = а, |г21 = Ь и окружностью с центром в начале координат радиуса г (рис. 2).

|г2 |

|^і3|

ы

Рис. 2. Диаграмма Рейнхарта

Так как для каждой точки |£| = (|Сі|, |С21) Є д|О| на диаграмме Рейнхарта существует касательная полоса, проходящая через эту точку и не пересекающая |О|, то область О является линейно выпуклой.

Эта область имеет кусочно-регулярную границу, поскольку для каждой 4 — к-мерной (дд31 дд31 \ (дд3к дд3к

грани ^31, ',3к векторы —=—, —=— , —^—, —=— , 1 ^ к ^ 2, линейно независимы для

V дС 1 5С2 ) \ дС 1 5С2 )

всех наборов ^1,..., _7к •

Теперь, следуя единой схеме, найдем при 1 ^ к ^ 2 слагаемые V31 '3к -интегралы по граням ^31, ',3к •

а) Пусть грань й4 = {С = (Сі, С2) : ді(|С|) = —|Сі| + а = 0}. При рі = 1 из (20) следует,

что

Д Р1

и согласно (21) форма

А і

( —1)2( —1)^ • ( —1)р1 гі|С|[рі]

дШ

дді

д|ОІ

К р1

—1 = 0,

= —^|С|[1] = —^|С2|

корректно определена. Из (23) для д1(|С|) левиан

0

ДзЧК 1)) = -

д1и 1 д12|

+ ^ д1

д11| д|1||1| т |С1 у|1||2| 1

1 1 1 I Д|2|

„|2| д|2||1| д|2||2| + |С2|

0 1 1 0

—1 1 |С11 0 0

0 0 0

Тогда из (25) следует, что V1 = 0.

b) Пусть грань S2 = (С = (СъС2) : д2(|С|) = -|С21 + Ь = 0}. Проводя аналогичные

рассуждения, из (25) получим, что V2 = 0.

c) Пусть грань й3 = (С = (СъС2) : д3(|С|) = |С112 + |С212 - г2 =0; г > |^| > а >

0, %/г2 — а2 ^ |£2| ^ Ь > 0}. При р1 = 1 согласно (20)

Д 3 1 = Д 3 = д3, =2|С1| =0,

и в соответствии с (21) форма

^3

(—1) ■ (—1)р ^|с |[Р1] = = ад

2|С11

д 31

А 3

корректно определена (|^11 ^ а > 0). Из (23) для функции д3(|С|) левиан

Дз3(|С 1)) = —

и из (17) для д3(|С|)

2

{^д3С|, |С1 — £г} = Е „М(|Ст| — гт£т) = 2|С1|(|С1| — г1 £0 + 2|С2|(|С2| — ^2^2)

0 1 |2 0 2|С1| 2|С2|

„3 „3 + У|Л „1 „|1| д|1||1| + |С1| „|1||2| 3 =- 2|С1| 4 0 2 г о 1

„3 „3 „1 + „|2| „|2||1| „|2||2| + |С2| 2|С2| 0 4

т=1

= 2(г2 — |С11^1^1 — |С2|^2^2).

Теперь из (25) следует, что

о (2 — 1)! Г |С1||С2|16г2^|С2|

(2п*)2

|«3|

2г2

(2п*)2

2|С1| |С2|^|С2|

|?1| = 1 |?2| = 1

^(^, б1)_____________ ^ л ^

(2(г2 — |С1|Ы1 — |С2|^2^2))1 + 1 ■ & 6

_____ л ^

(г2 — |С1|^1^1 — |С2|^2^2)2 £1 £2 ,

|«3 | |«1| = 1 |«2| = 1

причем обход грани |£3| на диаграмме Рейнхарта будет происходить против часовой стрелки, когда |^21 будет меняться от Ь до %/г2 — а2.

В частности, для функции /(г) = г^12^2, в1, в2 € Ъ+

2г2

(2п*)2 У

|«3|

|С?1 ||С2|82+1^|С2|

|?1 | = 1 |?2 | = 1

^1 А ^£2

£21+1£22+1(г2 — |С1|Ы1 — Ы^)2

V

^ уїстіїсг-«у У я,+,;..+,(1_^ _ 1^2,2• (28)

|«3| |«1І = 1 |«2І = 1 г2 г2

Так как при (г 1, 22) Є С комплексная гиперплоскость 1 _ £1 _ ^Г^2 £2 =0 не пересекает

и(1,0), то по лемме 1

V3 = (‘ 1 + ‘5+2)'" 222 11 «2*. 11«2і2-2+1 «2 1 =

|«31

V г2 —а2

= (5 1 + 52 + 1)'2 -12-2 • 2. 2+ + 1 / (г2 _ у2)-1 у2-2+1 ^ (29)

5^52' (г2)*1+*2 + 1 у ^ у 1 у у к }

ь

Вычисляя (29), мы можем записать конечный ответ либо в форме

з = ^+82+^^^ (-1)т лл (( у2+т+1_ (у2+т+1\ (30)

51152! т=о «2 + т + ДV1 гУ [г^ у ( )

либо в форме

, = («1 + 52 + 1)1*21 ^ ^ (-1)т (^ ((л_ Ь2\21+т+1 _ (а2 Х^1+т+1\

511 «21 ^=0 81 + т + 1\т/ I \ Г2 / \ Г2 / у

^ Пусть грань Б13 = |(СъС2) : |С1| = а, |С2| = Vг2 _ а2}. Из (20) следует, что

_2|С2| =0,

д 12 д13

|1 |2 0 1 _

о — СО' о |2 2|С1| 2|С2|

и согласно (21) форма

(_1) . (_1)1+2^|С|[1, 2] 1 1

^13

Д 12 2|С2| 2|С2|

корректно определена (|^21 ^ Ь > 0). Из (24) смешанный левиан

£ (о,о)(#1(|С |),53 (|С|)) = (-1)2+1(Д1з)2 = -4|С2|2,

и из (17)

2

<^|ф |С1 - = Е Й'М(|Ст| - ^т£т) = -1(|С1| - ^1^1),

т=1

<VgfC|, |С| - £^} = 2(г2 - |С1|^1^1 - ^N£2)-

При обходе границы |С| на диаграмме Рейнхарта против часовой стрелки, двигаясь по грани ^ 3, мы переходим на грань Б1, что необходимо учесть при нахождении слагаемого

V13 (отметим, что Д12 = -2|£21 < 0). Теперь из (25) следует, что

^13 = (-1) 0101 |С1 ||С2|(-4)|С212 „

(2пі)2 _2|С21

/(^, l§:l) ^£і ^£2

А

У У _1(|С1|_ 21£1)2(г2 _|С1|21 £1 _|С2|22£2) £1 £2

|?1| = 1 |?2| = 1

К2|2 [ [ /( ^ ) ^£1 д ^£2

(2п*)2г2 у у (1 - ^1 )(1 - ^а - ^£2) & £2 '

|?1| = 1 |?2| = 1 ^ Г2 Г2

Для функции /(г) = г^1 г^2, «1, в2 € 2+ получим, что

V13 = ЮЛ21 |С2122+2 [ [ ^1 Л ^

г2М2 / / £21+1£22+1(1 - щ£0(1 - ^£1 - ^£2)'

|^1| = 1 |^2| = 1 1411

Применяя к (32) леммы 1 и 2, мы можем записать V13 либо в виде

2 (а2)™'

(32)

V13 = _ г21 г22 I 1 _ (1 _ _ )22 + 1

1*2 | 1 - (1 - Г2 )22 + 1 Е , (33)

либо в виде

22 2

13 21 22 ( а N21 + 1 \ Л /-тт (Л а \т

= -*-2‘ 42 (^ )2‘ + ^ ст+т(1 - ?)т. (34)

т=о

е) Пусть Б23 = {(СъС2) : |С2| = Ь, |С1| = ^г2 - Ь2}.

Проводя аналогичные рассуждения, получим, что для голоморфного монома г^1 г^2 выражение для V23 можно записать либо в форме

Ь2 Ь2

V23 = -г21 г222 (Г2)2 2+1 £ стт+т(1 - ^ )т, (35)

либо в форме

Ь2 2 Ь2

V23 = -г21 г222 (1 - (1 - ^^ Е С”т+т(^)т). (36)

т=о

£) Пусть Б12 = {(СъС2) : 51(|С|) = ЧОП + а = 0, д2(|С|) = -|С21 + Ь = 0}. Аналогично рассуждая, получим, что V12 = 0 для голоморфного монома г 2 1 2.

Суммируя сказанное, мы видим, что слагаемые (25) интегрального представления (26) по границе области (27) для голоморфного монома г 2 1 2 согласно (26) удовлетворяют со-

отношению

г21 ^ 2 = (-1)1-1^3) + (-1)2-1^13 + V23) = V3 - (V13 + V23), (37)

так как V1 = V2 = V12 = 0.

6. Комбинаторные тождества

Применяя различные формы записи для V3, V13, V23, мы можем получить восемь соотношений, часть из которых будет совпадать с точностью до переобозначений (в! меняем на в2, а

а2 Ь2

в 2 на в1). Для упрощения записи теоремы обозначим а = —, в = — и получим следующее утверждение:

Теорема 2. При 0 <а< 1, 0 < в < 1 справедливы следующие тождества:

(в1 + 52 + 1)1 (-1)т (8Л ((1 _ а)2 2+т+1 в22+т+1^ =

в11521 +Й2 + т + 1\ т

т=о

РЛ ((1 - а)2 2+т+1 - в2 т

- (1 - а)22+^ Г52 + ^а™ - в22+1 V Г52 + ^ (1 - в)™, (38)

тт

т=о т=о

1 + (51 + 52 + 1)^ (-1)т (5Л ((1 - а)22+т+1 - в22+т+1) -

511521 п 52 + т + 1\т/1

т=о

21 / , \ 22 / . ч

/ 52 + т\ т , ^2, +1 ^ /51 + т

- (1 - а)22+^ р2 + ^а™ + (1 - в)21+^ Р1 + ^в™, (39)

тт ™=о ' ' ™=о ' '

_ (51 + 52 + 1)1 ^ (-1)™ (Й1А ((1 а)22+™+1 «22+™+^ ,

= 511521 52 + т +Лт) ((1 - а) - в } +

™=о 4 7

+а21 + 1 V (51 + т) (1 - а)™ + в22+1 ^ (52 + т) (1 - в)™. (40)

тт ™=о ' ' ™=о ' '

Посмотрим на тождества, приведенные в теореме, с другой стороны, а именно как на полиномиальные тождества. Перенеся в (38) все члены, зависящие от а и в, в левую и правую части, получим

)22 + 1 + ( (51 + 52 + 1)1 . (-1)™ /^5Л (1 - а)™ - Л2 + т\ а™

511521 52 + т + 1 \ту V т

- в-+1Е т) в™ - (52+т) (1 - вг),

™=о 21

V 511521 52 + т + 1\ т)^ V т

™=о 4 12 2 4 у у

которое справедливо для любых 51 ^ 0, что возможно только при условии 21

V 511521 52 + т +1\ т

/ (51 + 52 + 1)1 (-1)™ {5Л (1 _ а)™ _ /^52 + т

' ^ \ с 1 1^ 1 Сп + т + 1 \ т I

о

а)™ — 2 ' а™ I =

- ^, <51 +^+в!. (-1)” ^*лв™ _ л*2+т (1 - вг) - 0,

< ^ \ е1 I во! Сг, т -\- \ \ т I \ т / /

511521 52 + т + 1 Ут

так как величины а и в независимы. После преобразований получим Следствие 2. При т = 0,... 51 справедливы следующие соотношения:

52 + тА =(1)™ (51 + 52 + 1)1 + (-1)к (5Л(к ^ (41)

52 ) ( ) 511521 ^ 52 + к +Д кДт/ ( )

При т = 0 получается формула №45, приведенная в [6] на стр. 611.

Автор благодарен Н.А. Бушуевой, Г.П. Егорычеву, О.В. Знаменской, Е.К. Лейнартасу, В.А. Степаненко, А.К. Циху за внимание к работе и сделанные замечания.

Работа выполнена в рамках гранта Президента России поддержки ведущих научных школ НШ-2427.2008.1 и гранта СФУ, а также гранта Рособразования "Развитие научного потенциала высшей школы" р 2.1.1/4620.

Список литературы

[1] Л.А.Айзенберг, А.П.Южаков, Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, Новосибирск, Наука, 1979.

[2] Г.П.Егорычев, Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм, Новосибирск, Наука, 1977.

[3] G.P.Egorychev, Method of coefficients: an algebraic characterization and recept applications, Labours Waterloo Workshop on Computer Algebra, Waterloo, 5-7 May, 2008, Springer Verlag, 2009, 33.

[4] M.Forsberg, M.Passare, A.Tsikh, Laurent Determinants and Arrangements of Hyperplane Amoebas, Advances in Mathematics, 151(2000), 45-70.

[5] В.П.Кривоколеско, А.К.Цих, Интегральные представления в линейно выпуклых полиэдрах, Сиб. мат. журн., 46(2005), №3, 579-593.

[6] А.П.Прудников, Ю.А.Брычков, О.И.Маричев, Интегралы и ряды, М., Наука, 1981.

[7] Р.Стенли, Перечислительная комбинаторика, М., Мир, 1990.

[8] А.К.Цих, Многомерные вычеты и их применения, Новосибирск, Наука, 1988.

Integral Representations for Linearly Convex Polyhedra and Some Combinatorial Identities

Vyacheslav P.Krivokolesko

An integral representation for functions that are holomorphic in a linearly convex polyhedr was considered in detail in the case of an n-circular polyhedr. We obtain some combinatorial identities involving metric parameters of this polyhedron.

Keywords: integral representation, residues, combinatorial identities.