Интегральные представления решений системы уравнений Максвелла для анизотропных сред

Досколович Леонид Леонидович; Казанский Николай Львович; Харитонов Сергей Иванович

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИИ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ МАКСВЕЛЛА

ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД

Леонид Леонидович Досколович (д.ф.-м.н., в.н.с., e-mail [email protected]), Николай Львович Казанский (д.ф.-м.н., зам. директора, e-mail: [email protected]), Сергей Иванович Харитонов (к.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: [email protected]) Учреждение Российской академии наук Институт систем обработки изображений РАН

Аннотация

В работе получены интегральные представления решений системы уравнений Максвелла для анизотропных сред. Наряду с представлением решений в трехмерном пространстве, получены интегральные представления для решений системы уравнений Максвелла в виде поверхностных волн на границе диэлектрика с отрицательной диэлектрической проницаемостью и анизотропным материалом. Интегральные представления получены с помощью разложения по собственным волнам однородной анизотропной среды, распространяющимся в положительном направлении.

Ключевые слова: интеграл Релея-Зоммерфельда, анизотропная среда, дифракция, уравнения Максвелла, собственные значения, собственные функции, поверхностные электромагнитные волны, разложение по плоским волнам.

Введение

Для решения многих задач распространения и дифракции электромагнитных волн, не имеющих точных решений, используется теория дифракции Кирхгофа-Гюйгенса. Решению задач дифракции с помощью интеграла Кирхгофа-Гюйгенса посвящено много работ, в том числе опубликованных в течение последних нескольких лет [1]-[7]. Привлекательность этого метода состоит в том, что решение можно сразу записать в виде интегрального преобразования. Сам подход имеет наглядный физический смысл. Используя метод Кирхгофа, можно определить поле в различных точках за экраном. Этот метод можно использовать не только для скалярных полей, но и для векторных электромагнитных полей. Поле в любой точке трехмерного пространства можно найти по известным значениям тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на некоторой поверхности. Обычно вывод интеграла Кирхгофа как в скалярном, так и векторном случае связывают с использованием формул Грина. Другим методом получения интегральных представлений является разложение по плоским волнам.

Интегральные представления для электромагнитных полей, полученные с помощью векторных формул Грина, имеют достаточно сложный вид. Кроме того, для вычисления поля используются одновременно компоненты электрического и магнитного полей. Это не всегда оправдано, так как во многих случаях мы не можем независимо задать тангенциальные компоненты электрического и магнитного поля.

В последнее время появились работы, в которых метод Кирхгофа обобщается на случай поверхностных волн (плазмонов), распространяющихся на границе раздела двух сред. Поверхностные электромагнитные волны имеют большое значение при проектировании различных устройств нанофотони-ки. Исследованию генерации и распространения плазмонов посвящено множество работ [7]-[16].

Однако в приведенных работах рассматриваются интегральные представления решений для объемных и поверхностных волн, распространяющихся в одно-

родной изотропной среде. В данной работе получены интегральные представления для решений системы уравнений Максвелла для анизотропных сред. Наряду с представлением решений в трехмерном пространстве, получены интегральные представления для решений системы уравнений Максвелла в виде поверхностных волн на границе диэлектрика с отрицательной диэлектрической проницаемостью и анизотропным материалом. Интегральные представления получены с помощью разложения по собственным волнам, распространяющимся в положительном направлении однородной анизотропной среды.

1. Уравнения волн в однородной анизотропной среде

1.1. Основные уравнения

Система уравнений Максвелла в однородной анизотропной и гиротропной среде имеет вид

3

Эз E = ЭЕ + ^ X ,

k=1 3

ЭзE2 = Э2E3 - ikX mikHk

k=1 3

Э3H1 =Э1Н3 - ikX e2kEk

k=1 3

Э3 H2 =Э2H3 + ikX e1kEk

где

H =-

E3 =

1

km

-(Э1Е2 -Э 2 e )+—X m3a H

M33 a=1

k £,

12

_(ЭН 2-Э2 H)--X e

e33 a=1

3 a Ha

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

E, H - компоненты электрического и магнитного полей,

(x1,

г,у - компоненты тензоров электрической и магнитной проницаемостей. (х1, х2, х3) - декартовы

з

координаты, х - определяет направление распространения света. В случае, если ^13, = £13 = ^23, = е23 = 0, уравнения можно записать в виде

k=1

- Э Е = АН - Э Н = ВЕ

где

Е =

'Е, .Е,

Н =

(7)

(8)

"2 У V 2

В этом случае оператор А 1

А =

" Э1Э2

к Чз"1"2 '21 к Чз

—Э1Э1

к е

—Э2Э2+тп ^7т^Э2Э1+т1

зз

1 Г Э,Э 2 -Э1Э1

2

к2е33 [Э2Э2 -ЭД оператор В

к езз

Ц 21 М"22

Ми М12 у

(9)

В =

"ТТ" Э1Э2 +е21 Т^1 Э1Э1+е22

к Мзз кX

"Т^1 Э2Э2-е11 Э2Э1-е1

к Мзз к Ц33

1 (Э,Э2 -Э1Э1

(10)

к 2Ц33I Э2Э2 -Э2Э1

е

Можно свести к уравнению второго порядка Э32Е = -к2 (АВ)Е. (П)

Осуществим переход в пространственно-частотное представление

Е(V,х2,х3 ] = | Е (ара2 )х

хехр ^ ¡к Г а1х1 + а2 х2 + у(ара2) х3 jj ё а1ё а2,

Н (V, х2, х3 ]] = | О (ара2 )х

хехр ¡¡к ( а1х1 + а2 х2 + у(ара2) х31] ё а1ё а2.

(12)

(13)

(а, а) - координаты в пространственно-частотном представлении.

Уравнения для функций Е(аьа) и О(а,а) принимают вид

-у(ара2) Е (ара2) = С (ара2) О (ара2), (14)

-у(ара2) О (ара2) = В (ара2) Е (ара2), (15) где матрицы С и В имеют вид

С (ара2 ) =--

В (ара2 ) = —

М"21 М"22 М-11 М-12

1 а1 а 2 -а1а1 е21 -е22 ]]

Цзз а2а2 -а1а2 , е11 е12

.(16)

(17)

Подставляя первое уравнение во второе, получим уравнение на собственные значения

(СВ) Е = у2 Е

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(18)

(СВ ) = М (ара2 ) =

М11 М12 М21 М22 у

Му -матричные элементы матрицы М. (19)

Функцию Оаа) можно представить в виде В (ара2) Е (ара2)

■. (20)

О (а1 , а2 ) = -

у(а1,а2)

Уравнение на собственные значения имеет вид

det

Мп -у2 М„

М12

М22-у2

(21)

= (М11 -у2 ][ М 22 -у2 ] - М 21М12 = 0

Условие совместности приводит к дисперсионному уравнению

у4 - (М11 + М22 ) у2 - М21М12 = 0. (22)

Выражение для корней имеет вид

у2 =

1 ((М11 + М22 )±^(М11 + М22)2 + 4М21М12]. (23)

2

Система уравнений для определения собственных векторов имеет вид

М11 -у2 М,„

М

12

М22-у2

Е1 Е2

= 0

(24)

Подставляем выражение у2 и получаем следующие выражения для собственных векторов матрицы

'Е1 (а1,а2 )'

е1 (ара2 ) =

= 1

2

Е ( ара2

М12 (ара2) (М22 - М11 ) + ^/(М11 + М22 )2 + 4М21М12

'Е2 (а1,а2 )

(25)

е2 (ара2 )= 2 ( 2у 1 2 Е22 |а1,а2

М12 (ара2) (М22 -Мп)-^/(Мп + М22)2 + 4М21М1,

(26)

= 1

Собственные вектора можно собрать в матрицу

' Е (аРа2) Е|( аРа2

е1 (ара 2), е2 (ара2) У =

Е12[а1;а2 У Е22('а1,а

(27)

Произвольное решение для компонент электрического поля в пространственно-частотном представлении можно записать в виде

Е (ара2) =

= Я1 (а1,а2 ) е1 (а1,а2 ) + 8 2 (а1,а2 ) е2 (а1,а2 ).

(28)

8 (а1,а2),8 (а1,а2) - функции, подлежащие определению.

Если известны компоненты электрического поля в пространственно-частотном представлении, то

+

-е21 -е22

2

+

можно найти компоненты магнитного поля в том же представлении.

1.2. Интегральные представления решения системы уравнений Максвелла в анизотропной среде

Рассмотрим только электрическое поле в волне. В случае, когда в волновой пакет входят только волны, распространяющиеся в положительном направлении, общее решение имеет вид

Е [ х1, х2, х3]] = | £1 (ара2) е1 (ара 2 )х хехр [г'Ь (( а1 х1 + а2 х2 + у1 (ара 2) х3 ]] ё а1а 2 +

Г 2 ( ) ( ) (29)

+|—¥ g (а1,а2)е2 (а^)х

хехр [г'Ь (а1 х1 + а2 х2 + у2 (ара2) х3 ]]] ё а1а2.

В плоскости х3 = 0 выражение для электрического поля имеет вид

Е (х1, х2, 0) =

g1 (а1,а2)'

= £ (е1 (а1,а2)

е1 (ара2) е2[а1,а2

хехриЬ( а1 х1 +а2х2 ]]ёа1а2.

g2 [а1,а2

(30)

К2Л П" 2 *

Обращая предыдущее уравнение, получаем выражение

g1 (аРа2)' g2 [ а1,а2 '

[е1 (ара2) е2 (ара2

= Г +¥ е(х1,х2,0)х 4я2 -1 у '

хехр (—гЬ [ а1 х1 + а2х2 ] ] ёх1ёх2.

(31)

Далее, решая систему линейных уравнений, по-

21, & 1'^2/

лучаем выражения g (а1>а2),g (а1>а2)

g1 (ара2) __ g2 [ара2 ] " 4л2

( „ / , 7 „\Л

= т"т Г—¥ (е1 (а1;а2) е1[ ара, ]] х

Е1 (х1, х2, 0) Е2 (х1, х2, 0)

(32)

ехр [ —гЬ (а1 х1 + а2х2 ] ] ёх1ёх2.

Выражение для обратной матрицы, состоящей из базисных векторов, имеет вид

\ ]—1 [ Е1 (ара2) ара2

(е1 (а1,а2 ) е2 [ а1,а 2 ]] = „ \ Ч [ [ " Е2 (ара2] Е2 (ара2

Е22 (ара2) —Е2 [ ара2

—^21[ара2] ^[а ^

А-1,

где определитель матрицы А(ара2 ) =

= Е1 (ара2) Е22 (ара2) — Е1 (ара2) (ара2).

(33)

Подставляя эти выражения в исходные уравнения, получаем выражения ^ (а1, а2),g 2 (а1, а2) через компоненты электрического поля в плоскости х3 = 0

&1 (аРа2 ) = Г¥А(ара2 )х

х(Е22 (ара2)Е (х1,х2,0) — 2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

—Е2 (ара2)Е1 (х1,х2,0))х хехр [ —гЬ [ а1х1 + а2 х2 ] ] ёх1ёх2,

(35)

g 2 (а1,а2 ) = Т""2 Г+¥ А(а1,а2 )

4Р

х(—Е1 (ара2) Е1 (х1, х2, 0) +

(36)

+ Е1 (ара2) Е1 (х1, х2, 0))х хехр [—гЬ [ а1х1 + а2 х2 ^ ёх1ёх2.

Подставляя выражения g (а1>а2),g (а1,а2) в выражение для поля, получаем выражение для поля в пространстве

\х*, х2, х3 I = I g' (а,а! е, (а,,а,1х

Е [ х1, х2, х3 ]] = | g1 (ара2) е1 (ара2 )> хехр [ гЬ (а1х1 +а2 х2 +у1 (ара2) х3 ]] ё а1а2 +

+1—Гg2 (а1,а2)е2 (ара2)х

хехр [гЬ (а1х1 +а2 х2 +у2 (ара2) х3 ]]] ё а1а2.

(37)

Меняя порядок интегрирования и вычисляя полученный интеграл, используя метод стационарной фазы, получаем выражение для пропагатора электрического поля в анизотропной среде. Следует отметить, что для наиболее интересных случаев выражения для функций

g (а1,а2) (гауссовы пучки: сходящиеся гауссовы пучки, фокусатор в кольцо) получаются в явном виде, если входящие интегралы вычислить методом стационарной точки или методом перевала. В этом случае расчет поля сводится только к двухкратному интегрированию в области пространственно-частотного спектра.

2. Уравнения поверхностных электромагнитных волн на границе металла и анизотропной среды

2.1. Уравнения для магнитного поля в однородной среде

Рассмотрим распространение поверхностных электромагнитных волн на границе металл-диэлектрик. Сначала рассмотрим представление волн в анизотропной среде. В отличие от предыдущего параграфа рассмотрим магнитное поле. Пусть

Е = Е(ара2)ехр[гЬ[а1х1 +а2х2 + у(ара2)х3]|, (3§)

Н = О(ара2)ехр [гЬ (а1х1 + а2х2 + у(ара2)х3]]1. (39)

х

Используя эти представления, получим уравнение на собственные значения для функции О (а1 , а2 ) .

(ВС) О = у2О,

где

М (ара2 ) = ( ВС ) =

М11 М12 М21 М22

(40)

(41)

Четырехкомпонентный вектор, состоящий из поперечных компонент электрического и магнитного поля, имеет вид

-С (ара2) е1 (ара2 )л

W1 (ара2) =

W2 (ара2 ) =

у1( ара2 ]е1( ара2

Г-С (ара2) е2 (ара2)

у2 (аРа2 к СаРа2

Электрическое поле определяется следующим образом

(50)

(51)

Е (ара2) = -

С (ара2) О (ара2) у(а1,а2)

(42)

Условие совместности приводит к дисперсионному уравнению

det

М11 -у2

М

М12 М22-у2

(43)

= С М11 -у2 Ц М 22-у2 У - М 21М12 = 0;

у4 -(М11 + М22 )у2 - М21М12 = 0.

(44)

Выражение для корней дисперсионного уравнения имеет вид

2.2. Самовоспроизводящиеся решения на границе двух сред

Поле в первой среде представляется в виде линейной комбинации

W(1) (ара2) = а%11) (ар а2) + а2Г2(1) (а1, а2), (52)

где а1,а2 - коэффициенты линейной комбинации, подлежащие определению.

Поле во второй среде имеет вид

W(2) (а1, а2) = Ь'^(2) (ар а2) + Ь^2) (ар а2), (53)

где Ь1, Ь2 - коэффициенты линейной комбинации, подлежащие определению.

Условия непрерывности тангенциальных компонент полей на границе раздела сред имеют вид

^1С(1) (ара2) е1(1) (ара2) +

■М/

у2 =1С (М11 + М 22 )±^( М11 + М 22)2 + 4М 21М12 ] .(45) +а2С (1) (ар а2) е« (ар а2) -

2

Система уравнений для определения собственных векторов имеет вид

-Ь'С(2) (ара2) е(2) (ара2)-

(2)

(54)

Мп -у2

СС М

М12 М22 -у2

01 ^

02

= 0

-Ь2С (2)(а1,а2) е22)(а1,а2 ) = 0 а1у1 (ара2) е1(1) (ара2) +

21 22 Решение уравнения

М12 (ара2)

(у? (ара2)- Мп (ара2)

М12 (ара2) ( у2 (а^)-Мп (ара 2)

+а2 у1 (ара2) е21) (ара2 )-„(2)(

(55)

(46)

(47)

Подставляем выражение у 2 , получаем окончательное выражение для собственных векторов

ОЦ (ара2)

е. (ара,)= 11 1 2/ О12 (а1,а2

М12 (ара2)

(М22 - Мп ) + ^/(Мп + М22 )2 + 4М21М12 е2 (ара2) =

(48)

-Ь'у2 (ара2) е(2) (ара2 )-

-Ь2 у2 (ара2) е22) (ара2) = 0.

Эта система двух матричных уравнений эквивалентна системе четырех скалярных уравнений. Равенство нулю определителя системы уравнений дает дисперсионное уравнение для поверхностных волн в виде а1 = а1 (а2). Для дальнейших рассуждений преобразуем систему уравнений к виду С(1) (ара2)с1 (ара2)- С(2) (ара2)с2 (ара2 ) = 0, (56) у1 (аРа2) с1 (а1,а2 )-у2 (а1,а2) с2 (а1,а2 ) = 0, (57)

где вектора с1 (а1, а2 ) и с2 (а1, а2 ) имеют вид

с1 (ара2 ) = (а1е1(1) (ара2) + а 2е{1 (ара2)]

О1 (ара2) О22 | ара2

М12 (ара2)

1(М22 -М11 )-^/(М11 + М22)2 + 4М21М1

(49)

• 2 1 I а е1 у\*.1,\»2 1 ' а е2 Л , (58)

с2 (ара2) = [(Ь1е(2) (ара2) + Ь2е22) (ара2 . (59)

Исключаем с1 (а1 , а2 ) , получаем уравнение для определения для с2 (а1 , а2 )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

¡С у1 (ара2) С(2) (ара2 )-у2 (ара2) С(1) (ара2) | х хс2 (ара2) = 0.

(61)

Система уравнений для определения функции

с (а1,а2) представляет собой однородную систему уравнений. Для существования ненулевых решений однородной системы уравнений необходимо, чтобы определитель системы был равен нулю. Из этого условия получаем дисперсионное уравнение для

функции а1 = (а2 ) .

После определения с2 (а1,а2 ) и а1 = (а2 ) находим функции Ь (а1,а2), Ь (а1,а2) с помощью уравнения

с2 (ара2) = [Ь1е12) (а1, а2) + Ь2е22) (а1, а2)). (62) Далее записываем решение во второй среде в виде Ш(2) (х1, х2 ,а2) =

= ( Ь1 (а2) Ш1(2) (а1 (а2 ),а2) +

+Ь2 (а2) Ш2(2) (а1 (а2), а2) ] )х

хехр (гЬ (а1 (а2) х1 + а2 х2

(63)

W («2 ) =

-C(2) ( a1 (a2 ),a2 ] e{2) (a1 (а2 ),а g(2) í a1 (a2 ),a2 W a1 (a2 ),a.

W2 (a2 ) =

—C(2) Í a1 (a2 ),a2) e22) Í a1 (a2 ),a,

g22)Íai (a2 ),a2 V22)Íai (a2 ),a

(64)

(65)

2.3. Интегральные представления для решений системы уравнений Максвелла в виде поверхностных волн

Общее решение для поверхностных волн, распространяющихся на границе раздела двух сред, имеет вид

Ш [ х1, х2 ] =

= | g (а2) О (а2) ехр (г'Ь (а1 (а2) х1 + а2х2)) ёа2, ( ) где четырехкомпонентный вектор (а2) имеет вид О (а2 ) =

= (Ь1 (а2 )Ш1(2) [ а1 (а 2 ),а 2 ] + (67)

+Ь2 (а 2 )Ш2( 2) [ а1 (а2 ),а2 ]). При х1 = 0

Ш [ 0, х2) = | g (а2) О (а2) ехр (г'Ьа2 х2 ] ё а 2. (68) Обращая выражение, получаем

& (а2)О(а2 ) = 1+ Ш (0У2]ехр(—гЬа2У2 ]ёУ2. (69)

Объединяя вышеприведенные выражения, получаем интегральное представление решения системы уравнений Максвелла в виде поверхностных волн в анизотропных и гиротропных средах

Ш(х1,х2] = 2-|—;Г(х2 — У2,х3]Ш(0,У2)ёу2, (70)

где ядро пропагатора для поверхностных волн имеет вид

Г [ х2 — У2, х3) =

(71)

I ехр мь \ а (а I х' + а \ х~ — У III а а. 2я]

Заключение

В работе получены интегральные представления для поля в анизотропной среде (35), (36), (37) в пространстве. Получены также интегральные представления для поля на границе раздела диэлектриков с различными знаками диэлектрической проницаемости (70), (71).

Интегральные представления могут быть использованы для моделирования распространения света в магнитоактивной плазме, анизотропных диэлектриках и ферромагнитных средах.

Полученные в работе интегральные представления на границе двух сред могут быть использованы для моделирования работы наноустройств интегральной оптики, принцип работы которых основан на использовании поверхностных волн.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке фонда «Фундаментальные исследования и высшее образование» (PG08-014-1), грантов РФФИ № 09-07-12147, 09-0792421, Фонда содействия отечественной науке и грантов Президента РФ поддержки ведущих научных школ (НШ-3086.2008.9 и НШ-7414.2010.9).

Литература

1. Marathey A.S. On the usual approximation used in the Ray-leigh-Sommerfeld diffraction theory / A.S. Marathey, J.F. McCalmont // J. Opt. Soc. Am. -2004. -A21, -P.510-516.

2. Osterberg. H. Closed solutions of Rayleigh's diffraction integral for axial points / H. Osterberg., L. Smith // J. Opt. Soc. Am. -1961. -A51, -P.1050-1054.

3. Marathay S. Vector diffraction theory for electromagnetic waves / S.Marathay, J.F. McCalmont // J. Opt. Soc. Am. -2001. -A 18, -P.2585-2593.

4. Romero J. A. Vectorial approach to Huygens's principle for plane waves: circular aperture and zone plates / J. A. Romero, L.Hernández, // J. Opt. Soc. Am. -A 23, -P.1141-1145 (2006).

5. Romero J. A. Diffraction by circular aperture: an application of the vectorial theory of Huygens's principle in the near field / J. A. Romero, L. Hernández //J. Opt. Soc. Am. -2008. -A. 25, -P.2040-2043.

6. Kang X. Vectorial nonparaxial flattened gaussian beams and their beam quality in terms of the power in the bucket/ X. Kang, B. Lu // Opt.Comm. -2006. -262, -P.1-7.

7. Barnes W.L. Surface plasmon subwavelength optics./ W.L. Barnes, F. Dereux., T.W.Ebbesen // Nature. -2003. -P.424-830.

8. Berini P. Long range surface plasmons on ultrathin membranes/ P. Berini, R Charbonneau., N. Lohaud //. Nano Lett. -2007. -7 -P.1376-80.

9. Lee I. M. Dispersion characterictics of channell plasmon polariton waveguides with block-trench-type groves./ I. M. Lee, J .Jang, J. H .Park,Kim, B.Lee // Opt Express. -2007 -Dec 10;15(25):-P.16596-603.

10. Hohenau. A. Dielectric optical element for surface plas-mons./ A.Hohenau, J.R. Krenn, A.L. Stepanov, A. Drezet, H. Ditlbacher, B. Steinberger, A.L Leitner, F.R. Au-thenegg // Opt Lett. -2005 Apr 15;30(8):893-5.

11. Radko I.P.. Surface plasmon polariton beam focusing with parabolic nanoparticle chains. / I.P. Radko, S.I. Boz-hevalnyi, // Optics express -2007. -15(11):-6576-82.

12. Fan X.. Nanoscale metal waveguide arrays as plasmon lenses/ X. Fan, G.P. Wang // Opt. Lett. 31, -2006. -P.1332-4.

13. Steele J.M. Resonant and non-resonant generation and focusing of surface plasmons with circular gratting ./ J.M. Steele, Z. Liu, Y. Wang, X. Zhang // Opt. Express -2006. -14, -P.5664-70.

14. Soifer V.A. Method for computer design of difractive optical elements / V.A. Soifer. - New York Willey, -2002

15. Besus E.A. Design of diffractive lenses for focusing surface plasmons / E.A. Besus, L.L. Doskolovich. N.L. Kazansky. V.A. Soifer, S.I. Kharitonov // Jornal of Optics -2010. -01501.

References

1. Marathey A.S. On the usual approximation used in the Rayleigh-Sommerfeld diffraction theory / A.S. Marathey, J.F. McCalmont // J. Opt. Soc. Am. -2004. -A21, -P.510-516.

2. Osterberg. H. Closed solutions of Rayleigh's diffraction integral for axial points / H. Osterberg., L. Smith // J. Opt. Soc. Am. -1961. -A51, -P.1050-1054.

3. Marathay S. Vector diffraction theory for electromagnetic waves / S.Marathay, J.F. McCalmont // J. Opt. Soc. Am. -2001. -A 18, -P.2585-2593.

4. Romero J. A. Vectorial approach to Huygens's principle for plane waves: circular aperture and zone plates / J. A.

Romero, L.Hernández, // J. Opt. Soc. Am. -A 23, -P.1141-1145 (2006).