CC BY
37
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА В ВИДЕ СПЕКТРА ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, С.И. Харитонов Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева
Аннотация
Рассмотрен вывод выражений для поверхностных электромагнитных волн из уравнений Максвелла. Получено интегральное представление электромагнитного поля на границе раздела двух сред через угловой спектр поверхностных электромагнитных волн. Приведены аналоги интеграла Кирхгофа для описания дифракции поверхностных электромагнитных волн.
Ключевые слова: поверхностная электромагнитная волна, уравнения Максвелла, дисперсионное уравнение, дифракция, угловой спектр, интеграл Кирхгофа.
Большое число публикаций, посвященных изучению поверхностных электромагнитных волн (ПЭВ), обусловлено перспективами их эффективного применения в оптических системах и приборах. Оптическая обработка информации в наномасштабе является одним из основных направлений, где использование ПЭВ является особенно перспективным [1-3]. Решение задачи дифракции ПЭВ на микро- и нанобъектах, расположенных непосредственно на поверхности распространения, является ключевой задачей для применения ПЭВ в приложениях нанофотоники.
В работах [4-8] рассмотрены дифракционные структуры, предназначенные для преобразования и фокусировки ПЭВ. Результаты работ [4-8] указывают на существование явной аналогии между распространением и дифракцией ПЭВ и распространением и дифракцией света. В работе [9] рассматривается дифракция, возникающая при распространении ПЭВ по двум металлическим полосам в область сплошной металлической пленки (рис.1).
Возбужденные ПЭВ
Стеклянная подложка Золотая пленка
Рис.1. Схема эксперимента по дифракции ПЭВ на двух «щелях»
Указанный эксперимент является аналогом знаменитого эксперимента Юнга по изучению дифракции света на двух щелях. В [9] отмечено большое сходство между дифракционной картиной света на двух щелях и соответствующей интерференционной картиной ПЭВ. На основе наблюдаемого сходства авторами [9] записаны интегральные представления электромагнитного поля на поверхности распространения через угловой спектр ПЭВ. В [10] указанные представления использованы для расчета линзы ПЭВ и моделирования распространения ПЭВ.
Приведенные в [9,10] интегральные выражения по форме совпадают с представлением решения скалярной задачи дифракции через угловой спектр плоских волн [11, 12]. В работе [7] использован аналог интегрального представления Френеля-Кирхгофа для описания распространения ПЭВ.
В данной статье приведен строгий вывод интегрального представления электромагнитного поля на поверхности распространения через угловой спектр ПЭВ. Показано, что использованные в [7, 9, 10] соотношения являются приближенными. В статье получены уточненные аналоги интеграла Кирхгофа для моделирования дифракции и распространения ПЭВ.
Рассмотрим получение ПЭВ из решения уравнений Максвелла для двух полубесконечных сред с границей раздела при у = 0. При этом среды 1, 2 соответствуют областям у < 0 и у > 0 соответственно. В качестве оси распространения ПЭВ выберем ось Ог.
Получим предварительно общие выражения для компонент электромагнитного поля в средах 1, 2. Индекс номера среды в компоненты поля введем позднее, при наложении граничных условий на границе раздела сред. Поскольку свойства среды не зависят от х, то электрическое и магнитное поля в средах 1, 2 имеют вид
Е ( х, у, г ) = Е( у, г) ехр(/к0 ах), Н (х, у, г) = Н( у, г) ехр(/к0ах),
(1)
где к0 = 2п / Я, Я - длина волны. Подставляя (1) в уравнения Максвелла для монохроматического поля
хО Н =-к0 еЕ, го1 Е = ¡к0 Н,
(2)
где е - диэлектрическая проницаемость, представим компоненты поля в средах 1, 2 через х-компо-ненты в виде
Интегральные представления решений уравнений Максвелла в виде спектра... Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, С.И.Харитонов
-1
Е = .
У 1к0 (е-а2)) д2
дН дЕ
+ а—х
д
Е., =
1
дН дЕ -а-
Н =
У
Н. =
1к0 (е-а2)) ду д2 1
1к0 (е-а2)) д.
дЕ дН е—--а-
-1
1к0 (е-а2)) дУ
дЕ е—- + а
дУ
Н
(3)
Функции Ех, Н х в (3) удовлетворяют двумерным уравнениям Гельмгольца
+дГГ + ко (е-а2)Ех = 0, д у д г
д2 Н д2 Н ,2 2
х х+ к02(е-а2)Нх = 0.
(4)
д у2
д г2
Решения уравнений (4) для компонент Нх, Ех в средах 1, 2 имеют вид
НХ1 (у.2) = К • ехР (кв )ехР ((о У1 у )
Н() (у, 2) = К2 • еХР ((в)еХР (-к0У2у) Е? 2) = е • ехР (2 )ехР (( У1 у) ЕХ2) (у, 2) = е2 • еХР ((в)еХР (-к0У2у )
(5)
где у2 = -[е, -а2] + р2, (6)
К, ,I = 1,2 - произвольные постоянные, а индекс I означает номер среды. Представления (5) соответствуют ПЭВ, поскольку имеют затухающий вид в направлении перпендикулярном границе.
Запишем условия равенства тангенциальных компонент электрического и магнитного поля на границе раздела сред при у = 0
Н((2) (0, 2)= Н(1 (0, 2), ЕХ2) (0,2) = Е\1 (0,2), Е?> (0,2) = Е? (0,2), Н(() (0, 2 )= Н2« (0, 2 ),
(7)
где вид компонент Е2(,), Н(-1, I = 1,2 определен в (3). Согласно (7), получим
К = К2, е1 = е2
= 0, (8)
= 0.
Из (8) получим дисперсионное уравнение для определения константы распространения в
+ 12
V
е, у, +е2
2 У
(9)
-а2в2
1 1
= 0,
где
ю. =е,.-а2 =в2-у2, I = 1,2.
Несложно показать, что решение (9) сводится к решению биквадратного уравнения относительно р2
в2 (а2) = (в2-а2)
(10)
р2 = е1е2 Р0 .
Уравнения (8) - (10) позволяют получить для функций Нх, Ех на границе раздела у = 0 интегральные представления, аналогичные представлению поля через угловой спектр плоских волн и интегралу Кирхгофа, которые широко используются в скалярной теории дифракции [11,12]. Действительно, запишем общее решение при у = 0 в виде суперпозиции ПЭВ
Нх (X, 2 ) =
= | I (а)ехР (|к0 ах)ехР (1к0р(а)2 ] d а,
(11)
где функция р(а) имеет вид (9)-(10) или определяется из (10). Уравнение для Ех 2) имеет точно такой же вид и в дальнейшем рассматриваться не будет. Уравнение (11) является аналогом представления поля через угловой спектр [11].Отметим, что выбранный базис не является полным и (11) является решением только в классе ПЭВ. При этом функция I (а) определяется через значения поля при 2 = 0 в виде
I(а) = ^1+™ Н® (х,0)ехР(-ik0аx)dх . (12)
Подставляя (12) в (11), получим поле в виде
Нх (х, 2) = | I (а)ехР(/к0ах)
X ехР 1- к02а2 I d а ,
(13)
где крр = к0Р0 - волновое число ПЭВ при а = 0. Уравнение (13) полностью идентично интегральному представлению поля через угловой спектр плоских волн, используемому в скалярной теории дифракции [11. 12]. Уравнения (12), (13) позволяют записать аналог интеграла Кирхгофа для ПЭВ в виде
Их (x, z) = J" Их (u,0)G(x -u,z)di
(14)
где
О (х, г ) = ехр (/'к0ах )ехр (/к0Р(а) ] d а (15)
Интегрируя, получаем, что ядро интегрального оператора (15) может быть представлено в виде
О (х, г ) =
= ¿С ехР ((кР -п2 г )) П = (16)
=
2Тхг+Т2
И ( kJx2 + z2
где п = к0а, , Н\ (х) - функция Ханкеля первого
рода, первого порядка [14]. Заменяя функцию Ханкеля асимптотическим выражением при больших значениях аргумента [14], получим
G (x, z) = ¡
six2 + z2
ik„
*2ng V x2 + z2
(17)
exp I ikspp4x2 + z 2
Уравнения (14), (15) и (16), (17) являются прямыми аналогами интеграла Кирхгофа в двумерном случае. Разлагая корень в (17), получим ядро интегрального преобразования для аналога параксиального приближения Френеля
G (x, z ) = ,
ik„.
2nsJ x2 + z2
: i 2z 2 exP(iksppz)exP Vx + z
1 K¿1
2 z
(18)
Из (18) несложно получить аналог параксиального приближения Фраунгофера
И ( z) = eXP (iksppz)eXP
^С Hx (u, 0)exp
1 iK¿ 1
2 z
I
( ikppxu 1
(19)
d u.
Рассмотрим пример. Пусть входное поле Нх (х, 0) является периодическим с периодом ё при
|х| < Я и равно нулю при |х| > Я . Разлагая Нх (х, 0) в ряд Фурье, представим поле в виде
Hx ( z)= exP (iksppz)exP xR^cn sine
iksppx'
2 z
2
ik„
2nz
(( 2nn __ kSnnx ^ R1 d
(20)
W
/ /
где cn - коэффициенты Фурье, sine(x) = sin(x)/x .
Условие
tg (а и ) = ^ = ^ z d
(21)
4pp = 2n / kspp определяет направления порядков дифракции.
Заключение Полученные интегральные представления электромагнитного поля на границе раздела двух сред через угловой спектр ПЭВ объясняют использованные ранее представления и показывают их точный характер. Приведены аналоги интеграла Кирхгофа для описания дифракции поверхностных электромагнитных волн.
Благодарности Работа выполнена при поддержке «Фонда содействия отечественной науке», фонда «Фундаментальные исследования и высшее образование» (RUXO-014-SA-06) и грантов РФФИ № 07-07-97601-р_офи, 07-01-96602-р_поволжье_а, 07-07-91580-АСП_а, 08-07-99005-р_офи, гранта Президента РФ № НШ-3086.2008.9.
Литература
1. Barnes, W.L. Surface plasmon subwavelength optics / W.L. Barnes, A. Dereux, and T. W. Ebbesen // Nature, 2003. - V.424. - P.824-830.
2. Berini, P. Long-range surface plasmons on ultrathin membranes / P. Berini, R. Charbonneau, and N. Lahoud // Nano Lett. ,2007. - V.7. - P.1376-1380.
3. Lee, I.-M. Dispersion characteristics of channel plasmon polariton waveguides with step-trench-type grooves / I.-M. Lee [and other] // Opt. Express 15, 16596-16603 (2007).
4. Hohenau, A. Dielectric optical elements for surface plas-mons / A. Hohenau [and other] // Optics Letters, 2005. -30 (8). - P.893-895.
5. Radko, I.P. Surface plasmon polariton beam focusing with parabolic nanoparticle chains. / I.P. Radko, S.I. Bozhevolnyi // Optics Express, 2007. - V.15,N11 - P.6576-6582.
6. Shi, H. Beam manipulating by metallic nano-slits with variant widths, / H. Shi [and other] // Optics Express, 2005. - V.13, N18. - P.6815-6820.
7. Feng, L. Fourier plasmonics: Diffractive focusing of inplane surface plasmon polariton waves, / L. Feng [and other] // Applied Physics Letters, 2007. - V.91. - 081101
8. Steele, J.M. Resonant and non-resonant generation and focusing of surface plasmons with circular gratings, / J.M. Steele [and other] // Optics Express, 2006. - V.14, N12. -P.5664-5670.
Tl
x
x
Интегральные представления решений уравнений Максвелла в виде спектра.
Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, С.И.Харитонов
9. Zia, R. Surface plasmon polariton analogue to young's double-slit experiment. / R. Zia, M.L. Brongersma // Nature Nanotechnology, 2007. - V.2, N.7. - P.426-429.
10. Kim, H. Focusing properties of surface plasmon polariton floating dielectric lenses / H. Kim, J. Hahn, B. Lee. // Optics Express, 2008. - V.16, N5. - P. 3049-3057.
11. Goodman, W. Introduction to Fourier Optics, 2nd ed. / W. Goodman - McGraw-Hill, New York, 1996. - 124 p.
12. Зверев, В.А. Радиооптика / В.А. Зверев - М.: Советское радио, 1975. - 304 с.
13. Palik, E.D. (ed.), Handbook of Optical Constants of Solids, / E.D. Palik - Academic Press, New York, 1985.
14. Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) / Г. Корн, Т. Корн - М.: Наука, 1974. - 832 с.
