CC BY
23Труды Петрозаводского государственного университета
Серия "Математика" Выпуск 1, 1993 г.
УДК 517.9 Заика Ю.В.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ИДЕАЛЬНОГО НАБЛЮДЕНИЯ ДИЛАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Рассматривается задача наблвдения фазового вектора нелинейной возмущаемой динамической системы. На основе принципа двойственности задач наблюдения и управления строится множество идеально наблюдаемых функций, представимых интегральными операторами от выходов измерителей.
S1. Введение
Пусть движение объекта описывается в области W--(t0.ti>«US к*1*1 векторным дифференциальным уравнением
-аг - '<»> Hi
где Г,С’Ш.К*1), £(t) = U,(t)...........Ir(t))'- вектор возмуще-
ний (или программных управлений), |(t)| S 1= const. Предпо-лагается, что допустимые i±() являются кусочно-непрерывными, [0,Т] с (t0,t,) и при |(-) = 0 в (1) решения х( ;x,t), х«0, t«[0,T], продолжимы на [0,TJ. Нули линейных пространств обозначаем одния символом.
Начальные данные и возмущения неизвестны, а доступная информация о движении задается значениями(измерениями) вектор-функции
y(t)= g(xU)). g * C^U.R"1). (S)
Требуется определить такие (идеально наблюдаемые по аналогии с [1]) функции ф : U— к1, значения которых ф(х^Т)) независимо от реализации допустимой I(•> однозначно вычисляются по соответствующим
у( ;х(Т),Т,С) - g(x(-;x(T),T,5)):[0.T]— (Rm
с помощью интегрального оператора : т
Ф(х(Т)) = J K(x,y(T))d't. (3)
о
Здесь х(т)- любое решение возмущенной системы (1) тзкое, что х(т) « и, те[0,Т], и y(x)^g(x(T)}. Использование интегрального оператора (а не, например, производных y(1)(tj)) влечет определенную помехоустойчивость обработки измерений. Идеальность оператора означает независимость функции К(-,) от конкретной реализации £ (• ). Учет возмущений проводится лишь посредством измерений у'-). Если t1 достаточно велико и x(t)«U, te[Q,t1), то независимо от С(-) можно последовательно вычислять ф(х(;)Т)) по у:((J-l)Т,JT] -» к® с целью контроля и управления движением с обратной связью.
Воспользуемся двойственностью задач наблюдения и управления, подробно изученной в линейном случае [2]. Определим (3,4] сопряженную систему управления для нелинейной пары (1),(2):
f|(t.X)+ £(t,X)-f(X)=k(t,g(X)), V(0,X)=0, (4)
g(t,x) F(X)=0, F=(f,......fr), t«(C,T],x«U. (5)
Допустимыми считаем непрерывно дифференцируемые k(t,y) в соответствующих областях {(t,y)} э [0,T]»g(0), за исключением разве лишь конечного числа сечений t=tj. В силу продолжимости невозмущенных решений на (0,Т] для фиксированной R(-,•) функция ▼(-,•), удовлетворяющая уравнению (4) в [0,T]«U существует и единственна.В операторной записи получаем систему управления в С1(U,«1) с фазовыми ограничениями:
V(t)= - AV(t)+Вй(t), V(0)=0, (6)
CV(tj=0, UlO.T], (7)
V(t)=v(t,- ):U—* и1, AV(t)= g(t,-)f(-),
CV(t)= BK(t)= k(t,g( )) .
Цель настоящей статьи - описать эдеально наблюдаемые функции <р(-) с помощь» множества дост:ж2?*.сстг сопряженной сис-
темы (4),(5), что позволяет на этапе построения весовой функции к (• ,'•) в (3) использовать разработанные методы математической теории управления.
92. Идеальное наблюдение проекций в билинейной системе
Рассмотрим вначале более подробно частный случай:
Г
-К- = ^ + 1 5i(t) в1х + *оВо, y=Gl» <8)
1=1
где А,В±- постоянные матрицы размерности n*n, C-m*n, rang G= m, BQe в*. Требуется найти все векторы h « к?для которых проекции h'x(T) однозначно восстанавливаются по у: [0,Т]—•к1" в виде
линейных интегральных операций: т
h'x(T)= (к,у) = Jk'(T)y(T)dT v ifTjrf1, v {(•). о
В этом случае нет необходимости перестраивать операции восстановления проекций h'x(T) в зависимости от конкретных возмущений £(•) (k=k(t), kí-íVc(^))- Функция С0 определяет возмущение неоднородной части, a (6t) - матрицы а линейной системы.
Для билинейной системы (8) уравнения (4),(5) примут вид d
— V(t)= - A'V(t) + G'k(t), V(0)=0, (9)
dt
B'V(t) = O, te[0,TJ, (10)
t
посхольку функция Y(t,x)* J k'(т)у(т;х,t)I di = V'(t)x
o 4=0
линейна no x « Здесь В составлена из базисных столбцов матрицы (BQ,B1,...,Вг). Считаем rang В = 7 < п.
Обозначим через К матрицу управляемости системы (9) (G',А'G',...,А''G'), q - степень минимального аннулирующего полинома А, через /(К) -линейную оболочку столбцов К, через Н -множество тех h для которых возможно представление
h'x(T)=(k,y) V x(T)«tRn, у !(•).
Теорема 1. Множество достижимости DT = tv(Т)> сопряженной системы управления (9),(10) совпадает с искомым й.
Доказательство. Выберем в (Э) допустимое кусочно-непре-
рывное управление к, удовлетворяющее (10)'. Для v(t,x)=V'(t)x в силу (8) имеем:
^[(t,x)+ -Ц- (t,x) -^-= к' (t)Gx.
Подставляя x=x(t;x(T),T,Ç) у £(•) и интегрируя на Ю,Т], получим V' (Т)х(Т)-(к,у) у х(Т) « v 4С ), откуда DT « Р..
Обратно, пусть для некоторл h,к выполнено h'x(T)s(k,y). Подставим к в (9) и положим v(t,x)=V'(t)x. Домножая (9) скаляр-но на x(t;x(T),T)|^=0 и интегрируя на10,Т], получим v(T,x(T))-V' (T)x(T)=(k,y) v xlT^.^Q. Следовательно V(T)=h. Чтобы heDT, осталось доказать (10). Предположим противное: для
некоторых J.î B3V(t)*0. Положим ^=1 на (t-еД+е), е>0, ^=0
вне этой окрестности î и J =0, 1*1- Введем v(t,x)=V'(t)x, где
V(t)= -(A'+î.(t)B'.)V(t) + G'k(t), V(0)=0. dt j j
Тогда §f(t,x)4 ^(г,х)(Ах+5^(г)В3х)=кЬ)Сх, v(0,x)-0.
При дсгтстсчнс «чппи р>л Y(f+s)*V(t+e),B на lt+e,T] уравнения
для V,v совпадают. Вследствие единственности решений V(T)*V(T)* « h. При фиксированном на [0,Т] возмущении £=£ имеем
v(T,x(T))=V'(Т)х(Т)=(k,у) vx(T)«ffin, что противоречит V(T)*h. Поэтому исходное предположение неверно и ограничение (10) выполнено на [0,Т]. Теорема доказана.
Определение DT(H) значительно упрощается в случае ш=1. Действительно, пусть y=Gx, G'eR11 и B'K=(B'G'....,В'А'4-1 G' )=0. Последнее означает, что rang К < п и столбцы матриц В., ортогональны столбцам К, линейная оболочка /(К) которых* образует множество достижимости линейной системы (9) для любого t>0 без учета (10). Поэтому при любом допустимом к выполнено (10) а H=Dt=jc(К).Покажем теперь, что при В'К * 0 любое кусочно-непрерывное на [0,Т] управление к*0 приводит к нарушению (10), поскольку фазовая кривая системы (9) является "пространственной" в /(К). Пусть k*0, 3'VeQ и B'A'PG' - первый ненулевой столбец в В'К. Дифференцируя (без учета точек разрыва к) тех-
Продолжая этот поцесс, придем к B'A'pG'k г B'A,p41V,
В'A'PG'/ 0, откуда можно выразить к через V:k=L'V.Lew". Но при связи k(t)=L‘Y(t) линейная система (9) имеет лишь тривиальное решение V=0 и к=0. Полученное противоречие означает, что В'К/О влечет Н={0Ь Таким образа, при т=1 фазовое ограничение (10) либо является несущественным (B'V=0 vk, DT= *(К)), либо допускает только тривиальное решение У=0 и H-DT=(0}. Аналогичный вывод справедлив и при неличии ограничений |k(t)|^conat (изменится лишь DT=H с *(К)), использовании k«L.,(0,T), понимая равенство по t в смысле почти всюду на [0,Т].
Перейдем к рассмотрению общего случая (yitJ'stR®). Если ограничиться в сопряженной системе управлениями k=clc, с««*“, E(t)*R1, то можно воспользоваться приведенными выше рассуждениями. При В' (G'с,A'G'с,...,А'q_1G'с)*0 множество достижимости системы (9), (Ю) (k=cR) не содержит ненулевых векторов. Из тех вектор-столбцов с, для которых указанная матрица нулевая, составим матрицу S:S'G(B,AB,...,Ач_1В)=0. Тогда линейная оболочка столбцов *((G'S,A'G'S ...,A'4_1G'S)) является подмножеством искомого H={h|h'x(T)=(k,y) v£, xtT)^1}.
Если найдется 7-7-махраца h из условия Ай=а«, то (а;, (10)выполняются только при условии B'G'k=0, з чем нетрудно убедиться, домножив (9) на В'. В этом случае
1ИГ( (G'P.A'G'P.....A'q_1G'P)), где столбцы Р ортогональны
столбцам GB. Если G(B,AB,...,Ач_1В)=0, т.е. столбцы В ортогональны базисным векторам множества достижимости (9), то Н = *(К).
Теорема 2. Пусть р - первый номер , для которого GApB/0. Множество Н не содержит ненулевых векторов тогда и только тогда, ко'гда rang GApB=m. Если rang GApB<m, то Н содержит ненулевые векторы и совпадает с множеством достижимости некоторой линейной системы управления без фазовых ограничений. *
Доказательство. Пусть rang GApB=m. Из В'7=0 следует
B'V * -B'A'V + B'G'k=0, B'A'V=0........B'A'pG'k=B'A P+,V. Поэтому
k можно выразить через Y:k=LV, L - матрица ш-n. Подставляя k в (9), получлм Y=0, k=0 и Н={0Ь Покажем обратное: Н=(0) влечет rang САрВ=ш. Действительно, Н={0} означает, что для любого долуствмого К при. усяовги В'У=0 на [0,Т] ииеем 7(Т)=0. Но тог-
да для указанных к решение V тождественно обращается в ноль. Предположим противное: существует к1, для которого В'V(=0,
V1 (Т)=0, V1 (t)9i0,te(0^T). Сконструируем новое управление: lL,(t) = 0. t€[0,T-t), (t+t-T), WlT-t.T). В силу
стационарности сопряженной системы B'V2=0 на (0,Т), но V2(T)=Vt(t) * 0. Полученное противоречие означает 7=0. Из (9) и условия rang G = ш заключаем, что при Н={0> только нулевое управление к удовлетворяет (9),(10). С другой стороны, имеем В A'pG'k = В'А'р417. Покажем, что это условие не только необходимо,но и достаточно для выполнения В'7=0 на Ю.Т). Пусть в (9) управление к выбрано удовлетворяющим указанному тождеству. Домножая обе части сопряженного уравнения на В' , с учетом В'G'=0 получим В'7=- В'А'7. Справа дифференцируемая вектор-функция, поэтому
^ (В'7)=В'А'27-В'A'G' к=В'А'27,...,
в(В'7)-(-1)Р"‘в'А'р+17 + (-1)р В A'pG'k=0 . dtp
Учитывая начальные данные 7(0)=0, -^-r- B'7)l =0, 1* 0.р-1,
dt1 It*o
получаем B'V=0 и В'7=0. Итак, при исходном предположении Н={0)
показано, что необходимому и достаточному условию выполнения фазового ограничения (10) (В'A'pG'k=B' А'р*17) удовлетворяет
единственное управление к (к=0). Следовательно, rang GApB=m.
Перейдем к доказательству следующего утверждения в формулировке теоремы. Из тождества В'A'pG'k=B‘А'р*17 , равносильного фазовому ограничению В'7=0, при rang GApB=v<m можно выразить v компонент к через 7 и оставшиеся m-v компонент к. При подстановке в (9) получим эквивалентную (9),(10) (с тем же множеством решений V ) линейную систему 7 = -A7+Gk, 7'0)=0,
k(t)e!Rm~u. Множество достижимости Х((G,AG,... ,An_1G)) содержит ненулевые векторы (иначе rang САРВ=Ш/ и совпадает с искомым множеством Н. Теорема доказана.
Замечание 1. Для rang рАрВ<т достаточно rang Ар/а или rang B<m. Если при rang GApB<m для некоторого ненулевого hcH построено k(t) на 13,Т] из условия 7(T)=h, то, подстарляя в еы-ракение к через к,7 значения k(t),7(t), получим k(t) на 10,Т*j.
для которого и будет ВЫПОЛНЯТЬСЯ П'Х(ТМк.У)^
Замечание 2. Прежде чем строить управление k(t) целесообразно позаботиться о том, чтобы оно имелс минимальную размерность (ранг G может оказаться меньше m-v ). Чтобы получить систему без фазовых ограничений, множество достижимости которой совпадает с искомым множеством Н, можно поступить следущим образом. Составим матрицу N из всех линейно независимых вектор-столбцов 1, ортогональных столбцам B'A'PG'. Пусть N*«0. Тогда 1' В' A' pG'k=l' В' A'P+1V=0, l'B'A'p+2V = 1'В'A'p+1G'k, и при l'B'A'p+1GV0 к системе В'A'pG'k=B'A'P+1V можно добавить новое уравнение. Если l'B'A'p+1G'=0, то l'B'A,p+2V=0 и Г В'A'P+3V=1'B'A'p+2G'k=0 и т.д. Либо сразу можно добавлять к В'A'pG'k=B'A'P+1V новые уравнения и домножать скалярно на векторы, ортогональные столбцам матрицы при к. Увеличивая таким образом число уравнений, связывающих к и V, уменьшаем размерность к.
Замечание 3. В задаче прогнозирования измерения проводятся на отрезке времени fO,s],s<T. Поэтому в искомые представления h'x(T)*(k,y) v£, xiT)««*1, следует ввести дополнительные ограничения k(l)=Ott«(C,TJ. С jhcium a-rui-u сцрньедлиы* KiJikAju-щие утвержцения. Если G(B,AB,... ,Aq_1B)=0, то H=JE( (G' ,А'С',..., A'q-1G')). Пусть р - первый номер, для которого GApB/0 и rang GA^m. Тогда 1Ы0}. Если rang GApB<m, то Н состоит из векторов h, для которых h'(В,АВ,...,Aq_1B)=0 и ехр{А'(T-3))h«Ha,rfle Ня-множество достижимости (9) на [0,з] при B'V-О, определяемое теоремой 2. В частности, Н={0} при rang(B,...,Aq_1B)=n. Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2. Следует учесть только, что в силу k(t)=0,te(3,TJ, необходимо В'V(Т)=В'h=Q, B'V(T)=-B'A'h=0,...,T.e. h'(B,AB..........Aq~1B)=0.
Рассмотрим теперь случай, когда измерения тоже подвержены возмущениям: £
У=^х+2 Ci(t)G±x+ C0(t)G0, * (11)
1*1
где Gt- матрицы размерности га-п,С0«®т. С.- скалярные функции
времени на(0,Т), ICj(t)l<l=con3t. Составим в [О.ТЬо?*1 уравнение:
^(1,х)+^(г,х)(Ах+Д 51(г)з1х + 50(1)В0).
=к' (г)(Сх + |1С1(г)С1х+ с0(г)с0). (12)
Определим для 7,к ограничения:
у(г,х)=У'(г)х, в^У(г)=о, і=о7г, к'тс^о, і*(мд«ю,т).
Тогда получаем следу щуп линейнуг сопряженную систему управления с линейными ограничениями:
У(г)=-А'У(г> + с'Ш), У'0)=0, (із)
в'У(і)=о, с'М)=о, г.з[о,ті, (14)
в=^о-В1......V’ '>-(С0,а1,...о<1).
Пусть Іі=У(Т) принадлежит множеству достижимости (13),(14).
Для соответствующего к уравнение (12) примет вид:
Ли.хН^и.х) Ах = к' (ПСх, У(0,х)=0. (15)
Поскольку (15) справедливо для х«®11, то оно справедливо и на произвольной траектории хи)=х(1;х(Т),Т,£,С). Интегрируя обе части уравнения на іи.їі о учетом
Сх(1)=у(и- ^ СоШ0о, получим
т
ЇГх(Т)=/ к' (т)у(т)<1т=(к,у), х(Т)*®11. (16)
о
Таким образом, по формуле (16) имеем возможность по измерениям у:[0,Т]—* к111 восстанавливать проекцию Ь'х(Т) независимо от
реализации возмущений £=Ц0........4Г), С=(С0. — .Са)-
Из соотношения С'к-0 следует выразить часть компонент к через остальные, подставить в (13) и затем уже воспользоваться теоремой 2.
Если г=б, С±=С±. то,приравнивая в(12) к нулю коэффициенты при £±, получим для (13) ограничения с;к=Е^У, 1=07г, т.е. К'С=У'В. Следует выразить часть компонент к через остальные и вектор V, подставить е <13) и найти множество достижимости П«=К полученной системы управления без ограничений как ллкєйнїя оболочку столбцов матрицы управляемости. В итоге необходимо
выразить к через t (см.замечание 1).
Если имеется возможность на [0,Т] измерять y=Gi и возмущения Élfi«T7?, то множество Н тех векторов h, для которых справедливо представление h'i(T)-(k,y) х(Т)«о^, можно рас-
ширить. Действительно, представим к в виде k=R+E. На v(t,x)=V*(t)x наложим ограничения
V(t)=-À'V(t)+G'R(t), V(0)=0, B¿V(t)-Of (17)
г
G'ï(t)- J BJCtKJtH), t«(0,T] . (18)
1=1 ___________________________________________
Если наряду с (17) имеют место включения B^V(t)«*(G'), 1-1,г,
ТО выполнения (18) МОЖНО добиться выбором к ДЛЯ любых Çj.l-l,г.
— а —
В противном случае представим В.-В.+ В , где столбцы Р' прянад-
з 5
лежат Jt(G'), а В1- нет. Если к (17) добавить условия B^V(t)«0,
то (18) удовлетворяется выбором к.Построим, используя теорему 2,
к в (17) из условия V(T)=h при ограничениях B^V=Q, b^V=0,
1-1,г. Сложим уравнения (17), (18), домножим результат скалярно на x(t;x(T),T,U к прогктв!рируем оое части уравнения на iü.xj.
Получюм h'x(T)=(k,y), где k=k+k, к определяется предварительно,
а к формируется по мере измерения согласно (18), например,
по формуле = **
k(t)=M-1G(|iB^l(t))V(t),M=GG'.
13. Исследование общего нелинейного случая
Рассмотрим теперь систему наблюдения (1),(2) и соответствующую сопряженную систему управления (4),(5).
Теорема- 3. Множество достижимости DT-{v(T,• ):U-* if1} сопряженной системы управления (4),(5) совпадает с множеством Ф функций ф:(1-* к1, определяемых интегральными операторами идеального наблюдения '3).
Доказательство. Фиксируем допустимое к и соответствующую v(T,-)eDT. Тогдэ в силу (5) функция v(t,x) негзЕИсимо от £ будет удовлетворять уравнению
$(tfX)+g(t,X)(i(X)47(X)Ç(t))«lC<t,g(X))t (19)
v(0,x)=0, x«U, t«(0FT].
Рассмотрим на отрезке времени Ю.Т] произяольное решение x(t)«ü возмущенной системы (1). Подставляя x(t) в (19) и интегрируя оОе части по t«[0,T], получим (3) для <p=v(Т, - ). т.е. у(Т,)«Ф, DT s Ф .
Обратно, пусть для некоторых к,<р выполнено (3). Подставим к в (4). Полагая x=x(t;x(T),T), £=0, x(T)«U, и интегрируя на [0,Т], получим с учетом определения <р по к <р(х(Т))=у(Т,х(Т)), т.е. <p=v(T,• ) в U. Чтобы <peDT, осталось доказать выполнение (5).
Предположим противное: для некоторых J,ï,x
g(t,x)fJ(x)«‘0, (t,x)«lO,T]«U.
Положим на (t-E,t+E), е>0, f^-О вне е-окрестности I и f1* =0,1*,). Обозначим через т решение (19) при £=£.Для достаточно малого е решения x(;x,t,f), |х-х|<е,|t-ï|<е, продолжимы на
[С,?] z, след^очтрпкно.v определена в некоторой окрестности Ss[o,T]»U решения (t,x(t;xlttf)),t«(0,Tl. Функция v непрерывна в S и непрерывно дифференцируема за исключением разве лишь конечного числа сечений (в том числе и t=îtE). • Вычитая из (19) (при 1*0 (4). получим:
ît(▼-▼)+îï<v-v)(f+П)«- г*’
v(0,x)=0, v(0,x)=0, (t‘,x)«S.
Подставим x=x;t)= x(t;x,t,£) и проинтегрируем по t. На указанном решении ИЗ V(t,x(t))-Y(t,x(t))=0, te(0,t-E],
5t(V(t,X(t))-V(t,X(t)))«0f U(Ï+E,T),
¿^(V(t,x(t) )-y(t,X(t) ) )*0, U(ï-E,ï+E), E«l,
следует ÿ(T,x(T))-r(T,x(T))/0, ÿ(î,x(T)) * у(Т,х(Т))=ф(х(Т)). Поскольку значение v(T.x(T)) равно интегралу в (3) к x(t)«Uf t«i0,T], то (3) не выполняется в точке х(Т;х,1), (4=0- Полу-
ченное противоречие влечет справедливость (5).Теорема доказана.
Перейдем теперь к изложению техники степенных рядов для построения к(-,-) в (3). Б предположениях вещественной аналитичности f,iltg в области fx| {xj=max|x1| <а), f (0)=1‘1 <0)=0,
g(0)«0 существует окрестность нуля, в которой f,f1,g,V(t,•) представимы степенными рядами , для v(t,-) - с непрерывно дифференцируемыми по t коэффициентами, сходящимися равномерно на £0,Т] при фиксированном х. Допустимыми считаем определенные в [О.ТЫу! |у|<М и аналитические по у функции k(t,y) (k(t,0)=0), сохраняющие непрерывность по совокупности аргументов и при комплексных у.
Приравняем в уравнениях (4),(5) слева и справа однородные полиномы одинаковой степени (верхний индекс):
I ......
1=1
+kiP\t,g(1 >(х)), J-J^i)(t.x)fJP-1+1)(x)= 0.
i- i
v(i)(0,x)=0, pM, J-l,г.
Каждому однородному полиному wtp)(-) соответствует единственная симметрическая р-линейная форма w(p1(•,...,• ) из условия w,p)(x....,х) = w(p)(х), и(1 ’(•)=w(1 '(• )(5). В терминах симметрических полилинейных форм имеем:
^P(t,x........х) *• Е £ v(l)(t,x,...,f(p-l+1)(x.........X)....х )=
1=1 q-1
=k(1 )(t,g(p)(x,...,x).4...+ J k<p_1 }(t,g(1i}(x,...,x),...
V"4lP-iep
.. .,g(lp"1 \x......x))+ k(p)(t,g(1 ’(X).....ginix)),
(p-i+i )
^ ( 4 \ \ ^1—J-T I }
I ïvU](t,x............f. (X.......>:),...,x)=o
1=' q=: *
Индекс я указывает порядковый номер аргументов г(‘“) ] ('")
I считаем параметром. Используя операции прямого произведения' матриц • [б], приравняем коэффициенты при одинаковых мономах
X X, . 1 р
л ~ (р ) *■
dt v (t)+ S Б*.. ,*F(1 . .•EV(p,(t)-f
q*1
p-1 1
^,p)'k(1)(tH(G(2).»G(1)'+G<1>'*G(2)')K(2)(t)+...+
n ) «v ( i . ) /v .
* £c .... Ы5 P-’ R4>-",t). G11»; ...
11+*•♦1p-1*P
J. ï«*>«OH>. p». 3,ТГт,
Г-*-*. î*>w...........*«<»>«,. X(p,-x...... (p раз),
г»р,(х......=4-fjp)<ï).ô'»»x'»'. ¿<p(,.......u-gipid),
V'P'(t)X'P). Ïlp'(t,i..e.,x).ïip)(t,1)i
ï'Pl'ï'P'. k,P>(t,»,...^).it<P)(t,y).
В матричной записи получим:
dt y(t) » - *'V(t) ♦ c'K(t). V(0)=0, (20)
V(t) = °’ Jsl,e * (21) Здесь первые n строк IF равны (F(1 \ F{Z \т[Э .f следующие
n2 строк - (0,F'li.EtWm, F<2Wü>F<2\...)................аналогич-
но в i, первые m строк с равны (G11 ),Gi2)lG(3),... ), следующие ¡г.2 гтроч - (0,Gn,*GM\ G(2Wn+ G( ns(î(2 \ ),
к=(к(1,',к(г)'к(3)'...)', V=<V(1 )',v(2>'v(3)' ...)' . Матрицы if,с имеют блочно- треугольную структуру,. Если умножить обе части
(20), (21) скалярно на Х=(х(1},Х(г} Д(3),... )' , то получим (4), (5), v(t,x)=V'(t)X. Множество достижимости DT={V(Т,■ )} определяется множеством достижимости {V(T)} в силу Y(T,■) «—* V(T).
Для приближенного рршения задачи наблюдения ограничимся конечномерной подсистемой
St V3(t) = - rs Vs(t) + Ks(t)> Vs(0)=0, (22)
rja Vs(t) = °- 8>1* 3=1-r- tetO.T], (23)
где Vs, ofe, [F®s - соответствующие подматрицы размерностей
а*1, з«а. ш«з, а = n + п +...+ п. Построим с помощью теоремы 2 в (22) допустимое Ks, удовлетворяющее фазовым ограничениям £23), и подставим его в сопряженную систему (4),(5). Выбор K(1),i>s, ограничим лишь условием сходимости степенного ряда k(t,y)=K'(t)Y, в частности, К(1)=0, 1>з. Полагая х=
= x(t;x(T),T,Ç), получим:
dt +е2 = KB(t)cxs+E3 ,
Х8= (х' ,Х(2)......X(s>')', е1= о(|х(3),
откуда после интегрирования на [0,Т]
т
ws(x(T)) = Vs(T)Xs(T) = ,f k(T,y(T))ctt + o((x(T)ls).
о
Следовательно, при движении в достаточно малой окрестности положения-равновесия х=0 с помощью оператора вида (3) можно приближенно (независимо от 5 ) определять значения wg(x(T)) полинома w_ степени не выше з. Использование нескольких различных Кз вместе с информацией g(x(T)) позволяет оценивать х(Т) в окрестности нуля. Прежде чем строить К , целесообразно пони-
учи-
зить порядок систем?1 (22) С 3 ДО 3= > n(n+l)...(n+i-l)/il,
iél
тывзя тот фзкт, что компоненты v(p)(t), соответствующие отличающимся лишь перестановкой индексов мономам х, ...х ,
11 Зр
совпадают.
Если уравнения измеряемых величин также подвержены возмущениям и(или) имеется возможность измерять некоторые возмущения, то необходимо внести коррективы, аналогичные (11)-(18). Изложенная схема построения интегральных операторов идеального наблюдения пригодна и для нестационарного случая (за исключением теоремы 2).
Поскольку "идеальная" схема (3),(4),(5) описывает весьма ограниченное множество операций наблюдения, на практике может оказаться достаточным построение малочувствительной к возмущениям операции, обеспечив Злость i|v(T,-)-cp| + Цv^r# в соответствующих нормах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Никольский М.С. Идеал ьн^габлюдаемые системы// ДАН СССР.
1970 Л1.191 J56. С. 1224-12*.
2. Красовский H.H. Теория управления движением.М.:Наука,1968.
3. Кишн Н.Е. К теории методов оценивания е динамических системах// Вопросы механики и процессов управления.Вып 8.Л.: Изд-во ЛГУ,1986.С.118-125.
4. Заика D.B., Кирин Н.Е. Сопряженные задачи -идентификации динамических систем//Дифференциальные уравнения.1988.Т.24. А5.С.770-776.
5. Картан А. Дифференциальное исчисление.Дифференциальные формы.М.:Мир,1971.
6. Ланкастер П. Теория матриц.М.'.Наука, 1982.
