CC BY
1УДК 517.983+517.444 Б01 10.52928/2070-1624-2024-43-2-67-71
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ С ФУНКЦИЕЙ МИТТАГ - ЛЕФФЛЕРА В ПРОСТРАНСТВАХ ИЗМЕРИМЫХ ПО ЛЕБЕГУ ФУНКЦИЙ
д-р физ.-мат. наук, доц. С. М. СИТНИК (Белгородский государственный национальный исследовательский университет, Россия);
канд. физ.-мат. наук, доц. О. В. СКОРОМНИК, А. А. КУРОХТИНА (Полоцкий государственный университет имени Евфросинии Полоцкой)
Рассматривается одно интегральное преобразование со специальной функцией Миттаг - Леффлера в ядре. Применяя технику преобразования Меллина, показываем, что оно является частным случаем одномерного Н-преобразования. На основании теории Н-преобразования в работе исследованы свойства рассматриваемого интегрального преобразования в пространствах интегрируемых функций с весом на полуоси.
Ключевые слова: интегральное Н-преобразование, функция Миттаг - Леффлера, Н-функция Фокса, преобразование Меллина, пространство интегрируемых функций, дробные интегралы и производные.
Введение. Рассматривается интегральное преобразование, содержащие функцию Миттаг - Леффлера Еа (г) в ядре:
да
(Ии;1Д/)(х) = |Еа(-я)/(г)йг (X > 0). (1)
0
Функцией Миттаг - Леффлера называется целая функция, определяемая рядом (см., например, [1, формулы 1.90 и 1.91; 2; 3])
да к
г
Еа (г) = ГТ: а> (2)
к"0 Г(ак +1)
где гамма-функция Г(г) представляется интегралом Эйлера второго рода (см., например, [1, формула (1.54)])
да
Г(г) = | х2- Vгах, Яе(г) > 0.
о
В настоящей работе преобразование (1) изучено в весовых пространствах Д г измеримых по Лебегу функций / на действительной полуоси К+ = (0, да), для которых норма определяется следующим образом:
............г = |Ц'Vс)| 7
<да, где
(1 < г < да, уе К). (3)
= sup [у|/(I)|] (г = да).
Получены условия ограниченности и взаимной однозначности оператора преобразования (1) из одних пространств вида (3) в другие, выведены различные интегральные формы представления, получен аналог формулы интегрирования по частям, дано описание образа для рассматриваемого преобразования.
Предварительные сведения. Я-функцией Фокса порядка (т, п, р, д), где 0 < т < д, 0 < п < р, называется функция, определяемая интегралом Меллина - Барнса
ттт, п Г "| _ ттт, п
Нт д [гЬ Нр, д
(а1, а,- )1, р Ь, Ру )1, д
= ^ / нтп (8)г-аз, г * 0, (4)
где
нт п (у) - н т:
(а,- а, )1, т
_ (Ъ Р у )1, ч у
+Р у^)Пг(1 - ^ -м
у= ¡=1
П Г(а, + а,у) П Г(1 - Ъ] -руу)
¡=п+1 у =т+1
(5)
Здесь Ь - специально выбранный бесконечный контур, а пустые произведения, если таковые имеются, считаются равными единице. Более подробно с теорией Я-функции (4) можно ознакомиться в [4, гл. 1-2]. Н-преобразованием называют интегральное преобразование [4]
(Н /) (х) = |
ттт, п
Нт, ч
хг
(а,, а, )1, т
(Ъу, Ру )1, ,
(6)
содержащее Я-функцию (4) в ядре.
Преобразование Меллина Ш/ определяется равенством [5]
(Ш/ )(у) = / » = \/ (гУ-1 <Ь.
(7)
Формула преобразования Меллина от функции Миттаг - Леффлера [6, формула (1.8.15)]:
ш(£а (-г))(*)•
Г(1 - ау)
Известно, что формула преобразования Меллина от Н-преобразования (6) имеет вид [4, (3.1.5)]
(8)
(ш н /)(=н т
(а,-, а, )1, т
Р у )1, ч у
(Ш/)(1 - 5),
(9)
где нт П( у) определяется формулой (5).
Нам понадобятся следующие числа, определяемые через параметры Я-функции (4) [4; 7]:
а =
-шт
1< у <т
Яе(Ъ,)
т > 0, т = 0;
Р =
шт
1<,< п
1 - Яе(а,)
а,.
п > 0, п = 0,
(10)
т т
а*=Хр у -Ха,, а*
j=1 , =п+1
2 = Ха -ХР у
¡=1 у =т+1
(11)
г* = а; + а* =Ха,- - Х а- + ХРу - Х Ру, А = а* -а* =ХРу -Ха,
¡=1 , =п+1 у=1 у=т+1 у=1 ,=1
(12)
Ъу-Х
а +
т - ч
у=1 ,=1
(13)
Исключительным множеством функции (я), определенной в (5), называется множество вещественных чисел V таких, что а < 1 - V < р и Н" ( у) имеет нули на прямой Яе(у) = 1 - V.
от
0
0
-да
Дробные интегралы типа Эрдейи - Кобера 1°+;а>лI и 1-;а,лI порядка Ое С, Яе(0) > 0, определяются для а> 0, "е С при х > 0 равенствами [1, (18.1), (18.3)]
-а(а+") х
с„/мК - <ТfV d
■W(x) ~ i(t'- x")
t"- x")"-1 t"(1-a-,l)-1 f (t)dt .
Обобщенное преобразование Лапласа определяется формулой [4, формула (3.3.3)]
да
( Lk л f )(x) = J( xt )-X xt )1/kf (t)dt, k e R\ {0}, ^eC, x e R+ .
о
Свойства интегрального преобразования с функцией Миттаг - Леффлера. Найдем преобразование Меллина (7) от преобразования (1).
Переставляем порядок интегрирования в повторном интеграле, используем формулы (7) и (8), с учетом формулы (5) окончательно получаем
да да
(MH11;12f) (5) = J xs-1dxJ Ea (-xt)f (t)dt = J tM f (t)dtJ (xt)s-1 Ea (-xt)d(xt)
0 0
Г(5 )Г(1 - s)
( m f | (s) = h1 2
(0, 1) (0, 1)(0, a)
(14)
(M f | (s).
Г(1 -as)
Из (14) следует представление преобразования (1) в виде H-преобразования вида (6):
(Hf)(x)=( HU;1,2f) (x)=да я;:2
xt
(0, 1) (0, 1)(0, a)
f(t)dt (x > 0).
Параметры (10) - (13) для преобразования (15) соответственно равны:
a = 0, р = 1; a* = 1, a2 = 1 -a, a* = 2-a, A = a; ц = -1; a0 = 1 + max
a
P0 = 1.
(15)
(16)
Введем обозначение. Пусть [X, У] означает множество ограниченных линейных операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство У .
Учитывая, что (1) и (15) являются частным случаем преобразования (6) с параметрами (16), на основании утверждений, представленных в [4, теорема 3.6], получаем следующие свойства преобразования (1) и (15) в пространствах £ 2. Отметим, что все результаты, полученные для преобразования (1) и (15), получены для значений 0 < а < 1 в (2).
Теорема 1. Пусть выполняются условия
0 < 1 -v< 1, a* = 2-a> 0.
(17)
Верны следующие утверждения:
A. Существует инъективное преобразование И и 2 е [£ 2, £_у 2] такое, что равенство (14) выполняется для I е ^ 2 и Яе(^) = 1 - у.
Если а* = 0, а(1-у)--^ = 0 и тогда оператор Н1112 биективно отображает простран-
ство £ 2 на £_у 2.
B. Если I е £ 2 и g е£ 2, тогда справедлива формула
Jf ( x) ( H1,1;1,2 g )( x)dx = К Н1,1;1Д,Г)( x)g( x)dx.
(18)
0
да
0
0
0
C. Пусть Хе C, h > 0 и f s£v 2. Если Re(X) > (1 — v)h — 1, тогда преобразование вида (15) Н1И2 f
может быть представлено как
(Ншд f)(x) = hx1-(x+1)/A — x(x+1)/h J H\
dx
а при Re(X) > (1 — v)h — 1 дается формулой
j ■»
(Н1,1;1,2 f)(x) = —hx1—(x+1)/Ä ^x^* J H22,, 31
xt
(—Х, h), (0, 1) (0, 1),(0, а), (—Х — 1, h)
(0, 1), (—Х, h) (—Х — 1, h),(0, 1),(0, a)
f (t )—t,
(19)
f (t)dt.
(20)
I). Преобразование Н1И2/ не зависит от V в том смысле, что если V и V удовлетворяют условиям (17) и если преобразования Н1 н 2 / м Н1 н 2 / определены соответственно в пространствах £у 2 м i2v 2 равенством (14), то равенство Н н 2 / = Н1 и 2 / выполняется для функций / е 2 £у 2.
Функциональные свойства преобразования (1) и (15) в пространствах £ г представлены в следующих двух теоремах, которые получены из утверждений [4, теоремы 4.5 и 4.6].
Теорема 2. Пусть
а* = 2-а> 0, 0 < 1 -у< 1 и 1 < г < 5 <<х>.
Верны следующие утверждения:
А. Преобразование Н1 н 2 /, определенное на £ 2, может быть продолжено на £ г до элемента Н1112 е[£„ г; £1-у 5 ]. Если 1 < г < 2, то преобразование Н1И2 / взаимно однозначно отображает пространство £ на £ .
Теорема 3. Пусть а* = 1, а2= 1 — а>0, 0< 1 - у< 1, ю = а-1 и 1 <г<х>.
А. Если V £ £я или \ <г <2, то преобразование Нп.12/ взаимно однозначно на £у г и его образ
описывается равенством
Н1,1;1,2 (Lv, г) = (L1,0 L1-a,-M/(1-a) )(L1-v г).
(21)
Когда V б £х , то H1 н 2 (£v г) является подмножеством множества в правой части (21). 1
В. Если (й=а — <0 и v £ £L, тогда
2
Н1,1;1,2 (Lv, г) = (1—0 L1,0 L1—a,0 )(L1—v, г) .
(22)
Когда v е £к , то Н1н 2 (£v г) является подмножеством множества в правой части (22).
Заключение. В работе получены условия ограниченности и взаимной однозначности оператора преобразования (1), (15) из одних пространств интегрируемых функций в другие, получен аналог формулы интегрирования по частям. Для такого преобразования установлены различные интегральные представления.
Работа выполнена в рамках ГПНИ «Конвергенция - 2025», подпрограмма «Математические модели и методы», задание 1.2.01. (№ регистрации 20211316 от 15.05.2021 г.).
ЛИТЕРАТУРА
1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.
2. Paneva-Konovska J. From Bessel to multi-index Mittag-Leffler functions: enumerable families, series in them and convergence. - World Scientific, 2017. - 229 p.
да
3. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications / R. Gorenflo, A. A. Kilbas, F. Mainardi et al. - 2th ed. -Springer, 2020. - 548 p. - DOI: 10.1007/978-3-662-61550-8.
4. Kilbas A. A., Saigo M. H. H-Transforms. Theory and Applications. - London [etc.]: Chapman and Hall. CRC Press, 2004. - 401 p.
5. Rooney P. G. On integral transformations with G-function kernels // Proc. Royal Soc. Edinburgh. Sect. A. - 1983. - Vol. 93. -P. 265-297.
6. Theory and applications of fractional differential equations // North-Holland Mathematics Studies; ed.: A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo. - Amsterdam: Elsevier.xv, 2006. - Vol. 204. - 523 p.
7. Скоромник О. В. Интегральные преобразования с функциями Гаусса и Лежандра в ядрах и интегральные уравнения первого рода. - Новополоцк: ПГУ, 2019. - 180 с.
REFERENCES
1. Samko, S. G., Kilbas, A. A., & Marichev, O. I. (1987). Integraly iproizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilo-zheniya [Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications]. Minsk: Nauka i tekhnika. (In Russ.).
2. Paneva-Konovska, J. (2017). From Bessel to multi-index Mittag-Leffler functions: enumerable families, series in them and convergence. World Scientific.
3. Gorenflo, R., Kilbas, A. A, Mainardi, F., & Rogosin, S. (2020). Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications. Springer. DOI: 10.1007/978-3-662-61550-8.
4. Kilbas, A. A., & Saigo, M. H. (2004). H-Transforms. Theory and Applications. London [etc.]: Chapman and Hall. CRC Press.
5. Rooney, P. G. (1983). On integral transformations with G-function kernels. Proc. Royal Soc. Edinburgh. Sect. A., 93, 265-297.
6. Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., & Trujillo, J. J. (Ed.). (2006). Theory and applications of fractional differential equations. North-Holland Mathematics Studies (Vol. 204). Amsterdam: Elsevier.xv.
7. Skoromnik, O. V. (2019). Integral'nyepreobrazovaniya sfunktsiyami Gaussa i Lezhandra vyadrakh i integral'nye uravneniya pervogo roda. - Novopolock: PGU. (In Russ.).
Поступила 11.11.2024
INTEGRAL TRANSFORMATION WITH THE MITTAG-LEFFLER FUNCTION IN SPACES OF LEBESGUE-MEASURABLE FUNCTIONS
& SITNIK
(The National Research University "Belgorod State University" (BelSU), Russia);
O. SKOROMNIK, A. KUROKHTINA (Euphrosyne Polotskaya State University of Polotsk)
One integral transformation with a special Mittag - Leffler function in the kernel is considered. Using the Mellin transformation technique, we show that it is a special case of the one-dimensional H-transformation. Based on the theory of the H-transformation, the properties of the considered integral transformation in the spaces of integrable functions with a weight on the semiaxis are investigated.
Keywords: integral H-transformation, Mittag - Leffler function, Fox H-function, Mellin transform, space of integrable functions, fractional integrals and derivatives.
