CC BY
3УДК 517.983+517.444 Б01 10.52928/2070-1624-2022-39-11-117-123
ДВА ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯ ДВУМЕРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО G-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
д-р физ.-мат. наук, доц. С. М. СИТНИК (Белгородский государственный национальный исследовательский университет); канд. физ.-мат. наук, доц. О. В. СКОРОМНИК, М. В. ПАПКОВИЧ (Полоцкий государственный университет имени Евфросинии Полоцкой)
Рассматриваются два двумерных интегральных преобразования со специальными функциями одного типа в ядрах. Применяя технику преобразования Меллина, показываем, что они являются частными случаями двумерного О-преобразования. На основании теории О-преобразования в работе исследованы свойства рассматриваемых интегральных преобразований в весовых пространствах интегрируемых функций в области Я2+ = х Я^ . Результаты исследования обобщают полученные ранее для соответствующих одномерных аналогов.
Ключевые слова: двумерное интегральное О-преобразование, G-функция Мейера, двумерное преобразование Меллина, пространство интегрируемых функций, дробные интегралы и производные.
Введение. Рассматриваются двумерные интегральные преобразования
да
(О№ол /)(х) = х* ^ ехр(-(х1))/(1)ё 1 (х > 0), (1.1)
о
(О1о,1 /)(х) = —-ЦЛ(хГ (1 -хГ/(1)^ (х >0) (1.2) 4 > Г(ю+ !)£
и двумерное G-преобразование [1-4]
(о / )(х)=| ощп
х1 (аЛ,р
/(1)ё 1 (х > 0) , (1.3)
где (см., например, [1-6; 7, §28.4]) х = (х,X)еЯ2; 1 = (^Л)еЯ2 - векторы, Я2 - Евклидово двумер-
да да да
ное пространство; х > 1 означает х >К, X >Ч и аналогично для знаков >, <, <; |:=Ц; N = {1,2,...} -
о 0 0
пространство натуральных чисел, ^ = N и {0}, N = N хN ; Я2 = х= {х е Я2,х > 0}; С2 - двумерное пространство комплексных чисел 7 = ,г2), ^,г2 е С; Ь = (Ь,Ь2) е С2; ст = (^,ст2) еС2; ю = (ю1, ю2) е С2.
т = (т^т^еN1 и т1=т2; п = (п1;п2) е N1 и ;
Р = (Р1,Р2)еN0 и р1=р2; q = (41,42)еN0 и ; (0<т<q,0<п<р); Я = (а^ ,а,2) , 1 < г <р , а^ ,а,2 е С (1 < ¿1 <р1,1 < ¿2 <р2); Ь, = (ЬЛ ,ЪА), 1 < ] <я, ЪЛ ,ЪЛ е С (1 < Л <41,1 < ]2 <ц2);
к = (к1, к2) е N,2 = N х N (К е N, К е N ) - индекс с к! = К К! и \к\ = К + К ; для I = (I, /2) е Я2
^ а'1
ФИчдхЛ
ляют собой следующие произведения соответственно:
В = —7Г; ^ = ё ^ • ёг2; /(1) = /2); функции в ядрах преобразований (1.1) и (1.2) представ-
/О-. \ 1 / \ 2
/-1Ш,П
х1
хЬ 1Ьехр(-х1) = ПХг)Ь ехр(-); (х1)°(1 -х!)ш = П(х6(1 -х^У
г=1 ;=1
(Яг )1,р , Г1
- Функция вида [1-4]
(Ь j
0
в!
х1
(а, )1,Р
(Ь, )1,ч
=П с;
т
Рк л
(ак )1,Рк (ЬЛ \чк
является произведением О-функций Мейера ср^^ [г] [8, гл. 1].
О-функцией Мейера порядка (т, п, р, л), где 0 < т < д,0 < п < р , называется функция, определяемая интегралом Меллина - Барнса
Г1т, п
Р, л
(а ) р" а ,...,а„ ( а,- )1, Р
г г р ' р _ (^т,п г
= Р,1 Ъ,..., ъд _ = Р,1 (Ъ )1,л _
(1.4)
где
>т,п
(Ь\
(1.5)
ШЪ + ^)ПГ(!"а,- "я)
]=1__
,=п+1 j=m+1
Здесь Ь - специально выбранный бесконечный контур, оставляющий полюса я = — Ъ. — к, j = 1,2,..., т, к = 0,1,2,..., слева, а полюса я = 1 — а. + к, j = 1,2,...,п, к = 0,1,2,... - справа, пустые произведения, если
таковые имеются, считаются равными единице. Более подробно с теорией О-функции (1.4) можно ознакомиться, например, в [8, гл. 6].
Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [1-6; 9]. Мы рассматриваем еще два класса интегральных преобразований вида (1.1) и (1.2) в весовых пространствах £_г, у = (^, у2 ) е Я2 =у2),
2 = (2,2), интегрируемых функций /(х) = /(х1,х2) на Я1, для которых 1|/||-2 < ж , где
-=и
{ ХГ'2—^/(Х1,Х2)Г^Х1
Я
< Ж .
Используя технику преобразования Меллина, показываем, что преобразования (1.1) и (1.2) являются частными случаями двумерного G-преобразования (1.3). На основании теории G-преобразования, построенной в [1], мы исследуем свойства рассматриваемых интегральных преобразований в пространствах £_2.
Результаты исследования обобщают полученные ранее для соответствующих одномерных аналогов в [8].
2. Предварительные сведения. Двумерное преобразование Меллина функции /(х) = /(х1,х2), X > 0, х2 > 0, определяется формулой (см., например, [1-6; 9; 10])
(М/)(8) = /'(8) =| /(!)Г1 й 1,
где 8 = (я1,Я2),Sj еС^ = 1,2).
Обратное преобразование Меллина для х = (х1 ,х2) е Я^ дается формулой
1 +/Ж у2
(М—1Е)(Х) = М—1 [я(8)](х) —-2 | | Х—8 м(8), 1j = Яе(я) 0 = 1,2) .
^ У1 —-ж 72 —
В [1] получили формулу преобразования Меллина (2.1) от в -преобразования (1.3)
(олс/)оо = ц
ш,п
М
(ЬЛ,
(ОТ/)(1 — 8) ,
где функция является произведением функций вида (1.5)
(ЬД,
(ЬаК
(2.1)
(2.2)
2
Я
Исключительным множеством £-, функции <?р™'п(8) [1-6; 9] назовем множество векторов
у = (у15у2)еЯ2 (У[=у2) таких, что о^^-у^Р^ а2<1-у2<Р2 и функции вида (1.5)
^й.й^г) имеют нули на прямых Ке(л',) = I - V,. Кс(82) = 1 - у2 соответственно. Нам понадобятся: гамма-функция Г( z)
да
Г(z) = |х2-1е~гёх, Яе(г) > 0 , (2.3)
о
бета-функция
1
(z, Л) =
о
В(z,л) = jxz-1(1 - xf^dx, Re(z) > 0, Re^) > 0 , (2.4)
которая выражается через гамма-функцию (2.3) по формуле
В( z, л) = 1^Л) (2.5)
( , Ц z + л) ( )
(см., например, [7, формулы (1.54), (1.68), (1.69)]).
Для формулировки утверждений, представляющих £_ 2 -теорию G10;01 - и G10;11 -преобразований, нам понадобятся следующие постоянные [1, формулы (3.3)-(3.7)]:
I - min I Re(b, ) I, m > 0, 11 - max I Re(a, ) , n > 0,
ai=J ^L ^J' 1 ^ = 1 щ,„1L Wj 1 (2.6)
[-», m = 0, Ja>, „ = 0;
I - min I Re(b, ) I, m > 0, 11 - max I Re(a, ) I, щ > 0,
a2=J 1j, mL j 2 , ^=J 1i,2, „2L j 2 (2.7)
[-», m = 0, J», щ = 0;
al* = 2(m + n) - P\ - q, a* = 2(m - щ) - p - q; (2.8)
A1 = q- P1,A2 = q- P2; (2.9)
,1 = Ih -Ia4 + ,2 = IbA -£a, + ^ (2.10)
4=1 i=1 2 4=1 i=1 2
Через [ X, Г ] обозначим множество ограниченных линейных операторов, действующих из банахова пространства X в банахово пространство Y.
3. Gi,0;0,i- и О1,0;1,1-преобразования как G-преобразование. Применяем двумерное преобразование Меллина (2.1) к G10;01 -преобразованию (1.1), далее последовательно меняем порядок интегрирования и используем формулу (2.3) во внутреннем интеграле, с учетом (1.5) окончательно получаем
(ОТ G№01 f )(s) = J xs-1 d x J (xt)b exp (-xt) f(t)d t =
0 0
CO CO
= Jt(lH°_1 /(t)Jtj(xt)i+s4 exp(-xt)rf(xt) = Г(6 +s)(OT/)(l- s) = Qlj
о 0
Таким образом, имеем
(Mf )(1 - s).
(^Gl,0;01 /)(S) = $0°
(Mf )(1 - S) . (3.1)
Из (2.2) и (3.1) следует представление преобразования (1.1) в10;01 / в виде G-преобразова-ния (1.3):
(Ода,1 / )(х) = | о0;0 0
Определим параметры (2.6)-(2.10) в (3.1):
хг
ъ
/(г)й г (х > 0).
(3.2)
т = т = 1; п = п = 0; р = р2 = 0; л = д2 = 1; а = — Яе(Ъ), а2 = — Яе(Ъ2) , Р1 = Р2 = ж ; а1 *= а* = 1; А1 =А2 = 1; ^ = Яе(Ъ1) — ^ = Ке(Ъ2) — 1 .
Применяем двумерное преобразование Меллина (2.1) к в1,0;1,1 -преобразованию (1.2), далее последовательно меняем порядок интегрирования, во внутреннем интеграле вводим новые переменные х
х =-, х = (х1, х2) и используем формулы (2.4), (2.5), с учетом (1.5) окончательно получаем
х — 1
(М G10.11 /)(8) = =-Цг Ж х5—1 й х Ж (х 1)° (1 — х 1 )Ш /(г)й 1 =
Г(® + 1)о о
1— Жг—5 / (1)й г} (хг)°+5—1 (1 — хг )ш й (хг) =
Г(Ю +1)
Ж 1 /■ ч(ш+1)—1 /■ Ч
^ (1 —Х—ц)
Г(Ю +1)0 Г(СТ + 5)
Г(ст + Ю + 5+ 1)
х — 1
ст + со + 1 ст
(М/)(1 — 5).
Таким образом, получили
(ОТС1Д11/)(5) = д11;10
ст + со + 1 ст
(М )(1 — 5).
(3.3)
СТ + Ю + 1
хг /(г)й г (х > 0).
- ст
= 92 = 1; а = — Яе(° ), а2 = — Яе(ст2 ) , Р1 = Р2 = ж
Из (2.2) и (3.3) вытекает представление преобразования (1.2) в10,1,1 / в виде О-преобразова-ния (1.3):
Ж
(в1,0;1,1 /)(х) = |в1,10 хг /(г)йг (х >0). (3.4)
0
Определим параметры (2.6)-(2.10) в (3.2): т = т = 1; п = п = 0; р = р2 = 1; 9 =
а1 * = а2* = 0 ; А; = А2 = 0; ц1 = — Яе(го1) — 1, ц2 = — Яе(ю2) — 1 . 4. £_ 2 -теория С1,0;0,1-преобразования. В следующей теореме представлена £_ 2 -теория преобразования в1,0;0,1 У (1.1).
Теорема 4.1. Пусть
—ж<^< 1 + ш1и[Яе(^),Яе(Ъ2)], —ж<у2< 1 + ш1и[Яе(^), Яе(Ъ2)], , (4.1)
а* = 1, а* = 1. (4.2)
Верны следующие утверждения:
A. Существует взаимно однозначное преобразование О10.0 х е[£_ 2' А-у 2] такое, что равенство (3.1) выполняется для / е £_ ^ и Яе^) = 1 — V .
B. Если / е £_ 2 и ё е £ 2' то имеет место формула
| / Цо^сд ё )(х)а х = /(Ою;0'1 / )(х)ё(х)а х-
С. Пусть Х = ^) е С2 и / е £_2. Если Яе(^) >—у, преобразование 01 0.0 1 / (1.1) предста-
вимо в виде
- А - т
(О1'0.0'1 /)(х) = х-1-^ хх+1| а»
а X
х1
Ъ, —X — 1
/ (1)а 1,
а при Яе(^) < —V дается формулой
1 да
(О1'0,Д / )(Х) =— Х-1-^ ХХ+1 | а х -1
х1
—X — 1, Ъ
/ (1)а 1.
I). Преобразование О10.01/ не зависит от V в том смысле, что если V и V удовлетворяют (4.1) и выполняются условия (4.2), а также преобразования С 0.01/ и С 0.0 / определяются в пространствах £-д и ^ равенством (3.1), то О10;0д / = С^ 0;0д / для / е п £_ 2 .
Е. Если выполняются условия (4.2), то для / е £_2 преобразование 01 0.0 1 / дается формулами (1.1) и (3.2).
Доказательство следует из непосредственной проверки с учетом представления (3.1), из результатов в [1, теорема 1; 8, теорема 6.1], из существования всех приведенных операторов в указанных классах функций.
5. £_ 5 -теория О1,0;1,1-преобразования. В следующей теореме представлена £_ 2 -теория преобразования С10.1Д / (1.2).
Теорема 5.1. Пусть
—да^1 < 1 + ш1п[Ке(ст1), Яе(ст2)], —да^2 < 1 + ш1п[Ке(ст1), Яе(ст2)], V! =v2, (5.1)
а\ = 0, а2 = 0, Яе(^ ) +1 > 0, Яе(ю2 ) +1 > 0. (5.2)
Верны следующие утверждения:
A. Существует взаимно однозначное преобразование м 1 е [£_ 2 2 ] такое, что равенство (3.3) выполняется для / е £_ 2 и Яе(з) = 1 — V .
B. Если / е £_2 и ё е£_ 2 ,то имеет место формула
|/(х) (°1'0;1:1 ё)(х)а х = |(С1'0;1'1 /)(х)ё(х)а х .
С. Пусть X = (^, ^ ) е С2 и / е £_ 2. Если Яе(^) > —V, преобразование (1.2) представимо в виде
_ 1 _ да
(О 0.1 1 /)(х) = х-1и хХ+1 | О" а х -1
х1
— X ,ст +ю +1 ст '—X — 1
/ № 1,
а при Яе(Х) < —V дается формулой
(О 0.1 1 / )(х) = — х—^ хХ+1|022;20 а х „
х1
ст+ю +1 ' —X —X — 1 , ст
/ (1)а 1.
0
0
0
СО
D. Преобразование G t / не зависит от v в том смысле, что если v и v удовлетворяют (5.1) и выполняются условия (5.2), а также преобразования G 0.п f и G 0.01 / определяются в пространствах
и равенством (3.3), то G10;U / = Glj0;U / для f е 5 d £_2 •
E. Если выполняются условия (5.2), то для f е L 2 преобразование G10.11 f дается формулами (1.2) и (3.4).
Доказательство следует из непосредственной проверки с учетом представления (3.3), из результатов в [1, теорема 1; 8, теорема 6.1], из существования всех приведенных операторов в указанных классах функций.
Заключение. В работе получены условия ограниченности и взаимной однозначности операторов преобразований (1.1) и (1.2) из одних пространств интегрируемых функций в другие, получены аналоги формулы интегрирования по частям. Для таких преобразований установлены различные интегральные представления.
Работа выполнена в рамках ГПНИ «Конвергенция - 2025», подпрограмма «Математические модели и методы», задание 1.2.01.
ЛИТЕРАТУРА
1. Папкович, М. В. Двумерное интегральное преобразование с G-функцией Мейера в ядре в пространстве суммируемых функций / М. В. Папкович, О. В. Скоромник // Вестн. Полоц. гос. ун-та. Сер. С, Фундам. науки. - 2019. -№ 4(32). - С. 131-136.
2. Папкович, М. В. Многомерное интегральное преобразование с G-функцией Мейера в ядре в весовых пространствах суммируемых функций / M. В. Папкович, O. В. Скоромник // Уфимская осенняя математическая школа-2020 : сб. тез. междунар. мат. конф., Уфа, 11-14 нояб. 2020 г. / М-во науки и высш. образования Рос. Федер., Башкир. гос. ун-т, Ин-т математики с вычислительным центром УФИЦ РАН, Научно-образовательный математический центр Приволжского федерального округа ; отв. ред. З. Ю. Фазуллин. - Уфа, 2020. - С. 142-144.
3. Скоромник, О. В. Многомерные модифицированные G-преобразования и интегральные преобразования с гипергеометрической функцией Гаусса в ядрах в весовых пространствах суммируемых функций / О. В. Скоромник, М. В. Папкович // Весн. Вщеб. дзярж. ун-та. - 2022. - № 1(114). - С. 11-25.
4. Ситник, С. М. Многомерные модифицированные G- и H-преобразования и их частные случаи / С. М. Ситник, О. В. Скоромник, М. В. Папкович // АМАДЕ-2021 : сб. тр. 10-го междунар. науч. семинара, Минск, 13-17 сент. 2021 г. / Белорус. гос. ун-т. - Минск : ИВЦ Минфина, 2022. - С. 104-116.
5. Ситник, С. М. Многомерное общее интегральное преобразование со специальными функциями в ядре / С. М. Ситник, О. В. Скоромник, С. А. Шлапаков // Весн. Вщеб. дзярж. ун-та. - 2019. - № 3(104). - С. 18-27.
6. Sitnik, S. M. One-dimensional and multi-dimensional integral transforms of Buschman-Erdelyi type with Legendre Functions in kernels S. M. Sitnik, O. V. Skoromnik // Transmutation Operators and Applications. Trends in Mathematics. -Cham, Switzerland : Birkhauser Basel (Springer), 2020. - P. 293-319.
7. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. - Минск : Наука и техника, 1987. - 688с.
8. Kilbas, A. A. H-Transforms. Theory and Applications / A. A. Kilbas, M. H. Saigo. - London [etc.] : Chapman and Hall. CRC Press, 2004. - 401 p.
9. Sitnik, S. M. Multi-dimensional generalized integral transform in the weighted spaces of summable functions / S. M. Sitnik, O. V. Skoromnik, S. A. Shlapakov // Lobachevskii J. of Mathematics. - 2022. - Vol. 43, iss. 6. - P. 1170-1178.
10. Theory and applications of fractional differential equations / North-Holland Mathematics Studies ; ed.: A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo. - Amsterdam : Elsevier.xv, 2006. - Vol. 204. - 523 p.
REFERENCES
1. Papkovich, M. V., & Skoromnik, O. V. (2019). Dvumernoe integral'noe preobrazovanie s G-funktsiei Meiera v yadre v pros-transtve summiruemykh funktsii [Two-Dimentional Integral Transform With the Meijer G-Function in the Kernel in the Space of Summable Functions]. Vestnik Polotskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya C, Fundamental'nye nauki [Herald of Polotsk State University. Series С. Fundamental sciences], 4(32), 131-136. (In Russ., abstr. in Engl.).
2. Papkovich, M. V., & Skoromnik O. V. (2020). Mnogomernoe integral'noe preobrazovanie s G-funktsiei Meiera v yadre v veso-vykh prostranstvakh summiruemykh funktsii [Multidimensional integral transformation with Meijer's G-function in the kernel in the weighted spaces of summable functions]. In Z. Yu. Fazullin (Eds.) Ufmskaya osennyaya matematicheskaya shkola-2020: sb. tezisov [Ufa Autumn Mathematical School-2020] (142-144). - Ufa: Bashkir State University. (In Russ.)
3. Skoromnik, O. V., & Papkovich, M. V. (2022). Mnogomernye modifitsirovannye G-preobrazovaniya i integral'nye preobrazova-niya s gipergeometricheskoi funktsiei Gaussa v yadrakh v vesovykh prostranstvakh summiruemykh funktsii [Multidimensional modified G-transformations and integral transformations with hypergeometric Gauss functions in kernels in weight spaces of summed functions]. Vesnik Vitsebskaga dzyarzhaynaga universiteta [Bulletin of VSU], 1(114), 11-25. (In Russ., abstr. in Engl.).
4. Sitnik S. M., Skoromnik, O. V., & Papkovich, M. V. (2022). Mnogomernye modifitsirovannye G- i H-preobrazovaniya i ikh chastnye sluchai [Multidimensional modified G- and H-transforms and their special cases]. In AMADE-2021 : sb. trudov (104-116). Minsk: IVTs Minfina. (In Russ., abstr. in Engl.).
5. Sitnik, S. M., Skoromnik, O. V., & Shlapakov, S. A. (2019). Mnogomernoe obshchee integral'noe preobrazovanie so spet-sial'nymi funktsiyami v yadre [Multidimensional general integral transformation with special functions in the kernel]. Vesnik Vitsebskaga dzyarzhaunaga universiteta [Bulletin of VSU], 5(104), 18-27. (In Russ., abstr. in Engl.).
6. Sitnik, S. M., & Skoromnik, O. V. (2020). One-dimensional and multi-dimensional integral transforms of Buschman-Erdelyi type with Legendre Functions in kernels. In Transmutation Operators and Applications. Trends in Mathematics (293-319). Cham, Switzerland: Birkhauser Basel (Springer).
7. Samko, S. G., Kilbas, A. A., & Marichev, O. I. (1987). Integraly iproizvodnye drobnogoporyadka i nekotorye ikh prilo-zheniya [Integrals and derivatives offractional order and some of their applications]. Minsk: Nauka i tekhnika.
8. Kilbas, A. A., & Saigo, M. H. (2004). H-Transforms. Theory and Applications. London [etc.]: Chapman and Hall. CRC Press.
9. Sitnik, S. M., Skoromnik, O. V., & Shlapakov, S. A. (2022). Multi-dimensional generalized integral transform in the weighted spaces of summable functions. Lobachevskii J. of Mathematics, 43(6), 1170-1178.
10. Kilbas, A. A., Srivastava, H. M., & Trujillo, J. J. (Ed.). (2006). Theory and applications of fractional differential equations. North-Holland Mathematics Studies (Vol. 204). Amsterdam: Elsevier.xv.
Поступила 14.11.2022
TWO SPECIAL CASES OF TWO-DIMENSIONAL INTEGRAL G-TRANSFORMATION IN THE WEIGHTED SPACES OF SUMMABLE FUNCTIONS
& SITNIK
(Belgorod State National Research University "BelGU");
O. SKOROMNIK, M. PAPKOVICH (Euphrosyne Polotskaya State University of Polotsk)
Two-dimensional integral transformations with special functions of the same type in kernels are considered. Using the Mellin transformation technique, it is shown that they are special cases of a two-dimensional G-transfor-mation. Based on the theory of the G-transformation, the properties of the considered integral transformations in the weighted spaces of integrable functions in the domain = R| x R| are investigated. The results obtained generalize the data obtainedfor the corresponding one-dimensional analogues.
Keywords: two-dimensional integral G-transform, Meijer G-function, two-dimensional Mellin transform, the space of integrable functions, fractional integrals and derivatives.
