CC BY
12
УДК 519.1+519.6
Интегральное представление и вычисление многомерной суммы в теории кубатурных формул
Георгий П. Егорычев*
Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,
Россия
Получена 29.01.2012, окончательный вариант 16.03.2012, принята к печати 10.04.2012 В 'работе с помощью метода коэффициентов найдено новое простое доказательство трудного тождества из теории кубатурных формул.
Ключевые слова: комбинаторные суммы, интегральное представление, кубатурные формулы.
Введение
Пусть вектор 7 = (70,71, ...,7й) € Ей+1, а а = (ао,аь -.,аД в = (во,въ ) — векторы из Ей+1 с целыми неотрицательными координатами, где на координаты вектора а наложено следующее ограничение: |а| := ао + а1 +... + а^ = 2в +1. Обозначим через а! := ао!а1!...а^!,
аА [аЛ (аЛ (а\ Г(а + 1) (а\
„ := ... , где I := ---ттттг-;-гт, и I := 0, если Ь > а +1. Более
в) \воУ \й) \Ь) Г(Ь + 1) Г (а - Ь + 1)' \Ь] ' "
того, мы пишем а -1/2 := (ао — 1/2, а1 — 1/2,..., а^ — 1/2).
Нео Б. и Хи У. [1, с. 631-635] с помощью аппарата производящих функций, а также разностных и дифференциальных операторов различного типа, найдено непростое доказательство следующего кратного комбинаторного тождества [1, тождество (2.9)]:
й
c
" Г) = ± <_* С + j + £ П (в7) + Y + 1Г , (1)
У j = 0 V j У ßo+ßi + ...+ßd = s-ji=0 ^ 11
где c = a!22s.
В конце 1970-х гг. Г.П. Егорычев развил метод коэффициентов, который нашел успешные приложения при работе с комбинаторными суммами [2-5]. Целью данной статьи является нахождение нового простого доказательства тождества (1) с помощью метода коэффициентов [2] и кратного применения известной теоремы о полной сумме вычетов.
1. Доказательство тождества (1)
Тождество (1) можно переписать в виде
s j (d + £d=o(a + Yi)\ Л (ßi+n\ (2А + Yi + 1)С
d + ^i=o(ai + Yi) Y^
j ^ LL\ ßi (a)!
j=0 x J ' ßo+ßi + ...+ßd=s-ji=0 K 1 г / V г'
*anott@scn.ru © Siberian Federal University. All rights reserved
а
' а
¿=0
2*ПГат")- (2)
Введем следующие обозначения для правой части тождества (2):
а
8 'Е(«а + 7а
Т (в; а,в):=53(-1)3' ¿=0 х 5, (3)
¿=0 4 3 '
где
*:= Е II (%»)(4)
во +в1 + ...+ва =-¿¿=0 у ^ 7 V ¿У'
Тогда с помощью метода коэффициентов мы получаем
а
в + 7Л (2А + 7а + 1)а
5=иЕЩГГ)^ ,
оо оо / а ^
53 ... 53 ге^,..,«., П (1 - ^¿)---1
во=0 ва=0 V ¿=0 у
/а \
..-а»-1 .
х
Щ -Г»- ехр (- (2£а + 7а + 1)^ = Л 1-1 ехр(— (7¿ + 1)) х
I ¿=0
П ( 53 (ехр(в] (2—)) Гв8-» ((1 - tz¿)-Y•-1 гг-в»-1)
х П (ехр(в (2-
¿=0 у в»=0
(суммирование по каждой в¿ и гев2», г = 0,..., ¿: правило подстановки, замены z¿ ехр(2—А), г = 0,...
( П --а»-1 ехр(— а (Y¿ + 1)) х ТТ (1 - t ехр(2ш]))-7»-1
=0
а
(п ехр(- (7а + 1)) х П (1 - t ехр(2-А))-7»-1 ) |
=0 =0
^^¿^Г!-Г«»-1 (ехр(-—а) - t ехр(-))-7»-11 ,
то есть
Б, = t 8+3 1]= — а» 1 (ехр(-—) - t ехр(—)) 7» ^ . (5)
В соответствии с (3)—(5) мы получаем
я га
Т (в; а, в) = 53^8+3-1 —г-а»-1 (ехр(-—) - t ехр(—]))
¿=0 I ¿=0
а
хгевж < х 3 1 (1 - х) •=о
а
х
а
г-8-1 П (ехР(-адг) - г ехр(ад.))-7'-1 I ^ г3ге8ж{х-3-1х
= 0 \3=0 а
х (1 — х)
(суммирование по ], и гевх: правило подстановки, замена х = г)
а а
— 1П (ехр(— ^ — г
¿=0
Таким образом, мы получили
Лемма 1. Пусть параметры в, а0, а1,..., аа, во, вь ва являются целыми неотрицатель-
г 8 Па 1 (ехр(—^¿) — гехр(ад.)) 7' 1 (1 — г)
ными числами, для которых а0 + ...+ аа = 2в +1, и вектор ) € Ка+1. Тогда
следующая интегральная формула справедлива:
^ ( —1)3 + £0=0(а + 7.)\ д /в.+7.\ (2в. + 7. + 1Г =
3=0 ^ ^ ^ в°+в1...+ва=8-'¿=А в ^ (а)! ...
а Е (6)
ад-а-1 (ехр(— ад.) — гехр(ад.))-7'-1 (1 — г)
¿=0
Замечание. Нетрудно видеть, что вычисление кратного интеграла в правой части (6) последовательно по переменным г, ад0,..., ада дает кратную сумму в левой части (6). Новое доказательство тождества (2) мы проведем аналогично путем вычисления кратного вычета в нулевой точке в правой части формулы (6) последовательно по каждой переменной ад0,..., ада и г (см. леммы 1-3 и теорема 5).
Введем необходимые обозначения, полагая
/ = / (ад, г) := е-™ — ге™, д = 0 (ад, г) := е-™ + ге™, (7)
где а есть фиксированное целое и 7 € К. Очевидно
/' := £ = —д, д' := ^д = —•/ д2 —72 = ^ (/-7)' =7/-7-1, да = —ада-1/, (8)
/ (0) = 1 — г, д (0) = 1 + г. (9)
Лемма 2. Если в — целое неотрицательное число и 7 € К, то в обозначениях (7) и (8) справедливо следующее разложение производной:
[8/2]
(/-7-1)18) = (7 +1) х ... х (7 + в) /-7-8-1д8 + £ Ск (7) /-7+2к-8-у-2к (10)
к = 1
с целыми коэффициентами с1, с2,..., С[8/2]. В соответствии с (9) формула (10) порождает следующую формулу:
Г т (я)
ад-8-1 (ехр(—ад.) — гехр(ад.))-7- := (ехр(—ад.) — гехр(ад.))-7- /в! =
I J ™=0
/ + \ ( [8/2] \ (11) = (*; 7) (1 — г)-7-8-1 (1 + г)8 I 1 + ^ (в, 7) (1 — г)2к(1 + г)-2М ,
где 'рациональные коэффициенты ^ (в, 7) := е^ (7) /в!, к = 1,..., [в/2].
Доказательство. Формулу (10) проще всего провести индукцией по параметру в. Действительно, с помощью (8) мы имеем для начальных значений в = 1, 2, 3:
(/-7-1)' = - (7 + 1) /-7-2/' = (7 + 1) /-7-У
(/-7-1)'' = ((/-7-1)')' = ((7 + 1) /-7-У = (7 + 1) (/-7-2)'9 + (7 + 1) /-7-2/ = = (7 + 1) (7 + 2) /-7-392 - (7 + 1) /-7-1. (/-7-1)"' = ((/-7-1)")' = ((7 + 1) (7 + 2) /-7-У - (7 + 1) /-7У = = (7 + 1) (7 + 2) (7 + 3) /-^У + (7 + 1) (7 + 2) /-7-329/ - (7 + 1)2 /-7-29 = = (7 + 1) (7 + 2) (7 + 3) /-7-493 - (7 + 1) (37 + 2)/-7-У
Далее по индукции, если формула (9) справедлива для текущего значения в, то с помощью (8) мы имеем
[s/2]
(f-Y-1)(s+1)= ((f-Y-1)(s))' = ((7 + 1)x.. .x(7 + s) f-Y-s-1gs+V cfc (7) f-7+2k-s-igs-2k)' =
fc=i
= (7 + 1) X ... x (7 + s +1) f-7-s-2gs+1 - (7 + 1) x ... x (7 + s) f r-ssgs-1+
[s/2] [s/2]
+ E cfc (7) (7 - 2k + s + 1) f-7+2k-s-2gs-2k+1 - £ Cfc (7) f-7+2k-s (s - 2k) gs-2k-1 = fc=1 fc=1
(замена в первой сумме индекса k - 1 на k)
= (7 +1) ... (7 + s + 1) f Y-s-2gs+1 + (C1 (7) (7 + s - 1) - s (7 +1) ... (7 + s))f-7-*+У-1 + [s/2]-1 [s/2]
+ T, cfc+1 (7) (7 - 2k + s - 1) f-7+2k-V-2k-1 - ^ Ck (7) f-Y+2k-s (s - 2k) gs-2k-1 =
/ J ^k+1 V 1 } \ I —1 J J z)
k=0 k=1
(7 +1) ... (7 + s + 1) f Y-s-2gs+1 + (C1 (7) (7 + s - 1) - C[s/2] (7) f
-7+2[s/2]-sx
[s/2]-1
x (s - 2[s/2]) gs-2[s/2]-1 + £ (ck+1 (7) (7 - 2k + s - 1) - (s - 2k) cfc (7))f-Y+2k-V-2k-1,
fc=1
что и требовалось доказать. □
Лемма 3. Если s — целое неотрицательное число, то следующая формула справедлива:
J = rest (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 = 22s, (12)
Jfc = rest (1 - t)k-1 (1 + t)2s-k+1 t-s-1 =0, Vk = 1,..., 2s. (13)
Доказательство. Заметим, что если формальный степенной ряд C(w), содержащий конечное число членов с отрицательными степенями, сходится в выколотой окрестности нуля, то определение оператора reswC(w) совпадает с обычным определением вычета resw=oC(w)
в нулевой точке, используемым в теории аналитических функций. С учетом этого факта мы имеем
J = rest (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 := resi=c (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 = (теорема о полной сумме вычетов)
= -rest=1 (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 - resi=TO (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 = (непосредственно по определению вычета в соответствующей точке)
= [(1 + t)2s+1 t-s-1]t=1 - resi=o (1 - 1/t)-1 (1 + 1/t)2s+1 (1/t)-s (-1/t)2 = = 22s+1 - resi=o (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s = 22s+1 - J ^ J = 22s+1 - J ^ J = 22s.
Пусть k — произвольное фиксированное число из множества {1,..., 2s}. Поступая точно так же, как в предыдущем случае, мы имеем
Jfc = rest (1 - t)k-1 (1 + t)2s-fc+1 t-s-1 := resi=o (1 - t)k-1 (1 + t)2s-fc+1 t-s-1-
-resi=TO (1 - t)k-1 (1+ t)2s+1 t-s-1 =
(поскольку степени биномов (1 - t)k 1 and (1 + t)2s fc+1 t-s-1 неотрицательны при любом k из множества {1,..., 2s})
=0 - rest=o (1 - 1/t)k-1 (1 + 1/t)5 (1/t)-3 (-1/t)2 =
= -rest=o (1 - t)-s-1 (1 + t)2s-fc+1 t-s-1 = - Jfc ^ Jfc = - Jfc ^ Jfc =0.
□
Теорема 1. Тождество (2) справедливо.
Доказательство. В силу (6) мы имеем следующее интегральное представление для суммы T (s; а, в) в левой части тождества (2):
d d
T (s; а, в) = reswo,...,wd,t{t-s-1 (1 - t)d+-» f[ w-ai-1 (exp(-Wi) - t exp(wi))-Mi-1} =
i=o
d d
= rest{t-s-1 (1 - t) i=o (J] reswiw-ai-1 (exp(-wi) - t exp(wi))-^-1)}
i=o
Вычисляя в последнем выражении каждый из вычетов по переменным wo,..., wd по формуле (11), мы имеем
d
d+ V (ai+Yi)
T (s; а, в) = rest{t-s-1 (1 - t) i=o х
d / + \ К/2]
х(Ц Г' + 7М (1 - t)-Yi-ai-1 (1 + t)ai ( £ hfc (а4, Yi) (1 - t)2k (1 + t)-2k))} =
i=o ^ ' k = 1
dd (тривиальные сокращения под знаком произведения П ... с учетом предположения ai =
i=o i=o
2s +1)
/ + \ d [ai/2]
= a + Y rest{t-s-1 (1 - t)-1 (1+ t)2s+^ (1+ hk (ai,Yi)(1 - t)2k (1 + t)-2k)}. (14)
^ ' i=o k=1
" d
Е ai/2
_i=0
и приведения подобных членов произведение
Поскольку [a0/2] + [ai/2] + ... + [ad/2]
s, то ясно, что после раскрытия скобок
d К/2]
П(1+ Е hk (ai,7i)(1 - t)2k (1+ t)-2k) i=0 fc=1
под знаком rest в (14) представимо в виде многочлена вида
2s
1 + Е Afc (1 - t)k (1+ t)-k ,
к=2
где коэффициенты Л1,..., Л2Я-1 есть некоторые фиксированные рациональные числа. Таким образом,
T (s; a, в) = (a + 7) resi{t-s-1 (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 (1 + £ Afc (1 - t)k (1 + t)-k)} = ^ a ' fc=1
= (a + A {rest (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 + £ Akrest (1 - t)k-1 (1 + t)2s-k+1 t-s-1} = ^ a ' k=1 (вычисление вычетов в последнем выражении по формулам (12) and (13))
= (° + >2s + £ Ak х 0} = (a + Y)222s.
а ,
к=1
□
Замечание. Представляет некоторый самостоятельный интерес ответ на вопрос, какую дополнительную информацию (результаты) в теории кубатурных формул может принести знание интегрального представления
й d 3 = (ехр(-^) - г ехрЮГ^-1 (1 - г)"+<5о(а< +7^}/а! (15)
¿=0
в левой части исходного тождества. Например, интеграл (15) может быть записан в следующем виде:
й
3 = ге84{(г-я-1 ^ гев^(ехр(^ш>) - гехр^^))"7'_1}/а!. (16)
¿=0
Вычисление интеграла (16) связано с изучением гиперболического г-синуса [6]
БтЬДж) := (ехр(-х) - г ехр(х))/2, (17)
функции этИ- 7 (х), 7 € М, и интеграла
3 -у (г) := гев2(г-а-1 (ехр(-г) - г ехр(г)) 7 1)/а! =
_ _ _ -1 (18) = гев2(г а 1 (ехр(-г) - г ехр(г)) 7 )/а!.
По моему мнению, представляет интерес изучение этих функций, включая их комбинаторную интерпретацию и нахождение 'различных соотношений для них.
Выражаю искреннюю признательность своим коллегам В.И. Половинкину и М.В.Нос-кову за полезные замечания при оформлении этой работы.
Список литературы
[1] S.Heo, Y.Xu, Invariant cubature formulae for spheres and balls by combinatorial methods, SIAM J. Numer. Anal., 38(2), (2000), 626-638.
[2] G.P. Egorychev, Integral Representation and the Computation of Combinatorial Sums, Nauka, Novosibirsk, 1977 (in Russian). English transl. Transl. Math. Monographs 59, Amer. Math. Soc., Providence. RI 1984; 2nd ed. in 1989.
[3] G.P. Egorychev, Method of coefficients: an algebraic characterization and recent applications. Labours Waterloo Workshop on Computer Algebra, Waterloo 5-7 May 2008, Springer Verlag (2009), 1-33.
[4] G.P. Egorychev, E.V. Zima, Integral representation and algorithms for closed form summation, Handbook of Algebra, 5 (ed. M. Hazewinkel), Elsevier, (2008), 459-529.
[5] В.К.Леонтьев, Избранные проблемы комбинаторного анализа, MSTU, Bauman, 2001.
[6] D. Foata, G.-N. Han, The q-tangent and q-secant numbers via basic eulerian polynomials, Proc. Amer. Math. Soc., 138(2010), 385-393.
An Integral Representation and Computation of Multiple Sum in the Theory of Cubature Formulas
Georgy P. Egorychev
In this article is a finding new simple proof of hard identity from theory of cubature formulas by means of the method of coefficients.
Keywords: combinatorial sums, integral representation, cubature formulas.
