Интегральное представление и вычисление многомерной суммы в теории кубатурных формул Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1+519.6

Интегральное представление и вычисление многомерной суммы в теории кубатурных формул

Георгий П. Егорычев*

Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 29.01.2012, окончательный вариант 16.03.2012, принята к печати 10.04.2012 В 'работе с помощью метода коэффициентов найдено новое простое доказательство трудного тождества из теории кубатурных формул.

Ключевые слова: комбинаторные суммы, интегральное представление, кубатурные формулы.

Введение

Пусть вектор 7 = (70,71, ...,7й) € Ей+1, а а = (ао,аь -.,аД в = (во,въ ) — векторы из Ей+1 с целыми неотрицательными координатами, где на координаты вектора а наложено следующее ограничение: |а| := ао + а1 +... + а^ = 2в +1. Обозначим через а! := ао!а1!...а^!,

аА [аЛ (аЛ (а\ Г(а + 1) (а\

„ := ... , где I := ---ттттг-;-гт, и I := 0, если Ь > а +1. Более

в) \воУ \й) \Ь) Г(Ь + 1) Г (а - Ь + 1)' \Ь] ' "

того, мы пишем а -1/2 := (ао — 1/2, а1 — 1/2,..., а^ — 1/2).

Нео Б. и Хи У. [1, с. 631-635] с помощью аппарата производящих функций, а также разностных и дифференциальных операторов различного типа, найдено непростое доказательство следующего кратного комбинаторного тождества [1, тождество (2.9)]:

й

c

" Г) = ± <_* С + j + £ П (в7) + Y + 1Г , (1)

У j = 0 V j У ßo+ßi + ...+ßd = s-ji=0 ^ 11

где c = a!22s.

В конце 1970-х гг. Г.П. Егорычев развил метод коэффициентов, который нашел успешные приложения при работе с комбинаторными суммами [2-5]. Целью данной статьи является нахождение нового простого доказательства тождества (1) с помощью метода коэффициентов [2] и кратного применения известной теоремы о полной сумме вычетов.

1. Доказательство тождества (1)

Тождество (1) можно переписать в виде

s j (d + £d=o(a + Yi)\ Л (ßi+n\ (2А + Yi + 1)С

d + ^i=o(ai + Yi) Y^

j ^ LL\ ßi (a)!

j=0 x J ' ßo+ßi + ...+ßd=s-ji=0 K 1 г / V г'

*[email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

а

' а

¿=0

2*ПГат")- (2)

Введем следующие обозначения для правой части тождества (2):

а

8 'Е(«а + 7а

Т (в; а,в):=53(-1)3' ¿=0 х 5, (3)

¿=0 4 3 '

где

*:= Е II (%»)(4)

во +в1 + ...+ва =-¿¿=0 у ^ 7 V ¿У'

Тогда с помощью метода коэффициентов мы получаем

а

в + 7Л (2А + 7а + 1)а

5=иЕЩГГ)^ ,

оо оо / а ^

53 ... 53 ге^,..,«., П (1 - ^¿)---1

во=0 ва=0 V ¿=0 у

/а \

..-а»-1 .

х

Щ -Г»- ехр (- (2£а + 7а + 1)^ = Л 1-1 ехр(— (7¿ + 1)) х

I ¿=0

П ( 53 (ехр(в] (2—)) Гв8-» ((1 - tz¿)-Y•-1 гг-в»-1)

х П (ехр(в (2-

¿=0 у в»=0

(суммирование по каждой в¿ и гев2», г = 0,..., ¿: правило подстановки, замены z¿ ехр(2—А), г = 0,...

( П --а»-1 ехр(— а (Y¿ + 1)) х ТТ (1 - t ехр(2ш]))-7»-1

=0

а

(п ехр(- (7а + 1)) х П (1 - t ехр(2-А))-7»-1 ) |

=0 =0

^^¿^Г!-Г«»-1 (ехр(-—а) - t ехр(-))-7»-11 ,

то есть

Б, = t 8+3 1]= — а» 1 (ехр(-—) - t ехр(—)) 7» ^ . (5)

В соответствии с (3)—(5) мы получаем

я га

Т (в; а, в) = 53^8+3-1 —г-а»-1 (ехр(-—) - t ехр(—]))

¿=0 I ¿=0

а

хгевж < х 3 1 (1 - х) •=о

а

х

а

г-8-1 П (ехР(-адг) - г ехр(ад.))-7'-1 I ^ г3ге8ж{х-3-1х

= 0 \3=0 а

х (1 — х)

(суммирование по ], и гевх: правило подстановки, замена х = г)

а а

— 1П (ехр(— ^ — г

¿=0

Таким образом, мы получили

Лемма 1. Пусть параметры в, а0, а1,..., аа, во, вь ва являются целыми неотрицатель-

г 8 Па 1 (ехр(—^¿) — гехр(ад.)) 7' 1 (1 — г)

ными числами, для которых а0 + ...+ аа = 2в +1, и вектор ) € Ка+1. Тогда

следующая интегральная формула справедлива:

^ ( —1)3 + £0=0(а + 7.)\ д /в.+7.\ (2в. + 7. + 1Г =

3=0 ^ ^ ^ в°+в1...+ва=8-'¿=А в ^ (а)! ...

а Е (6)

ад-а-1 (ехр(— ад.) — гехр(ад.))-7'-1 (1 — г)

¿=0

Замечание. Нетрудно видеть, что вычисление кратного интеграла в правой части (6) последовательно по переменным г, ад0,..., ада дает кратную сумму в левой части (6). Новое доказательство тождества (2) мы проведем аналогично путем вычисления кратного вычета в нулевой точке в правой части формулы (6) последовательно по каждой переменной ад0,..., ада и г (см. леммы 1-3 и теорема 5).

Введем необходимые обозначения, полагая

/ = / (ад, г) := е-™ — ге™, д = 0 (ад, г) := е-™ + ге™, (7)

где а есть фиксированное целое и 7 € К. Очевидно

/' := £ = —д, д' := ^д = —•/ д2 —72 = ^ (/-7)' =7/-7-1, да = —ада-1/, (8)

/ (0) = 1 — г, д (0) = 1 + г. (9)

Лемма 2. Если в — целое неотрицательное число и 7 € К, то в обозначениях (7) и (8) справедливо следующее разложение производной:

[8/2]

(/-7-1)18) = (7 +1) х ... х (7 + в) /-7-8-1д8 + £ Ск (7) /-7+2к-8-у-2к (10)

к = 1

с целыми коэффициентами с1, с2,..., С[8/2]. В соответствии с (9) формула (10) порождает следующую формулу:

Г т (я)

ад-8-1 (ехр(—ад.) — гехр(ад.))-7- := (ехр(—ад.) — гехр(ад.))-7- /в! =

I J ™=0

/ + \ ( [8/2] \ (11) = (*; 7) (1 — г)-7-8-1 (1 + г)8 I 1 + ^ (в, 7) (1 — г)2к(1 + г)-2М ,

где 'рациональные коэффициенты ^ (в, 7) := е^ (7) /в!, к = 1,..., [в/2].

Доказательство. Формулу (10) проще всего провести индукцией по параметру в. Действительно, с помощью (8) мы имеем для начальных значений в = 1, 2, 3:

(/-7-1)' = - (7 + 1) /-7-2/' = (7 + 1) /-7-У

(/-7-1)'' = ((/-7-1)')' = ((7 + 1) /-7-У = (7 + 1) (/-7-2)'9 + (7 + 1) /-7-2/ = = (7 + 1) (7 + 2) /-7-392 - (7 + 1) /-7-1. (/-7-1)"' = ((/-7-1)")' = ((7 + 1) (7 + 2) /-7-У - (7 + 1) /-7У = = (7 + 1) (7 + 2) (7 + 3) /-^У + (7 + 1) (7 + 2) /-7-329/ - (7 + 1)2 /-7-29 = = (7 + 1) (7 + 2) (7 + 3) /-7-493 - (7 + 1) (37 + 2)/-7-У

Далее по индукции, если формула (9) справедлива для текущего значения в, то с помощью (8) мы имеем

[s/2]

(f-Y-1)(s+1)= ((f-Y-1)(s))' = ((7 + 1)x.. .x(7 + s) f-Y-s-1gs+V cfc (7) f-7+2k-s-igs-2k)' =

fc=i

= (7 + 1) X ... x (7 + s +1) f-7-s-2gs+1 - (7 + 1) x ... x (7 + s) f r-ssgs-1+

[s/2] [s/2]

+ E cfc (7) (7 - 2k + s + 1) f-7+2k-s-2gs-2k+1 - £ Cfc (7) f-7+2k-s (s - 2k) gs-2k-1 = fc=1 fc=1

(замена в первой сумме индекса k - 1 на k)

= (7 +1) ... (7 + s + 1) f Y-s-2gs+1 + (C1 (7) (7 + s - 1) - s (7 +1) ... (7 + s))f-7-*+У-1 + [s/2]-1 [s/2]

+ T, cfc+1 (7) (7 - 2k + s - 1) f-7+2k-V-2k-1 - ^ Ck (7) f-Y+2k-s (s - 2k) gs-2k-1 =

/ J ^k+1 V 1 } \ I —1 J J z)

k=0 k=1

(7 +1) ... (7 + s + 1) f Y-s-2gs+1 + (C1 (7) (7 + s - 1) - C[s/2] (7) f

-7+2[s/2]-sx

[s/2]-1

x (s - 2[s/2]) gs-2[s/2]-1 + £ (ck+1 (7) (7 - 2k + s - 1) - (s - 2k) cfc (7))f-Y+2k-V-2k-1,

fc=1

что и требовалось доказать. □

Лемма 3. Если s — целое неотрицательное число, то следующая формула справедлива:

J = rest (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 = 22s, (12)

Jfc = rest (1 - t)k-1 (1 + t)2s-k+1 t-s-1 =0, Vk = 1,..., 2s. (13)

Доказательство. Заметим, что если формальный степенной ряд C(w), содержащий конечное число членов с отрицательными степенями, сходится в выколотой окрестности нуля, то определение оператора reswC(w) совпадает с обычным определением вычета resw=oC(w)

в нулевой точке, используемым в теории аналитических функций. С учетом этого факта мы имеем

J = rest (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 := resi=c (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 = (теорема о полной сумме вычетов)

= -rest=1 (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 - resi=TO (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 = (непосредственно по определению вычета в соответствующей точке)

= [(1 + t)2s+1 t-s-1]t=1 - resi=o (1 - 1/t)-1 (1 + 1/t)2s+1 (1/t)-s (-1/t)2 = = 22s+1 - resi=o (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s = 22s+1 - J ^ J = 22s+1 - J ^ J = 22s.

Пусть k — произвольное фиксированное число из множества {1,..., 2s}. Поступая точно так же, как в предыдущем случае, мы имеем

Jfc = rest (1 - t)k-1 (1 + t)2s-fc+1 t-s-1 := resi=o (1 - t)k-1 (1 + t)2s-fc+1 t-s-1-

-resi=TO (1 - t)k-1 (1+ t)2s+1 t-s-1 =

(поскольку степени биномов (1 - t)k 1 and (1 + t)2s fc+1 t-s-1 неотрицательны при любом k из множества {1,..., 2s})

=0 - rest=o (1 - 1/t)k-1 (1 + 1/t)5 (1/t)-3 (-1/t)2 =

= -rest=o (1 - t)-s-1 (1 + t)2s-fc+1 t-s-1 = - Jfc ^ Jfc = - Jfc ^ Jfc =0.

□

Теорема 1. Тождество (2) справедливо.

Доказательство. В силу (6) мы имеем следующее интегральное представление для суммы T (s; а, в) в левой части тождества (2):

d d

T (s; а, в) = reswo,...,wd,t{t-s-1 (1 - t)d+-» f[ w-ai-1 (exp(-Wi) - t exp(wi))-Mi-1} =

i=o

d d

= rest{t-s-1 (1 - t) i=o (J] reswiw-ai-1 (exp(-wi) - t exp(wi))-^-1)}

i=o

Вычисляя в последнем выражении каждый из вычетов по переменным wo,..., wd по формуле (11), мы имеем

d

d+ V (ai+Yi)

T (s; а, в) = rest{t-s-1 (1 - t) i=o х

d / + \ К/2]

х(Ц Г' + 7М (1 - t)-Yi-ai-1 (1 + t)ai ( £ hfc (а4, Yi) (1 - t)2k (1 + t)-2k))} =

i=o ^ ' k = 1

dd (тривиальные сокращения под знаком произведения П ... с учетом предположения ai =

i=o i=o

2s +1)

/ + \ d [ai/2]

= a + Y rest{t-s-1 (1 - t)-1 (1+ t)2s+^ (1+ hk (ai,Yi)(1 - t)2k (1 + t)-2k)}. (14)

^ ' i=o k=1

" d

Е ai/2

_i=0

и приведения подобных членов произведение

Поскольку [a0/2] + [ai/2] + ... + [ad/2]

s, то ясно, что после раскрытия скобок

d К/2]

П(1+ Е hk (ai,7i)(1 - t)2k (1+ t)-2k) i=0 fc=1

под знаком rest в (14) представимо в виде многочлена вида

2s

1 + Е Afc (1 - t)k (1+ t)-k ,

к=2

где коэффициенты Л1,..., Л2Я-1 есть некоторые фиксированные рациональные числа. Таким образом,

T (s; a, в) = (a + 7) resi{t-s-1 (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 (1 + £ Afc (1 - t)k (1 + t)-k)} = ^ a ' fc=1

= (a + A {rest (1 - t)-1 (1 + t)2s+1 t-s-1 + £ Akrest (1 - t)k-1 (1 + t)2s-k+1 t-s-1} = ^ a ' k=1 (вычисление вычетов в последнем выражении по формулам (12) and (13))

= (° + >2s + £ Ak х 0} = (a + Y)222s.

а ,

к=1

□

Замечание. Представляет некоторый самостоятельный интерес ответ на вопрос, какую дополнительную информацию (результаты) в теории кубатурных формул может принести знание интегрального представления

й d 3 = (ехр(-^) - г ехрЮГ^-1 (1 - г)"+<5о(а< +7^}/а! (15)

¿=0

в левой части исходного тождества. Например, интеграл (15) может быть записан в следующем виде:

й

3 = ге84{(г-я-1 ^ гев^(ехр(^ш>) - гехр^^))"7'_1}/а!. (16)

¿=0

Вычисление интеграла (16) связано с изучением гиперболического г-синуса [6]

БтЬДж) := (ехр(-х) - г ехр(х))/2, (17)

функции этИ- 7 (х), 7 € М, и интеграла

3 -у (г) := гев2(г-а-1 (ехр(-г) - г ехр(г)) 7 1)/а! =

_ _ _ -1 (18) = гев2(г а 1 (ехр(-г) - г ехр(г)) 7 )/а!.

По моему мнению, представляет интерес изучение этих функций, включая их комбинаторную интерпретацию и нахождение 'различных соотношений для них.

Выражаю искреннюю признательность своим коллегам В.И. Половинкину и М.В.Нос-кову за полезные замечания при оформлении этой работы.

Список литературы

[1] S.Heo, Y.Xu, Invariant cubature formulae for spheres and balls by combinatorial methods, SIAM J. Numer. Anal., 38(2), (2000), 626-638.

[2] G.P. Egorychev, Integral Representation and the Computation of Combinatorial Sums, Nauka, Novosibirsk, 1977 (in Russian). English transl. Transl. Math. Monographs 59, Amer. Math. Soc., Providence. RI 1984; 2nd ed. in 1989.

[3] G.P. Egorychev, Method of coefficients: an algebraic characterization and recent applications. Labours Waterloo Workshop on Computer Algebra, Waterloo 5-7 May 2008, Springer Verlag (2009), 1-33.

[4] G.P. Egorychev, E.V. Zima, Integral representation and algorithms for closed form summation, Handbook of Algebra, 5 (ed. M. Hazewinkel), Elsevier, (2008), 459-529.

[5] В.К.Леонтьев, Избранные проблемы комбинаторного анализа, MSTU, Bauman, 2001.

[6] D. Foata, G.-N. Han, The q-tangent and q-secant numbers via basic eulerian polynomials, Proc. Amer. Math. Soc., 138(2010), 385-393.

An Integral Representation and Computation of Multiple Sum in the Theory of Cubature Formulas

Georgy P. Egorychev

In this article is a finding new simple proof of hard identity from theory of cubature formulas by means of the method of coefficients.

Keywords: combinatorial sums, integral representation, cubature formulas.