CC BY
58
Новое в образовании
Инновационные технологии обучения математике студентов
К.Н. Лунгу
Рассмотрен вопрос модернизации математического образования будущих экономистов. Описаны новые организационно-методические средства и технологии повышения качества обучения студентов. Подчеркнуто, что цель и результат современного образования человека - формирование профессиональной компетентности личности. Разработаны и сформулированы основные требования, которым должно удовлетворять современное учебное пособие.
Ключевые слова: модернизация математического образования, понимание, понимающее усвоение, цель математического образования, мотивация студента, деятельност-ный подход к обучению математике, профессиональная компетентность.
Формирование профессиональной компетентности специалиста является важной проблемой в условиях изменения социально-экономической жизни общества и обострения ситуации на рынке труда. Поэтому особую актуальность приобретает модернизация математического образования будущих экономистов, которая требует поиска новых организационно-методических средств и технологий повышения качества обучения студентов.
Рассматривая цели и результаты образования человека, исследователи подчеркивают необходимость формирования единства мотивационно-когнитивных, деятельностных и поведенческих компонентов в структуре личности выпускника вуза. Наиболее адекватно это единство выражается понятием «профессиональная компетентность», которая становится одним из основных качеств любого специалиста.
Основу концепции деятельностного подхода к обучению математике составляет положение о том, что для того, чтобы научиться решать задачи, необходимо узнать и понимать, как это надо делать. Следовательно, основная цель математического образования заключается в том, чтобы учить студента деятельности, в частности, умению выполнять действия, а знания должны служить средством обучения действиям. Знания и умения, которые традиционно рассматриваются как последовательные действия, должны формироваться в единстве, освоение знаний необходимо осуществлять одновременно с освоением способов действия с ними [7].
Знать - это не только помнить некоторые знания, а понимание, как осуществлять определенную деятельность, связанную с этими знаниями, т.е. знание становится и целью, и средством обучения. Потому при проектировании учебной деятельности и технологий обучения необходимо исходить из анализа деятельности, которую будущий специалист будет выполнять. Следовательно, на этом этапе существенно возрастают роль и ответственность преподавателя как проектировщика и исполнителя учебного процесса.
Для того чтобы проектировать эффективную методическую систему обучения математике, необходимо знать, как происходит процесс усвоения студентами математического материала. Анализ философской, педагогической, методической литературы, собственные наблюдения и исследования позволили предположить, что процесс усвоения У представляет собой теоретико-множественное объединение пяти компонентов (рис. 1):
У=П 1+П2+П3+П4+П5.
Формула «пяти П» дает основания получить надежные критерии для оценки процесса усвоения и выявления сложностей, возникающих при этом. Компоненты усвоения зависят: П1 (принять, воспринимать) - от уровня мотивации и организации внимания студента; П2 (понять) - от уровня владения приемами мыслительной деятельности; П3 (помнить, запоминать) - от владения приемами запоминания, а также от структуры учебного материала; П4 (применять, формировать основные умения и навыки) - от организации за-дачного материала; П5 (переносить, решать практические задачи) - от профессионально-прикладной ориентации математического содержания.
Понимание того, как психический процесс присутствует во всех компонентах процесса усвоения, обучающимися достигается далеко не в одинаковой степени. Основные функции понимания состоят в организации связей между всеми компонентами усвоения, опосредованные учебным материалом, и эти функции выражаются пересечениями компонента П2 с П1, П3, П4, П5.
Понимание - это способность (умение) личности воспроизвести значение термина, адекватное определение данного учебного элемента, его признаки и свойства, а также умение выявить и устанавливать содержательные, структурные и логические связи с другими учебными элементами. Понимание - это способность устанавливать связь между элементами собственного знания, оно выступает как высшая форма знания.
Данное определение является процессуальным, оно позволяет превратить феномен понимания в педагогическую категорию с возможной эмпири-
ческой верификацией по степени полноты определений и числу связей между различными учебными элементами. Понимание характеризуется четырьмя параметрами: отчетливостью, полнотой, глубиной и обоснованностью. Их можно измерять числом. Другое определение понимания дано Е.И. Смирновым [2].
Понимающим называем усвоение, обеспечивающее: 1) постижение значения математических терминов, адекватной сущности учебных элементов (объектов, явлений, процессов и методов); 2) установление содержательных, структурных и логических связей между математическими объектами и элементами собственного знания; 3) перевод математического содержания на разные языки представления (вербальный, символический, визуальный и деятельностный); 4) прочность усвоенного математического содержания, включая его знаково-символическое представление, методы и приемы его преобразования; 5) целостность и системность математики как науки, направленность усвоения на приобретение личностного опыта применения математики в конкретных ситуациях, как в учебной, так и в практической деятельности.
Термин «понимающее усвоение» в методику обучения математике введен Е.И. Лященко [10] в противовес традиционному «запоминающему» усвоению. Оно означает такую направленность процесса обучения, при которой сначала достигается понимание материала учащимися, а затем (в случае необходимости) его запоминание. Более подробные сведения, относящиеся к исследованиям различных аспектов проблемы понимания, можно найти в статьях [4-6].
Из определения понимания следует, что оно невозможно, недостижимо без определенной суммы знаний, ибо понимание должно эти знания связать, структурировать и упорядочить. Поскольку процесс усвоения проходит во времени, то понимание как общий компонент этого процесса проходит определенные этапы, в которых появляются специфические формы знания и конкретные уровни понимания.
1. Этап знакомства с новыми объектами, явлениями, процессами, методами восприятия нового материала, новой информации. Этот этап реализуется при помощи транслятора вербально (устно или письменно), насыщен определениями, свойствами, признаками, сопровождается наглядностью, моделями, таблицами, фреймами и т.д. На этом этапе формируется «знание -что». Устанавливаются связи нового знания со старым знанием известными способами, действиями. Достигается уровень фрагментарного понимания (иногда доверие), диагностируется вопросом «Что?».
Пониманию математических объектов характерны ощущение ясной внутренней связанности, организованности рассматриваемых понятий и явлений, их системность и причинная обусловленность. В.М. Кроль [3] характеризует этот этап как способность к отслеживанию хода чужих рассуждений. «Человек понимающий» должен постоянно следовать за внешним но-
сителем понятий, их связей, например, за преподавателем, книгой и т.д. Он должен также иметь точные рецепты для своих пошаговых мыслительных действий. Характерной особенностью «человека понимающего» является то, что он, по определению, способен усвоить некоторую систему знаний, точнее -способен сформировать у себя копию объекта, понятия, связей между ними ([3], с. 155).
Психологи утверждают, что процесс понимания осуществляется при помощи внутреннего диалога, человек как бы беседует сам с собой, задавая себе вопросы и отвечая на них. Понимание происходит на языковой базе, на основе ранее приобретенных знаний, которые сохраняются в памяти и актуализируются в виде скрытой (внутренней) речи (П.П. Блонский [1]). Внутренняя речь носит субъективный смысл, она сопровождается различными наглядными образами, становится внутренним механизмом понимания. Этот этап представлен на рис. 2.
Актуализированные базовые знания
Транслятор вербальный Рис. 2. Структурная схема процесса понимания
2. Этап формирования методов, приемов включения нового знания в структуру базовой системы знаний, установления новых связей с базовыми элементами новыми способами. Этап реализуется решением задач среднего уровня сложности. На этом этапе формируется «знание - как». Достигается уровень структурного, необобщенного понимания (становится интересно), диагностируется вопросами «Что? Как?».
3. Этап закрепления методов, приемов и отношений, их структуризации и систематизации, создания новой расширенной системы, используя новые способы действия, установления причинно-следственных связей. Реализуется системой задач интегрирующего характера, вырабатываются мнемонические схемы и приемы запоминания методов решения задач, формул, правил, законов. Формируется «знание - почему». Особое внимание при этом следует уделять сокращению времени выполнения действий, их свертыванию использованием готовых формул. Достигается уровень системного понимания (понял!, улучшается настроение, появляется определенная внутренняя гордость). Диагностируется вопросами «Что? Как? Почему?».
4. Этап систематизации знаний и поиска новых элементов, недостающих в системе для решения возникающих проблем. Реализуется системой задач на применение усваиваемого материала, методов, приемов. Сопровождается формированием сквозных приемов, универсальных действий. Формируются способность и умение добывать самостоятельно нужную информацию, нужное знание, «знание - откуда». Достигается уровень дискурсивного, коммуникативного понимания, при этом человек становится активным, общительным, желает привлечь внимание к фактам и проблемам. Диагностируется вопросами «Что? Как? Почему? Откуда? Зачем?». Этот уровень достигается небольшим процентом обучаемых, среди них будущие исследователи, ученые.
Подчеркнем, что каждый следующий уровень понимания включает предыдущий. Эти уровни можно диагностировать системой тестов и задач, включающих вопросы, поставленные выше. Важность системы вопросов в решении математических задач обозначена основателем математической эвристики (а также методического приема синтеза) Паппом (ок. 320 г. до н.э.) и его последователями Д. Пойя, Г. Фройденталем, Г. Лейбницем, Л. Лагран-жем, Р. Декартом, И. Ньютоном, Л. Эйлером и др.
Для обеспечения понимания слушателями объясняемого материала преподаватель предварительно должен ознакомить их с линией изложения, а также его логической структурой. В таком случае мысль, возникающая во внутренней речи слушателя, может приходить в «резонанс» с объяснением говорящего и процесс понимания усилится. Если же преподаватель хотя и подробно, и ясно объясняет предмет, но без предварительного «раскрытия плана», то понимание может и не состояться.
Понимание содержания образования развертывается в четырех взаимосвязанных и взаимозависимых полях (ср. [11, с. 7]): предметном; логическом;
процессуальном; логическом; взаимоотношений участников педагогического процесса. Поэтому учить пониманию означает учить помещать понимаемое в четырех полях понимания.
Этапы 2-4 процесса понимания происходят при активной деятельности обучающегося, в процессе самостоятельного (или с помощью извне) решения задач. В таком случае понимание сводится к установлению содержательных и логических связей между элементами задачи. Известно [7], что решение задач осуществляется при помощи приемов мыслительной деятельности, а понимание выступает как средство управления этими приемами и результатом соответствующего процесса. Его структура показана на рис. 3.
Достижение события понимания в процессе самостоятельного поиска решения математической задачи описано в [5-7].
Рис. 3. Структура психического процесса понимания в ходе решения задачи
Таким образом, основой понимающего усвоения математики является система приемов учебной деятельности, а тогда технологии обучения должны быть направлены на формирование таких приемов, их систематизации [7].
Для того чтобы понимающее усвоение было продуктивным, преподаватель должен помочь студенту в организации своей учебной деятельности. Функциями преподавателя в этом смысле являются: 1) мотивация студента; 2) планирование деятельности; 3) контроль деятельности; 4) коррекция его деятельности; 5) прогнозирование результатов. В этом состоит стратегия обучения.
Для проектирования эффективной образовательной технологии особое значение приобретает предметный учебно-методический комплекс (УМК)
как устойчивый сплав из четко структурированного содержания, учебно-методического инструментария и алгоритмизированного процесса обучения. УМК позволяет влиять и существенно повысить или корректировать все параметры обученности и уровни понимания.
Сформулируем разработанные нами основные требования, которым должно удовлетворять современное учебное пособие:
• представление уровня теоретического материала, позволяющего решить любые задачи данного пособия;
• интерпретирование, приемы усвоения и понимания теоретических положений курса высшей математики, представленных в пособии;
• выбор задач для формирования положительной мотивации учения;
• развитие устного счета при решении задач любого уровня (устное вычисление пределов, дифференцирование, интегрирование и пр.);
• представление задач минимального уровня, усвоение которых обязательно для всех студентов соответствующих специальностей;
• представление задач, позволяющих формировать, закрепить и обобщать основные приемы мыслительной и практической деятельности по решению задач для выставления отметок «4» и «5»;
• преемственность тем и разделов всего курса, обращая внимание на возможность применения общих приемов, разработанных в разных разделах, а также в школьном курсе математики;
• наглядность всего учебного материала курса высшей математики;
• использование рациональных приемов решения конкретных задач;
• возможность свертывания действий для минимизации времени, необходимого для решения задач определенного класса;
• формирование приемов решения задач любого уровня;
• выбор каждым студентом собственной траектории обучения;
• наличие задач прикладного характера для технических направлений;
• выбор задач познавательного и развивающего характера;
• выбор задач на: вычисление; доказательство; составление математических моделей, их преобразование, решение и интерпретация полученных результатов;
• достижение как ближайших, так и отдаленных учебных целей;
• усвоение системы средств, необходимой и достаточной для успешной учебной деятельности;
• выбор оптимальных методов и приемов решения как отдельных задач, так и целых классов задач;
• наличие задач контролирующего характера, направленных на установление уровня готовности студентов к действиям в различных условиях, уровня обученности, математического развития и сфор-мированности познавательного интереса;
• содержательное, лаконичное, ясное объяснение решаемых задач;
• технологичность, означающая, что если кто-либо захочет восполнить имеющийся пробел в программных знаниях, то при помощи пособия он должен уметь это делать;
• возможность осуществления постоянного и систематического мониторинга качества математического образования.
Всем этим требованиям удовлетворяет построенный нами (с соавторами) УМК [9], являющийся самоучителем по высшей математике. С его помощью можно проектировать и реализовать индивидуальные траектории обучения математике и любые инновационные технологии.
К элементам технологии мы относим, например, развитие устного счета и чувства числа. Устный счет предполагает устное вычисление пределов и определенных интегралов, устное дифференцирование и решение дифференциальных уравнений, определение типа кривых и поверхностей по данному уравнению и т.д. К развитию чувства числа относим, в частности, действия определения или оценки величин. Основанием для этого служит, в том числе, следующий печальный пример. В течение более 30 лет в рамках модуля «Теория вероятности и математическая статистика» мы создаем собственную статистическую выборку для последующей обработки. К статистическим данным относим, например, визуальное определение размеров аудиторной доски. Каждый год среди чисел, выражающих площадь доски (в м ), присутствуют, например, такие числа: 0,45; 0,75; 1,5; 3,84; 4,2; 4,5; 5,25; 6,0; 6,25; 6,8; 7,2; 9,5; 15,6; 16; 22; 30; 40; 45. Коэффициент искажения размеров объекта в 100 раз вызывает особую тревогу.
Поэтому наша технология предусматривает сбор информации о разных величинах реальных предметов (длина, ширина, вес, площадь, объем, сила, число листьев на ветке дерева, число студентов, присутствующих в зале, и т.д. и т.п.). Кроме этого, по большинству тем студенты составляют задачи. Приведем одну из таких задач по теме «Множества и действия с ними».
Задача (Лена С.). Флорист составляет букеты из трех видов цветов: роз, лилий и гербер. В состав 8 букетов входили розы, в состав 7 - лилии и в состав 10 - герберы. В составе 4 букетов были и розы, и лилии; 5 букетов включали как лилии, так и герберы, а в составе 6 букетов были и розы, и гер-беры. Все три вида цветов можно было видеть в 3 букетах. Сколько всего было составлено букетов?
Среди математических задач обязательно присутствуют задачи профессионально-прикладной направленности. Например.
Задача. Постоянные издержки производства данной продукции составляет 125 тыс. руб. в месяц, а переменные - 700 руб. за единицу продукции. Продукция продается по цене 1200 руб. за единицу. Составить функцию прибыли. Определить: 1) точку безубыточности; 2) сколько единиц продукции нужно произвести, чтобы прибыль составила 105 тыс. руб. в месяц.
Как правило, любая форма отчетности студента завершается авторской задачей, и это студенты воспринимают с воодушевлением, поскольку самостоятельное творчество завершается пониманием объекта деятельности. Понимание - это не то, что человек слушал и сделали другие, а то, что при этом сделал сам.
Литература
1. Блонский П.П. Память и мышление / Избранные психологические труды. В 2 т. - М., 1979.
2. Буракова Г.Ю., Соловьев А.Ф., Смирнов Е.И. Дидактический модуль по математическому анализу: теория и практика. - Ярославль, 2002.
3. Кроль В.М. Психология и педагогика. - М.: Высшая школа, 2006.
4. Лунгу К.Н. Дидактический и методический аспекты понимания // Сб.: «Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузы». - М., МПГУ, 2006. - № 11. - С. 110-115.
5. Лунгу К.Н. Понимание как системный компонент усвоения знаний // Школьные технологии. - 2008. - № 2. - С. 115-120.
6. Лунгу К.Н. Понимание как системообразующий компонент усвоения знаний // Образование в XXI веке техническом вузе. Вып. 6. - 2010. - С. 23-26.
7. Лунгу К.Н. Систематизация приемов учебной деятельности. - М.: URSS, 2010.
8. Лунгу К. Н. Учебно-методический комплекс по высшей математике // Образовательные технологии. - 2008. - № 3. - С. 99-107.
9. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс, 2 курс. - М.: Айрис Пресс, 2007.
10. Лященко Е.И. К проблеме понимания в обучении математике // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на 52-е Герценовские чтения. - С.-Петербург, 1999.
11. Сенько Ю.В., Фроловская М.Н. Педагогика понимания. - М.: Дрофа, 2007.
