Информационный анализ в совместной задаче непрерывно-дискретной фильтрации и обобщенной экстраполяции. Ч. I. общий случай Текст научной статьи по специальности «Математика»

Управление, вычислительная техника и информатика

УДК 519.2

ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ В СОВМЕСТНОЙ ЗАДАЧЕ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И ОБОБЩЕННОЙ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ. Ч. I. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ

Н.С. Демин*, С.В. Рожкова, О.В. Рожкова

*Томский политехнический университет Томский государственный университет E-mail: [email protected]

Рассматривается информационный аспект совместной задачи фильтрации и экстраполяции, когда наблюдаемый процесс представляет собой совокупность многомерных процессов с непрерывным и дискретным временем, которые зависят не только от текущих, но и от произвольного числа прошлых значений многомерного ненаблюдаемого процесса. Получены соотношения, определяющие количество информации в совместной задаче фильтрации и экстраполяции через локальные количества информации в задачах фильтрации и экстраполяции.

Ключевые слова:

Сигнал, стохастические системы, фильтрация, экстраполяция, количество информации.

Key words:

Signal, stochastic system, filtering, extrapolation, information amount.

1. Введение

Любая статистическая задача имеет информационный аспект [1], суть которого заключается в нахождении соответствующих количеств информации о значениях ненаблюдаемого процесса, которые содержатся в реализациях ненаблюдаемых процессов. Кроме того, знание количества информации позволяет исследовать вопросы, являющиеся специфическими в теории информации, такие как минимизация ошибки воспроизведения сигнала, максимизация пропускной способности каналов передачи, оптимальная передача сигналов, а также вопросы информационного обоснования задач оценивания.

Используемые обозначения: М{.} - математическое ожидание; Р{.} - вероятность события; №{у;а,Б} -гауссовская плотность; 1г{.} - след матрицы;

ь ); ^ = Сур32’-’Яь); = К.]>

xL = [^ ], xL;1 = k = 1N, I = 1; L.

2. Постановка задачи

На вероятностном пространстве (Q,F,.F=(Ff)fe0,P) ненаблюдаемый «-мерный процесс xt (полезный сигнал) и наблюдаемый /-мерный процесс z,t (сигнал на выходе непрерывного канала передачи) определяются стохастическими дифференциальными уравнениями

dxt = f (t, xt )dt + Ф1^)Си>, t > 0, (2.1)

dzt = h (t, xt, xN, z)dt +Ф 2(t, z )dvt, (2.2)

а наблюдаемый ^-мерный процесс r(tm) с дискретным временем (сигнал на выходе дискретного канала передачи) имеет вид (m=0,1,...)

Г (L ) = S(tm , xtm , xr , Z) + Ф 3 (tm , Z)£ (tm X (2.3)

где 0<TN<...z1<tm<t, rk=const, k=1;N, т. е. память

фиксированная, wt и vt - r1- и г3-мерные стандартные винеровские процессы, ri(tm) - г3-мерный стандартный белый гауссовский процесс,

Po(x) = öP{xo < xVdx = N{x;Mo,rob f (•) = f (t) + F (t) xt, h() = h(t,z) + H „N (t,z)x™,

g(’) = g(tm ,z) + Gon (tm ,Z)XN

(2.4)

но,»(Аz) = [H0(t>z) ! z) ! ••• ! hn(t>z)] =

= [H0(t , z) ! H1, N (t> z)]

G0,N (tm , Z) =

= [Go(tm , Z) ¡Gi(tm , Z) !••• \Gn ^ , z)] =

= [Go(tm , Z) ¡Gin (tm , z)]• (2.5)

Предполагается: 1) x0, w, v, %(tm) - некоррелиро-ваны; 2)/(•), Ф1О, h(-), Ф2О, #0,Ф30 непрерывны по всем аргументам; 3) 2(.)=Ф1(-)Ф1Г(.)>0,

Л(.)=Ф2(.)Ф2г(.)>0, Г(.)=Ф3(.) Ф3Г(.)>0; 4) выполняются условия применимости формул Ито и Ито-Вентцеля; 5) для стохастических интегра-t

лов Jt = jV(z,m)dпо винеровским процессам

0

t

Хх выполняется условие M{jV2(т,ю)dz] <да,

0

t

обеспечивающее свойство M{ (x,œ)d%z] = 0^

0

Ставится задача: для последовательности моментов t<s<...<sL найти соотношения, определяющие эволюцию во времени совместного количества информации iyxt, xsL';Z0t,r0m] о текущих xt и будущих xsL={xSi, xv..., xj значениях ненаблюдаемого процесса, которое содержится в совокупности реализаций Z0t={zCT;0<CT<t} и rç0m={rç(t0),rç(ti),...,rç(tm);tm<t} наблюдаемых процессов в виде представлений ЛД.] через информационные количества It [xt;z.0t,r0m] и I' [xsL; Z0t,r0m] о текущих и будущих значениях ненаблюдаемого процесса, соответственно.

3. Основные результаты

Утверждение 1. Для апостериорной и априорной плотностей

p's( x; Xn ;) =

= gN+L+1P{xt < x; < xN ; x | zt0 ,rjn0 ]

dxdxNdxL ’

P (t, x;Zn , ^n ; ‘l ,x L ) =

= QN+L+1p{Xt < x; xz < Xn ; Х < x ]

dxdXNdx имеют место свойства

pS( x; xn ;x ) =

= N{xn+L+1J &N+L+1 (ZN ,t, SL ) , ^N +L +1 (ZN , t> ‘ )] =

x n(t )

xN ; i^N (ZN,0 ,

xL xL (t, sL )

r(t) Г 0N (ZN ,t)

Г ON (ZN ,О ГN (zN , 0

(^L,N+1('))T (^LN,N+1('))T

(3.1)

■ N

0N +1

L N N +1

(t> SL ) (ZN , t> SL )

ГL (t,‘L )

p(t, x;Zn , xn ; ‘l , x L ) =

1(ZN ,t, ■fL )’ Dn +L+1(^N , t, ‘ )]>

где блочные составляющие параметров распределения (3.2) определяются дифференциально-рекуррентными уравнениями Теорем 1, 2 в [2], Теоремы 3 и Следствия 2в[3]. Структура а~лг+1+1(.) и Кд+мО аналогична структуре /~^+х+х(.) и Гл+шО с заменой буквы л на а и Г на К, а параметры (3.3) определяются очевидным образом [4].

Пусть

Р,(х) = дР{х, < х| г‘0, ^}/5х,

Р[(хЬ) = ^Ьр{^Ь <^14^/’

р,(х;хь) = дь+1Р{х, <х;^ дхдХ ,

Рг (х;) =д№+1Р{х, < х;^ < :с„^'о,^0^дхд:<„ , р(,, х) =дР{х, < х}/дх,

р (Яь, хь) =дь Р{хЬ < ^хь}/дхь ,

р(,, х; ,уь, ^ь) = дь+1Р{х, < х; ^ ^}/дхд^ ,

р (,, х;1^„, хы) =д"+1Р{х, < х; х? ^дхд^ ,

Р,|,(хЬ|х) = дР{^Ь <^|х, = х>2о,^'о}1дхЬ >

р(^ь, ^ь|?, х) =дь Р{;?ь < ^|х, =х}/ д^ . (3-4)

Количества информации по Шеннону /ух(,х/;,г0',^0'”], /([х(,;г0',^о”] и условное количество информации I 1^[х^;10,Цот\х] согласно (3.4) [1] имеют вид

р,(х,;хь)

I‘tk[xt,xLs ;z0,rnn ] = M jln

i,[ xt ; z0,r0m ] = M iln

p(t, x, ; ,?L, )

P, ( xt )

Ikt[ xS ; z0>r0m|xt]=M ^ln-

p(t > xt )J p‘it( ;fk|xt )

(3.5)

(3.6)

(3.7)

^ p (^l > > xt ) J

Теорема 1. Количество информации (3.5) может быть представлено в виде

Il[ xt >xL ; z0,rmm ] =

= Л[ xt ; z0 ,r0m ]+ISit [xf; z<0,r^ |x, ]> (3.8)

где 1[.], /s|/[-] на интервалах времени tm<t<tm+1 определяются уравнениями

dIt[ xt ; z0 Vdt =

= (1/2)tr[M{R-\t, z)H0(t, z)r-1(t)/?0Г(t, z)]] -

-(V2)tr[Ô(t)[M{r-1(t)] - D-'(t)]], (3.9)

dI‘‘t [; z0 ,r0m |x, Vdt =

(3.2) = (1/2) tr

R

M-

x

HL+1 (t, z ) X

L+1

^L+1

-(V2) tr

Q( t)

x(^- 1(t, Sl )Г1 H^T+1 (t, z) --H,(t, z)r-1(t)H0T (t, z)

M{r-1(t S )-r-1(t )]-'

-[D-‘(t|SL ) - D-\t )] _

(3.10)

с начальными условиями

1‘т[\; 2‘,т ’Чо ] = !, -о[х,т; г0” ,По _1] + М , (3.11)

!%ш [ х,; 2о” ’Чом|хт ] =

= ^ -о[ ххь; 4т ’<■ |х,т ]+А1,т т ’

где (см. (2.5), (3.2), (3.2))

Г ь+1( ,’ ,ь) =

Г( 0 Г +1( ^ X )

(ГЬ,я+1(,’ X ))Г ГЬ ( ,’ X)

(3.12)

(3.13)

Г( , |,ь) =

+р, (х; х )[к(тя, г|х, хь) - к(Х, г)]Т Л '( X, г)Сг, (3.19) с начальным условием

с (ч( гт), Ах, хь)

р,т (х;х ь) =

с (л( т), а)

где

Сг( = Сг( - к (X, г )С,,

(3.21)

= М

С (л( 1т )’ 2|Х’ % ) = [с (х,т ’ хг ’Ч( С)’ а) |х,т

~Ь ~Ь ,т т-1

| = X’х = х ; ’Ч0

= ехр

С (х, ,ч(,т),2) =

|'-(^2)[ч(С) - ё(С’ х, х„, г)]Т X ]

|хК(,т , а)[Л (,т ) - ё(,т , х, , 2)] ]

У Мт У’ О^т У ')] =

= Г(,) - ГЬя+1 (,, X )(Гь (,, X ))‘‘(Г^+1(,, X ))Т ,

В{г,) =

= П(г) - ЗЬг+1 (г, X)(£>ь ( X, ,ь))-1(ОЬд+1(г, , ))Т, (3.14)

Нь+1(t, а) =[Но(х, г) | Йь(X, г)] =

= [Но(г, г) ! Нн+l(t, г) | ... | йн +ь (t, z)],

Но(г, 2) = Но(t, г)Г(г) + Н1,я (Л г)Гтш (гя, г),

НЫ+1 (Х, 2) = Но(Х, 2)Го,я +1 (Х, Я ) +

+Н1, N (х , г)ГЯ ,я+1(т, t, я), 1=1;ь, (3.15)

Год+вд является 1-м матричным элементом матрицы Г'о.мО, ГДд^О - 1-м матричным столбцом матрицы ГХл,л+1(0,

мт = 2М{1п[|Г(,о - о) | /1 Г(т )|]}, (3.16)

А1‘^ = 1 М{1п[| Гь(,ь \т - о) | /1 Гь(, |т ) |]}, (3.17) ^ь (,ь|,) = Гь (Х, ,ь ) -

-(^ь,м+1 (X, ,ь))Т Г-1 (,)^ьод+1 (X, ,?ь ). (3.18)

Доказательство. Из следствия 1 в [3] следует, что р^х'Х1) на интервалах времени /т«т+1 определяется уравнением

л,р\(х;х ь) = ^,[ рг (х;хь); р, (х)]^г +

; ^1(-) ^2(^)

ЬТ,У [^2 ( )] ^2 ( )Ь*,

д>1(-) ^2(-)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

а Хгу[.] и Ху.] - прямой и обратный операторы Колмогорова, соответствующие процессу х. Из (3.19)—(3.27) при S{lt, 1=1 ;Х, следует, что р(х) на интервалах времени /т</</т+1 определяется уравнением

d,Р,(х) = ь, ,х [ р, (х)]^г +

+р,(х)[к(тм,г|х)-к(г,г)]ТЛ '(X,г)(3.28) с начальным условием Р,т (х) = [С(Л(,т), z|XV С(Ч(,т), г)] Рт-о( x), (3.29)

к(Г, г|х) = М{к(Х, х,,хт", г) |х, = х; го,Чт}, (3.30)

С(Л(,т X г|х) =

= М{С(х,т, ,ч(,т), г) |х,т = х; гот,ч°0-1}. (3.31)

Согласно (3.4)

р,(;хЬ |х)=р, (х;;хЬ Vр, (х). (3.32)

Обновляющий процесс ~ дифференциал которого имеет вид (3.21) является таким, что i~í=(,гí,Fíг)

г

есть винеровский процесс с М{гхгхт |г,г} = |Л(т, г)с1т

о

[4]. Тогда, дифференцируя (3.32) по формуле Ито с использованием (3.19), (3.27), (3.28) для /т</</т+1, получим

с,Р,|,(^^Ь 1 х) =

[-Ь,х [Р,|, (^Ь|х)] +

-------------- пТ

р,т-о(х; ^ь), (3.20) =

+рЯ,( х ь 1 х)

-к (тгя, г|х)

Л '(X, г)х

х[к(,, г) - к(Тя, г|х)]

к(Х, г) = М{к(Х, х,, ;?тЯ, гк,^)}, (3.22) хСг + р,|,(■х 1 х)

к(тн, г х, х ) -

к(г„,г|х,^ь) = М(к(^)|х, = х,^ = X,¿оЖ }, (3.23) С(ч(Х„Xг) = М{С(х,т,хТ,л(хт),г)кот,Чоm-1}, (3.24)

-к(тг„, г|х) с начальным условием

р,т,т (;^Ь 1 х) =

Л ‘(X,г)С| (3.33)

:[С(ч(,т), г|х, х1)/ С(фт), г|х)] Р1тх\ х I х), (3.34)

которое следует из (3.20), (3.29). Априорные плотности р (/,х), р (~1гхх|/, х) определяются уравнениями

4,Р, (*) =1, ,х [ Р (,, х)\Л,

4,Р(:ь ,х 1 к ,х) = ~К,х[ Р.|, х |х)4 , (3.35)

которые следуют из (3.28), (3.33). Дифференцируя по формуле Ито с использованием (3.28), (3.33), (3.35), получим

1

х. ; к \ 1

л

= — х 2

х^

Р(х) р( к, х)

Р(х)

Р (к, х)

. ,х [ Р(х)\-

Ц к[ Р( ^ х)\

г

Я -1( ,, г) х

м< х h(1XN, г|х,, х.) - h(тN, г|х,) х ■

х h(1XN, г|х,, х.) - h(тN, г|х,)

Л -

-^(^, 2|х) - Щ, г)\ х

хЯ '( ,, г)[й(-гг„, г|х) - И(,, г)\4, +

+[й(т„, г|х) - й( к, г)\тЯ_1( ,, г), (3.36)

1

—1г

2

^ Х*,х [рСь , х^ Iк, х)\ Л pC.iL, х i|t, х)

_ . х [ р1\, (х Х|х)\

р.кСх L Iх)

Р.,(х 1 х) х "51пР(:Ь, х. К х,) "

1 X 1 . - V 5х, J

б(к) х

хМ

51п Р.к(х. I х,)

5х,

( 51п р.,( 1 х) У

V 5х, ,

51п р( ^, 1 к, х, )

5х,

, г|х, хL) - к(т]ч, г|х) хЯ~'(к, г)

ChCt, г) - , г|х)) -

Ч?м, г х, х ) -

-йCfff, г|х)

(3.39)

с начальными условиями (3.11), (3.12), где

Д/^ = М{1п[С(^(ки),г|хт)/С(п(” ),г)\}, (3.40)

^¡1 =

= М{1п[С(^(кт), г|хт, х.)/С(фт), г^)\}, (3.41) которые следуют из (3.6), (3.7), (3.29), (3.34). Так как

р1(х; ^) =

х /(,)

.хя _ С1«, 0_

ПО Г О N , О

= N

^ ОМ С1» , О Г N С1» , О

(3.42)

+[^1, г|х,хь) -, г|х)\тЯ 1 (к, ¿)£(. (3.37)

Применяя формулу Ито-Вентцеля [5] к (3.36), (3.37) с учетом предположения 5), получим аналогично [6], что количества информации (3.6), (3.7) на интервалах времени 4«т+1 определяются уравнениями

4/, [ х,; г о, По” V 4 = (1/2) х

то [4]

х1г

М

Я ‘(,, г)[й(Тм, г|х,) - к(,, г)\ х Х[Ч1„, г|х,) - А(?, г) ]

-(^2) х

р1 | ,(^м|х) =

= 5^ Iх, = х }/5хм =

= N{XN ; 1N |к), ГN (^7М I,)} ,

Д N ('1N |к) =

¡1 (ÍN А + Г0N (1rN , 0Г_1(0[х - Д( 0\-

Из (2.5), (3.22), (3.30), (3.42), (3.44) следует, что

(3.43)

(3.44)

х1г

е(ом

51п р ,(х,) Гб1прЛх)

дх,

дх,

у' \Т

51п р(,, х 1) 51п р( ,, х 1)

5х

5х,

hCírN, г|х) - й(,, г) =

= [^0 C,, г) + Н1,N Ct, г)Г^ ^ , ,)Г_1C 0\[х - Д( 0\-Тогда с учетом (3.15)

(3.38)

М

\[h(^tN,г х,)-А( ,,г)\х

|х[h(■^м, г|х,) - А( ,, г)\Г = Но( ,, г )Г-1( ,) Н Т (,, г ).

го,По Г =

(3.45)

Поскольку

р, (х) = ^х; дО'Х ГООК р(,, х) = N{x; а(‘), Я(‘)},

(3.46)

то

М

Г[51п р ,(х, V5х, \х

М

х[51п р,(х, V5х,

[[51п р(‘, х,)/5х, \ х |х[51п р(‘, х,)/5х, \Г

г'о,П° [ = Г-1( ‘\

= ,).

(3.47)

Так как

М{} = М{М{- го,По”}},

Д L+1(,, ) =

д(0

Д Д (‘,: 0 )

,,^) = [Г^(1,‘) ¡¿^Ч,,^)\, (3-48)

а Р+1(.) определено в (3.13). Тогда из (2.5), (3.23), (3.30), (3.48) с учетом (3.15) аналогично (3.45) следует, что

М<

[hCтN, г х,, х.) - hCтN, г|х )\ х

X[hC1rN , г |х,, х°) - ^ , г |х )\Г |го,П”

= Нь+1(,, г )(Г ь+1(,, ))-1 Н^,, г) -

-Но(,, г )Г-1 (,)Нт оГ (,, г). (3.49)

Из (3.4)

Р.(х;х0) = Р:(х\х0)Р (^ Х (3.50)

где

р,\:(х|х0) = 5Р{х, <х\х =х ,го,гГо}/5х. (3.51)

Тогда из (3.32) и (3.50) следует 51п Р.,(х|х0) 51п Р. (х0 |х) 51п р , (х)

5х 5х 5х

Так как

р. (х;х 0) =

(3.52)

= N

д(0

Д 0 C‘, ).

г(,)

Г 0.N+1 (‘, :0 )

(Г°0„+1( ,, .0 ))Г Г0 ( ‘, ¡0 )

о^+1^? ^0// А У^^о

тогда аналогично (3.43), (3.44)

(3.53)

Р‘‘|: (х |;х0 ) = ^х; Д( ‘ |:0 ), Г( ‘ \:0 )} , (3.54)

I1 ( ‘.) =

= Д( ,) + ^;0.N+l(,, .0 (,, .0 )) Л? -Д0 (,, .0 )\, (3.55)

где Г(4?х) определено в (3.14). Из (3.46), (3.52), (3.54), (3.55) следует

М

И51п р., (х:\х, V5х, _х

(3.56)

то подстановка (3.45), (3.47) в (3.38) приводит к (3.9). Для

р‘г\(XN |x, ^0 ) =

= 5NP{Xv < хс^х, = х,^ = х0,го,По VдXXN аналогично (3.43), (3.44) с учетом (3.2) следует, что

р1\(XN \x, х0 ) =

= N{XN ; ДN (1N I‘, ‘Х0), N (1 N \‘, :0)} ,

ДN (^1N |‘, :0 ) = ДN (1 N, 0 + -i',V (1N |‘, :0 ) х

х(Г 0+1(,, .0 ))-1[ х 0+1 -Д 0+1( ‘, .0 )\,

М

(3.57)

|х[51п Р.,(х. \х, V5х, \Г \г‘о,П°

= Г-1( , |.0) -Г-1(‘).

Аналогично

[[51п р(:0 , х°\ ‘, х,)/5х, \х

|х[51п Р( :0, :x:i| ^ х,)/5х, \Г

= ^-'(,\5Ь) - Я».

Так как

М{} = М{М{- |го, По”}},

то подстановка (3.49), (3.56), (3.57) в (3.39) дает (3.10). Аналогично (3.54)

Р.,(^0 |х) = N{^;Д0 (:01‘), ГХ0 (:0 |,)}, (3.58)

где Гх (~1|/) определено в (3.18). Тогда (3.16) следует из (3.29), (3.40), (3.46), а (3.17) следует из (3.34), (3.41), (3.58). Представление (3.8) следует

из (3.5)-(3.7), (3.32). Теорема доказана.

Аналогично (3.6), (3.7) с учетом (3.4), (3.51)

/Дх0;го,По”\ = М|]п Р:}\^}, (3.59)

(3.60)

/!,\: [ х, ; г1о,П°\х'0\ = М 11п

Р (:0, х0 ) ]’

Ра: (х, |^° ) Р(‘, х,|^0, х0 )

где р( ‘, х, |.0, :х:0) = 5Р{х1 < х |х° =х0}/5х.

Теорема 2. Количество информации (3.5) может быть представлено в виде

/‘‘,: [х‘, х°; \ =

=К[х°;¿оП” \+^ .[х,;¿‘опИ Iх0 \, (3.61)

где /,'[.], /(Д.] на интервалах времени ¿т«и+1 определяются уравнениями

4/. [ х°; го,По” V4‘ =

[ Я~1(‘, г) Н0( и г) х ■

|х(^0 (‘, .0 ))-1 НГ (‘, г) ]

4/а: [х,; го,по” |^° V 4‘ =

Н0+1( ‘, г )( Г 0+1( ‘, .0 ))-1 х‘

= (12)1г

М

(3.62)

Я

М

х

*0+1

Г

= (1/2) ^

-(1/2Ме( ‘)[М{Г-1( ‘ |.0)} - Я '( ‘ |.0 )\\ (3.63)

хНН0+1 (и г) - Н0 ( ^ г) х

х(Г0 (‘, .0 ))-1 ЙГ (‘, г)

с начальными условиями

/1° [ х°; 4” ,По” \ = К"-о[х; г‘о° ,п¡0 -1\+Д/.”, (3.64)

/‘С\: [ ^ ; го” ,По"|X0 \ =

= ^ ; го” , По”-1 |;Х:0 \ + Д/,,2\: , (3.65)

Д/.” = 2М{1п[|Г0(‘” - о, .0 )|/|Г0 (,”, ¡0 )|\}, (3.66)

Д/‘‘"|. = 1 М{1п[|]Г0(,” - о|.0 )|/|Т0( 14 )|\}, (3.67)

Доказательство. Из следствия 1 в [3] следует, что р ‘ (х1) на интервалах времени 4«т+1 определяется уравнением

4\р\ (х 0) =

= Р:(х )[h(fN,‘, г|х ) -h(‘, г)\ Я (‘, г)4г,, (3.(

с начальным условием

' С (па), г|х0)'

Р:” (х ) =

С П,”), г)

Р.” -о( х0 ),

(3.69)

где

hC^N, ‘, г |х0) = М{^‘, х,, ^N, г) |х° = х0 ,4, По },

С Ш” ), г|х° ) =

= М{С (х,”, х1г, п C‘"), г) |х° = ^; го”, пП -1}.

Дифференцируя р‘^(Хх1)=р.!(х;х1)/р.!(Х1) по формуле Ито с использованием (3.19), (3.68) для 4<<т+1, получаем

4,р‘‘\: (х|х'0) =

Ь‘, х [ Р‘‘\ : (х\х0); Р, (х)\ +

+Р‘‘\ : (х\х0 )

h(NN, г х, х ) --h(NN, ‘, г\х1)

хЯ '(,, г)[h(‘, г) - N, ‘, г \хь)\

4‘ +

+Рф(Ах1 )[h(NrN, г|х,х°) -h('fv, ‘, г)Г х

хЯ-1 (‘, г)4г, (3.70)

с начальным условием

Р‘С\ : () =

= [С(ПС”), г|х,^0)/С(п,), г|х0)\^^‘0¡:-o(х! х0),

которое следует из (3.20), (3.69). Априорные плотности р (~1,х1), р (/, х~ьхх) определяются уравнениями

4,р(:1 , х0) = о,

4,р(‘, х |:0, ;Х0 ) = Ь, х [ р(‘, х |.0, х0 ); р(‘, х )\4‘,

которые следуют из (3.68), (3.70). Дальнейшие преобразования проводятся аналогично преобразованиям при доказательстве Теоремы 1, начиная с формулы (3.36), с использованием формул Ито и Ито-Вентцеля, а также (2.5), (3.2), (3.3), (3.59), (3.60) и поэтому не приводятся. Теорема доказана.

Выводы

Получены два представления для количества информации в совместной задаче непрерывнодискретной фильтрации и обобщенной экстраполяции через количество информации в задаче фильтрации (Теорема 1) ив задаче экстраполяции (Теорема 2). Доказательства основных результатов основаны на формулах Ито и Ито-Вентцеля, которые являются базовыми результатами стохастического анализа. Результаты работы могут быть использованы при исследовании таких базовых задач теории информации и теории передачи сообщений, как информационная эффективность каналов передачи и оптимальная передача (оптимальное кодирование и декодирование), когда в качестве математических моделей сообщений используются стохастических процессы диффузионного типа.

Работа выполнена при поддержке ФЦП«Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013гг, проект № 02.740.11.5190.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стратонович Р. Теория информации. - М.: Советское радио, 1975. - 423 с.

2. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. II. Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика. - 1995. - № 10. - С. 36-49.

3. Демин Н.С., Сушко ТВ., Яковлева А.В. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1997. - № 4. - С. 48-59.

4. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. - М.: Наука, 1974. - 696 с.

5. Розовский Б.Л. О формуле Ито-Вентцеля // Вестник МГУ. Сер. матем., мех. - 1973. - № 1. - С. 20-32.

6. Демин Н.С., Короткевич В.И. О количестве информации в задачах фильтрации компонент марковских процессов // Автоматика и телемеханика. - 1983. - № 7. - С. 87-96.

Поступила 12.07.2010 г.