Информационные технологии многокритериального принятия решений на основе теории свидетельств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.31.001.8

И.И. Коваленко, А.В. Швед

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ СВИДЕТЕЛЬСТВ

Введение. Большинство возникающих на практике задач выбора являются слабоструктурированными, т.е. такими в которых превалируют качественные, неформализованные факторы. Примерами подобного рода задач является принятие стратегических решений экономического и политического характера, планирование научных исследований и разработок, конкурсный отбор проектов и др. При этом задачи выбора значительно усложняются, если они характеризуются большим числом признаков, показателей, которые называют критериями оценки альтернатив, а информация полученная из источников (экспертов) является неточной, неполной и субъективной. Все это порождает многообразие методов качественного анализа данных и сводит задачи выбора к многокритериальным, многоальтернативным задачам принятия решений в условиях неопределенности.

Возможным путем решения подобного рода задач является применение таких подходов, как МАИ, ELLECTRE, MAUT, среди которых выгодно выделяется метод анализа иерархий (МАИ). МАИ - является эффективным математическим инструментом системного подхода для решения задач многокритериального, многоальтернативного принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу) в соответствии с выделенным критерием, который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Однако метод имеет ряд очевидных недостатков: не допускает неопределенности в суждениях ЛПР, а также возникает необходимость построения большого числа матриц парных сравнений альтернатив и критериев.

В настоящее время существует значительное число модификаций МАИ. Одним из подходов, позволяющих моделировать неточность или неуверенность суждений ЛПР является метод, в основе которого лежат элементы теории свидетельств (теории Демпстера-Шейфера). Метод ДШ/МАИ позволяет решить часть проблем, имеющих место в стандартном МАИ.

Особенностью данного метода является то, что эксперты, как на уровне критериев, так и на уровне альтернатив освобождены от выполнения множества парных сравнений, и осуществляют выбор наиболее предпочтительных альтернатив (групп альтернатив). При этом эксперт сам определяет для каких альтернатив или групп альтернатив он может высказать свои предпочтения.

Постановка задачи. Целью работы является сравнительный анализ и рассмотрение эффективных методов многокритериального принятия решений на основе теории свидетельств.

Изложение основного материала. Большинство задач принятия решений характеризуются либо полным отсутствием информации о событии или объекте исследования (принятие решений в условиях неопределенности), либо знанием вероятности его осуществления или определенного состояния (принятие решений в условиях риска). Однако многие практические задачи могут занимать некоторое промежуточное положение, т. е. информация об объекте имеется, но эта информация неточная или неполная. Одним из математических аппаратов для моделирования и обработки неточных (интервальных) экспертных оценок или для решения задач в условиях неопределенности является теория Демпстера-Шейфера [1], также называемая математической теорией свидетельств.

Основные элементы теории свидетельств

Толчком к развитию теории Демпстера-Шейфера послужила работа А. Демпстера [2], в которой автор предложил модель нижних и верхних вероятностей. Впоследствии Г. Шейфер развил идеи предложенные в [2] и разработал теорию свидетельств, которая получила название теории Демпстера-Шейфера (DST).

В основе теории лежат следующие концептуальные положения. Пусть имеется некоторое множество ©, которое в теории свидетельств называется универсальным множеством или основой анализа [1,3]. Это множество является набором всех рассматриваемых утверждений. В этом случае число возможных подмножеств © составит |2© , где 2© - показательное множество, совокупность всех подмножеств ©, включая пустое множество 0 .

Например, если © = {a,b,c}, то 2© = {0, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, ©}

Если © - универсальное множество, тогда функция m:2© ^[0,1] - называется основным назначением вероятностей, если выполняется условие:

m(0) = 0, X m(X) = 1, для всех X ç0 . (1)

Xc0

Число m(X) в литературе [1,3] также называют основной массой вероятности или основным числом вероятности. Это число определяет субъективную степень уверенности, что искомый элемент множества 0 находится в подмножестве X с 0 .

Функция уверенностей bel : 2© ^ [0,1] определяется как общая степень уверенности, отдаваемая подмножеству Xç© посредством m(AJ, Ai с X и определяется как

bel(X) = X m(Ai). (2)

AjiAj çX

Таким образом, значение функции bel(X) получается путем суммирования основных масс вероятностей по всем непустым подмножествам Ai с 0.

Функция bel(0 является функцией уверенностей на 0, если выполняются условия:

|0, если Х = 0; bel(X) = j ' х ©'

[ 1, еслиХ = 0. (3)

bel(X) + bel(X) < 1,

где X - дополнение множества Х до множества 0.

Любое подмножество X с 0 , для которого m(X) Ф 0 называется фокальным элементом функции bel. Объединение всех фокальных элементов этой функции называется её ядром.

Функция pl : 20 ^ [0,1] называется функцией правдоподобия и выражает степень расширения до которого подмножество Х представляется правдоподобным

pl(X) = X m(Aj). (4)

AjiA; nX^0

Значение функции правдоподобия представляет собой совокупность основных масс вероятностей всех непустых подмножеств Ai пересекающихся с рассматриваемым подмножеством Х.

Функции bel(0 и pl(^) взаимосвязаны, так как основываются на одних и тех же свидетельствах и отражают одно и тоже состояние знаний [3]. Между этими значениям существует следующее соотношение

pl(X) = 1 - bel(X), для всех X с 0 . (5)

Значение функций bel(0 и pl(^) определяют верхнюю и нижнюю границы интервала, который содержит точную величину вероятности P(X) рассматриваемого подмножества X:

bel(X) < P(X) < pl(X). (6)

Интервал [bel(X),pl(X)] называется интервалом доверия.

Правила комбинирования свидетельств

Информация в виде различных наборов подмножеств (фокальных элементов) с их базовыми вероятностями может быть получена из различных источников (например, на одном и том же множестве начальных данных несколько независимых экспертов высказывают свои предпочтения). Предполагается, что каждый из таких источников является независимым. Для комбинирования данных, полученных из подобных источников, используется ряд правил, каждое из которых имеет свои достоинства и недостатки. Рассмотрим некоторые из правил комбинирования.

1 Правило комбинирования Демпстера

В теории Демпстера-Шейфера комбинирование уверенностей, полученных на основе различных свидетельств производится по правилу Демпстера [2]. Правило Демпстера позволяет для каждой совокупности исходных подмножеств (фокальных элементов), на всем множестве исходных данных, сформировать результирующие подмножества и вычислить для них степени уверенности (комбинированные массы вероятности).

Пусть имеется универсальное множество 0 и два независимых источника данных. Обозначим базовых вероятности выделенных фокальных элементов, полученных из первого и второго источников, соответственно m1 (•) и m2(-). Тогда, при условии, что mDS(0) = 0 и V(X Ф 0) е 20 , комбинированная базовая вероятность mDS(X) вычисляется по формуле

тв8(Х) = —1--X т1(Х1)ш2(Х2}>

1 " к12 Х1,Х^Е2в (7)

Х1пХ2 =Х

где Х1;Х2 - группы свидетельств, полученные из 1 и 2-го независимых источников, к12 - степень конфликтности, которая определяется как

к12 = X Ш1 (Х1 )ш2 (Х2 ) •

Х1,Х2е2® (8)

Х;ПХ2 =0

Если все свидетельства противоречивы (к12 = 1), то использование правила комбинирования Демпстера является не корректным, та как полностью противоречивые источники не могут быть объединены.

Правило комбинирования Демпстера имеет существенный недостаток - информация, полученная из конфликтующих источников полностью игнорируется, что в свою очередь может привести к неудовлетворительным результатам комбинирования (парадокс Л. Заде [4]). Для устранения этого недостатка был предложен ряд альтернативных правил комбинирования уверенностей [5-8], в том числе правило дисконтирования Демпстера.

2 Альтернативные правила комбинирования

1) Правило комбинирования Ягера

В отличии от правила комбинирования Демпстера, Ягер [5] не относит комбинированные массы вероятностей по пустым пересечениям маргинальных фокальных элементов к пустому множеству и не проводит их нормализацию, а использует для отражения степени незнания. Комбинированная базовая вероятность шу (Х) в правиле Ягера может быть выражена следующим образом:

Шу (Х) = X Ш1(Х1)Ш2(Х2),

Х;,Х2е2

1 1 2 2

® (9)

при условии, что шу (0) = 0, УХ е 20 , Х /0 и Х / 0 .

В случае, когда Х = 0, значение функции базовых масс вероятности определяется, как

Шу (0) = 4(0) + 4(0) = Ш1 (0)Ш2 (©) + X Ш1 (Х1 )Ш2 (Х2),

Х;,Х2е2© Х;ПХ2 = '

(10)

Х;пХ2=0

где 4(0) - функция базовых масс вероятности по всем непустым пересечениям маргинальных фокальных элементов; 4(0) - базовая масса вероятности по всем пустым пересечениям маргинальных фокальных элементов

Значение Шу(Х) не соответствует значениям основных масс вероятности ш03(Х) в смысле Демпстера. Между этими значениями существует соотношение:

ШО8(0) = -4^ = Щур-^р, Ш„(0) = 0, ШС8(Х) = ^ (П)

1 - 4(0) 1 - 4(0) 1 - 4(0)

2) Правило комбинирования Инагаки

Инагаки [6] предлагает следующее правило комбинирования масс вероятностей для любого непустого подмножества Х = Х1 п Х2:

шЦЧХ) = [1 + кя(0)]- 4(Х), Х /0,0 , (12)

где 4(Х) = X ш1(Х1)ш2(Х2); а(0) - базовая масса вероятности по всем пустым пересечениям

Х1,Х2е20 Х;ПХ2 =Х

маргинальных фокальных элементов; параметр к используется для нормализации

0 < к <-1-. (13)

1 - 4(0) - 4(0) 1 ;

В случае, когда Х = 0

ши(0) = [1 + к4(0)] • 4(0) + [1 + к4(0) - к] • 4(0), (14)

где 4(0) - функция базовых масс вероятности по всем непустым пересечениям маргинальных фокальных элементов.

В зависимости от значений коэффициента к могут учитываться или не учитываться конфликты на множестве гипотез. При к=0 правило комбинирования Инагаки совпадает с правилом комбинирования Ягера, а при к = 1/(1 - 4(0)) - с правилом комбинирования Демпстера.

Х, пХ =Х

3) Правило центральной комбинации Жанга

Правило комбинирования Жанга учитывает степень пересечения выделенных подмножеств определенных на основе различных групп свидетельств [7] и вводит оценку степени их пересечения

X _ X о Х2|

г(Х1,Х2) _,

(15)

|хЦх2 |Х^|Х2| '

где Х1 о Х2 _ Х ; | • | - кардинальность соответствующих фокальных элементов.

Таким образом, значение комбинированной массы вероятности результирующего подмножества определяется, как

ш2(Х) _ к • Х[Г(Х1,Х2)Ш1(Х1)Ш2(Х2)]_ к • X

Х1,Х2е2® Х1оХ2 _Х

|Х|

Х1,Х2е2в Х1оХ2 _Х

|Ш1 (Х1)Ш2(Х2)

(16)

где к - константа нормализации.

Существуют альтернативные способы вычисления значения степени пересечения подмножеств, например

Х ох2

_ . (17)

В случае, когда |х| _ • |Х2| правило комбинирование Жанга соответствует правилу

комбинирования Демпстера.

4) Правило комбинирования Сметса

Правило комбинирования Сметса [8] в действительности представляет ненормированную версию правила комбинирования Демпстера. Комбинированные массы уверенности пересекающихся фокальных элементов, при условии, что У(Х ^ 0) е 20 , определяются выражением

Ш

(Х) _ X Ш1(Х1)Ш2(Х2).

Х1,Х2е20 Х1оХ2 _Х

(18)

При этом значение ш3(0) соответствует значению суммарной базовой массе вероятности, связанной с пустыми пересечениями маргинальных фокальных элементов, и определяется как

Ш8(0) = к12 _ X Ш1 (Х1 )ш2 (Х2 ) .

Х1,Х2е20 (19)

оХ2 _0

Метод ДШ/МАИ

Метод ДШ/МАИ [9,10] (Демпстер-Шейфер/МАИ) является модификацией метода анализа иерархий, предложенного Т. Саати, в основе которого лежат элементы теории свидетельств. Основное отличие метода ДШ/МАИ от метода МАИ заключается в том, что эксперт (ЛПР) по каждому из критериев выделяет из множества альтернатив подгруппы и для каждой подгруппы, в заданной шкале отношений, назначает степени превосходства по отношению к остальным альтернативам.

Процесс поиска лучшего выбора по методу ДШ/МАИ можно представить в виде следующих итераций:

1. Представление задачи многокритериального принятия решений в виде иерархической структуры.

2. Выявление предпочтений экспертов: выделение подмножеств альтернатив наиболее предпочтительных среди всего множества альтернатив, в соответствии с заданными критериями.

3. Вычисление вектора приоритетов критериев.

4. Выявление степени превосходства выделенных групп альтернатив.

5. Вычисление базовых вероятностей соответствующих групп альтернатив.

6. Комбинирование базовых вероятностей выделенных подгрупп альтернатив по всем критериям. При этом каждый из критериев принимается за независимый источник информации; в качестве правила комбинирования используется правило комбинирования Демпстера.

7. По результирующим базовым вероятностям выделенных групп альтернатив и их пересечений вычисляются функции доверия и правдоподобия и строятся интервалы доверия.

Лучшим считается тот выбор, у которого значение функции доверия и правдоподобия являются максимальными среди аналогичных значений всех интервалов.

Рассмотрим пример задачи многокритериального принятия решений с использованием метода ДШ/МАИ.

Предположим, ЛПР (руководитель фирмы) должен принять решение и выбрать одного из семи кандидатов на должность начальника отдела некоторой фирмы по четырем критериям: образование (К1), опыт работы на руководящей должности (К2), результаты проведенного собеседования (тестирование) (К3), коммуникабельность (К4).

По условию задачи имеется множество альтернатив 0_ {А,В,С,Б,Е,Р,в} и множество критериев К_{КЬК2,К3,К4}. Выделим в соответствии с заданным критерием К, еК из множества критериев К некоторое подмножество или группу альтернатив А1 с0 из множества альтернатив 0 (рис. 1).

Цель Выбор руководителя

Критерии

образование (К,)

опыт работы (К2)

тестирования <К3)

ко м мун и као сл ь н ость

(К4)

Альтернативы {А,С,Р} \ 0 {А}/{0}\ 0 {А} /{0}\ 0 {В,0}{Е,0} {С,0} {В,Е} {6,0} {СДЧ

Рис. 1. Б8/АИР иерархия для примера «выбор руководителя»

ВЛ/ \ 0 {С,С} {А,0,Е}

Веса критериев равны 0,311, 0,183, 0,42, 0,086 соответственно. Далее, по каждому из критериев К - К4, определим степени предпочтения выделенных групп альтернатив (таблица 1) в заданной шкале отношений (1^9).

Степени предпочтения выделенных групп альтернатив по критериям

Таблица 1.

критерий К1 - «образование»

{А,ел

{В,С}

5

2

критерий К2 - «опыт работы»

{С,Р}

{В,Е}

{С}

{А}

3

5

критерий К3 - «тестирование»

{В,Р}

{С^}

.Ж.

_{А}_

2

5

критерий К4 - «коммуникабельность»

{А,Б,Е}

{ВЛ

{С,С}

5

2

3

Основные массы вероятности выделенных подмножеств исходного множества альтернатив 0 , по каждому из критериев, вычисляются следующим образом:

ш(Ak)J _■

Ьк

X Ь1 + ^

1_1

ш(0), _

4А

J а

X Ь1 ^ л/а

(20)

1_1

где Ак с0 - выделенная к-тая группа альтернатив по ,-му критерию; а - общее число выделенных групп альтернатив по ,-му критерию. Коэффициент Ь определяется из выражения

4

2

4

4

3

ьк = хк 'ю^ (21)

где хк - степень предпочтения выделенной к-той группы альтернатив по _|-му критерию; юJ - вес

(приоритет) _|-го критерия, ] = 1,4.

Рассчитаем для каждой группы свидетельств основные массы вероятности выделенных подмножеств исходного множества альтернатив © : по критерию «образование»:

ш1({Л,С,Р}) = 0,3018; ш1({Е,Б}) = 0,1207; ш1({Б,0}) = 0,2415; ш^©) = 0,336. по критерию «опыт работы»:

ш2({Л}) = 0,1605; ш2({С, Б}) = 0,0802; ш2({Б,Е}) = 0,1203; ш2({в}) = 0,2006; ш2(©) = 0,4384. по критерию «тестирование»:

ш3({Л}) = 0,1599; ш3({в}) = 0,2665; ш3({Б,Б}) = 0,2132; ш3({С,Р}) = 0,1066; ш3(©) = 0,2538. по критерию «коммуникабельность»:

ш4({Л,Б,Е}) = 0,1659; ш4({Б,Б}) = 0,0664; ш4({в,С}) = 0,0995; ш4(©) = 0,6682. Скомбинируем маргинальные назначения вероятностей по правилу Демпстера. Результаты комбинирования представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Комбинированные базовые вероятности_

Подмножество альтернатив шруководитель Подмножество альтернатив шруководитель Подмножество альтернатив шруководитель

{Л} 0,19262 {С,С} 0,00916 {Б,Р} 0,00612

{Б} 0,09221 {С,Б} 0,01126 {Л,С,Б} 0,05528

{С} 0,06236 {Б,Е} 0,01689 {Л,Б,Е} 0,01528

{Б} 0,05991 {Е,Б} 0,0276 © 0,06154

{Е} 0,01177 {Б,в} 0,04423

{Р} 0,00806 {С,Р} 0,02585

{С} 0,24819 {Б,Б} 0,0517

По комбинированным базовым вероятностям вычислим функции доверия Бе1({Л1}) и правдоподобия Р1({Л1}) для каждой альтернативы (таблица 3).

Таблица 3.

Значения функций доверия и правдоподобия для исходного множества альтернатив_

Подмножество альтернатив Ье1(-) р1(-) Подмножество альтернатив Ье1(-) р1(-)

{Л} 0,19262 0,32471 {Е} 0,01177 0,13307

{Б} 0,09221 0,27268 {Р} 0,00806 0,15684

{С} 0,06236 0,22545 {С} 0,24819 0,36312

{Б} 0,05991 0,22728

Из приведенных результатов видно, что наибольшие значения функции доверия и правдоподобия имеет выбор в, но однозначно определить результирующую ранжировку альтернатив невозможно, поскольку полученные интервалы являются вложенными. Для определения степени превосходства исходных альтернатив введем коэффициент пессимизма

у- Ье1({Лк}) + (1 -у) - р1({Лк}), (22)

где у е [0,1] - коэффициент пессимизма; {Лк} - к-ая подгруппа альтернатив, к = 1, п; п - число выделенных подмножеств альтернатив.

В результате анализа получим следующую ранжировку альтернатив:

в ^ Л ^ Б ^ С ^ Б ^ Б ^ Е.

Сравним результаты решения задачи выбора, используя различные правила комбинирования (таблица 4).

Таблица 4.

Правила комбинирования свидетельств

Демпстер Ягер Инагаки Сметс Жанг

{A} [0,193; 0,325] [0,105; 0,569] [0,204; 0,296] [0,078; 0,132] [0,242; 0,282]

{B} [0,092; 0,273] [0,04;0,516] [0,1024; 0,241] [0,037; 0,111] [0,077;0,132]

{D} [0,06;0,227] [0,031;0,538] [0,064; 0,182] [0,024; 0,092] [0,043; 0,096]

{G} [0,248; 0,363] [0,141;0,574] [0,2598;0,336] [0,101; 0,147] [0,491; 0,526]

{C} [0,062;0,225] [0,027;0,494] [0,0692;0,193] [0,025; 0,092] [0,036; 0,085]

{F} [0,008;0,157] [0,00468;0,4533] [0,0084; 0,118] [0,003; 0,064] [0,003 ;0,049]

{E} [0,012;0,133] [0,00478;0,4645] [0,0132; 0,093] [0,005;0,054] [0,007; 0,046]

По результатам представленным в таблице 4 видно, что оптимальной является альтернатива G. Различия между результатами при использовании разных правил комбинирования связаны с применением разных подходов при комбинировании основных масс вероятности исходных фокальных элементов, в основном в обращении с комбинированными массами уверенностей для пустых пересечений исходных фокальных элементов.

Выводы. В статье рассмотрен модифицированный метод анализа иерархий для решения задач многокритериального принятия решений, позволяющий учитывать неуверенность и неточность суждений экспертов, в основе которого лежат элементы теории Демпстера-Шейфера. В рамках данного метода предложено несколько модификаций, использующих различные правила комбинирования данных, полученных из независимых источников. В качестве источников данных могут быть рассмотрены несколько независимые экспертов, высказывающих свои предпочтения на одном и том же множестве начальных данных.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Shafer G. A mathimatical theory of evidence // Princeton University Press, Princeton, 1976, 297 P.

2. Dempster A.P. Upper and lower probabilities induced by a muilti-valued mapping // Ann. Math. Stat., 1967, vol. 38. pp. 325-339.

3. Beynon M.J, Curry B., Morgan P. The Dempster-Shafer theory of evidence: an alternative approach to milticriteria decisionn modelling // Omega, 2000, vol. 28, № 1, pp. 37-50.

4. Zadeh L.A. Review of Shafer's "A mathematical theory of evidence" // The AI Magazine, 1984, pp. 81-83.

5. Yager R.R On the Dempster-Shafer framework and new combination rules // Information Science , 1987, vol. 41, № 2, pp. 93-137.

6. Inagaki T. Interdepence between Safety-Control Policy and Multiple-Sensor Schemes Via Dempster-Shafer Theory // Transaction on Reliability, 1991, vol. 40, № 2, pp. 182-188.

7. Zhang L. Representation, independence and combination of evidence in the Dempster-Shafer Theory of Evidence. Advances in the Dempster-Sfafer Theory of Evidence // John Wiley & Sons, 1994, pp. 51- 69.

8. Smets Ph. The combination of evidence in the transferable belief model // Pattern analysis and Machine Intelligence, 1990, vol. 12, pp. 447 - 458.

9. Beynon M.J. DS/AHP method: A mathematical analysis, including an understanding of uncertainty // European Journal of Operational Research, 2002, vol. 140, pp. 148-164.

КОВАЛЕНКО Игорь Иванович - д.т.н., профессор кафедры компьютерных систем и сетей Николаевского национального университета им. В.А. Сухомлинского.

ШВЕД Алена Владимировна - преподаватель кафедры информатики Николаевского национального университета им. В.А. Сухомлинского, E-mail: helenashv@mail.ru.

Научные интересы авторов: методы анализа данных, прикладной системный анализ, теория оптимальных решений, информационные технологии, системы поддержки принятия решений.